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(Für die Berechnungen haben wir Octave benutzt.) |
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## Aufgabe ähnlich wie ÜB9-1 ## |
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# Woche 10 # |
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## §1. Linear oder nicht? ## |
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U = lin{u1, u2} |
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V = lin{v1, v2, v3} |
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In folgenden Aufgaben wird eine Funktion φ : ℝ³ ⟶ ℝ² definiert. |
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Bestimme in jedem Falle, ob φ linear ist. |
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### U ⊆ V ? ### |
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#### Beispiel 1 #### |
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a) |
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u1 = (1 1 0 0)ᵀ |
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u2 = (-1 1 0 0)ᵀ |
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φ(x₁, x₂, x₃) = ( 4·x₁·x₃ ) |
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( 10·x₂ ) |
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v1 = (4 0 0 0)ᵀ |
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v2 = (1 4 0 0)ᵀ |
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v3 = (1 0 1 0)ᵀ |
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Anmerkung: lin{u1, u2} ⊆ lin{v1, v2, v3} <===> u1, u2 ∈ lin{v1, v2, v3} |
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Setze A := (v1 v2 v3 u1 u2) |
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---> auf Zeilenstufenform reduzieren |
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---> zeigen, dass in homogenen LGS Ax = 0 x4 und x5 freie Unbekannte sind. |
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---> ja |
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---> lin{u1, u2} ⊆ lin{v1, v2, v3} |
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#### Beispiel 2 #### |
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u1 = (1 1 0 1)ᵀ |
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u2 = (-1 1 0 0)ᵀ |
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Wenn φ linear wäre, dann müsste φ(2, 0, 2) = 2·φ(1, 0, 1) gelten. |
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Aber: |
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v1 = (4 0 0 0)ᵀ |
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v2 = (1 4 0 0)ᵀ |
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v3 = (1 0 1 0)ᵀ |
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φ(2, 0, 2) = (16, 0)ᵀ |
||||
2·φ(1, 0, 1) = 2·(4, 0)ᵀ = (8, 0)ᵀ ≠ φ(2, 0, 2) |
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Setze A := (v1 v2 v3 u1 u2) |
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---> auf Zeilenstufenform reduzieren |
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---> zeigen, dass in homogenen LGS Ax = 0 x4 und x5 freie Unbekannte sind. |
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---> nein |
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---> also lin{u1, u2} ⊈ lin{v1, v2, v3} |
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Also ist φ nicht linear, weil Homogenität verletzt wird. |
