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notes/berechnungen_wk11.md

@@ -1,36 +1,50 @@
 ## §1. Linear oder nicht? ##
 
-Betrachte φ : ℝ^3 ⟶ ℝ^2 definiert wie folgt
-und bestimme, in jedem Falle, ob φ linear ist.
+In folgenden Aufgaben wird eine Funktion φ : ℝ³ ⟶ ℝ² definiert.
+Bestimme in jedem Falle, ob φ linear ist.
 
 a)
+
     φ(x1, x2, x3) = ( 4·x1·x3 )
                     ( 10·x2   )
 
-nicht linear
+Wenn φ linear wäre, dann müsste φ(2, 0, 2) = 2·φ(1, 0, 1) gelten.
+Aber:
+
+    φ(2, 0, 2)   = (16, 0)ᵀ
+    2·φ(1, 0, 1) = 2·(4, 0)ᵀ = (8, 0)ᵀ ≠  φ(2, 0, 2)
+
+Also ist φ nicht linear, weil Homogenität verletzt wird.
 
 b)
-    φ(x1, x2, x3) = (  x3^2  )
+
+    φ(x1, x2, x3) = ( x3² )
                     (  0   )
 
 Wenn φ linear wäre, dann müsste φ(0, 0, 8) = 8·φ(0, 0, 1) gelten.
 Aber:
 
-    φ(0, 0, 8)   = (64, 0)^T
-    8·φ(0, 0, 1) = 8·(1, 0)^T = (8, 0)^T
+    φ(0, 0, 8)   = (64, 0)ᵀ
+    8·φ(0, 0, 1) = 8·(1, 0)ᵀ = (8, 0)ᵀ ≠ φ(0, 0, 8)
 
 Also ist φ nicht linear, weil Homogenität verletzt wird.
 
 c)
+
     φ(x1, x2, x3) = ( x3 )
                     (  0 )
-linear
 
-d) φ(x1, x2, x3) = (  0  )
+--> linear
+
+d)
+
+    φ(x1, x2, x3) = ( 0 )
                     ( 0 )
-linear
+
+--> linear
 
 e)
+
     φ(x1, x2, x3) = ( 4  )
                     ( 0  )
 
@@ -39,25 +53,28 @@ Aber φ ist hier niemals der Nullvektor!
 Also ist φ nicht linear.
 
 f)
+
     φ(x1, x2, x3) = ( 10·x3     )
                     (  -x2 + x1 )
 
 linear!
 
-f')
+g)
+
     φ(x1, x2, x3) = ( 1 - 10·x3 )
                     (  -x2 + x1 )
 
 Wenn φ linear wäre, dann müsste φ(0) = 0 gelten. [Siehe Lemma 6.1.2]
-Aber φ(0) = (1, 0)^T.
+Aber φ(0) = (1, 0)ᵀ.
 Also ist φ nicht linear.
 
-g)
+h)
+
     φ(x1, x2, x3) = ( exp(-(7·x2 + 8·x1)) )
                     ( 0                   )
 
 Wenn φ linear wäre, dann müsste φ(0) = 0 gelten. [Siehe Lemma 6.1.2]
-Aber φ(0) = (exp(0), 0)^T = (1, 0)^T.
+Aber φ(0) = (exp(0), 0)ᵀ = (1, 0)ᵀ.
 Also ist φ nicht linear.
 
 ## §2. Aufgaben ähnlich zu ÜB 10-2 ##
@@ -65,17 +82,19 @@ Also ist φ nicht linear.
 Seien A = (u1, u2, u3) und B = (v1, v2),
 wobei
 
-    u1 = (3,  0, 1)^T
-    u2 = (0, -1, 0)^T
-    u3 = (4,  0, 0)^T
+    u1 = (3,  0, 1)ᵀ
+    u2 = (0, -1, 0)ᵀ
+    u3 = (4,  0, 0)ᵀ
 
-    v1 = (4, 5)^T
-    v2 = (0, 1)^T
+    v1 = (4, 5)ᵀ
+    v2 = (0, 1)ᵀ
 
-[√] A bildet eine Basis für ℝ^3
-[√] B bildet eine Basis für ℝ^2
+Beachte:
 
-Sei nun φ : ℝ^3 ⟶ ℝ^2 definiert durch
+- A bildet eine Basis für ℝ³
+- B bildet eine Basis für ℝ²
+
+Sei nun φ : ℝ³ ⟶ ℝ² definiert durch
 
     φ(x1, x2, x3) = ( 4·x1 - x3  )
                     ( 10·x2 + x1 )
@@ -83,7 +102,7 @@ Sei nun φ : ℝ^3 ⟶ ℝ^2 definiert durch
 ### Zur Linearität ###
 Seien
 
-    (x1,x2,x3), (x1',x2',x3') ∈ ℝ^3
+    (x1,x2,x3), (x1',x2',x3') ∈ ℝ³
     c, c' ∈ ℝ
 
 **Zu zeigen:**
@@ -100,12 +119,11 @@ Es gilt
             ( 10·(c·x2 + c'·x2') + (c·x1 + c'·x1') )
 
           = ( c·(4·x1 - x3)  + c'·(4·x1' - x3')  )
-    (  c·(10·x2 + x1) + c'·(10·x2' + x1'))
+            ( c·(10·x2 + x1) + c'·(10·x2' + x1') )
+
+          = c·( 4·x1 - x3  ) + c'·( 4·x1' - x3' )
+              ( 10·x2 + x1 )      ( 10·x2' + x1' )
 
-    = c·(  4·x1 - x3    )
-        (  10·x2 + x1   )
-    + c'·(  4·x1' - x3' )
-        (  10·x2' + x1' )
           = r. S.
 
 Darum ist φ linear.
@@ -134,14 +152,14 @@ _Zurück zur Berechnung der Darstellung..._
 Die zu berechnende Matrix M := M_A^B(φ), ist diejenige, die erfüllt:
 
 - ist x der Form x = ∑ α_j·u_j = (α_j) <--- als Vektor über Basis A
-- und ist M·(α_j) = (β_i) für einen Vektor (β_i) ∈ ℝ^2
+- und ist M·(α_j) = (β_i) für einen Vektor (β_i) ∈ ℝ²
 - dann gilt φ(x) = y, wobei y = ∑ β_i·v_i
 
 Zusammengefasst ist M genau die Matrix, für die gilt:
 
     B·M·α = φ(A·α)
 
-für alle α ∈ ℝ^3. Da φ = φ_C, ist die äquivalent zu
+für alle α ∈ ℝ³. Da φ = φ_C, ist die äquivalent zu
 
     B·M·α = C·A·α
 
@@ -186,7 +204,7 @@ Darum gilt
 
 ## §3. Lineare Fortsetzung von partiell definierten Funktionen ##
 
-Sei φ : ℝ^5 ⟶ ℝ^3
+Sei φ : ℝ^5 ⟶ ℝ³
 
 
 Seien u1, u2, u3, u4, u5 eine Basis für ℝ^5.