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master > master: Woche 9 (ÜB + quiz)

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685
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@ -61,6 +61,8 @@
%% |
%% — body/uebung/ueb8.tex;
%% |
%% — body/uebung/ueb9.tex;
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%% — body/ska/ska4.tex;
%% |
%% — body/ska/ska5.tex;
@ -82,6 +84,8 @@
%% — body/quizzes/quiz7.tex;
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%% — body/quizzes/quiz8.tex;
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%% — body/quizzes/quiz9.tex;
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%% — back/index.tex;
%% |
@ -2708,10 +2712,11 @@ und daraus die Parameter abzulesen.
\begin{mathe}[mc]{c}
\begin{smatrix}
1&-2&4&0\\
0&11&-15&1\\
0&0&-7&1\\
\end{smatrix}\\
1&-2&4&0\\
0&11&-15&1\\
0&0&-7&1\\
\end{smatrix}
\\
\end{mathe}
Wende die Zeilentransformation
@ -2720,10 +2725,11 @@ und daraus die Parameter abzulesen.
\begin{mathe}[mc]{c}
\begin{smatrix}
1&-2&4&0\\
0&11&-8&0\\
0&0&-7&1\\
\end{smatrix}\\
1&-2&4&0\\
0&11&-8&0\\
0&0&-7&1\\
\end{smatrix}
\\
\end{mathe}
Aus der Zeilenstufenform erschließt sich, dass $t_{4}$ frei ist.
@ -5865,6 +5871,489 @@ Seien $n\in\ntrlpos$ und $\mathbf{v}_{i}\in V$ für $i\in\{1,2,\ldots,n\}$.
eine Basis für $W:=\kmplx^{2}$, wenn dies als $\reell$-Vektorraum betrachtet wird.
Insbesondere gilt $\dim(W)=4$.
%% ********************************************************************************
%% FILE: body/uebung/ueb9.tex
%% ********************************************************************************
\setcounternach{chapter}{9}
\chapter[Woche 9]{Woche 9}
\label{ueb:9}
%% AUFGABE 9-1
\let\altsectionname\sectionname
\def\sectionname{Aufgabe}
\section[Aufgabe 1]{}
\label{ueb:9:ex:1}
\let\sectionname\altsectionname
Seien
\begin{mathe}[mc]{cqcqcqcqc}
u_{1} := \begin{svector}1\\2\\-1\\1\\\end{svector},
&u_{2} := \begin{svector}-1\\-2\\1\\2\\\end{svector},
&v_{1} := \begin{svector}1\\2\\-1\\-2\\\end{svector},
&v_{2} := \begin{svector}-1\\3\\0\\-2\\\end{svector},
&v_{3} := \begin{svector}2\\-1\\-1\\1\\\end{svector}.\\
\end{mathe}
Vektoren in $\reell^{4}$ und setze
\begin{mathe}[mc]{cqc}
U:=\vectorspacespan\{u_{1},u_{2}\}
&V:=\vectorspacespan\{v_{1},v_{2},v_{3}\}.\\
\end{mathe}
\begin{schattierteboxdunn}
\begin{claim}
\makelabel{claim:1:ueb:9:ex:1}
$U\subseteq V$.
\end{claim}
\end{schattierteboxdunn}
\begin{einzug}[\rtab][\rtab]
\begin{proof}
Es reicht aus zu zeigen, dass $u_{1},u_{2}\in\vectorspacespan\{v_{1},v_{2},v_{3}\}$.
Zu diesem Zwecke reicht es aus
das homogene LGS $A\mathbf{x}=\zerovector$
in Zeilenstufenform zu bringen,
wobei
\begin{mathe}[mc]{rcccl}
A &= &\left(
v_{1}\:v_{2}\:v_{3}\:u_{1}\:u_{2}
\right)
&= &\begin{smatrix}
1&-1&2&1&-1\\
2&3&-1&2&-2\\
-1&0&-1&-1&1\\
-2&-2&1&1&2\\
\end{smatrix}\\
\end{mathe}
und \textbf{zu zeigen}, dass $x_{4},x_{5}$ darin freie Unbekannte sind.
