master > master: ÜB 11
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8f3f5d52fc
commit
a4813a7b20
Binary file not shown.
@ -65,6 +65,8 @@
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%% |
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%% ---- body/uebung/ueb10.tex;
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%% |
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%% ---- body/uebung/ueb11.tex;
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%% |
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%% ---- body/ska/ska4.tex;
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%% |
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||||
%% ---- body/ska/ska5.tex;
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@ -745,6 +747,7 @@
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|
||||
\ranewthm{defn}{Definition}{\enndeOnNeutralSign}[X]
|
||||
\ranewthm{conv}{Konvention}{\enndeOnNeutralSign}[X]
|
||||
\ranewthm{obs}{Beobachtung}{\enndeOnNeutralSign}[X]
|
||||
\ranewthm{e.g.}{Beipsiel}{\enndeOnNeutralSign}[X]
|
||||
\ranewthm{fact}{Fakt}{\enndeOnNeutralSign}[X]
|
||||
\ranewthm{rem}{Bemerkung}{\enndeOnNeutralSign}[X]
|
||||
@ -7154,6 +7157,768 @@ Das Hauptziel hier ist, eine Variant anzubieten, gegen die man seine Versuche ve
|
||||
nähert als ${a\longrightarrow 0}$ in $\reell$, was zu erwarten ist.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
%% ********************************************************************************
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||||
%% FILE: body/uebung/ueb11.tex
|
||||
%% ********************************************************************************
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||||
|
||||
\setcounternach{chapter}{11}
|
||||
\chapter[Woche 11]{Woche 11}
|
||||
\label{ueb:11}
|
||||
|
||||
\textbf{ACHTUNG.}
|
||||
Diese Lösungen dienen \emph{nicht} als Musterlösungen sondern eher als Referenz.
|
||||
Hier wird eingehender gearbeitet, als generell verlangt wird.
|
||||
Das Hauptziel hier ist, eine Variant anzubieten, gegen die man seine Versuche vergleichen kann.
|
||||
|
||||
%% AUFGABE 11-1
|
||||
\let\altsectionname\sectionname
|
||||
\def\sectionname{Aufgabe}
|
||||
\section[Aufgabe 1]{}
|
||||
\label{ueb:11:ex:1}
|
||||
\let\sectionname\altsectionname
|
||||
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||||
\begin{enumerate}{\bfseries (a)}
|
||||
%% AUFGABE 11-1(a)
|
||||
\item
|
||||
|
||||
Sei $A:=\begin{smatrix}
|
||||
1 &2 &3 &4\\
|
||||
2 &5 &4 &11\\
|
||||
-1 &-2 &-2 &1\\
|
||||
1 &3 &2 &13\\
|
||||
\end{smatrix}$,
|
||||
eine ${m\times n}$-Matrix über dem Körper $\rtnl$,
|
||||
mit $m=n=4$.
|
||||
Um zu bestimmen, ob $A$ invertierbar ist,
|
||||
bestimmen wir die Zeilenstufenform.
|
||||
Dabei augmentieren wir $A$ mit der ${4\times 4}$-Identitätsmatrix,
|
||||
um im Falle der Invertierbarkeit das Inverse von $A$ mit zu rechnen.
|
||||
|
||||
\begin{longmathe}[mc]{RCL}
|
||||
&\begin{matrix}{rrrr|rrrr}
|
||||
1 &2 &3 &4 &1 &0 &0 &0\\
|
||||
2 &5 &4 &11 &0 &1 &0 &0\\
|
||||
-1 &-2 &-2 &1 &0 &0 &1 &0\\
|
||||
1 &3 &2 &13 &0 &0 &0 &1\\
|
||||
\end{matrix}\\
|
||||
\xrightarrow{
|
||||
\substack{
|
||||
Z_{2}\mapsfrom Z_{2} - 2\cdot Z_{1}\\
|
||||
Z_{3}\mapsfrom Z_{3} + Z_{1}\\
|
||||
Z_{4}\mapsfrom Z_{4} - Z_{1}\\
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
&
|
||||
\begin{matrix}{rrrr|rrrr}
|
||||
1 &2 &3 &4 &1 &0 &0 &0\\
|
||||
0 &1 &-2 &3 &-2 &1 &0 &0\\
|
||||
0 &0 &1 &5 &1 &0 &1 &0\\
|
||||
0 &1 &-1 &9 &-1 &0 &0 &1\\
|
||||
\end{matrix}
|
||||
\\
|
||||
\xrightarrow{
|
||||
\substack{
|
||||
Z_{1}\mapsfrom Z_{1} - 2\cdot Z_{2}\\
|
||||
Z_{4}\mapsfrom Z_{4} - Z_{2}\\
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
&
|
||||
\begin{matrix}{rrrr|rrrr}
|
||||
1 &0 &7 &-2 &5 &-2 &0 &0\\
|
||||
0 &1 &-2 &3 &-2 &1 &0 &0\\
|
||||
0 &0 &1 &5 &1 &0 &1 &0\\
|
||||
0 &0 &1 &6 &1 &-1 &0 &1\\
|
||||
\end{matrix}
|
||||
\\
|
||||
\xrightarrow{
|
||||
\substack{
|
||||
Z_{1}\mapsfrom Z_{1} - 7\cdot Z_{3}\\
|
||||
Z_{2}\mapsfrom Z_{2} + 2\cdot Z_{3}\\
|
||||
Z_{4}\mapsfrom Z_{4} - Z_{3}\\
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
&
|
||||
\begin{matrix}{rrrr|rrrr}
|
||||
1 &0 &0 &-37 &-2 &-2 &-7 &0\\
|
||||
0 &1 &0 &13 &0 &1 &2 &0\\
|
||||
0 &0 &1 &5 &1 &0 &1 &0\\
|
||||
0 &0 &0 &1 &0 &-1 &-1 &1\\
|
||||
\end{matrix}
|
||||
\\
|
||||
\xrightarrow{
|
||||
\substack{
|
||||
Z_{1}\mapsfrom Z_{1} + 37\cdot Z_{4}\\
|
||||
Z_{2}\mapsfrom Z_{2} - 13\cdot Z_{4}\\
|
||||
Z_{3}\mapsfrom Z_{3} - 5\cdot Z_{4}\\
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
&
|
||||
\begin{matrix}{rrrr|rrrr}
|
||||
1 &0 &0 &0 &-2 &-39 &-44 &37\\
|
||||
0 &1 &0 &0 &0 &14 &15 &-13\\
|
||||
0 &0 &1 &0 &1 &5 &6 &-5\\
|
||||
0 &0 &0 &1 &0 &-1 &-1 &1\\
|
||||
\end{matrix}
|
||||
\\
|
||||
\end{longmathe}
|
||||
|
||||
Also gilt ${\rank(A)=4=m=n}$.
