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  1. 18
      notes/berechnungen_wk8.md

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notes/berechnungen_wk8.md

@ -129,8 +129,10 @@ Man braucht die Aufstellung der Basiselemente und das Gaußverfahren eigentlich
U₁ = {x ∈ ℝ⁴ | x₁ + 3·x₂ = 4·x₃ + x₄}
= {a₁}^⊥, wobei a₁ = (1,3,-4,-1)ᵀ
= (Lin{a₁})^⊥,
U₂ = {x ∈ ℝ⁴ | x₁ = 5·x₂ + 2·x₃ + x₄}
= {a₂}^⊥, wobei a₂ = (1,-5,-2,-1)ᵀ
= {a₂}^⊥, wobei a₂ = (1,-5,-2,-1)ᵀv
= (Lin{a₂})^⊥,
und damit gilt
@ -138,9 +140,9 @@ und damit gilt
[hierfür braucht man ein Lemma (1)]
= (U₁^⊥ ∩ U₂^⊥)^⊥
[hierfür braucht man ein Lemma (2)]
= (({a₁}^⊥)^⊥ ∩ ({a₂}^⊥)^⊥)^⊥
= (((Lin{a₁})^⊥)^⊥ ∩ ((Lin{a₂})^⊥)^⊥)^⊥
= (Lin{a₁} ∩ Lin{a₂})^⊥
[hier wird etwa Lemma 1 wieder verwendet]
[hier wird Lemma 1 wieder verwendet]
= ({0})^⊥,
da {a₁, a₂} offensichtlich lin unabh. sind,
und damit gibt es kein gemeinsames Element
@ -148,3 +150,13 @@ und damit gilt
= V, da alles in V zu 0 senkrecht steht.
Dafür aber brauchen wir einiges über Skalarprodukte zu wissen.
Man braucht folgende Definition und wie angedeutet zwei Lemmata:
**Definition.** Sei V ein Vektorraum mit Skalarprodukt.
Für jede Teilmenge, A ⊆ V, setze man A^⊥ := {x ∈ V | ∀y∈A: ⟨x, y⟩=0}.
**Lemma 1.** Sei V ein endlich dimensionaler Vektorraum mit Skalarpodukt.
Dann (U^⊥)^⊥ = U für alle Untervektorräume, U ⊆ V.
**Lemma 2.** Sei V ein endlich dimensionaler Vektorraum mit Skalarpodukt.
Dann (U₁ + U₂)^⊥ = U₁^⊥ ∩ U₂^⊥ für alle Untervektorräume, U₁, U₂ ⊆ V.

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