\begin{algorithm}[\rtab][\rtab]
Zeilenoperationen
${Z_{2}\leftsquigarrow Z_{2} - 2\cdot Z_{1}}$;
${Z_{3}\leftsquigarrow Z_{3} + Z_{1}}$
und
${Z_{4}\leftsquigarrow Z_{4} + 2\cdot Z_{1}}$
anwenden:
\begin{mathe}[mc]{rcl}
\begin{matrix}{ccccc}
1 &-1 &2 &1 &-1\\
0 &5 &-5 &0 &0\\
0 &-1 &1 &0 &0\\
0 &-4 &5 &3 &0\\
\end{matrix}.\\
\end{mathe}
Zeilenoperation
${Z_{3}\leftsquigarrow Z_{3} + \frac{1}{5}\cdot Z_{2}}$
und
${Z_{4}\leftsquigarrow Z_{4} + \frac{4}{5}\cdot Z_{2}}$
anwenden:
\begin{mathe}[mc]{rcl}
\begin{matrix}{ccccc}
1 &-1 &2 &1 &-1\\
0 &5 &-5 &0 &0\\
0 &0 &0 &0 &0\\
0 &0 &1 &3 &0\\
\end{matrix}.\\
\end{mathe}
Zeilenoperation
${Z_{3}\leftrightsquigarrow Z_{4}}$
anwenden:
\begin{mathe}[mc]{rcl}
\begin{matrix}{ccccc}
\boxed{1} &-1 &2 &1 &-1\\
0 &\boxed{5} &-5 &0 &0\\
0 &0 &\boxed{1} &3 &0\\
0 &0 &0 &0 &0\\
\end{matrix}.\\
\end{mathe}
\end{algorithm}
Darum sind $x_{4},x_{5}$ im homogenen LGS frei.
Folglich gelten $u_{1},u_{2}\in\vectorspacespan\{v_{1},v_{2},v_{3}\}=V$
und damit gilt $U=\vectorspacespan\{u_{1},u_{2}\}\subseteq V$.
\end{proof}
\end{einzug}
\begin{rem}
\makelabel{rem:1:ueb:9:ex:1}
Im Beweis von \Cref{claim:1:ueb:9:ex:1} wurde aus der Feststellung,
dass $x_{4},x_{5}$ im LGS $A\mathbf{x}=\zerovector$ frei sind,
schlussfolgert,
dass $u_{1},u_{2}\in\vectorspacespan\{v_{1},v_{2},v_{3}\}$.
Diese Schlussfolgerung lässt sich rechtfertigen:
\begin{kompaktitem}[\rtab][\rtab]
\item Sei $u\in U=\vectorspacespan\{u_{1},u_{2}\}$.
Dann existieren $c_{1},c_{2}\in\reell$,
so dass \fbox{$u=c_{1}u_{1}+c_{2}u_{2}$}.
\item
Setze nun im homogenen LGS $x_{4}:=-c_{1}$ und $x_{5}:=-c_{2}$
und bestimme $x_{1},x_{2},x_{3}\in\reell$, gemäß der Zeilenstufenform.
Dies liefert uns eine Lösung zu $A\mathbf{x}=\zerovector$.
Wegen der Konstruktion von $A$ heißt dies
\begin{mathe}[mc]{rcl}
\eqtag[eq:1:ueb:9:ex:1]
x_{1}v_{1}+x_{2}v_{2}+x_{3}v_{3}+x_{4}u_{1}+x_{5}u_{2} &= &\zerovector\\
\end{mathe}
\item
Folglich gilt
\begin{mathe}[mc]{rcl}
u &= &c_{1}u_{1}+c_{2}u_{2}\\
&= &-x_{4}u_{1} + -x_{5}u_{2}
\quad\text{(per Konstruktion)}\\
&\eqcrefoverset{eq:1:ueb:9:ex:1}{=}
&x_{1}v_{1}+x_{2}v_{2}+x_{3}v_{3}
\in \vectorspacespan\{v_{1},v_{2},v_{3}\}=V.\\
\end{mathe}
Da $u\in U$ beliebig gewählt wurde,
gilt $U\subseteq V$.
\end{kompaktitem}
Beachte hier, dass die Freiheit von $x_{4},x_{5}$ im LGS eine kritische Rolle spielt.
\end{rem}
\begin{schattierteboxdunn}
\begin{claim}
\makelabel{claim:2:ueb:9:ex:1}
$\{v_{2}+U\}$ ist eine Basis für $V/U$.
Insbesondere gilt $\dim(V/U)=1$.
\end{claim}
\end{schattierteboxdunn}
\begin{einzug}[\rtab][\rtab]
\begin{proof}
Unser Ziel ist es, zu bestimmen,
in wiefern sich das\footnote{evtl. nicht linear unabhängiges} System $\{u_{1},u_{2}\}$
durch die Vektoren
$v_{1},v_{2},v_{3}$
erweitern lässt,
und dabei die linear abhängigen Vektoren zu entfernen
und die linear unabhängigen zu behalten
(vgl. Ansatz im Beweis von \cite[Satz~5.5.3]{sinn2020}).