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### Basis von V/U ### |
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b) |
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--> Beispiel 1. |
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φ(x₁, x₂, x₃) = ( x₃² ) |
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( 0 ) |
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u1 = (1 1 0 0)ᵀ |
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u2 = (-1 1 0 0)ᵀ |
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Wenn φ linear wäre, dann müsste φ(0, 0, 8) = 8·φ(0, 0, 1) gelten. |
||||
Aber: |
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v1 = (4 0 0 0)ᵀ |
||||
v2 = (1 0 1 0)ᵀ |
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v3 = (1 4 0 0)ᵀ |
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φ(0, 0, 8) = (64, 0)ᵀ |
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8·φ(0, 0, 1) = 8·(1, 0)ᵀ = (8, 0)ᵀ ≠ φ(0, 0, 8) |
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Schreibweise für Äquivalenzklassen: |
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[v] = v + U |
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--> die Elemente in V/U |
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Also ist φ nicht linear, weil Homogenität verletzt wird. |
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Setze A := (u1 u2 v1 v2 v3) |
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---> auf Zeilenstufenform reduzieren |
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---> bestimmen, welche Variablen frei / unfrei sind |
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---> bestimme die Basis durch die Spalten, die den unfreien Variablen entsprechen |
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---> |
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x3, x5 sind frei |
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x1, x2, x4 nicht frei |
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---> v2 + U (entspricht x4) bildet eine Basis |
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c) |
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φ(x₁, x₂, x₃) = ( x₃ ) |
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( 0 ) |
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## SKA 9-5 ## |
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--> linear |
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Basis für U: |
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u1 = (1 1 0)ᵀ |
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u2 = (0 1 1)ᵀ |
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Basis für V = ℝ^3: |
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v1 = (1 0 0)ᵀ |
||||
v2 = (0 1 0)ᵀ |
||||
v3 = (0 0 1)ᵀ |
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d) |
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A = (u1, u2, v1, v2, v3) |
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---> Zeilenstufenform: x1, x2, x3 nicht frei; x4, x5 frei |
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---> V / U = lin {v1 + U} = lin { e1 + U } |
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und dim(V/U) = 1 |
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φ(x₁, x₂, x₃) = ( 0 ) |
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( 0 ) |
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Beachte: v2 = u1 - v1 ===> v2 + U = -(v1 + U) |