|
||||
Darum ist $A$ invertierbar.\\
|
||||
Der o.\,s. Berechnung zufolge gilt insbesondere
|
||||
\fbox{$A^{-1}=\begin{smatrix}
|
||||
-2 &-39 &-44 &37\\
|
||||
0 &14 &15 &-13\\
|
||||
1 &5 &6 &-5\\
|
||||
0 &-1 &-1 &1\\
|
||||
\end{smatrix}$}.
|
||||
|
||||
%% AUFGABE 11-1(b)
|
||||
\item
|
||||
|
||||
Sei $A:=\begin{smatrix}
|
||||
0 &0 &1\\
|
||||
1 &0 &0\\
|
||||
0 &1 &0\\
|
||||
\end{smatrix}$.
|
||||
\textbf{Zu bestimmen:} Eine Darstellung von $A$ als Produkt aus Elementarmatrizen des III. Typs.
|
||||
\textbf{Ansatz:}
|
||||
Wir bestimmen mittels Zeilenoperationen
|
||||
Elementarmatrizen, $E_{1},E_{2},\ldots,E_{N}$, vom Typ III
|
||||
so dass
|
||||
${E_{n}\cdot\ldots \cdot E_{2}\cdot E_{1}\cdot A=\onematrix}$,
|
||||
wobei {$\onematrix = $ die ${3\times 3}$-Identitätsmatrix},
|
||||
und daraus erhalten wir die Darstellung,
|
||||
${A=E_{1}^{-1}\cdot E_{2}^{-1}\cdot\ldots\cdot E_{N}^{-1}}$.
|
||||
Man beachte dabei, dass das Inverse einer Elementarmatrix III. Typs
|
||||
wiederum eine Elementarmatrix III. Typs bleibt.
|
||||
|
||||
Zeilenoperationen:
|
||||
|
||||
\begin{mathe}[mc]{rclclc}
|
||||
\begin{matrix}{rrr}
|
||||
0 &0 &1\\
|
||||
1 &0 &0\\
|
||||
0 &1 &0\\
|
||||
\end{matrix}
|
||||
&\xrightarrow{E_{1}:=S_{1,2}(+1)}
|
||||
&
|
||||
\begin{matrix}{rrr}
|
||||
1 &0 &1\\
|
||||
1 &0 &0\\
|
||||
0 &1 &0\\
|
||||
\end{matrix}
|
||||
&\xrightarrow{E_{2}:=S_{2,1}(-1)}
|
||||
&
|
||||
\begin{matrix}{rrr}
|
||||
1 &0 &1\\
|
||||
0 &0 &-1\\
|
||||
0 &1 &0\\
|
||||
\end{matrix}
|
||||
&\cdots
|
||||
\\
|
||||
\cdots
|
||||
&\xrightarrow{E_{3}:=S_{1,2}(+1)}
|
||||
&
|
||||
\begin{matrix}{rrr}
|
||||
1 &0 &0\\
|
||||
0 &0 &-1\\
|
||||
0 &1 &0\\
|
||||
\end{matrix}
|
||||
&\xrightarrow{E_{4}:=S_{2,3}(+1)}
|
||||
&
|
||||
\begin{matrix}{rrr}
|
||||
1 &0 &0\\
|
||||
0 &1 &-1\\
|
||||
0 &1 &0\\
|
||||
\end{matrix}
|
||||
&\cdots
|
||||
\\
|
||||
\cdots
|
||||
&\xrightarrow{E_{5}:=S_{3,2}(-1)}
|
||||
&
|
||||
\begin{matrix}{rrr}
|
||||
1 &0 &0\\
|
||||
0 &1 &-1\\
|
||||
0 &0 &1\\
|
||||
\end{matrix}
|
||||
&\xrightarrow{E_{6}:=S_{2,3}(+1)}
|
||||
&
|
||||
\begin{matrix}{rrr}
|
||||
1 &0 &0\\
|
||||
0 &1 &0\\
|
||||
0 &0 &1\\
|
||||
\end{matrix}
|
||||
.\\
|
||||
\end{mathe}
|
||||
|
||||
Also gilt ${E_{6}\cdot\ldots\cdot E_{2}\cdot E_{1}\cdot A=\onematrix}$.