Zu diesem Zwecke untersuchen wir das homogene LGS,
$B\mathbf{x}=\zeromatrix$,
wobei
\begin{mathe}[mc]{rcccl}
B &= &\left(
u_{1}\:u_{2}\:v_{1}\:v_{2}\:v_{3}
\right)
&= &\begin{smatrix}
1&-1&1&-1&2\\
2&-2&2&3&-1\\
-1&1&-1&0&-1\\
1&2&-2&-2&1\\
\end{smatrix}.\\
\end{mathe}
Es reicht aus hier \textbf{zu zeigen},
dass $x_{3},x_{5}$ frei sind und $x_{4}$ nicht frei ist.
\begin{algorithm}[\rtab][\rtab]
Zeilenoperationen
${Z_{2}\leftsquigarrow Z_{2} - 2\cdot Z_{1}}$;
${Z_{3}\leftsquigarrow Z_{3} + Z_{1}}$
und
${Z_{4}\leftsquigarrow Z_{4} - Z_{1}}$
anwenden:
\begin{mathe}[mc]{rcl}
\begin{matrix}{ccccc}
1 &-1 &1 &-1 &2\\
0 &0 &0 &5 &-5\\
0 &0 &0 &-1 &1\\
0 &3 &-3 &-1 &-1\\
\end{matrix}.\\
\end{mathe}
Zeilenoperation
${Z_{2}\leftrightsquigarrow Z_{4}}$
anwenden:
\begin{mathe}[mc]{rcl}
\begin{matrix}{ccccc}
1 &-1 &1 &-1 &2\\
0 &3 &-3 &-1 &-1\\
0 &0 &0 &-1 &1\\
0 &0 &0 &5 &-5\\
\end{matrix}.\\
\end{mathe}
Zeilenoperation
${Z_{4}\leftsquigarrow Z_{4} + 5\cdot Z_{3}}$
anwenden:
\begin{mathe}[mc]{rcl}
\begin{matrix}{ccccc}
\boxed{1} &-1 &1 &-1 &2\\
0 &\boxed{3} &-3 &-1 &-1\\
0 &0 &0 &\boxed{-1} &1\\
0 &0 &0 &0 &0\\
\end{matrix}.\\
\end{mathe}
\end{algorithm}
Darum sind $x_{3},x_{5}$ frei und $x_{1},x_{2},x_{4}$ nicht.
Also ist $\{v_{2}+U\}$ eine (einelementige) Basis für $V/U$.
\end{proof}
\end{einzug}
\begin{rem*}
Wie in \Cref{rem:1:ueb:9:ex:1} erklärt wurde,
sind die Spalten/Vektoren entsprechend den freien Variablen,
also $v_{1},v_{3}$,
linear abhängig von den Spalten/Vektoren entsprechend den nicht-freien Variablen,
also $u_{1},u_{2},u_{3}$.
Folglich gelten
\begin{mathe}[mc]{rcl}
v_{1}+U,v_{2}+U &\in &\vectorspacespan\{v_{3}+U\}\\
\end{mathe}
Und da $x_{4}$ nicht frei ist, hängt $v_{3}$ von $u_{1},u_{2}$ nicht ab.
Also gilt $v_{3}+U\neq\zerovector_{V/U}$.
\end{rem*}
%% AUFGABE 9-2
\clearpage
\let\altsectionname\sectionname
\def\sectionname{Aufgabe}
\section[Aufgabe 2]{}
\label{ueb:9:ex:2}
\let\sectionname\altsectionname
Seien
\begin{mathe}[mc]{cqcqcqcqc}
\mathbf{v}_{1} := \begin{svector}1\\-2\\3\\1\\\end{svector},
&\mathbf{v}_{2} := \begin{svector}2\\-5\\7\\0\\\end{svector},
&\mathbf{v}_{3} := \begin{svector}-2\\6\\-9\\-3\\\end{svector}.\\
\end{mathe}
Vektoren in $\reell^{4}$ und sei $\phi:\reell^{3}\to\reell^{4}$
die eindeutig definierte lineare Abbildung mit $\phi(\mathbf{e}_{i})=\mathbf{v}_{i}$
für $i\in\{1,2,3\}$,
wobei $\{\mathbf{e}_{1},\mathbf{e}_{2},\mathbf{e}_{3}\}$
die kanonische Basis für $\reell^{3}$ ist.
