master > master: SKA4-11
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4ff3a3f718
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a0fb7aeb22
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@ -207,7 +207,6 @@
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\usepackage{cleveref} % must vor hyperref geladen werden.
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\pgfplotsset{compat=newest}
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\usetikzlibrary{math}
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\usetikzlibrary{
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angles,
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@ -217,9 +216,11 @@
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decorations,
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decorations.pathmorphing,
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decorations.pathreplacing,
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math,
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positioning,
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patterns,
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quotes,
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snakes,
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}
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%% \var ≈ alter Befehl
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@ -3805,22 +3806,115 @@ Seien $X$, $Y$ nicht leere Mengen und ${f:X\to Y}$ eine Funktion.
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\label{ska:4:ex:11}
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\let\sectionname\altsectionname
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In dem Induktionsschritt
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Um ein Argument zurückzuweise, reicht es häufig aus,
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das Argument einfach \emph{ausführlich} aufzuschreiben.
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Wir nehmen die Ausführung und formalisieren diese:
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\begin{claim*}
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Bezeichne mit $G(x)$, dass $x$ ein Goldfisch ist.
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Für $n\in\ntrlpos$ bezeichne mit $\Phi(n)$ folgende Aussage
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\begin{kompaktitem}[\rtab][\rtab]
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\item
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Für alle $n$-elementigen Mengen, $X$, von Fischen,
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wenn $\exists{x\in X:~}G(x)$,
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dann $\forall{x\in X:~}G(x)$.
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\end{kompaktitem}
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Dann $\forall{n\in\ntrlpos:~}\Phi(n)$
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\end{claim*}
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\begin{proof}[ungültiges Argument]
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Dies wird per Induktion argumentiert.
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\begin{kompaktenum}[\rtab][\rtab]
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\item[\uwave{{\bfseries Induktionsanfang:}}]
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Betrachte eine $1$-elementige Menge, $X$, von Fischen.\\
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Angenommen, ein $x_{0}\in X$ mit $G(x_{0})$ existiere.\\
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Da $X$ nur dieses eine Element enthält,
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gilt offensichtlich $\forall{x\in X:~}G(x)$.
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\item[\uwave{{\bfseries Induktionsvoraussetzung:}}]
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Sei $n\in\ntrlpos$ mit $n>1$.
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Angenommen, $\Phi(k)$ gilt für alle $k<n$.
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\item[\uwave{{\bfseries Induktionsschritt:}}]
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Sei $X$ eine $n$-elementige Menge von Fischen.\\
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Angenommen, ein $x_{0}\in X$ mit $G(x_{0})$ existiere.
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\textbf{Zu zeigen:} Für alle $x\in X$ gilt $G(x)$.\\
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Setze $X_{1}:=X\ohne\{x_{0}\}$, was nicht leer ist, weil $n\geq 2$.\\
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Fixiere einen Fisch $x_{1}\in X_{1}$
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und setze $X_{0}:=X\ohne\{x_{1}\}$.\\
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Da $x_{1}\neq x_{0}$ sind $X_{0},X_{1}$ verschiedene $n-1$-elementige Mengen:
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\hraum
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{\footnotesize
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\begin{tikzpicture}[node distance=1cm, thick]
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\pgfmathsetmacro\habst{1.5}
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\pgfmathsetmacro\vabst{1.5}
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\pgfmathsetmacro\rad{1.5}
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\node (PtBL) at (-1.25*\habst,0*\vabst) {};
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\node (PtTL) at (-1.25*\habst,2*\vabst) {};
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\node (PtBR) at (+1.25*\habst,0*\vabst) {};
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||||
\node (PtTR) at (+1.25*\habst,2*\vabst) {};
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||||
\node (X0mid) at (-0.25*\habst,1*\vabst) {};
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||||
\node (X1mid) at (+0.25*\habst,1*\vabst) {};
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||||
\node[label=above:{$x_{0}$}] (x0) at (-1*\habst,1*\vabst) {$\bullet$};
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\node[label=above:{$x_{1}$}] (x1) at (+1*\habst,1*\vabst) {$\bullet$};
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\node[above right = 0.4*\rad and 0.4*\rad of X0mid,label=below:{$\tilde{x}$}] {$\bullet$};
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||||
\node[above left = 0.7*\rad and 0.7*\rad of X0mid] {$X_{0}$};
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\node[above right = 0.7*\rad and 0.7*\rad of X1mid] {$X_{1}$};
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\draw [thick, decoration={brace, mirror, raise=1*\vabst}, decorate] node [pos=0.5, anchor=north, yshift=-10pt] {$X$} (PtBL.south) -- (PtBR.south);
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\draw[pattern=north west lines] (X0mid) circle[radius=1*\rad];
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\draw (X1mid) circle[radius=1*\rad];
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\end{tikzpicture}}
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\hraum
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Fokussieren wir uns zunächst auf $X_{0}$ (die schattierte Teilmenge).\\
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Da $X_{0}$ $n-1$-elementig ist, und $x_{0}\in X_{0}$ und $G(x_{0})$,
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gilt per Induktionsvoraussetzung (\textdagger)~$\forall{x\in X_{0}:~}G(x)$.