|
||||
Daraus erhalten wir die Darstellung:
|
||||
|
||||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||||
A &= &(E_{6}\cdot\ldots\cdot E_{2}\cdot E_{1})^{-1}\\
|
||||
&= &E_{1}^{-1}\cdot E_{2}^{-1}\cdot\ldots\cdot E_{6}^{-1}
|
||||
\quad\text{(siehe \cite[Lemma~4.3.1(7)~od.~Lemma~6.3.2]{sinn2020})}\\
|
||||
&= &S_{1,2}(+1)^{-1}\cdot S_{2,1}(-1)^{-1}\cdot S_{1,2}(+1)^{-1}\cdot S_{2,3}(+1)^{-1}\cdot S_{3,2}(-1)^{-1}\cdot S_{2,3}(+1)^{-1}\\
|
||||
&= &\boxed{S_{1,2}(-1)\cdot S_{2,1}(+1)\cdot S_{1,2}(-1)\cdot S_{2,3}(-1)\cdot S_{3,2}(+1)\cdot S_{2,3}(-1)}.\\
|
||||
\end{mathe}
|
||||
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
%% AUFGABE 11-2
|
||||
\clearpage
|
||||
\let\altsectionname\sectionname
|
||||
\def\sectionname{Aufgabe}
|
||||
\setcounternach{section}{2}
|
||||
\section[Aufgabe 2]{}
|
||||
\label{ueb:11:ex:2}
|
||||
\let\sectionname\altsectionname
|
||||
|
||||
Seien $m,n\in\ntrl$ und $K$ ein Körper und $A$ eine ${m\times n}$-Matrix.
|
||||
Wir betrachten die kanonisch definierte lineare Abbildung,
|
||||
${\phi_{A}:K^{n}\to K^{m},\,x\mapsto Ax}$,
|
||||
und wollen \cite[Korollar~6.3.15]{sinn2020} hier beweisen.
|
||||
Zunächst aber machen wir ein paar allgemeine Beobachtungen.
|
||||
|
||||
\begin{obs}
|
||||
\makelabel{obs:1:ueb:11:ex:2}
|
||||
Per Definition und laut \cite[Lemma~5.4.7]{sinn2020}
|
||||
gilt $\rank(A):=\text{Zeilenrang}\textoverset{Lemm}{=}\text{Spaltenrang}$.
|
||||
Somit automatisch $\rank(A)\leq m$ und $\rank(A)\leq n$.
|
||||
Darum gilt stets $\rank(A)\leq\min\{m,n\}$.
|
||||
\end{obs}
|
||||
|
||||
\begin{obs}
|
||||
\makelabel{obs:2:ueb:11:ex:2}
|
||||
Seien $w_{1},w_{2},\ldots,w_{n}\in K^{m}$ die Spalten von $A$.
|
||||
Dann gilt
|
||||
|
||||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||||
\eqtag[eq:1:beob:ueb:11:ex:2]
|
||||
\range(\phi_{A})
|
||||
&\textoverset{Defn}{=}
|
||||
&\{\phi_{A}(x)\mid x\in K^{n}\}\\
|
||||
&= &\{Ax\mid x\in K^{n}\}\\
|
||||
&= &\{\sum_{i=1}^{n}x_{i}w_{1}\mid x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}\in K\}\\
|
||||
&= &\underbrace{
|
||||
\vectorspacespan\{w_{1},w_{2},\ldots,w_{n}\}
|
||||
}_{\text{Spaltenraum von $A$}}.\\
|
||||
\end{mathe}
|
||||
|
||||
Insbesondere gilt per des Ranges und \cite[Lemma 5.4.7]{sinn2020}
|
||||
|
||||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||||
\eqtag[eq:2:beob:ueb:11:ex:2]
|
||||
\rank(A)
|
||||
&\textoverset{Lemm}{=}
|
||||
&\text{Spaltenrang}(A)\\
|
||||
&\textoverset{Defn}{=}
|
||||
&\dim(\vectorspacespan\{w_{1},w_{2},\ldots,w_{n}\})\\
|
||||
&\eqcrefoverset{eq:1:beob:ueb:11:ex:2}{=}
|
||||
&\dim(\range(\phi_{A})).\\
|
||||
\end{mathe}
|
||||
|
||||
Darum gilt die Behauptung.
|
||||
\end{obs}
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}{\bfseries (a)}
|
||||
%% AUFGABE 11-2(a)
|
||||
\item\voritemise
|
||||
\begin{schattierteboxdunn}
|
||||
\begin{claim*}
|
||||
$\phi_{A}$ ist injektiv $\Leftrightarrow$ $\rank(A)\geq n$.
|
||||
\end{claim*}
|
||||
\end{schattierteboxdunn}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Für diesen Beweis machen wir von den Berechnungen in \cref{obs:2:ueb:11:ex:2} Gebrauch.