\begin{enumerate}{\bfseries (a)}
%% AUFGABE 9-2(a)
\item
Wegen Linearität gilt für alle $x_{1},x_{2},x_{3}\in\reell$
\begin{mathe}[mc]{rcl}
\phi(x_{1},x_{2},x_{3})
&= &\phi(x_{1}\mathbf{e}_{1}+x_{2}\mathbf{e}_{2}+x_{3}\mathbf{e}_{3})\\
&= &x_{1}\phi(\mathbf{e}_{1})+x_{2}\phi(\mathbf{e}_{2})+x_{3}\phi(\mathbf{e}_{3})\\
&= &x_{1}\mathbf{v}_{1}+x_{2}\mathbf{v}_{2}+x_{3}\mathbf{v}_{3}\\
&= &A\mathbf{x}\\
\end{mathe}
wobei
\begin{mathe}[mc]{rcl}
A &:= &\begin{smatrix}
1&2&-2\\
-2&-5&6\\
3&7&-9\\
1&0&-3\\
\end{smatrix}
\end{mathe}
Insbesondere gilt \fbox{$\phi=\phi_{A}$}.
Im nächsten Aufgabenteil nutzen wir diese Darstellung aus.
%% AUFGABE 9-2(b)
\item
Um zu bestimmen, ob $\phi=\phi_{A}$ injektiv, surjektiv, bijektiv ist,
berechnen wir die Zeilenstufenform von $A$.
Es gilt
\begin{algorithm}[\rtab][\rtab]
Zeilenoperationen
${Z_{2}\leftsquigarrow Z_{2} + 2\cdot Z_{1}}$;
${Z_{2}\leftsquigarrow Z_{2} - 3\cdot Z_{1}}$
und
${Z_{3}\leftsquigarrow Z_{3} - Z_{1}}$
anwenden:
\begin{mathe}[mc]{rcl}
\begin{matrix}{ccccc}
1 &2 &-2\\
0 &-1 &2\\
0 &1 &-3\\
0 &-2 &-1\\
\end{matrix}.\\
\end{mathe}
Zeilenoperation
${Z_{3}\leftsquigarrow Z_{3} + Z_{2}}$
und
${Z_{4}\leftsquigarrow Z_{4} - 2\cdot Z_{2}}$
anwenden:
\begin{mathe}[mc]{rcl}
\begin{matrix}{ccccc}
1 &2 &-2\\
0 &-1 &2\\
0 &0 &-1\\
0 &0 &-5\\
\end{matrix}.\\
\end{mathe}
Zeilenoperation
${Z_{4}\leftsquigarrow Z_{4} - 5\cdot Z_{3}}$
anwenden:
\begin{mathe}[mc]{rcl}
\begin{matrix}{ccccc}
\boxed{1} &2 &-2\\
0 &\boxed{-1} &2\\
0 &0 &\boxed{-1}\\
0 &0 &0\\
\end{matrix}.\\
\end{mathe}
$\Rightarrow$ $\rank(A)=\text{\upshape Zeilenrang}(A)=3$
(siehe \cite[Satz~6.3.11]{sinn2020}).
\end{algorithm}
Also gilt $\phi=\phi_{A}$,
wobei $A$ eine $m\times n$-Matrix ist,
wobei $m=4$, $n=3$,
und $\rank(A)=3$.
Laut \cite[Korollar~6.3.15]{sinn2020} erhalten wir also
\begin{kompaktitem}
\item
$\phi$ \fbox{ist injektiv},
weil $\rank(A)=3\geq 3=n$.
\item
$\phi$ ist \fbox{nicht surjektiv},
weil $\rank(A)=3\ngeq 4=m$.
\item
$\phi$ ist \fbox{nicht bijektiv},
weil $m\neq n$.
\end{kompaktitem}
\end{enumerate}
%% AUFGABE 9-3
\clearpage
\let\altsectionname\sectionname
\def\sectionname{Aufgabe}
\section[Aufgabe 3]{}
\label{ueb:9:ex:3}
\let\sectionname\altsectionname
Seien $U,V,W$ Vektorräume über einem Körper $K$.
Seien ${\phi:U\to V}$ und ${\psi:V\to W}$ lineare Abbildungen.
\begin{schattierteboxdunn}
\begin{claim*}
${\psi\circ \phi:U\to W}$
ist injektiv $\Leftrightarrow$
$\phi$ injektiv und $\ker(\psi)\cap\range(\phi)=\{0\}$.
