master > master: Woche 9 (ÜB + quiz)
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a526a4b106
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@ -61,6 +61,8 @@
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%% — body/uebung/ueb8.tex;
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%% — body/uebung/ueb8.tex;
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%% — body/uebung/ueb9.tex;
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%% — body/ska/ska4.tex;
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%% — body/ska/ska4.tex;
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%% — body/ska/ska5.tex;
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%% — body/ska/ska5.tex;
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@ -83,6 +85,8 @@
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%% — body/quizzes/quiz8.tex;
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%% — body/quizzes/quiz8.tex;
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%% — body/quizzes/quiz9.tex;
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%% — back/index.tex;
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%% — back/index.tex;
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%% — ./back/quelle.bib;
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%% — ./back/quelle.bib;
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@ -2711,7 +2715,8 @@ und daraus die Parameter abzulesen.
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1&-2&4&0\\
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1&-2&4&0\\
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0&11&-15&1\\
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0&11&-15&1\\
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0&0&-7&1\\
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0&0&-7&1\\
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\end{smatrix}\\
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\end{smatrix}
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\\
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\end{mathe}
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\end{mathe}
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Wende die Zeilentransformation
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Wende die Zeilentransformation
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@ -2723,7 +2728,8 @@ und daraus die Parameter abzulesen.
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1&-2&4&0\\
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1&-2&4&0\\
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0&11&-8&0\\
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0&11&-8&0\\
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0&0&-7&1\\
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0&0&-7&1\\
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\end{smatrix}\\
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\end{smatrix}
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\\
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\end{mathe}
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\end{mathe}
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Aus der Zeilenstufenform erschließt sich, dass $t_{4}$ frei ist.
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Aus der Zeilenstufenform erschließt sich, dass $t_{4}$ frei ist.
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@ -5865,6 +5871,489 @@ Seien $n\in\ntrlpos$ und $\mathbf{v}_{i}\in V$ für $i\in\{1,2,\ldots,n\}$.
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eine Basis für $W:=\kmplx^{2}$, wenn dies als $\reell$-Vektorraum betrachtet wird.
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eine Basis für $W:=\kmplx^{2}$, wenn dies als $\reell$-Vektorraum betrachtet wird.
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Insbesondere gilt $\dim(W)=4$.
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Insbesondere gilt $\dim(W)=4$.
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%% FILE: body/uebung/ueb9.tex
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%% ********************************************************************************
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\setcounternach{chapter}{9}
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\chapter[Woche 9]{Woche 9}
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\label{ueb:9}
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%% AUFGABE 9-1
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\let\altsectionname\sectionname
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\def\sectionname{Aufgabe}
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|
\section[Aufgabe 1]{}
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\label{ueb:9:ex:1}
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\let\sectionname\altsectionname
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Seien
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\begin{mathe}[mc]{cqcqcqcqc}
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u_{1} := \begin{svector}1\\2\\-1\\1\\\end{svector},
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|
&u_{2} := \begin{svector}-1\\-2\\1\\2\\\end{svector},
|
||||||
|
&v_{1} := \begin{svector}1\\2\\-1\\-2\\\end{svector},
|
||||||
|
&v_{2} := \begin{svector}-1\\3\\0\\-2\\\end{svector},
|
||||||
|
&v_{3} := \begin{svector}2\\-1\\-1\\1\\\end{svector}.\\
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|
\end{mathe}
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|
Vektoren in $\reell^{4}$ und setze
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\begin{mathe}[mc]{cqc}
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|
U:=\vectorspacespan\{u_{1},u_{2}\}
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|
&V:=\vectorspacespan\{v_{1},v_{2},v_{3}\}.\\
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|
\end{mathe}
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|
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|
\begin{schattierteboxdunn}
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||||||
|
\begin{claim}
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|
\makelabel{claim:1:ueb:9:ex:1}
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|
$U\subseteq V$.
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|
\end{claim}
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|
\end{schattierteboxdunn}
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|
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|
\begin{einzug}[\rtab][\rtab]
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|
\begin{proof}
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Es reicht aus zu zeigen, dass $u_{1},u_{2}\in\vectorspacespan\{v_{1},v_{2},v_{3}\}$.