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Jetzt betrachten wir die rechte Teilmenge, $X_{1}$.\\
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\fbox{Wähle nun einen Fisch, $\tilde{x}\in X_{0}$ mit $\tilde{x}\neq x_{0}$.}\\
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Wegen (\textdagger) gilt $G(\tilde{x})$.\\
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Da $\tilde{x}\neq x_{0}$, liegt dieser Fisch nun in der Auswahlmenge $X_{1}$.\\
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Also ist $X_{1}$ eine $n-1$-elementige Menge und $x_{1}\in X_{1}$ und $G(x_{1})$.\\
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Per Induktionsvoraussetzung gilt also (\ddag)~$\forall{x\in X_{1}:~}G(x)$.
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Aus (\textdagger) und (\ddag) folgt
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$\forall{x\in X:~}G(x)$, da ja $X=X_{0}\cup X_{1}$.
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Also gilt $\Phi(n)$.
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\end{kompaktenum}
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Darum gilt $\forall{n\in\ntrlpos:~}\Phi(n)$.
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\end{proof}
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Das Problem mit diesem Argument steckt in dem Induktionsschritt beim Schritt:
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\begin{quote}
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Jetzt können wir aber auch einen der Goldfische rausnehmen
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und haben wieder ein Aquarium mit $n$ Fischen \uline{und mindestens einem} Golfisch.
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Wähle nun einen Fisch, $\tilde{x}\in X_{0}$ mit $\tilde{x}\neq x_{0}$.
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\end{quote}
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Dieser Teil des Arguments voraus, dass unter der zweiten Auswahl von $n$ Fischen
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ein Goldfisch vorhanden ist.
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In \emph{dieser} Auswahl kommt aber der zuerst rausgezogene Fisch vor
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und dieser war kein Goldfisch.
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Darum muss ein Goldfisch unter den $n-1$ anderen Fischen.
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Aber das ist nur möglich, wenn $n-1\geq 1$,
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also wenn $n\geq 2$.
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Im ursprünglichen Text ist dies die problematische Stelle:
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Das heißt, das Induktionsargument überspringt den Fall $n=2$!
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\begin{quote}
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Jetzt können wir aber \uline{auch einen der Goldfische rausnehmen} und haben wieder \ldots
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\end{quote}
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Zurück aber zu unserer Formalisierung:\\
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Diese Stelle im Argument ist nur möglich, wenn $X_{0}\ohne\{x_{0}\}$ nicht leer ist,
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oder äquivalent, wenn $X_{0}\cap X_{1}$ nicht leer ist.
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Das \uline{Diagramm} mag dies andeuten, aber das Diagramm täuscht.
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Denn formal betrachtet muss das Element, $\tilde{x}\in X_{0}\cap X_{1}$,
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verschieden von $x_{0}$ und $x_{1}$ sein.
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Das setzt voraus, dass $n=|X|\geq 3$.
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Aber im Induktionsschritt wurde nur $n>1$ vorausgesetzt!
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Das heißt das Induktionsargument ist faul,
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weil der Schritt $1\rightsquigarrow 2$ implizit übersprungen wird.
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\setcounternach{part}{3}
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\part{Quizzes}
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