\end{claim*}
\end{schattierteboxdunn}
\begin{proof}
\hinRichtung
Angenommen, $\psi\circ\phi$ sei injektiv.
\textbf{Zu zeigen:} (i)~$\phi$ injektiv und (ii)~$\ker(\psi)\cap\range(\phi)=\{0\}$.\\
\begin{enumerate}{\bfseries (i)}[\rtab][\rtab]
\item
Seien $x,x'\in U$ beliebig. Dann gilt
\begin{mathe}[mc]{rcl}
\phi(x)=\phi(x')
&\Longrightarrow
&\psi(\phi(x))=\psi(\phi(x'))\\
&\Longrightarrow
&(\psi\circ \phi)(x)=(\psi\circ \phi)(x')\\
&\textoverset{$\psi\circ\phi$ inj.}{\Longrightarrow}
&x=x'.\\
\end{mathe}
Folglich ist $\phi$ injektiv.
\item
Sei $y\in V$ beliebig. Es gilt
\begin{longmathe}[mc]{RCL}
y\in\ker(\psi)\cap\range(\phi)
&\Longleftrightarrow
&y\in\range(\phi)\,\text{und}\,y\in\ker(\psi)\\
&\Longleftrightarrow
&(\exists{x\in U:~}y=\phi(x))\,\text{und}\,y\in\ker(\psi)\\
&\Longleftrightarrow
&\exists{x\in U:~}(y=\phi(x)\,\text{und}\,y\in\ker(\psi))\\
&\Longleftrightarrow
&\exists{x\in U:~}(y=\phi(x)\,\text{und}\,\psi(y)=0)\\
&\Longleftrightarrow
&\exists{x\in U:~}(y=\phi(x)\,\text{und}\,\psi(\phi(x))=0)\\
&\Longleftrightarrow
&\exists{x\in U:~}(y=\phi(x)\,\text{und}\,(\psi\circ\phi)(x)=0)\\
&\Longleftrightarrow
&\exists{x\in U:~}(y=\phi(x)\,\text{und}\,x\in\ker(\psi\circ\phi))\\
&\Longleftrightarrow
&\exists{x\in U:~}(y=\phi(x)\,\text{und}\,x\in\{0\})\\
&&\text{(wegen Injektivität von $\psi\circ\phi$ + \cite[Lemma~6.1.4(1)]{sinn2020})}\\
&\Longleftrightarrow
&\exists{x\in U:~}(y=\phi(x)\,\text{und}\,x=0)\\
&\Longleftrightarrow
&y=\phi(0)=0
\Longleftrightarrow
y\in\{0\}.\\
\end{longmathe}
Darum gilt $\ker(\psi)\cap\range(\phi)=\{0\}$.
\end{enumerate}
\herRichtung
Angenommen, (i)~$\phi$ sei injektiv und (ii)~$\ker(\psi)\cap\range(\phi)=\{0\}$.
\textbf{Zu zeigen:} $\psi\circ\phi$ injektiv.\\
Hierfür wenden wir \cite[Lemma~6.1.4(1)]{sinn2020} an.
Sei $x\in U$ beliebig. Es gilt
\begin{longmathe}[mc]{RCL}
x\in\ker(\psi\circ\phi)
&\Longleftrightarrow
&\psi(\phi(x))=(\psi\circ\phi)(x)=0\\
&\Longleftrightarrow
&\phi(x)\in\ker(\psi)\\
&\Longleftrightarrow
&\phi(x)\in\ker(\psi)\cap\range(\phi)
\quad
\text{($\phi(x)$ ist immer in $\range(\phi)$)}\\
&\textoverset{(ii)}{\Longleftrightarrow}
&\phi(x)\in\{0\}\\
&\Longleftrightarrow
&\phi(x)=0\\
&\Longleftrightarrow
&x\in\ker(\phi)\\
&\Longleftrightarrow
&x\in\{0\}
\quad\text{(wegen (i) + \cite[Lemma~6.1.4(1)]{sinn2020})}\\\
\end{longmathe}
Darum gilt $\ker(\psi\circ\phi)=\{0\}$
und laut \cite[Lemma~6.1.4(1)]{sinn2020}
ist dies zur Injektivität von $\psi\circ\phi$ äquivalent.