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|
Zu diesem Zwecke reicht es aus
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|
das homogene LGS $A\mathbf{x}=\zerovector$
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|
in Zeilenstufenform zu bringen,
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|
wobei
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|
\begin{mathe}[mc]{rcccl}
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|
A &= &\left(
|
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|
v_{1}\:v_{2}\:v_{3}\:u_{1}\:u_{2}
|
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|
\right)
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|
&= &\begin{smatrix}
|
||||||
|
1&-1&2&1&-1\\
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|
2&3&-1&2&-2\\
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|
-1&0&-1&-1&1\\
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|
-2&-2&1&1&2\\
|
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|
\end{smatrix}\\
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|
\end{mathe}
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|
|
||||||
|
und \textbf{zu zeigen}, dass $x_{4},x_{5}$ darin freie Unbekannte sind.
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|
\begin{algorithm}[\rtab][\rtab]
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|
Zeilenoperationen
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|
${Z_{2}\leftsquigarrow Z_{2} - 2\cdot Z_{1}}$;
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||||||
|
${Z_{3}\leftsquigarrow Z_{3} + Z_{1}}$
|
||||||
|
und
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|
${Z_{4}\leftsquigarrow Z_{4} + 2\cdot Z_{1}}$
|
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|
anwenden:
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|
\begin{mathe}[mc]{rcl}
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|
\begin{matrix}{ccccc}
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|
1 &-1 &2 &1 &-1\\
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||||||
|
0 &5 &-5 &0 &0\\
|
||||||
|
0 &-1 &1 &0 &0\\
|
||||||
|
0 &-4 &5 &3 &0\\
|
||||||
|
\end{matrix}.\\
|
||||||
|
\end{mathe}
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||||||
|
|
||||||
|
Zeilenoperation
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|
${Z_{3}\leftsquigarrow Z_{3} + \frac{1}{5}\cdot Z_{2}}$
|
||||||
|
und
|
||||||
|
${Z_{4}\leftsquigarrow Z_{4} + \frac{4}{5}\cdot Z_{2}}$
|
||||||
|
anwenden:
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||||||
|
|
||||||
|
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||||||
|
\begin{matrix}{ccccc}
|
||||||
|
1 &-1 &2 &1 &-1\\
|
||||||
|
0 &5 &-5 &0 &0\\
|
||||||
|
0 &0 &0 &0 &0\\
|
||||||
|
0 &0 &1 &3 &0\\
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||||||
|
\end{matrix}.\\
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||||||
|
\end{mathe}
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||||||
|
|
||||||
|
Zeilenoperation
|
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|
${Z_{3}\leftrightsquigarrow Z_{4}}$
|
||||||
|
anwenden:
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||||||
|
|
||||||
|
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||||||
|
\begin{matrix}{ccccc}
|
||||||
|
\boxed{1} &-1 &2 &1 &-1\\
|
||||||
|
0 &\boxed{5} &-5 &0 &0\\
|
||||||
|
0 &0 &\boxed{1} &3 &0\\
|
||||||
|
0 &0 &0 &0 &0\\
|
||||||
|
\end{matrix}.\\
|
||||||
|
\end{mathe}
|
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|
\end{algorithm}
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|
|
||||||
|
Darum sind $x_{4},x_{5}$ im homogenen LGS frei.
|
||||||
|
Folglich gelten $u_{1},u_{2}\in\vectorspacespan\{v_{1},v_{2},v_{3}\}=V$
|
||||||
|
und damit gilt $U=\vectorspacespan\{u_{1},u_{2}\}\subseteq V$.
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|
\end{proof}
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|
\end{einzug}
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|
\begin{rem}
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|
\makelabel{rem:1:ueb:9:ex:1}
|
||||||
|
Im Beweis von \Cref{claim:1:ueb:9:ex:1} wurde aus der Feststellung,
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|
dass $x_{4},x_{5}$ im LGS $A\mathbf{x}=\zerovector$ frei sind,
|
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|
schlussfolgert,
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dass $u_{1},u_{2}\in\vectorspacespan\{v_{1},v_{2},v_{3}\}$.
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|
Diese Schlussfolgerung lässt sich rechtfertigen:
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|
\begin{kompaktitem}[\rtab][\rtab]
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|
\item Sei $u\in U=\vectorspacespan\{u_{1},u_{2}\}$.
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|
Dann existieren $c_{1},c_{2}\in\reell$,
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so dass \fbox{$u=c_{1}u_{1}+c_{2}u_{2}$}.