|
||||
Wir inspizieren den linearen Unterraum
|
||||
|
||||
\begin{mathe}[mc]{rcccl}
|
||||
W &:= &\range(\phi_{A}) &= &\vectorspacespan\{w_{1},w_{2},\ldots,w_{n}\}\subseteq K^{m}\\
|
||||
\end{mathe}
|
||||
|
||||
Offensichtlich ist $\cal{W}:=(w_{1},w_{2},\ldots,w_{n})$ ein Erzeugendensystem für $W$, sodass $\dim(W)\leq n$ gilt.
|
||||
Des Weiteren gelten die Implikationen:
|
||||
|
||||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||||
\eqtag[eq:1:ueb:11:ex:2:a]
|
||||
\dim(W)\geq n
|
||||
&\Longrightarrow
|
||||
&\dim(W)=n\quad\text{(da $\dim(W)\leq n$ sowieso)}\\
|
||||
&\Longrightarrow
|
||||
&(w_{1},w_{2},\ldots,w_{n})\,\text{linear unabhängig}\\
|
||||
&&\quad\text{laut \cite[Korollar~5.4.4]{sinn2020}}\\
|
||||
&&\quad\text{und da $\cal{W}$ ein Erzsys. aus $n=\dim(W)$ Vektoren}\\
|
||||
&\Longrightarrow
|
||||
&(w_{1},w_{2},\ldots,w_{n})\,\text{eine Basis für $W$}\\
|
||||
&&\quad\text{da $\cal{W}$ sowieso ein Erzeugendensystem für $W$ ist}\\
|
||||
&\Longrightarrow
|
||||
&\dim(W)=n\\
|
||||
&\Longrightarrow
|
||||
&\dim(W)\geq n\quad\text{(offensichtlich)}.\\
|
||||
\end{mathe}
|
||||
|
||||
Da nun
|
||||
$\rank(A)\eqcrefoverset{eq:2:beob:ueb:11:ex:2}{=}\dim(\range(\phi_{A}))=\dim(W)$,
|
||||
erhalten wir
|
||||
|
||||
\begin{longmathe}[mc]{RCL}
|
||||
\rank(A)\geq n
|
||||
&\Longleftrightarrow
|
||||
&\dim(W)\geq n\\
|
||||
&\eqcrefoverset{eq:1:ueb:11:ex:2:a}{\Longleftrightarrow}
|
||||
&(w_{1},w_{2},\ldots,w_{n})\,\text{linear unabhängig}\\
|
||||
&\textoverset{Defn}{\Longleftrightarrow}
|
||||
&\forall{c_{1},c_{2},\ldots,c_{n}\in K:~}
|
||||
\big(
|
||||
\sum_{i=1}^{n}c_{i}w_{i}=\zerovector
|
||||
\Rightarrow
|
||||
c_{1},c_{2},\ldots,c_{n}=0_{K}
|
||||
\big)\\
|
||||
&\Longleftrightarrow
|
||||
&\forall{x\in K^{n}:~}
|
||||
\big(
|
||||
\underbrace{
|
||||
\sum_{i=1}^{n}x_{i}w_{i}
|
||||
}_{
|
||||
=Ax=\phi_{A}(x)
|
||||
}
|
||||
=\zerovector
|
||||
\Rightarrow
|
||||
x=\zerovector
|
||||
\big)\\
|
||||
&\Longleftrightarrow
|
||||
&\forall{x\in K^{n}:~}
|
||||
\big(
|
||||
x\in\ker(\phi_{A})\Rightarrow x\in\{\zerovector\}
|
||||
\big)\\
|
||||
&\Longleftrightarrow
|
||||
&\ker(\phi_{A})\subseteq\{\zerovector\}\\
|
||||
&\textoverset{($\ast$)}{\Longleftrightarrow}
|
||||
&\ker(\phi_{A})=\{\zerovector\}\\
|
||||
&\Longleftrightarrow
|
||||
&\phi_{A}\,\text{injektiv}
|
||||
\quad\text{(siehe \cite[Lemma~6.1.4(1)]{sinn2020})}.\\
|
||||
\end{longmathe}
|
||||
|
||||
Hierbei gilt ($\ast$),
|
||||
weil $\{\zerovector\}\subseteq\ker(\phi_{A})$ immer gilt,
|
||||
weil wiederum $\phi_{A}(\zerovector)=\zerovector$ stets gilt (siehe \cite[Lemma~6.1.2]{sinn2020}).
|
||||
Den o.\,s. doppelten Implikationen zufolge gilt die Behauptung.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
%% AUFGABE 11-2(b)
|
||||
\item\voritemise
|
||||
\begin{schattierteboxdunn}
|
||||
\begin{claim*}
|
||||
$\phi_{A}$ ist surjektiv $\Leftrightarrow$ $\rank(A)\geq m$.
|
||||
\end{claim*}
|
||||
\end{schattierteboxdunn}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Da $\phi_{A}$ linear ist,
|
||||
ist $U:=\range(\phi_{A})$ ein linearer Unterraum von $K^{m}$
|
||||
(siehe \cite[Lemma~6.1.3]{sinn2020}).
|
||||
Laut \cite[Satz~5.4.3(1)]{sinn2020},
|
||||
da $U\subseteq K^{m}$ ein linearer Unterraum eines endlichdimensionalen Vektorraumes ist,
|
||||
gilt $U=K^{m}$ $\Leftrightarrow$ $\dim(U)=\dim(K^{m})(=m)$.