\end{proof}
\setcounternach{part}{2}
\part{Selbstkontrollenaufgaben}
@ -7034,22 +7523,22 @@ Für jeden Fall berechnen wir $\ggT(a,b)$ mittels des Euklidischen Algorithmus
$a$ &$b$ &Restberechnung (symbolisch) &Restberechnung (Werte)\\
\hline
\endhead
$1529$ &$170$ &$a = b\cdot q_{1} + r_{1}$ &$1529 = 170\cdot 8 + 169$\\
&&$b = r_{1}\cdot q_{2} + r_{2}$ &$170 = 169\cdot 1 + \boxed{\mathbf{1}}$\\
&&$r_{1} = r_{2}\cdot q_{3} + r_{3}$ &$169 = 1\cdot 169 + 0$\\
\hline
$13758$ &$21$ &$a = b\cdot q_{1} + r_{1}$ &$13758 = 21\cdot 655 + \boxed{\mathbf{3}}$\\
&&$b = r_{1}\cdot q_{2} + r_{2}$ &$21 = 3\cdot 7 + 0$\\
\hline
$210$ &$45$ &$a = b\cdot q_{1} + r_{1}$ &$210 = 45\cdot 4 + 30$\\
&&$b = r_{1}\cdot q_{2} + r_{2}$ &$45 = 30\cdot 1 + \boxed{\mathbf{15}}$\\
&&$r_{1} = r_{2}\cdot q_{3} + r_{3}$ &$30 = 15\cdot 2 + 0$\\
\hline
$1209$ &$102$ &$a = b\cdot q_{1} + r_{1}$ &$1209 = 102\cdot 11 + 87$\\
&&$b = r_{1}\cdot q_{2} + r_{2}$ &$102 = 87\cdot 1 + 15$\\
&&$r_{1} = r_{2}\cdot q_{3} + r_{3}$ &$87 = 15\cdot 5 + 12$\\
&&$r_{2} = r_{3}\cdot q_{4} + r_{4}$ &$15 = 12\cdot 1 + \boxed{\mathbf{3}}$\\
&&$r_{3} = r_{4}\cdot q_{5} + r_{5}$ &$12 = 3\cdot 4 + 0$\\
$1529$ &$170$ &$a = b\cdot q_{1} + r_{1}$ &$1529 = 170\cdot 8 + 169$\\
&&$b = r_{1}\cdot q_{2} + r_{2}$ &$170 = 169\cdot 1 + \boxed{\mathbf{1}}$\\
&&$r_{1} = r_{2}\cdot q_{3} + r_{3}$ &$169 = 1\cdot 169 + 0$\\
\hline
$13758$ &$21$ &$a = b\cdot q_{1} + r_{1}$ &$13758 = 21\cdot 655 + \boxed{\mathbf{3}}$\\
&&$b = r_{1}\cdot q_{2} + r_{2}$ &$21 = 3\cdot 7 + 0$\\
\hline
$210$ &$45$ &$a = b\cdot q_{1} + r_{1}$ &$210 = 45\cdot 4 + 30$\\
&&$b = r_{1}\cdot q_{2} + r_{2}$ &$45 = 30\cdot 1 + \boxed{\mathbf{15}}$\\
&&$r_{1} = r_{2}\cdot q_{3} + r_{3}$ &$30 = 15\cdot 2 + 0$\\
\hline
$1209$ &$102$ &$a = b\cdot q_{1} + r_{1}$ &$1209 = 102\cdot 11 + 87$\\
&&$b = r_{1}\cdot q_{2} + r_{2}$ &$102 = 87\cdot 1 + 15$\\
&&$r_{1} = r_{2}\cdot q_{3} + r_{3}$ &$87 = 15\cdot 5 + 12$\\
&&$r_{2} = r_{3}\cdot q_{4} + r_{4}$ &$15 = 12\cdot 1 + \boxed{\mathbf{3}}$\\
&&$r_{3} = r_{4}\cdot q_{5} + r_{5}$ &$12 = 3\cdot 4 + 0$\\
\hline
\hline
\end{longtable}
@ -7070,18 +7559,18 @@ Wir verwenden die Berechnungen aus der Tabelle in SKA \ref{ska:5:ex:6}.
