master > master: SKA4-11

docs/loesungen.tex

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 \pgfplotsset{compat=newest}
-\usetikzlibrary{math}
 
 \usetikzlibrary{
     angles,
@@ -217,9 +216,11 @@
     decorations,
     decorations.pathmorphing,
     decorations.pathreplacing,
+    math,
     positioning,
     patterns,
     quotes,
+    snakes,
 }
 
 %% \var ≈ alter Befehl
@@ -3805,22 +3806,115 @@ Seien $X$, $Y$ nicht leere Mengen und ${f:X\to Y}$ eine Funktion.
     \label{ska:4:ex:11}
 \let\sectionname\altsectionname
 
-    In dem Induktionsschritt
+    Um ein Argument zurückzuweise, reicht es häufig aus,
+    das Argument einfach \emph{ausführlich} aufzuschreiben.
+    Wir nehmen die Ausführung und formalisieren diese:
+
+    \begin{claim*}
+        Bezeichne mit $G(x)$, dass $x$ ein Goldfisch ist.
+        Für $n\in\ntrlpos$ bezeichne mit $\Phi(n)$ folgende Aussage
+
+            \begin{kompaktitem}[\rtab][\rtab]
+                \item
+                    Für alle $n$-elementigen Mengen, $X$, von Fischen,
+                    wenn $\exists{x\in X:~}G(x)$,
+                    dann $\forall{x\in X:~}G(x)$.
+            \end{kompaktitem}
+
+        Dann $\forall{n\in\ntrlpos:~}\Phi(n)$
+    \end{claim*}
+
+    \begin{proof}[ungültiges Argument]
+        Dies wird per Induktion argumentiert.
+
+        \begin{kompaktenum}[\rtab][\rtab]
+            \item[\uwave{{\bfseries Induktionsanfang:}}]
+                Betrachte eine $1$-elementige Menge, $X$, von Fischen.\\
+                Angenommen, ein $x_{0}\in X$ mit $G(x_{0})$ existiere.\\
+                Da $X$ nur dieses eine Element enthält,
+                gilt offensichtlich $\forall{x\in X:~}G(x)$.
+
+            \item[\uwave{{\bfseries Induktionsvoraussetzung:}}]
+                Sei $n\in\ntrlpos$ mit $n>1$.
+                Angenommen, $\Phi(k)$ gilt für alle $k<n$.
+
+            \item[\uwave{{\bfseries Induktionsschritt:}}]
+                Sei $X$ eine $n$-elementige Menge von Fischen.\\
+                Angenommen, ein $x_{0}\in X$ mit $G(x_{0})$ existiere.
+                \textbf{Zu zeigen:} Für alle $x\in X$ gilt $G(x)$.\\
+                Setze $X_{1}:=X\ohne\{x_{0}\}$, was nicht leer ist, weil $n\geq 2$.\\
+                Fixiere einen Fisch $x_{1}\in X_{1}$
+                und setze $X_{0}:=X\ohne\{x_{1}\}$.\\
+                Da $x_{1}\neq x_{0}$ sind $X_{0},X_{1}$ verschiedene $n-1$-elementige Mengen:
+
+                    \hraum
+                    {\footnotesize
+                    \begin{tikzpicture}[node distance=1cm, thick]
+                        \pgfmathsetmacro\habst{1.5}
+                        \pgfmathsetmacro\vabst{1.5}
+                        \pgfmathsetmacro\rad{1.5}
+
+                        \node (PtBL) at (-1.25*\habst,0*\vabst) {};
+                        \node (PtTL) at (-1.25*\habst,2*\vabst) {};
+                        \node (PtBR) at (+1.25*\habst,0*\vabst) {};
+                        \node (PtTR) at (+1.25*\habst,2*\vabst) {};
+                        \node (X0mid) at (-0.25*\habst,1*\vabst) {};
+                        \node (X1mid) at (+0.25*\habst,1*\vabst) {};
+                        \node[label=above:{$x_{0}$}] (x0) at (-1*\habst,1*\vabst) {$\bullet$};
+                        \node[label=above:{$x_{1}$}] (x1) at (+1*\habst,1*\vabst) {$\bullet$};
+                        \node[above right = 0.4*\rad and 0.4*\rad of X0mid,label=below:{$\tilde{x}$}] {$\bullet$};
+                        \node[above left = 0.7*\rad and 0.7*\rad of X0mid] {$X_{0}$};
+                        \node[above right = 0.7*\rad and 0.7*\rad of X1mid] {$X_{1}$};
+
+                        \draw [thick, decoration={brace, mirror, raise=1*\vabst}, decorate] node [pos=0.5, anchor=north, yshift=-10pt] {$X$} (PtBL.south) -- (PtBR.south);
+                        \draw[pattern=north west lines] (X0mid) circle[radius=1*\rad];
+                        \draw (X1mid) circle[radius=1*\rad];
+                    \end{tikzpicture}}
+                    \hraum
+
+                Fokussieren wir uns zunächst auf $X_{0}$ (die schattierte Teilmenge).\\
+                Da $X_{0}$ $n-1$-elementig ist, und $x_{0}\in X_{0}$ und $G(x_{0})$,
+                gilt per Induktionsvoraussetzung (\textdagger)~$\forall{x\in X_{0}:~}G(x)$.
+
+                Jetzt betrachten wir die rechte Teilmenge, $X_{1}$.\\
+                \fbox{Wähle nun einen Fisch, $\tilde{x}\in X_{0}$ mit $\tilde{x}\neq x_{0}$.}\\
+                Wegen (\textdagger) gilt $G(\tilde{x})$.\\
+                Da $\tilde{x}\neq x_{0}$, liegt dieser Fisch nun in der Auswahlmenge $X_{1}$.\\
+                Also ist $X_{1}$ eine $n-1$-elementige Menge und $x_{1}\in X_{1}$ und $G(x_{1})$.\\
+                Per Induktionsvoraussetzung gilt also (\ddag)~$\forall{x\in X_{1}:~}G(x)$.
+
+                Aus (\textdagger) und (\ddag) folgt
+                $\forall{x\in X:~}G(x)$, da ja $X=X_{0}\cup X_{1}$.
+
+                Also gilt $\Phi(n)$.
+        \end{kompaktenum}
+
+        Darum gilt $\forall{n\in\ntrlpos:~}\Phi(n)$.
+    \end{proof}
+
+    Das Problem mit diesem Argument steckt in dem Induktionsschritt beim Schritt:
 