|
||||
Darum gilt
|
||||
|
||||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||||
\phi_{A}~\text{surjektiv}
|
||||
&\textoverset{Defn}{\Longleftrightarrow}
|
||||
&\range(\phi_{A})=K^{m}\\
|
||||
&\Longleftrightarrow
|
||||
&U=K^{m}\\
|
||||
&\Longleftrightarrow
|
||||
&\dim(U)=m\\
|
||||
&\Longleftrightarrow
|
||||
&\dim(\range(\phi_{A}))=m\\
|
||||
&\eqcrefoverset{eq:2:beob:ueb:11:ex:2}{\Longleftrightarrow}
|
||||
&\rank(A)=m.\\
|
||||
\end{mathe}
|
||||
|
||||
Da laut \Cref{obs:1:ueb:11:ex:2} $\rank(A)\leq m$ stets gilt,
|
||||
wissen wir außerdem, dass $\rank(A)=m$ $\Leftrightarrow$ $\rank(A)\geq m$.
|
||||
Laut der o.\,s. Implikationen gilt also
|
||||
$\phi_{A}$ ist surjektiv
|
||||
$\Leftrightarrow$ $\rank(A)=m$
|
||||
$\Leftrightarrow$ $\rank(A)\geq m$.
|
||||
Also gilt die Behauptung.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
%% AUFGABE 11-2(c)
|
||||
\item\voritemise
|
||||
\begin{schattierteboxdunn}
|
||||
\begin{claim*}
|
||||
$\phi_{A}$ ist bijektiv $\Leftrightarrow$ $\rank(A)=m=n$.
|
||||
\end{claim*}
|
||||
\end{schattierteboxdunn}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
\hinRichtung
|
||||
Angenommen, $\phi_{A}$ sei bijektiv.
|
||||
Das heißt, $\phi_{A}$ ist injektiv und surjektiv.
|
||||
Aus den anderen Teilaufgaben folgt
|
||||
$\rank(A)\geq\max\{m,n\}$.
|
||||
Darum gilt $\max\{m,n\}\rank(A)\leq\min\{m,n\}$
|
||||
(siehe \Cref{obs:1:ueb:11:ex:2}).
|
||||
Folglich gelten $m=n$ und $\rank(A)=m=n$.
|
||||
|
||||
\herRichtung
|
||||
Aus $\rank(A)=m=n$
|
||||
folgen $\rank(A)\geq m$ und $\rank(A)\geq n$.
|
||||
Laut der anderen Teilaufgaben ist $\phi_{A}$
|
||||
somit injektiv und surjektiv,
|
||||
also bijektiv.
|
||||
\end{proof}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
%% AUFGABE 11-3
|
||||
\clearpage
|
||||
\let\altsectionname\sectionname
|
||||
\def\sectionname{Aufgabe}
|
||||
\setcounternach{section}{3}
|
||||
\section[Aufgabe 3]{}
|
||||
\label{ueb:11:ex:3}
|
||||
\let\sectionname\altsectionname
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}{\bfseries (a)}
|
||||
%% AUFGABE 11-3(a)
|
||||
\item\voritemise
|
||||
\begin{schattierteboxdunn}
|
||||
\begin{claim*}
|
||||
Seien $n\in\ntrl$ und $K$ ein Körper.
|
||||
Seien $A,B$ ${n\times n}$-Matrizen über $K$.
|
||||
Falls $AB=\onematrix$, so gilt $BA=\onematrix$.
|
||||
\end{claim*}
|
||||
\end{schattierteboxdunn}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Aus $AB=\onematrix$, folgt
|
||||
|
||||
\begin{mathe}[mc]{rcccl}
|
||||
\phi_{B}(x)=\phi_{B}(x')
|
||||
&\Longrightarrow
|
||||
&Bx=Bx'
|
||||
&\Longrightarrow
|
||||
&x=Ix=ABx=ABx'=Ix'=x'\\
|
||||
\end{mathe}
|
||||
|
||||
für alle $x,x'\in K^{n}$.
|
||||
Darum ist $\phi_{B}$ injektiv.
|
||||
Da ${\phi_{B}:K^{n}\to K^{n}}$ eine injektive lineare Abbildung
|
||||
zwischen zwei endlich dimensionalen Räumen der gleichen Dimension,
|
||||
gilt laut \cite[Korollar~6.1.11]{sinn2020},
|
||||
dass $\phi_{B}$ auch surjektiv und somit bijektiv ist.
|
||||
Darum existiert eine eindeutige (lineare) Abbildung,
|
||||
${\rho:K^{n}\to K^{n}}$,
|
||||
so dass ($\dagger$) $\rho\circ\phi_{B}=\phi_{B}\circ\rho=\id$.
|
||||
Daraus folgt, dass $\phi_{A}=\rho$, da
|
||||
|
||||
\begin{mathe}[mc]{rclclclclcl}
|
||||
\phi_{A}
|
||||
&= &\phi_{A}\circ\id
|
||||
&\overset{(\dagger)}{=}
|
||||
&\phi_{A}\circ(\phi_{B}\circ\rho)
|
||||
&= &(\underbrace{
|
||||
\phi_{A}\circ\phi_{B}
|
||||
}_{=\phi_{AB}=\phi_{\onematrix}=\id}
|
||||
)\circ\rho
|
||||
&= &\id\circ\rho
|
||||
&= &\rho.