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|
\item
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Setze nun im homogenen LGS $x_{4}:=-c_{1}$ und $x_{5}:=-c_{2}$
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|
und bestimme $x_{1},x_{2},x_{3}\in\reell$, gemäß der Zeilenstufenform.
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|
Dies liefert uns eine Lösung zu $A\mathbf{x}=\zerovector$.
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|
Wegen der Konstruktion von $A$ heißt dies
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\begin{mathe}[mc]{rcl}
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|
\eqtag[eq:1:ueb:9:ex:1]
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x_{1}v_{1}+x_{2}v_{2}+x_{3}v_{3}+x_{4}u_{1}+x_{5}u_{2} &= &\zerovector\\
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\end{mathe}
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|
\item
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|
Folglich gilt
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\begin{mathe}[mc]{rcl}
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u &= &c_{1}u_{1}+c_{2}u_{2}\\
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|
&= &-x_{4}u_{1} + -x_{5}u_{2}
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|
\quad\text{(per Konstruktion)}\\
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|
&\eqcrefoverset{eq:1:ueb:9:ex:1}{=}
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||||||
|
&x_{1}v_{1}+x_{2}v_{2}+x_{3}v_{3}
|
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|
\in \vectorspacespan\{v_{1},v_{2},v_{3}\}=V.\\
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||||||
|
\end{mathe}
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|
Da $u\in U$ beliebig gewählt wurde,
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|
gilt $U\subseteq V$.
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|
\end{kompaktitem}
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Beachte hier, dass die Freiheit von $x_{4},x_{5}$ im LGS eine kritische Rolle spielt.
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\end{rem}
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\begin{schattierteboxdunn}
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|
\begin{claim}
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|
\makelabel{claim:2:ueb:9:ex:1}
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|
$\{v_{2}+U\}$ ist eine Basis für $V/U$.
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|
Insbesondere gilt $\dim(V/U)=1$.
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|
\end{claim}
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\end{schattierteboxdunn}
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|
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|
\begin{einzug}[\rtab][\rtab]
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|
\begin{proof}
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Unser Ziel ist es, zu bestimmen,
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in wiefern sich das\footnote{evtl. nicht linear unabhängiges} System $\{u_{1},u_{2}\}$
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durch die Vektoren
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$v_{1},v_{2},v_{3}$
|
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erweitern lässt,
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und dabei die linear abhängigen Vektoren zu entfernen
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und die linear unabhängigen zu behalten
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(vgl. Ansatz im Beweis von \cite[Satz~5.5.3]{sinn2020}).
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Zu diesem Zwecke untersuchen wir das homogene LGS,
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|
$B\mathbf{x}=\zeromatrix$,
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|
wobei
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\begin{mathe}[mc]{rcccl}
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|
B &= &\left(
|
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|
u_{1}\:u_{2}\:v_{1}\:v_{2}\:v_{3}
|
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|
\right)
|
||||||
|
&= &\begin{smatrix}
|
||||||
|
1&-1&1&-1&2\\
|
||||||
|
2&-2&2&3&-1\\
|
||||||
|
-1&1&-1&0&-1\\
|
||||||
|
1&2&-2&-2&1\\
|
||||||
|
\end{smatrix}.\\
|
||||||
|
\end{mathe}
|
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|
|
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|
Es reicht aus hier \textbf{zu zeigen},
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|
dass $x_{3},x_{5}$ frei sind und $x_{4}$ nicht frei ist.