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v3 = (u2-u1) + v1 ===> v3 + U = v1 + U |
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--> linear |
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e) |
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φ(x₁, x₂, x₃) = ( 4 ) |
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( 0 ) |
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## UB9-2 (Bsp) ## |
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Wenn φ linear wäre, dann müsste φ(0) = 0 gelten. [Siehe Lemma 6.1.2] |
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Aber φ ist hier niemals der Nullvektor! |
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Also ist φ nicht linear. |
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Seien |
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f) |
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v1 = (1 0 0 4 1)ᵀ |
||||
v2 = (0 1 0 8 0)ᵀ |
||||
v3 = (-3 0 0 0 1)ᵀ |
||||
φ(x₁, x₂, x₃) = ( 10·x₃ ) |
||||
( -x₂ + x₁ ) |
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||||
φ : ℝ^3 ---> ℝ^5 |
||||
sei linear mit |
||||
φ(e_i) = v_i für alle i |
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linear! |
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1. Sei x = (x1, x2, x3) ∈ ℝ^3 |
||||
φ(x1,x2,x3) |
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= φ(x) |
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= φ(x1·e1 + x2·e2 + x3·e3) |
||||
= φ(x1·e1) + φ(x2·e2) + φ(x3·e3) |
||||
= x1·φ(e1) + x2·φ(e2) + x3·φ(e3) |
||||
= x1·v1 + x2·v2 + x3·v3 |
||||
= Ax |
||||
wobei A = (v1 v2 v3) |
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= 1 0 -3 |
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0 1 0 |
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0 0 0 |
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4 8 0 |
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1 0 1 |
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Also ist φ = φ_A (siehe Korollar 6.3.15 aus [Sinn2020]). |
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Wℝ berechnen den Rang von A, um die Injektivität/Surjektivität/Bijektivität |
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von φ zu klassifizieren: |
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---> A in Zeilenstufenform: |
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1 0 -3 |
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0 1 0 |
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0 0 0 |
||||
0 0 12 |
||||
0 0 4 |
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Rang(A) = 3 |
||||
---> A ist eine mxn Matrix mit m=5, n=3 |
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Rang(A) = 3 ≥ 3 = n ===> φ = φ_A ist injektiv |
||||
Rang(A) = 3 < 5 = m ===> φ = φ_A ist nicht surjektiv |
||||
m ≠ n ===> φ = φ_A ist nicht bijektiv |
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g) |
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φ(x₁, x₂, x₃) = ( 1 - 10·x₃ ) |
||||
( -x₂ + x₁ ) |
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||||
Wenn φ linear wäre, dann müsste φ(0) = 0 gelten. [Siehe Lemma 6.1.2] |
||||
Aber φ(0) = (1, 0)ᵀ. |
||||
Also ist φ nicht linear. |
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## UB9-3 (wie man ansetzen kann...) ## |