|
||||
\end{mathe}
|
||||
|
||||
Darum gilt $\phi_{BA}=\phi_{B}\circ\phi_{A}=\phi_{B}\circ\rho\overset{(\dagger)}{=}\id=\phi_{\onematrix}$,
|
||||
woraus sich $BA=\onematrix$ ergibt.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
%% AUFGABE 11-3(b)
|
||||
\item\voritemise
|
||||
\begin{schattierteboxdunn}
|
||||
\begin{claim*}
|
||||
Seien $r,n\in\ntrl$ und $K$ ein Körper.
|
||||
Seien $A$ eine ${n\times n}$-Matrix über $K$ mit $A^{r}=\zeromatrix$.
|
||||
Dann ist $\onematrix-A$ invertierbar.
|
||||
\end{claim*}
|
||||
\end{schattierteboxdunn}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Laut Teil (a) reicht es aus, eine ${n\times n}$-Matrix, $B$, zu finden,
|
||||
so dass $(\onematrix-A)B=\onematrix$.
|
||||
Wir untersuchen $B:=(\onematrix-A)\sum_{i=0}^{r-1}A^{i}$,
|
||||
wobei wir hier $A^{0}:=\onematrix$ festlegen.\footnote{
|
||||
Diese Definition ist nicht willkürlich,
|
||||
sondern zielführend, um algebraische Identitäten
|
||||
wie etwa das Additionsgesetz für Exponenten
|
||||
zu garantieren.
|
||||
}
|
||||
Es gilt
|
||||
|
||||
\begin{longmathe}[mc]{RCL}
|
||||
AB &= &(\onematrix-A)\sum_{i=0}^{r-1}A^{i}\\
|
||||
&= &\sum_{i=0}^{r-1}A^{i}-A\sum_{i=0}^{r-1}A^{i}\\
|
||||
&= &\sum_{i=0}^{r-1}A^{i}-\sum_{i=0}^{r-1}AA^{i}\\
|
||||
&= &\sum_{i=0}^{r-1}A^{i}-\sum_{i=0}^{r-1}A^{i+1}\\
|
||||
&= &\sum_{i=0}^{r-1}A^{i}-\sum_{i=1}^{r}A^{i}\\
|
||||
&= &A^{0}-A^{r}
|
||||
\quad\text{(Teleskopsumme)}\\
|
||||
&= &\onematrix-\zeromatrix
|
||||
\quad\text{(per Voraussetzung)}.\\
|
||||
\end{longmathe}
|
||||
|
||||
Darum gilt $(\onematrix-A)B=\onematrix$
|
||||
und damit laut Teil (a) $B(\onematrix-A)=\onematrix$.
|
||||
Insbesondere ist $\onematrix-A$ invertierbar, und zwar durch $B$.
|
||||
\end{proof}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
%% BONUSAUFGABE 11-4
|
||||
\clearpage
|
||||
\let\altsectionname\sectionname
|
||||
\def\sectionname{Bonusaufgabe}
|
||||
\setcounternach{section}{4}
|
||||
\section[Bonusaufgabe 4]{}
|
||||
\label{ueb:11:ex:bonus:4}
|
||||
\let\sectionname\altsectionname
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}{\bfseries (a)}
|
||||
%% BONUSAUFGABE 11-4(a)
|
||||
\item
|
||||
$f:\reell^{4}\to\reell^{2},\,(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})\mapsto(x_{2},x_{4})$
|
||||
über dem Körper $\reell$
|
||||
ist \fbox{linear},
|
||||
da $f=\phi_{A}$ mit $A=\begin{smatrix}
|
||||
0 &1 &0 &0\\
|
||||
0 &0 &0 &1\\
|
||||
\end{smatrix}$.
|
||||
%% BONUSAUFGABE 11-4(b)
|
||||
\item
|
||||
$f:\kmplx^{3}\to\kmplx^{3},\,(x_{1},x_{2},x_{3})\mapsto(x_{2},x_{4})$
|
||||
über dem Körper $\kmplx$
|
||||
ist \fbox{linear},
|
||||
da $f=\phi_{A}$ mit $A=\begin{smatrix}
|
||||
2 &0 &0 &\imageinh\\
|
||||
-1 &0 &0 &0\\
|
||||
0 &0 &3-2\imageinh &1\\
|
||||
\end{smatrix}$.
|
||||
%% BONUSAUFGABE 11-4(c)
|
||||
\item
|
||||
$f:\rtnl^{2}\to\rtnl^{3},\,(x_{1},x_{2})\mapsto(x_{1}+x_{2},1,x_{1})$
|
||||
über dem Körper $\rtnl$
|
||||
ist \fbox{nicht linear},
|
||||
weil $f(\zerovector)=(0,1,0)\neq\zerovector$,
|
||||
während $f(\zerovector)=\zerovector$
|
||||
für lineare Abbildungen
|
||||
gelten muss (siehe \cite[Lemma~6.1.2]{sinn2020}).