$a$ &$b$ &Rest (symbolisch) &Rest (Werte)\\
\hline
\endhead
$1529$ &$170$ &$r_{1} = a - 8\cdot b$ &$169 = 1\cdot a + -8\cdot b$\\
&&$r_{2} = b - 1\cdot r_{1}$ &$\boxed{1 = \mathbf{-1}\cdot a + \mathbf{9}\cdot b}$\\
\hline
$13758$ &$21$ &$r_{1} = a - 655\cdot b$ &$\boxed{3 = \mathbf{1}\cdot a + \mathbf{-655}\cdot b}$\\
\hline
$210$ &$45$ &$r_{1} = a - 4\cdot b$ &$30 = 1\cdot a + -4\cdot b$\\
&&$r_{2} = b - 1\cdot r_{1}$ &$\boxed{15 = \mathbf{-1}\cdot a + \mathbf{5}\cdot b}$\\
\hline
$1209$ &$102$ &$r_{1} = a - 11\cdot b$ &$87 = 1\cdot a + -11\cdot b$\\
&&$r_{2} = b - 1\cdot r_{1}$ &$15 = -1\cdot a + 12\cdot b$\\
&&$r_{3} = r_{1} - 5\cdot r_{2}$ &$12 = 6\cdot a + -71\cdot b$\\
&&$r_{4} = r_{2} - 1\cdot r_{3}$ &$\boxed{3 = \mathbf{-7}\cdot a + \mathbf{83}\cdot b}$\\
$1529$ &$170$ &$r_{1} = a - 8\cdot b$ &$169 = 1\cdot a + -8\cdot b$\\
&&$r_{2} = b - 1\cdot r_{1}$ &$\boxed{1 = \mathbf{-1}\cdot a + \mathbf{9}\cdot b}$\\
\hline
$13758$ &$21$ &$r_{1} = a - 655\cdot b$ &$\boxed{3 = \mathbf{1}\cdot a + \mathbf{-655}\cdot b}$\\
\hline
$210$ &$45$ &$r_{1} = a - 4\cdot b$ &$30 = 1\cdot a + -4\cdot b$\\
&&$r_{2} = b - 1\cdot r_{1}$ &$\boxed{15 = \mathbf{-1}\cdot a + \mathbf{5}\cdot b}$\\
\hline
$1209$ &$102$ &$r_{1} = a - 11\cdot b$ &$87 = 1\cdot a + -11\cdot b$\\
&&$r_{2} = b - 1\cdot r_{1}$ &$15 = -1\cdot a + 12\cdot b$\\
&&$r_{3} = r_{1} - 5\cdot r_{2}$ &$12 = 6\cdot a + -71\cdot b$\\
&&$r_{4} = r_{2} - 1\cdot r_{3}$ &$\boxed{3 = \mathbf{-7}\cdot a + \mathbf{83}\cdot b}$\\
\hline
\hline
\end{longtable}
@ -7748,10 +8237,10 @@ Für $x=[2]$ und $y=[3]$ gilt $x,y\neq [0]$ und aber $xy=[2\cdot 3]=[6]=[0]$.
Restberechnung (symbolisch) &Restberechnung (Werte)\\
\hline
\endhead
$a = b\cdot q_{1} + r_{1}$ &$103 = 21\cdot 4 + 19$\\
$b = r_{1}\cdot q_{2} + r_{2}$ &$21 = 19\cdot 1 + 2$\\
$r_{1} = r_{2}\cdot q_{3} + r_{3}$ &$19 = 2\cdot 9 + \boxed{\mathbf{1}}$\\
$r_{2} = r_{3}\cdot q_{4} + r_{4}$ &$2 = 1\cdot 2 + 0$\\
$a = b\cdot q_{1} + r_{1}$ &$103 = 21\cdot 4 + 19$\\
$b = r_{1}\cdot q_{2} + r_{2}$ &$21 = 19\cdot 1 + 2$\\
$r_{1} = r_{2}\cdot q_{3} + r_{3}$ &$19 = 2\cdot 9 + \boxed{\mathbf{1}}$\\
$r_{2} = r_{3}\cdot q_{4} + r_{4}$ &$2 = 1\cdot 2 + 0$\\
\hline
\hline
\end{longtable}
@ -7765,9 +8254,9 @@ $r_{2} = r_{3}\cdot q_{4} + r_{4}$ &$2 = 1\cdot 2 + 0$\\
Rest (symbolisch) &Rest (Werte)\\
\hline
\endhead
$r_{1} = a - 4\cdot b$ &$19 = 1\cdot a + -4\cdot b$\\
$r_{2} = b - 1\cdot r_{1}$ &$2 = -1\cdot a + 5\cdot b$\\
$r_{3} = r_{1} - 9\cdot r_{2}$ &$\boxed{1 = \mathbf{10}\cdot a + \mathbf{-49}\cdot b}$\\
$r_{1} = a - 4\cdot b$ &$19 = 1\cdot a + -4\cdot b$\\
$r_{2} = b - 1\cdot r_{1}$ &$2 = -1\cdot a + 5\cdot b$\\
$r_{3} = r_{1} - 9\cdot r_{2}$ &$\boxed{1 = \mathbf{10}\cdot a + \mathbf{-49}\cdot b}$\\
\hline
\hline
\end{longtable}
@ -8532,6 +9021,116 @@ für alle Teilmengen, $U\subseteq V$, und von
für alle linearen Unterräume, $U\subseteq V$.