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h) |
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**Zz:** ψ◦ϕ injektiv <===> ϕ injektiv + Kern(ψ) ∩ Bild(ϕ) = {0} |
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φ(x₁, x₂, x₃) = ( exp(-(7·x₂ + 8·x₁)) ) |
||||
( 0 ) |
||||
|
||||
(==>) Angenommen, ψ◦ϕ injektiv. |
||||
**Zz:** ϕ injektiv + Kern(ψ) ∩ Bild(ϕ) = {0}. |
||||
Wenn φ linear wäre, dann müsste φ(0) = 0 gelten. [Siehe Lemma 6.1.2] |
||||
Aber φ(0) = (exp(0), 0)ᵀ = (1, 0)ᵀ. |
||||
Also ist φ nicht linear. |
||||
|
||||
... |
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## §2. Aufgaben ähnlich zu ÜB 10-2 ## |
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(<==) Angenommen, ϕ injektiv + Kern(ψ) ∩ Bild(ϕ) = {0}. |
||||
**Zz:** ψ◦ϕ injektiv |
||||
Seien A = (u₁, u₂, u₃) und B = (v₁, v₂), |
||||
wobei |
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Laut Korollar 6.3.15 aus [Sinn2020] reicht es aus zu zeigen, dass Kern(ψ◦ϕ) = {0}. |
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u₁ = (3, 0, 1)ᵀ |
||||
u₂ = (0, -1, 0)ᵀ |
||||
u₃ = (4, 0, 0)ᵀ |
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||||
Sei x ∈ U beliebig. |
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v₁ = (4, 5)ᵀ |
||||
v₂ = (0, 1)ᵀ |
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**Zz:** x ∈ Kern(ψ◦ϕ) <===> x = 0 |
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Beachte: |
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x ∈ Kern(ψ◦ϕ) |
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<===> (ψ◦ϕ)(x) = 0 |
||||
.. |
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.. <--- ϕ injektiv + Kern(ψ) ∩ Bild(ϕ) = {0} ausnutzen ! |
||||
.. |
||||
<===> x = 0 |
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- A bildet eine Basis für ℝ³ |
||||
- B bildet eine Basis für ℝ² |
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Sei nun φ : ℝ³ ⟶ ℝ² definiert durch |
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φ(x₁, x₂, x₃) = ( 4·x₁ - x₃ ) |
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( 10·x₂ + x₁ ) |
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### Zur Linearität ### |
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Seien |
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(x₁,x₂,x₃), (x₁',x₂',x₃') ∈ ℝ³ |
||||
c, c' ∈ ℝ |
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||||
**Zu zeigen:** |
||||
φ(c(x₁, x₂, x₃) +c'(x₁',x₂',x₃')) = c·φ(x₁, x₂, x₃) +c'·φ(x₁', x₂', x₃') |
||||
|
||||
Es gilt |
||||
|
||||
l. S. = φ(c(x₁, x₂, x₃) +c'(x₁',x₂',x₃')) |
||||
= φ(c(x₁·e1 + x₂·e2 + x₃·e3) +c'(x₁'·e1 + x₂'·e2 + x₃'·e3)) |
||||
= φ((c·x₁ + c'·x₁)·e1 + (c·x₂ + c'·x₂)·e2 + (c·x₃ + c'·x₃)·e3) |
||||
= φ(c·x₁ + c'·x₁', c·x₂ + c'·x₂', c·x₃ + c'·x₃') |
||||
|
||||
= ( 4·(c·x₁ + c'·x₁') - (c·x₃ + c'·x₃') ) |
||||
( 10·(c·x₂ + c'·x₂') + (c·x₁ + c'·x₁') ) |
||||
|
||||
= ( c·(4·x₁ - x₃) + c'·(4·x₁' - x₃') ) |
||||
( c·(10·x₂ + x₁) + c'·(10·x₂' + x₁') ) |
||||
|
||||
= c·( 4·x₁ - x₃ ) + c'·( 4·x₁' - x₃' ) |
||||
( 10·x₂ + x₁ ) ( 10·x₂' + x₁' ) |
||||
|
||||
= r. S. |
||||
|
||||
Darum ist φ linear. |
||||
|
||||
### Darstellung ### |
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Zunächst beobachten wir: |
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φ(x₁, x₂, x₃) = ( 4 0 -1 ) ( x₁ ) |
||||
( 1 10 0 ) ( x₂ ) |
||||
( x₃ ) |
||||
= C·x |
||||