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|
\begin{algorithm}[\rtab][\rtab]
|
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|
Zeilenoperationen
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|
${Z_{2}\leftsquigarrow Z_{2} - 2\cdot Z_{1}}$;
|
||||||
|
${Z_{3}\leftsquigarrow Z_{3} + Z_{1}}$
|
||||||
|
und
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||||||
|
${Z_{4}\leftsquigarrow Z_{4} - Z_{1}}$
|
||||||
|
anwenden:
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|
|
||||||
|
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||||||
|
\begin{matrix}{ccccc}
|
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|
1 &-1 &1 &-1 &2\\
|
||||||
|
0 &0 &0 &5 &-5\\
|
||||||
|
0 &0 &0 &-1 &1\\
|
||||||
|
0 &3 &-3 &-1 &-1\\
|
||||||
|
\end{matrix}.\\
|
||||||
|
\end{mathe}
|
||||||
|
|
||||||
|
Zeilenoperation
|
||||||
|
${Z_{2}\leftrightsquigarrow Z_{4}}$
|
||||||
|
anwenden:
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||||||
|
\begin{matrix}{ccccc}
|
||||||
|
1 &-1 &1 &-1 &2\\
|
||||||
|
0 &3 &-3 &-1 &-1\\
|
||||||
|
0 &0 &0 &-1 &1\\
|
||||||
|
0 &0 &0 &5 &-5\\
|
||||||
|
\end{matrix}.\\
|
||||||
|
\end{mathe}
|
||||||
|
|
||||||
|
Zeilenoperation
|
||||||
|
${Z_{4}\leftsquigarrow Z_{4} + 5\cdot Z_{3}}$
|
||||||
|
anwenden:
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||||||
|
\begin{matrix}{ccccc}
|
||||||
|
\boxed{1} &-1 &1 &-1 &2\\
|
||||||
|
0 &\boxed{3} &-3 &-1 &-1\\
|
||||||
|
0 &0 &0 &\boxed{-1} &1\\
|
||||||
|
0 &0 &0 &0 &0\\
|
||||||
|
\end{matrix}.\\
|
||||||
|
\end{mathe}
|
||||||
|
\end{algorithm}
|
||||||
|
|
||||||
|
Darum sind $x_{3},x_{5}$ frei und $x_{1},x_{2},x_{4}$ nicht.
|
||||||
|
Also ist $\{v_{2}+U\}$ eine (einelementige) Basis für $V/U$.
|
||||||
|
\end{proof}
|
||||||
|
\end{einzug}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{rem*}
|
||||||
|
Wie in \Cref{rem:1:ueb:9:ex:1} erklärt wurde,
|
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|
sind die Spalten/Vektoren entsprechend den freien Variablen,
|
||||||
|
also $v_{1},v_{3}$,
|
||||||
|
linear abhängig von den Spalten/Vektoren entsprechend den nicht-freien Variablen,
|
||||||
|
also $u_{1},u_{2},u_{3}$.
|
||||||
|
Folglich gelten
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||||||
|
v_{1}+U,v_{2}+U &\in &\vectorspacespan\{v_{3}+U\}\\
|
||||||
|
\end{mathe}
|
||||||
|
|
||||||
|
Und da $x_{4}$ nicht frei ist, hängt $v_{3}$ von $u_{1},u_{2}$ nicht ab.
|
||||||
|
Also gilt $v_{3}+U\neq\zerovector_{V/U}$.
|
||||||
|
\end{rem*}
|
||||||
|
|
||||||
|
%% AUFGABE 9-2
|
||||||
|
\clearpage
|
||||||
|
\let\altsectionname\sectionname
|
||||||
|
\def\sectionname{Aufgabe}
|
||||||
|
\section[Aufgabe 2]{}
|
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|
\label{ueb:9:ex:2}
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||||||
|
\let\sectionname\altsectionname
|
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|
|
||||||
|
Seien
|
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|
|
||||||
|
\begin{mathe}[mc]{cqcqcqcqc}
|
||||||
|
\mathbf{v}_{1} := \begin{svector}1\\-2\\3\\1\\\end{svector},
|
||||||
|
&\mathbf{v}_{2} := \begin{svector}2\\-5\\7\\0\\\end{svector},
|
||||||
|
&\mathbf{v}_{3} := \begin{svector}-2\\6\\-9\\-3\\\end{svector}.\\
|
||||||
|
\end{mathe}
|
||||||
|
|
||||||
|
Vektoren in $\reell^{4}$ und sei $\phi:\reell^{3}\to\reell^{4}$
|
||||||
|
die eindeutig definierte lineare Abbildung mit $\phi(\mathbf{e}_{i})=\mathbf{v}_{i}$
|
||||||
|
für $i\in\{1,2,3\}$,
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|
wobei $\{\mathbf{e}_{1},\mathbf{e}_{2},\mathbf{e}_{3}\}$
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|
die kanonische Basis für $\reell^{3}$ ist.