     \begin{quote}
-        Jetzt können wir aber auch einen der Goldfische rausnehmen
-        und haben wieder ein Aquarium mit $n$ Fischen \uline{und mindestens einem} Golfisch.
+        Wähle nun einen Fisch, $\tilde{x}\in X_{0}$ mit $\tilde{x}\neq x_{0}$.
     \end{quote}
 
-    Dieser Teil des Arguments voraus, dass unter der zweiten Auswahl von $n$ Fischen
-    ein Goldfisch vorhanden ist.
-    In \emph{dieser} Auswahl kommt aber der zuerst rausgezogene Fisch vor
-    und dieser war kein Goldfisch.
-    Darum muss ein Goldfisch unter den $n-1$ anderen Fischen.
-    Aber das ist nur möglich, wenn $n-1\geq 1$,
-    also wenn $n\geq 2$.
+    Im ursprünglichen Text ist dies die problematische Stelle:
 
-    Das heißt, das Induktionsargument überspringt den Fall $n=2$!
+    \begin{quote}
+        Jetzt können wir aber \uline{auch einen der Goldfische rausnehmen} und haben wieder \ldots
+    \end{quote}
+
+    Zurück aber zu unserer Formalisierung:\\
+    Diese Stelle im Argument ist nur möglich, wenn $X_{0}\ohne\{x_{0}\}$ nicht leer ist,
+    oder äquivalent, wenn $X_{0}\cap X_{1}$ nicht leer ist.
+    Das \uline{Diagramm} mag dies andeuten, aber das Diagramm täuscht.
+    Denn formal betrachtet muss das Element, $\tilde{x}\in X_{0}\cap X_{1}$,
+    verschieden von $x_{0}$ und $x_{1}$ sein.
+    Das setzt voraus, dass $n=|X|\geq 3$.
+    Aber im Induktionsschritt wurde nur $n>1$ vorausgesetzt!
+
+    Das heißt das Induktionsargument ist faul,
+    weil der Schritt $1\rightsquigarrow 2$ implizit übersprungen wird.
 
 \setcounternach{part}{3}
 \part{Quizzes}