= φ_C(x) siehe [Skript, Bsp 6.2.2], |
||||
|
||||
wobei C die Matrix |
||||
|
||||
C = ( 4 0 -1 ) |
||||
( 1 10 0 ) |
||||
|
||||
ist. |
||||
|
||||
**Bemerkung.** Den vorherigen Teil konnten wir hiermit viel einfacher machen: |
||||
Da φ_C linear ist (siehe [Skript, Bsp 6.2.2]), ist φ = φ_C linear. |
||||
|
||||
_Zurück zur Berechnung der Darstellung..._ |
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||||
Die zu berechnende Matrix M := M_A^B(φ), ist diejenige, die erfüllt: |
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||||
- ist x der Form x = ∑ α_j·u_j = (α_j) <--- als Vektor über Basis A |
||||
- und ist M·(α_j) = (β_i) für einen Vektor (β_i) ∈ ℝ² |
||||
- dann gilt φ(x) = y, wobei y = ∑ β_i·v_i |
||||
|
||||
Zusammengefasst ist M genau die Matrix, für die gilt: |
||||
|
||||
B·M·α = φ(A·α) |
||||
|
||||
für alle α ∈ ℝ³. Da φ = φ_C, ist die äquivalent zu |
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|
||||
B·M·α = C·A·α |
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|
||||
Kurzgesagt: M_A^B(φ) = B^-1 · C · A. |
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Um dies zu bestimmen, wenden wir das Gaußverfahren |
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auf folgendes augmentiertes System an |
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|
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( B | C·A ) |
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|
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und reduzieren die linke Hälfte auf die Identitätsmatrix. |
||||
Die resultierende Matrix in der rechten Hälfte wir dann M sein. |
||||
Es gilt |
||||
|
||||
C·A = ( 4 0 -1 ) (3 0 4) |
||||
( 1 10 0 ) (0 -1 0) |
||||
(1 0 0) |
||||
= ( 11 0 16 ) |
||||
( 3 -10 4 ) |
||||
|
||||
Also ist das augmentiere System |
||||
|
||||
( B | C·A ) |
||||
|
||||
= ( 4 0 | 11 0 16 ) |
||||
( 5 1 | 3 -10 4 ) |
||||
Zeile2 <- 4*Zeile2 - 5*Zeile1 |
||||
|
||||
~> ( 4 0 | 11 0 16 ) |
||||
( 0 4 | -43 -40 -64 ) |
||||
Zeile1 <- Zeile1 : 4 |
||||
Zeile2 <- Zeile2 : 4 |
||||
|
||||
~> ( 1 0 | 11/4 0 4 ) |
||||
( 0 1 | -43/4 -10 -16 ) |
||||
|
||||
Darum gilt |
||||
|
||||
M_A^B(φ) = ( 11/4 0 4 ) |
||||
( -43/4 -10 -16 ) |
||||
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||||
|
||||
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## §3. Lineare Fortsetzung von partiell definierten Funktionen ## |
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||||
Seien u₁, u₂, u₃, u₄, u₅ eine Basis für ℝ⁵. |
||||
Seien v₁, v₂, v₃ Vektoren in ℝ³. |
||||
Definiert werden |
||||
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||||
φ(u₁) = v₁, φ(u₂) = v₂, φ(u₄) = v₃ |
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|
||||
**Aufgabe:** Gibt es eine lineare Abbildung, φ : ℝ⁵ ⟶ ℝ³, die die o. s. Gleichungen erfüllen? |
||||
|
||||
**Antwort:** Ja. |
||||
|
||||
**Beweis:** |
||||
Da eine (u₁, u₂, u₃, u₄, u₅) Basis für ℝ⁵ ist, |
||||
können wir [Skript, Satz 6.1.13] anwenden. |
||||
Setze |
||||
|
||||
φ(u₃) := 0 (Nullvektor) |
||||
φ(u₅) := 0 (Nullvektor) |
||||
|
||||
Mit der partiellen Definition von φ auf der Basis (u₁, u₂, u₃, u₄, u₅), |
||||
existiert laut [Skript, Satz 6.1.13] eine **lineare Ausdehnung** |
||||
(auch _Fortsetzung_ od. _Erweiterung_ in der Literatur genannt) |
||||
φ : ℝ⁵ ⟶ ℝ³, so dass |
||||
|
||||