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|
|
||||||
|
\begin{enumerate}{\bfseries (a)}
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|
%% AUFGABE 9-2(a)
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|
\item
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|
Wegen Linearität gilt für alle $x_{1},x_{2},x_{3}\in\reell$
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||||||
|
\phi(x_{1},x_{2},x_{3})
|
||||||
|
&= &\phi(x_{1}\mathbf{e}_{1}+x_{2}\mathbf{e}_{2}+x_{3}\mathbf{e}_{3})\\
|
||||||
|
&= &x_{1}\phi(\mathbf{e}_{1})+x_{2}\phi(\mathbf{e}_{2})+x_{3}\phi(\mathbf{e}_{3})\\
|
||||||
|
&= &x_{1}\mathbf{v}_{1}+x_{2}\mathbf{v}_{2}+x_{3}\mathbf{v}_{3}\\
|
||||||
|
&= &A\mathbf{x}\\
|
||||||
|
\end{mathe}
|
||||||
|
|
||||||
|
wobei
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||||||
|
A &:= &\begin{smatrix}
|
||||||
|
1&2&-2\\
|
||||||
|
-2&-5&6\\
|
||||||
|
3&7&-9\\
|
||||||
|
1&0&-3\\
|
||||||
|
\end{smatrix}
|
||||||
|
\end{mathe}
|
||||||
|
|
||||||
|
Insbesondere gilt \fbox{$\phi=\phi_{A}$}.
|
||||||
|
Im nächsten Aufgabenteil nutzen wir diese Darstellung aus.
|
||||||
|
|
||||||
|
%% AUFGABE 9-2(b)
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
Um zu bestimmen, ob $\phi=\phi_{A}$ injektiv, surjektiv, bijektiv ist,
|
||||||
|
berechnen wir die Zeilenstufenform von $A$.
|
||||||
|
Es gilt
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{algorithm}[\rtab][\rtab]
|
||||||
|
Zeilenoperationen
|
||||||
|
${Z_{2}\leftsquigarrow Z_{2} + 2\cdot Z_{1}}$;
|
||||||
|
${Z_{2}\leftsquigarrow Z_{2} - 3\cdot Z_{1}}$
|
||||||
|
und
|
||||||
|
${Z_{3}\leftsquigarrow Z_{3} - Z_{1}}$
|
||||||
|
anwenden:
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||||||
|
\begin{matrix}{ccccc}
|
||||||
|
1 &2 &-2\\
|
||||||
|
0 &-1 &2\\
|
||||||
|
0 &1 &-3\\
|
||||||
|
0 &-2 &-1\\
|
||||||
|
\end{matrix}.\\
|
||||||
|
\end{mathe}
|
||||||
|
|
||||||
|
Zeilenoperation
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||||||
|
${Z_{3}\leftsquigarrow Z_{3} + Z_{2}}$
|
||||||
|
und
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||||||
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${Z_{4}\leftsquigarrow Z_{4} - 2\cdot Z_{2}}$
|
||||||
|
anwenden:
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||||||
|
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||||||
|
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||||||
|
\begin{matrix}{ccccc}
|
||||||
|
1 &2 &-2\\
|
||||||
|
0 &-1 &2\\
|
||||||
|
0 &0 &-1\\
|
||||||
|
0 &0 &-5\\
|
||||||
|
\end{matrix}.\\
|
||||||
|
\end{mathe}
|
||||||
|
|
||||||
|
Zeilenoperation
|
||||||
|
${Z_{4}\leftsquigarrow Z_{4} - 5\cdot Z_{3}}$
|
||||||
|
anwenden:
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||||||
|
\begin{matrix}{ccccc}
|
||||||
|
\boxed{1} &2 &-2\\
|
||||||
|
0 &\boxed{-1} &2\\
|
||||||
|
0 &0 &\boxed{-1}\\
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||||||
|
0 &0 &0\\
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||||||
|
\end{matrix}.\\
|
||||||
|
\end{mathe}
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|
$\Rightarrow$ $\rank(A)=\text{\upshape Zeilenrang}(A)=3$
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(siehe \cite[Satz~6.3.11]{sinn2020}).
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\end{algorithm}
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Also gilt $\phi=\phi_{A}$,
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wobei $A$ eine $m\times n$-Matrix ist,
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wobei $m=4$, $n=3$,
|
||||||
|
und $\rank(A)=3$.
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||||||
|
Laut \cite[Korollar~6.3.15]{sinn2020} erhalten wir also
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\begin{kompaktitem}
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\item
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$\phi$ \fbox{ist injektiv},
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|
weil $\rank(A)=3\geq 3=n$.
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||||||
|
\item
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|
$\phi$ ist \fbox{nicht surjektiv},
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|
weil $\rank(A)=3\ngeq 4=m$.