|
||||
%% BONUSAUFGABE 11-4(d)
|
||||
\item
|
||||
$f:\reell\to\reell,\,x\mapsto\sqrt{2}\cdot x$
|
||||
über dem Körper $\reell$
|
||||
ist \fbox{linear},
|
||||
da $f$ hier nichts anders als Skalarmultiplikation ist,
|
||||
und Skalarmultiplikation ist linear.
|
||||
%% BONUSAUFGABE 11-4(e)
|
||||
\item
|
||||
$f:\reell\to\reell,\,x\mapsto x^{2}$
|
||||
über dem Körper $\reell$
|
||||
ist \fbox{nicht linear},
|
||||
da bspw. $f(3)=9\neq 3\cdot 1=3\cdot f(1)$,
|
||||
d.\,h., das Homogenitätsaxiom ist offensichtlich verletzt.
|
||||
%% BONUSAUFGABE 11-4(f)
|
||||
\item
|
||||
$f:\mathbb{F}_{2}\to\mathbb{F}_{2},\,x\mapsto x^{2}$
|
||||
über dem Körper $\mathbb{F}_{2}$
|
||||
ist gleich der Identitätsabbbildung,
|
||||
da $x^{2}=x$ für alle $x\in\mathbb{F}_{2}$.
|
||||
Damit ist $f$ trivialerweise \fbox{linear}.
|
||||
%% BONUSAUFGABE 11-4(g)
|
||||
\item
|
||||
$f:\rtnl^{2}\to\rtnl^{2},\,(x_{1},x_{2})\mapsto(x_{1}x_{2},x_{1}+x_{2})$
|
||||
über dem Körper $\reell$
|
||||
ist \fbox{nicht linear},
|
||||
da bspw. $f(3,3)=(9,6)\neq 3\cdot(1,2)=3\cdot f(1,1)$,
|
||||
d.\,h., das Homogenitätsaxiom ist offensichtlich verletzt.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
%% BONUSAUFGABE 11-5
|
||||
\clearpage
|
||||
\let\altsectionname\sectionname
|
||||
\def\sectionname{Bonusaufgabe}
|
||||
\setcounternach{section}{5}
|
||||
\section[Bonusaufgabe 5]{}
|
||||
\label{ueb:11:ex:bonus:5}
|
||||
\let\sectionname\altsectionname
|
||||
|
||||
Sei $A:=\begin{smatrix}
|
||||
11 &-5 &4 &6\\
|
||||
-15 &7 &-6 &-8\\
|
||||
2 &-1 &1 &1\\
|
||||
\end{smatrix}$,
|
||||
eine ${m\times n}$-Matrix über dem Körper $\rtnl$,
|
||||
mit $m=n=4$.
|
||||
Unser \textbf{Ziel} besteht darin,
|
||||
invertierbare Matrizen,
|
||||
$P\in\rtnl^{m\times m}$
|
||||
und
|
||||
$Q\in\rtnl^{n\times n}$,
|
||||
zu bestimmen,
|
||||
so dass $P\cdot A\cdot Q=\begin{smatrix}
|
||||
\einser_{r} &0\\
|
||||
0 &0\\
|
||||
\end{smatrix}$ wie in \cite[Satz~6.3.10]{sinn2020}.
|
||||
Um eine Möglichkeit für $P$ zu bestimmen,
|
||||
berechnen wir die Zeilenstufenform
|
||||
der augmentieren Matrix $\left(A \vert \onematrix\right)$,
|
||||
und entnehmen aus der rechten Hälfte $P$.
|
||||
|
||||
\begin{longmathe}[mc]{RCL}
|
||||
&\begin{matrix}{rrrr|rrr}
|
||||
11 &-5 &4 &6 &1 &0 &0\\
|
||||
-15 &7 &-6 &-8 &0 &1 &0\\
|
||||
2 &-1 &1 &1 &0 &0 &1\\
|
||||
\end{matrix}\\
|
||||
\xrightarrow{
|
||||
\substack{
|
||||
Z_{2}\mapsfrom 15\cdot Z_{1} + 11\cdot Z_{2}\\
|
||||
Z_{3}\mapsfrom 2\cdot Z_{1} - 11\cdot Z_{3}\\
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
&
|
||||
\begin{matrix}{rrrr|rrr}
|
||||
11 &-5 &4 &6 &1 &0 &0\\
|
||||
0 &2 &-6 &2 &15 &11 &0\\
|
||||
0 &1 &-3 &1 &2 &0 &-11\\
|
||||
\end{matrix}
|
||||
\\
|
||||
\xrightarrow{
|
||||
\substack{
|
||||
Z_{1}\mapsfrom 5\cdot Z_{2} + 2\cdot Z_{1}\\
|
||||
Z_{4}\mapsfrom Z_{2} - 2\cdot Z_{3}\\
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
&
|
||||
\begin{matrix}{rrrr|rrr}
|
||||
22 &0 &-22 &22 &77 &55 &0\\
|
||||
0 &2 &-6 &2 &15 &11 &0\\
|
||||
0 &0 &0 &0 &11 &11 &22\\
|
||||
\end{matrix}
|
||||
\\
|
||||
\xrightarrow{
|
||||
\substack{
|
||||
Z_{1}\mapsfrom Z_{1}:11\\
|
||||
Z_{3}\mapsfrom Z_{3}:11\\
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
&
|
||||
\begin{matrix}{rrrr|rrr}
|
||||
2 &0 &-2 &2 &7 &5 &0\\
|
||||
0 &2 &-6 &2 &15 &11 &0\\
|
||||
0 &0 &0 &0 &1 &1 &2\\
|
||||
\end{matrix}
|
||||
\\
|
||||
\end{longmathe}
|
||||
|
||||
Setze also \fbox{$P:=\begin{smatrix}
|
||||
7 &5 &0\\
|
||||
15 &11 &0\\
|
||||
1 &1 &2\\
|
||||
\end{smatrix}$}.