φ(u₁) = v₁, φ(u₂) = v₂, φ(u₄) = v₃, φ(u₃) = 0, φ(u₅) = 0. |
||||
**QED** |
||||
|
||||
**Bemerkung 1.** |
||||
Konkret, da u₁, u₂, u₃, u₄, u₅ eine Basis ist, |
||||
existiert für jedes x ∈ ℝ⁵ eindeutige Werte |
||||
c₁, c₂, c₃, c₄, c₅ im Körper ℝ, |
||||
so dass |
||||
|
||||
x = ∑ c_i · ui |
||||
|
||||
gilt, und man setzt |
||||
|
||||
φ(x) := ∑ c_i · φ(u_i). |
||||
|
||||
Mit dieser Definition ist es einfach, die Axiome durchzugehen, |
||||
und zu beweisen, dass dies eine lineare Abbildung definiert. |
||||
|
||||
**Bemerkung 2.** |
||||
Beachte, dass die _Wahl_ von den φ(u₃), φ(u₅) im o. s. Beispiel beliebig sein kann. Es ist nur entscheidend, dass in der partiellen |
||||
Definition wir es mit linear unabhängigen Elementen zu tun haben. |
||||
Falls es zu Abhängigkeiten zwischen den Inputvektoren kommt, |
||||
müssen wir wie gewohnt auf eine maximale linear unabhängige Teilmenge |
||||
reduzieren, und zeigen, dass für die restlichen Inputs, |
||||
die Definition kompatibel ist. |
||||
|
||||
Als Beispiel nehmen wir |
||||
|
||||
u₁ = (1, 0, 1, 0, 0)ᵀ |
||||
u₂ = (1, 2, 1, 0, 0)ᵀ |
||||
u₃ = (0, 1, 0, 0, 0)ᵀ |
||||
|
||||
und φ : ℝ⁵ ⟶ ℝ³ partiell definiert auf {u₁, u₂, u₃}. |
||||
Aus (u₁, u₂, u₃) können wir sehen (etwa durch den Gaußalgorithmus), |
||||
dass (u₁, u₂) ein maximales linear unabhängiges Teilsystem ist |
||||
und |
||||
|
||||
u₃ = -½u₁ + ½u₂. |
||||
|
||||
Darum können φ(u₁), φ(u₂) beliebig gewählt werden, |
||||
umd es muss |
||||
|
||||
φ(u₃) = -½φ(u₁) + ½φ(u₂) |
||||
|
||||
gelten (entsprechend dem o. s. Verhältnis). |
||||
|
||||
Wenn wir zum Beispiel |
||||
|
||||
φ(u₁) = ( 4, 2)ᵀ |
||||
φ(u₂) = (-2, 8)ᵀ |
||||
φ(u₃) = (-3, 3)ᵀ |
||||
|
||||
wählen ist, dies erfüllt. |
||||
Man kann das l. u. Teilsystem (u₁, u₂) |
||||
durch 3 weitere Vektoren zu einer Basis ergänzen |
||||
und φ zu einer linearen Abb ausdehnen. |
||||
|
||||
Wenn wir aber |
||||
|
||||
φ(u₁) = ( 8, 1)ᵀ |
||||
φ(u₂) = (-4, 8)ᵀ |
||||
φ(u₃) = ( 0, 1)ᵀ |
||||
|
||||
wählen ist, ist φ(u₃) = -½φ(u₁) + ½φ(u₂) nicht erfüllt. |
||||
Darum lässt sich hier φ **nicht** zu einer linearen Abbildung erweitern. |
||||
|
@ -1,294 +1,191 @@
|
||||
## §1. Linear oder nicht? ## |
||||
# Woche 10 # |
||||
## SKA 11 ## |
||||
|
||||
In folgenden Aufgaben wird eine Funktion φ : ℝ³ ⟶ ℝ² definiert. |
||||
Bestimme in jedem Falle, ob φ linear ist. |
||||
### Aufgabe 12 ### |
||||
|
||||
a) |
||||
Gegeben sei |
||||
|
||||
φ(x₁, x₂, x₃) = ( 4·x₁·x₃ ) |
||||
( 10·x₂ ) |
||||
A = -1 1 |
||||
2 0 |
||||
3 1 |
||||
|
||||
Wenn φ linear wäre, dann müsste φ(2, 0, 2) = 2·φ(1, 0, 1) gelten. |
||||
Aber: |
||||
A ist in ℝ^{3 x 2} |
||||
**Zu finden:** Matrizen P, Q, so dass P·A·Q im Format wie in Satz 6.3.10 |
||||
Offensichtlich müssen |
||||
|
||||
φ(2, 0, 2) = (16, 0)ᵀ |
||||
2·φ(1, 0, 1) = 2·(4, 0)ᵀ = (8, 0)ᵀ ≠ φ(2, 0, 2) |
||||
P ∈ ℝ^{3 x 3} |
||||
Q ∈ ℝ^{2 x 2} |
||||
|
||||
Also ist φ nicht linear, weil Homogenität verletzt wird. |
||||
gelten. Da bei X·Y müssen #col(X), #row(Y) übereinstimmen, weil |
||||
wenn man die Matrixmultiplikation ausführt, dann multipliziert man |
||||
- Zeilen aus X |
||||
mit |
||||
- Spalten aus Y. |
||||
Im Gaußverfahren |
||||
|
||||
b) |
||||
A —> E1·A —> E2·E1·A —> E3·E2·E1·A ... —> (E_r·E_{r-1}·...·E3·E2·E1)·A |
||||
|
||||
φ(x₁, x₂, x₃) = ( x₃² ) |
||||
( 0 ) |
||||
—> Wir wollen (E_r·E_{r-1}·...·E3·E2·E1) als einzige Matrix erfassen, also als P. |