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|
\item
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|
$\phi$ ist \fbox{nicht bijektiv},
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|
weil $m\neq n$.
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|
\end{kompaktitem}
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|
\end{enumerate}
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%% AUFGABE 9-3
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\clearpage
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|
\let\altsectionname\sectionname
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|
\def\sectionname{Aufgabe}
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|
\section[Aufgabe 3]{}
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|
\label{ueb:9:ex:3}
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|
\let\sectionname\altsectionname
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|
||||||
|
Seien $U,V,W$ Vektorräume über einem Körper $K$.
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|
Seien ${\phi:U\to V}$ und ${\psi:V\to W}$ lineare Abbildungen.
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|
\begin{schattierteboxdunn}
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|
\begin{claim*}
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|
${\psi\circ \phi:U\to W}$
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||||||
|
ist injektiv $\Leftrightarrow$
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||||||
|
$\phi$ injektiv und $\ker(\psi)\cap\range(\phi)=\{0\}$.
|
||||||
|
\end{claim*}
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|
\end{schattierteboxdunn}
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|
|
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|
\begin{proof}
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|
\hinRichtung
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||||||
|
Angenommen, $\psi\circ\phi$ sei injektiv.
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||||||
|
\textbf{Zu zeigen:} (i)~$\phi$ injektiv und (ii)~$\ker(\psi)\cap\range(\phi)=\{0\}$.\\
|
||||||
|
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||||||
|
\begin{enumerate}{\bfseries (i)}[\rtab][\rtab]
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|
\item
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|
Seien $x,x'\in U$ beliebig. Dann gilt
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||||||
|
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|
\begin{mathe}[mc]{rcl}
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|
\phi(x)=\phi(x')
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||||||
|
&\Longrightarrow
|
||||||
|
&\psi(\phi(x))=\psi(\phi(x'))\\
|
||||||
|
&\Longrightarrow
|
||||||
|
&(\psi\circ \phi)(x)=(\psi\circ \phi)(x')\\
|
||||||
|
&\textoverset{$\psi\circ\phi$ inj.}{\Longrightarrow}
|
||||||
|
&x=x'.\\
|
||||||
|
\end{mathe}
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||||||
|
|
||||||
|
Folglich ist $\phi$ injektiv.
|
||||||
|
\item
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||||||
|
Sei $y\in V$ beliebig. Es gilt
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{longmathe}[mc]{RCL}
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||||||
|
y\in\ker(\psi)\cap\range(\phi)
|
||||||
|
&\Longleftrightarrow
|
||||||
|
&y\in\range(\phi)\,\text{und}\,y\in\ker(\psi)\\
|
||||||
|
&\Longleftrightarrow
|
||||||
|
&(\exists{x\in U:~}y=\phi(x))\,\text{und}\,y\in\ker(\psi)\\
|
||||||
|
&\Longleftrightarrow
|
||||||
|
&\exists{x\in U:~}(y=\phi(x)\,\text{und}\,y\in\ker(\psi))\\
|
||||||
|
&\Longleftrightarrow
|
||||||
|
&\exists{x\in U:~}(y=\phi(x)\,\text{und}\,\psi(y)=0)\\
|
||||||
|
&\Longleftrightarrow
|
||||||
|
&\exists{x\in U:~}(y=\phi(x)\,\text{und}\,\psi(\phi(x))=0)\\
|
||||||
|
&\Longleftrightarrow
|
||||||
|
&\exists{x\in U:~}(y=\phi(x)\,\text{und}\,(\psi\circ\phi)(x)=0)\\
|
||||||
|
&\Longleftrightarrow
|
||||||
|
&\exists{x\in U:~}(y=\phi(x)\,\text{und}\,x\in\ker(\psi\circ\phi))\\
|
||||||
|
&\Longleftrightarrow
|
||||||
|
&\exists{x\in U:~}(y=\phi(x)\,\text{und}\,x\in\{0\})\\
|
||||||
|
&&\text{(wegen Injektivität von $\psi\circ\phi$ + \cite[Lemma~6.1.4(1)]{sinn2020})}\\
|
||||||
|
&\Longleftrightarrow
|
||||||
|
&\exists{x\in U:~}(y=\phi(x)\,\text{und}\,x=0)\\
|
||||||
|
&\Longleftrightarrow
|
||||||
|
&y=\phi(0)=0
|
||||||
|
\Longleftrightarrow
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||||||
|
y\in\{0\}.\\
|
||||||
|
\end{longmathe}
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||||||
|
|
||||||
|
Darum gilt $\ker(\psi)\cap\range(\phi)=\{0\}$.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
|
||||||
|
\herRichtung
|
||||||
|
Angenommen, (i)~$\phi$ sei injektiv und (ii)~$\ker(\psi)\cap\range(\phi)=\{0\}$.