|
||||
Unter dieser Wahl gilt $P\cdot A=$ linke Hälfte der letzten Matrix in der o.\,s. Berechnung.
|
||||
|
||||
Um nun $Q$ zu bestimmen, führen wir den gleichen Ansatz auf $(P\cdot A)^{T}$ aus,
|
||||
bis die erwünschte (transponierte) Form erreicht ist.
|
||||
D.\,h., wir starten jetzt mit $\left((P\cdot A)^{T}\vert \onematrix\right)$,
|
||||
reduzieren, und zum Schluss entnehmen wir $Q$ als die transponierte rechte Hälfte
|
||||
des Resultates:
|
||||
|
||||
\begin{longmathe}[mc]{RCL}
|
||||
&\begin{matrix}{rrr|rrrr}
|
||||
2 &0 &0 &1 &0 &0 &0\\
|
||||
0 &2 &0 &0 &1 &0 &0\\
|
||||
-2 &-6 &0 &0 &0 &1 &0\\
|
||||
2 &2 &0 &0 &0 &0 &1\\
|
||||
\end{matrix}\\
|
||||
\xrightarrow{
|
||||
\substack{
|
||||
Z_{3}\mapsfrom Z_{3} + Z_{1}\\
|
||||
Z_{4}\mapsfrom Z_{4} - Z_{1}\\
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
&
|
||||
\begin{matrix}{rrr|rrrr}
|
||||
2 &0 &0 &1 &0 &0 &0\\
|
||||
0 &2 &0 &0 &1 &0 &0\\
|
||||
0 &-6 &0 &1 &0 &1 &0\\
|
||||
0 &2 &0 &-1 &0 &0 &1\\
|
||||
\end{matrix}
|
||||
\\
|
||||
\xrightarrow{
|
||||
\substack{
|
||||
Z_{3}\mapsfrom Z_{3} + 3\cdot Z_{2}\\
|
||||
Z_{4}\mapsfrom Z_{4} - Z_{2}\\
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
&
|
||||
\begin{matrix}{rrr|rrrr}
|
||||
2 &0 &0 &1 &0 &0 &0\\
|
||||
0 &2 &0 &0 &1 &0 &0\\
|
||||
0 &0 &0 &1 &3 &1 &0\\
|
||||
0 &0 &0 &-1 &-1 &0 &1\\
|
||||
\end{matrix}
|
||||
\\
|
||||
\xrightarrow{
|
||||
\substack{
|
||||
Z_{1}\mapsfrom Z_{1}:2\\
|
||||
Z_{2}\mapsfrom Z_{2}:2\\
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
&
|
||||
\begin{matrix}{rrr|rrrr}
|
||||
1 &0 &0 &1/2 &0 &0 &0\\
|
||||
0 &1 &0 &0 &1/2 &0 &0\\
|
||||
0 &0 &0 &1 &3 &1 &0\\
|
||||
0 &0 &0 &-1 &-1 &0 &1\\
|
||||
\end{matrix}
|
||||
\\
|
||||
\end{longmathe}
|
||||
|
||||
Setze also \fbox{$Q:=\begin{smatrix}
|
||||
1/2 &0 &1 &-1\\
|
||||
0 &1/2 &3 &-1\\
|
||||
0 &0 &1 &0\\
|
||||
0 &0 &0 &1\\
|
||||
\end{smatrix}$}.
|
||||
Der o.\,s. Berechnung zur Folge gilt
|
||||
$Q^{T}\cdot(P\cdot A)^{T}=\begin{smatrix}
|
||||
\einser_{r} &0\\
|
||||
0 &0\\
|
||||
\end{smatrix}$
|
||||
und damit sollte
|
||||
$P\cdot A\cdot Q
|
||||
=\begin{smatrix}
|
||||
\einser_{r} &0\\
|
||||
0 &0\\
|
||||
\end{smatrix}^{T}
|
||||
=\begin{smatrix}
|
||||
\einser_{r} &0\\
|
||||
0 &0\\
|
||||
\end{smatrix}$
|
||||
gelten.
|
||||
Wir prüfen dies und erhalten:
|
||||
|
||||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||||
P\cdot A\cdot Q
|
||||
&= &\begin{matrix}{rrrr}
|
||||
1 &0 &0 &0\\
|
||||
0 &1 &0 &0\\
|
||||
0 &0 &0 &0\\
|
||||
\end{matrix}.\\
|
||||
\end{mathe}
|
||||
|
||||
Darum sind $P,Q$ in der Tat passende invertierbare Matrizen,
|
||||
so dass $P\cdot A\cdot Q$ der erwünschten Form ist.
|
||||
|
||||
\setcounternach{part}{2}
|
||||
\part{Selbstkontrollenaufgaben}
|
||||
|
||||
|
||||
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