||||
|
||||
Wenn φ linear wäre, dann müsste φ(0, 0, 8) = 8·φ(0, 0, 1) gelten. |
||||
Aber: |
||||
Wir führen A in ein augmentiertes System mit der 3x3 Identitätsmatrix auf |
||||
|
||||
φ(0, 0, 8) = (64, 0)ᵀ |
||||
8·φ(0, 0, 1) = 8·(1, 0)ᵀ = (8, 0)ᵀ ≠ φ(0, 0, 8) |
||||
-1 1 | 1 0 0 |
||||
2 0 | 0 1 0 |
||||
3 1 | 0 0 1 |
||||
|
||||
Also ist φ nicht linear, weil Homogenität verletzt wird. |
||||
und führen das Gaußverfahren darauf auf. Dann geschieht (effektiv) parallel |
||||
|
||||
c) |
||||
linke Hälfte: A —> E1·A —> E2·E1·A —> E3·E2·E1·A ... —> (E_r·E_{r-1}·...·E3·E2·E1)·A |
||||
rechte Hälfte: I —> E1·I —> E2·E1·I —> E3·E2·E1·I ... —> (E_r·E_{r-1}·...·E3·E2·E1)·I |
||||
= (E_r·E_{r-1}·...·E3·E2·E1) |
||||
= P |
||||
|
||||
φ(x₁, x₂, x₃) = ( x₃ ) |
||||
( 0 ) |
||||
Gaußverfahren: |
||||
|
||||
--> linear |
||||
-1 1 | 1 0 0 |
||||
2 0 | 0 1 0 |
||||
3 1 | 0 0 1 |
||||
|
||||
d) |
||||
Zeilen 1 und 2 tauschen: |
||||
|
||||
φ(x₁, x₂, x₃) = ( 0 ) |
||||
( 0 ) |
||||
2 0 | 0 1 0 |
||||
-1 1 | 1 0 0 |
||||
3 1 | 0 0 1 |
||||
|
||||
--> linear |
||||
Zeile_2 <— 2·Zeile_2 + Zeile_1 |
||||
Zeile_3 <— 2·Zeile_3 - 3·Zeile_1 |
||||
|
||||
e) |
||||
2 0 | 0 1 0 |
||||
0 2 | 2 1 0 |
||||
0 2 | 0 -3 2 |
||||
|
||||
φ(x₁, x₂, x₃) = ( 4 ) |
||||
( 0 ) |
||||
Zeile_3 <— Zeile_3 - Zeile_2 |
||||
|
||||
Wenn φ linear wäre, dann müsste φ(0) = 0 gelten. [Siehe Lemma 6.1.2] |
||||
Aber φ ist hier niemals der Nullvektor! |
||||
Also ist φ nicht linear. |
||||
2 0 | 0 1 0 |
||||
0 2 | 2 1 0 |
||||
0 0 | -2 -4 2 |
||||
|
||||
f) |
||||
Zeile_1 <— Zeile_1 / 2 |
||||
Zeile_2 <— Zeile_2 / 2 |
||||
|
||||
φ(x₁, x₂, x₃) = ( 10·x₃ ) |
||||
( -x₂ + x₁ ) |
||||
1 0 | 0 1/2 0 |
||||
0 1 | 1 1/2 0 |
||||
0 0 | -2 -4 2 |
||||
|
||||
linear! |
||||
Also gilt mit |
||||
|
||||
g) |
||||
P = 0 1 0 |
||||
2 1 0 |
||||
-2 -4 2 |
||||
|
||||
φ(x₁, x₂, x₃) = ( 1 - 10·x₃ ) |
||||
( -x₂ + x₁ ) |
||||
Dass P·A = Form aus Satz 6.3.10. |
||||
Setze Q := 2 x 2 Identitätsmatrix |
||||
Dann |
||||
|
||||
Wenn φ linear wäre, dann müsste φ(0) = 0 gelten. [Siehe Lemma 6.1.2] |
||||
Aber φ(0) = (1, 0)ᵀ. |
||||
Also ist φ nicht linear. |
||||
P·A·Q = P·A = Matrix im Format aus Satz 6.3.10 |
||||
|
||||
h) |
||||
### Anderes nicht so glückliches Beispiel ### |
||||
|
||||
φ(x₁, x₂, x₃) = ( exp(-(7·x₂ + 8·x₁)) ) |
||||
( 0 ) |
||||
Angenommen wir hätten A als 3 x 5 Matrix und nach Ausführung des o. s. Verfahrens |
||||
|
||||
Wenn φ linear wäre, dann müsste φ(0) = 0 gelten. [Siehe Lemma 6.1.2] |
||||
Aber φ(0) = (exp(0), 0)ᵀ = (1, 0)ᵀ. |
||||
Also ist φ nicht linear. |
||||
0 1 0 0 0 | 0 1/2 0 |
||||
0 0 0 1 0 | 1 1/2 0 |
||||
0 0 0 0 0 | -2 -4 2 |
||||
|
||||
## §2. Aufgaben ähnlich zu ÜB 10-2 ## |
||||
erzielt. Dann würden wir P wie oben setzen. |
||||
Aber wir müssen noch Q bestimmen. |
||||
Das können wir einfach durch Permutationen erreichen: |
||||
|
||||
Seien A = (u₁, u₂, u₃) und B = (v₁, v₂), |
||||
wobei |
||||
0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 |
||||
1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 |
||||
Q = 0 0 1 0 0 · 0 0 1 0 0 |
||||
0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 |
||||
0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 |
||||
|
||||
u₁ = (3, 0, 1)ᵀ |
||||
u₂ = (0, -1, 0)ᵀ |
||||
u₃ = (4, 0, 0)ᵀ |
||||