|
||||||
|
\textbf{Zu zeigen:} $\psi\circ\phi$ injektiv.\\
|
||||||
|
Hierfür wenden wir \cite[Lemma~6.1.4(1)]{sinn2020} an.
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||||||
|
Sei $x\in U$ beliebig. Es gilt
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{longmathe}[mc]{RCL}
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||||||
|
x\in\ker(\psi\circ\phi)
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||||||
|
&\Longleftrightarrow
|
||||||
|
&\psi(\phi(x))=(\psi\circ\phi)(x)=0\\
|
||||||
|
&\Longleftrightarrow
|
||||||
|
&\phi(x)\in\ker(\psi)\\
|
||||||
|
&\Longleftrightarrow
|
||||||
|
&\phi(x)\in\ker(\psi)\cap\range(\phi)
|
||||||
|
\quad
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||||||
|
\text{($\phi(x)$ ist immer in $\range(\phi)$)}\\
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||||||
|
&\textoverset{(ii)}{\Longleftrightarrow}
|
||||||
|
&\phi(x)\in\{0\}\\
|
||||||
|
&\Longleftrightarrow
|
||||||
|
&\phi(x)=0\\
|
||||||
|
&\Longleftrightarrow
|
||||||
|
&x\in\ker(\phi)\\
|
||||||
|
&\Longleftrightarrow
|
||||||
|
&x\in\{0\}
|
||||||
|
\quad\text{(wegen (i) + \cite[Lemma~6.1.4(1)]{sinn2020})}\\\
|
||||||
|
\end{longmathe}
|
||||||
|
|
||||||
|
Darum gilt $\ker(\psi\circ\phi)=\{0\}$
|
||||||
|
und laut \cite[Lemma~6.1.4(1)]{sinn2020}
|
||||||
|
ist dies zur Injektivität von $\psi\circ\phi$ äquivalent.
|
||||||
|
\end{proof}
|
||||||
|
|
||||||
\setcounternach{part}{2}
|
\setcounternach{part}{2}
|
||||||
\part{Selbstkontrollenaufgaben}
|
\part{Selbstkontrollenaufgaben}
|
||||||
|
|
||||||
@ -8532,6 +9021,116 @@ für alle Teilmengen, $U\subseteq V$, und von
|
|||||||
für alle linearen Unterräume, $U\subseteq V$.
|
für alle linearen Unterräume, $U\subseteq V$.
|
||||||
\end{rem*}
|
\end{rem*}
|
||||||
|
|
||||||
|
%% ********************************************************************************
|
||||||
|
%% FILE: body/quizzes/quiz9.tex
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|
%% ********************************************************************************
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||||||
|
|
||||||
|
\setcounternach{chapter}{9}
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|
\chapter[Woche 9]{Woche 9}
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|
\label{quiz:9}
|
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|
|
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\begin{claim*}
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Seien $U,V,W$ Vektorräume über einem Körper, $K$.
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|
Seien
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${\phi:U\to V}$
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|
und
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|
${\psi:V\to W}$
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|
linear.
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||||||
|
Falls
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\begin{kompaktenum}{\bfseries (i)}[\rtab][\rtab]
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|
\item\label{it:1:quiz:9}
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|
$\psi$ surjektiv ist; und
|
||||||
|
\item\label{it:2:quiz:9}
|
||||||
|
$\ker(\psi)+\range(\phi)=V$,
|
||||||
|
\end{kompaktenum}
|
||||||
|
|
||||||
|
dann ist ${\psi\circ\phi:U\to W}$ surjektiv.
|
||||||
|
\end{claim*}
|
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|
|
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|
\begin{einzug}[\rtab][\rtab]
|
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|
\begin{proof}
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Es reicht aus, für alle $z\in W$
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\textbf{zu zeigen}, dass ein $x\in U$ existiert mit
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\begin{mathe}[mc]{rcl}
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|
\eqtag[eq:0:quiz:9]{$\ast$}
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(\psi\circ\phi)(x) &= &z.\\
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\end{mathe}
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||||||
|
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||||||
|
Sei also $z\in W$ beliebig.