\end{rem*}
%% ********************************************************************************
%% FILE: body/quizzes/quiz9.tex
%% ********************************************************************************
\setcounternach{chapter}{9}
\chapter[Woche 9]{Woche 9}
\label{quiz:9}
\begin{claim*}
Seien $U,V,W$ Vektorräume über einem Körper, $K$.
Seien
${\phi:U\to V}$
und
${\psi:V\to W}$
linear.
Falls
\begin{kompaktenum}{\bfseries (i)}[\rtab][\rtab]
\item\label{it:1:quiz:9}
$\psi$ surjektiv ist; und
\item\label{it:2:quiz:9}
$\ker(\psi)+\range(\phi)=V$,
\end{kompaktenum}
dann ist ${\psi\circ\phi:U\to W}$ surjektiv.
\end{claim*}
\begin{einzug}[\rtab][\rtab]
\begin{proof}
Es reicht aus, für alle $z\in W$
\textbf{zu zeigen}, dass ein $x\in U$ existiert mit
\begin{mathe}[mc]{rcl}
\eqtag[eq:0:quiz:9]{$\ast$}
(\psi\circ\phi)(x) &= &z.\\
\end{mathe}
Sei also $z\in W$ beliebig.
\begin{einzug}[\rtab]
Wegen \eqcref{it:1:quiz:9} existiert ein $y\in V$,
so dass
\begin{mathe}[mc]{rcl}
\eqtag[eq:1:quiz:9]
\phi(y) &= &z.\\
\end{mathe}
Da $y\in V$ und laut \eqcref{it:2:quiz:9} $V=\ker(\psi)+\range(\phi)$,
es existieren $y_{0}\in\ker(\psi)$ und $y_{1}\in\range(\phi)$,
so dass
\begin{mathe}[mc]{rcl}
\eqtag[eq:2:quiz:9]
y &= &y_{0}+y_{1}.\\
\end{mathe}
Da $y_{1}\in\range(\phi)$, existiert nun ein \fbox{$x\in U$},
so dass $\phi(x)=y_{1}$. Wir berechnen nun
\begin{mathe}[mc]{rcl}
(\psi\circ\phi)(x)
&= &\psi(\phi(x))\\
&= &\psi(y_{1})\\
&\eqcrefoverset{eq:2:quiz:9}{=}
&\psi(y-y_{0})\\
&= &\psi(y)-\psi(y_{0})\\
&= &\psi(y)-0,
\quad\text{da $y_{0}\in\ker(\psi)$}\\
&\eqcrefoverset{eq:1:quiz:9}{=}
&z.\\
\end{mathe}
Damit haben wir \eqcref{eq:0:quiz:9} gezeigt.
\end{einzug}
Also ist $\psi\circ\phi$ surjektiv.
\end{proof}
\end{einzug}
\begin{rem*}
Wir können in der Tat zeigen, die umgekehrte Richtung auch gilt:
Angenommen, $\psi\circ\phi$ sei surjektiv.
Dann gilt
$W\supseteq\psi(V)\supseteq\psi(\phi(U))=(\psi\circ\phi)(U)=W$,
und somit $\psi(V)=W$,
sodass \eqcref{it:1:quiz:9} gilt.
Und für alle $y\in V$, wegen Surjektivität von $\psi\circ\phi$,
existiert ein $x\in U$, so dass $\psi(y)=(\psi\circ\phi)(x)$.
Daraus folgt
\begin{mathe}[mc]{rcccl}
\psi(y-\phi(x))
&= &\psi(y)-\psi(\phi(x))
&= &0,\\
\end{mathe}
sodass \fbox{$y-\phi(x)\in\ker(\psi)$} gilt.
Darum
\begin{mathe}[mc]{rcccl}
y &= &\underbrace{y-\phi(x)}_{\in\ker(\psi)}
+\underbrace{\phi(x)}_{\in\range(\phi)}
&\in &\ker(\psi)+\range(\phi).\\
\end{mathe}
Also gilt die $\supseteq$-Inklusion in \eqcref{it:2:quiz:9}.
Und offensichtlich gilt die $\subseteq$-Inklusion in \eqcref{it:1:quiz:9}.
\end{rem*}
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%% FILE: back/index.tex
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