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\begin{einzug}[\rtab]
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Wegen \eqcref{it:1:quiz:9} existiert ein $y\in V$,
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so dass
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\begin{mathe}[mc]{rcl}
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||||||
|
\eqtag[eq:1:quiz:9]
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|
\phi(y) &= &z.\\
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||||||
|
\end{mathe}
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|
|
||||||
|
Da $y\in V$ und laut \eqcref{it:2:quiz:9} $V=\ker(\psi)+\range(\phi)$,
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es existieren $y_{0}\in\ker(\psi)$ und $y_{1}\in\range(\phi)$,
|
||||||
|
so dass
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||||||
|
|
||||||
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\begin{mathe}[mc]{rcl}
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||||||
|
\eqtag[eq:2:quiz:9]
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||||||
|
y &= &y_{0}+y_{1}.\\
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||||||
|
\end{mathe}
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||||||
|
|
||||||
|
Da $y_{1}\in\range(\phi)$, existiert nun ein \fbox{$x\in U$},
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so dass $\phi(x)=y_{1}$. Wir berechnen nun
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\begin{mathe}[mc]{rcl}
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(\psi\circ\phi)(x)
|
||||||
|
&= &\psi(\phi(x))\\
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||||||
|
&= &\psi(y_{1})\\
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||||||
|
&\eqcrefoverset{eq:2:quiz:9}{=}
|
||||||
|
&\psi(y-y_{0})\\
|
||||||
|
&= &\psi(y)-\psi(y_{0})\\
|
||||||
|
&= &\psi(y)-0,
|
||||||
|
\quad\text{da $y_{0}\in\ker(\psi)$}\\
|
||||||
|
&\eqcrefoverset{eq:1:quiz:9}{=}
|
||||||
|
&z.\\
|
||||||
|
\end{mathe}
|
||||||
|
|
||||||
|
Damit haben wir \eqcref{eq:0:quiz:9} gezeigt.
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|
\end{einzug}
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|
|
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|
Also ist $\psi\circ\phi$ surjektiv.
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\end{proof}
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|
\end{einzug}
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||||||
|
\begin{rem*}
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|
Wir können in der Tat zeigen, die umgekehrte Richtung auch gilt:
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|
Angenommen, $\psi\circ\phi$ sei surjektiv.
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||||||
|
Dann gilt
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$W\supseteq\psi(V)\supseteq\psi(\phi(U))=(\psi\circ\phi)(U)=W$,
|
||||||
|
und somit $\psi(V)=W$,
|
||||||
|
sodass \eqcref{it:1:quiz:9} gilt.
|
||||||
|
Und für alle $y\in V$, wegen Surjektivität von $\psi\circ\phi$,
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|
existiert ein $x\in U$, so dass $\psi(y)=(\psi\circ\phi)(x)$.
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||||||
|
Daraus folgt
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\begin{mathe}[mc]{rcccl}
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||||||
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\psi(y-\phi(x))
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||||||
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&= &\psi(y)-\psi(\phi(x))
|
||||||
|
&= &0,\\
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||||||
|
\end{mathe}
|
||||||
|
|
||||||
|
sodass \fbox{$y-\phi(x)\in\ker(\psi)$} gilt.
|
||||||
|
Darum
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||||||
|
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||||||
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\begin{mathe}[mc]{rcccl}
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y &= &\underbrace{y-\phi(x)}_{\in\ker(\psi)}
|
||||||
|
+\underbrace{\phi(x)}_{\in\range(\phi)}
|
||||||
|
&\in &\ker(\psi)+\range(\phi).\\
|
||||||
|
\end{mathe}
|
||||||
|
|
||||||
|
Also gilt die $\supseteq$-Inklusion in \eqcref{it:2:quiz:9}.
|
||||||
|
Und offensichtlich gilt die $\subseteq$-Inklusion in \eqcref{it:1:quiz:9}.
|
||||||
|
\end{rem*}
|
||||||
|
|
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%% ********************************************************************************
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%% ********************************************************************************
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%% FILE: back/index.tex
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%% FILE: back/index.tex
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%% ********************************************************************************
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%% ********************************************************************************
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