Oder mit Gaußverfahren, transponieren wir und augmentieren wir mit der 5x5 Identitätsmatrix: |
||||
|
||||
v₁ = (4, 5)ᵀ |
||||
v₂ = (0, 1)ᵀ |
||||
0 0 0 | 1 0 0 0 0 |
||||
1 0 0 | 0 1 0 0 0 |
||||
0 0 0 | 0 0 1 0 0 |
||||
0 1 0 | 0 0 0 1 0 |
||||
0 0 0 | 0 0 0 0 1 |
||||
|
||||
Beachte: |
||||
|
||||
- A bildet eine Basis für ℝ³ |
||||
- B bildet eine Basis für ℝ² |
||||
|
||||
Sei nun φ : ℝ³ ⟶ ℝ² definiert durch |
||||
|
||||
φ(x₁, x₂, x₃) = ( 4·x₁ - x₃ ) |
||||
( 10·x₂ + x₁ ) |
||||
|
||||
### Zur Linearität ### |
||||
Seien |
||||
|
||||
(x₁,x₂,x₃), (x₁',x₂',x₃') ∈ ℝ³ |
||||
c, c' ∈ ℝ |
||||
|
||||
**Zu zeigen:** |
||||
φ(c(x₁, x₂, x₃) +c'(x₁',x₂',x₃')) = c·φ(x₁, x₂, x₃) +c'·φ(x₁', x₂', x₃') |
||||
|
||||
Es gilt |
||||
|
||||
l. S. = φ(c(x₁, x₂, x₃) +c'(x₁',x₂',x₃')) |
||||
= φ(c(x₁·e1 + x₂·e2 + x₃·e3) +c'(x₁'·e1 + x₂'·e2 + x₃'·e3)) |
||||
= φ((c·x₁ + c'·x₁)·e1 + (c·x₂ + c'·x₂)·e2 + (c·x₃ + c'·x₃)·e3) |
||||
= φ(c·x₁ + c'·x₁', c·x₂ + c'·x₂', c·x₃ + c'·x₃') |
||||
|
||||
= ( 4·(c·x₁ + c'·x₁') - (c·x₃ + c'·x₃') ) |
||||
( 10·(c·x₂ + c'·x₂') + (c·x₁ + c'·x₁') ) |
||||
|
||||
= ( c·(4·x₁ - x₃) + c'·(4·x₁' - x₃') ) |
||||
( c·(10·x₂ + x₁) + c'·(10·x₂' + x₁') ) |
||||
|
||||
= c·( 4·x₁ - x₃ ) + c'·( 4·x₁' - x₃' ) |
||||
( 10·x₂ + x₁ ) ( 10·x₂' + x₁' ) |
||||
|
||||
= r. S. |
||||
|
||||
Darum ist φ linear. |
||||
|
||||
### Darstellung ### |
||||
Zunächst beobachten wir: |
||||
|
||||
φ(x₁, x₂, x₃) = ( 4 0 -1 ) ( x₁ ) |
||||
( 1 10 0 ) ( x₂ ) |
||||
( x₃ ) |
||||
= C·x |
||||
= φ_C(x) siehe [Skript, Bsp 6.2.2], |
||||
|
||||
wobei C die Matrix |
||||
|
||||
C = ( 4 0 -1 ) |
||||
( 1 10 0 ) |
||||
|
||||
ist. |
||||
|
||||
**Bemerkung.** Den vorherigen Teil konnten wir hiermit viel einfacher machen: |
||||
Da φ_C linear ist (siehe [Skript, Bsp 6.2.2]), ist φ = φ_C linear. |
||||
|
||||
_Zurück zur Berechnung der Darstellung..._ |
||||
|
||||
Die zu berechnende Matrix M := M_A^B(φ), ist diejenige, die erfüllt: |
||||
|
||||
- ist x der Form x = ∑ α_j·u_j = (α_j) <--- als Vektor über Basis A |
||||
- und ist M·(α_j) = (β_i) für einen Vektor (β_i) ∈ ℝ² |
||||
- dann gilt φ(x) = y, wobei y = ∑ β_i·v_i |
||||
|
||||
Zusammengefasst ist M genau die Matrix, für die gilt: |
||||
Zeile1 und Zeile2 vertauschen: |
||||
|
||||
B·M·α = φ(A·α) |
||||
1 0 0 | 0 1 0 0 0 |
||||
0 0 0 | 1 0 0 0 0 |
||||
0 0 0 | 0 0 1 0 0 |
||||
0 1 0 | 0 0 0 1 0 |
||||
0 0 0 | 0 0 0 0 1 |
||||
|
||||
für alle α ∈ ℝ³. Da φ = φ_C, ist die äquivalent zu |
||||
Zeile2 und Zeile4 vertauschen: |
||||
|
||||
B·M·α = C·A·α |
||||
1 0 0 | 0 1 0 0 0 |
||||
0 1 0 | 0 0 0 1 0 |
||||
0 0 0 | 0 0 1 0 0 |
||||
0 0 0 | 1 0 0 0 0 |
||||
0 0 0 | 0 0 0 0 1 |
||||
|
||||
Kurzgesagt: M_A^B(φ) = B^-1 · C · A. |
||||
Um dies zu bestimmen, wenden wir das Gaußverfahren |
||||
auf folgendes augmentiertes System an |
||||
Rechte Hälfte __transponiert__: |
||||
|
||||
( B | C·A ) |
||||
0 0 0 1 0 |
||||
1 0 0 0 0 |
||||
Q = 0 0 1 0 0 |
||||
0 1 0 0 0 |
||||
0 0 0 0 1 |
||||
|
||||
und reduzieren die linke Hälfte auf die Identitätsmatrix. |
||||
Die resultierende Matrix in der rechten Hälfte wir dann M sein. |
||||
Es gilt |
||||
## Lineare Ausdehnung mit Komplikationen... ## |
||||
|
||||
C·A = ( 4 0 -1 ) (3 0 4) |
||||
( 1 10 0 ) (0 -1 0) |
||||
(1 0 0) |
||||
= ( 11 0 16 ) |
||||
( 3 -10 4 ) |
||||
Betrachte |
||||
|
||||
Also ist das augmentiere System |
||||
u1 = (1, 1, 0, 4)ᵀ |
||||
u2 = (1, 0, 0, 4)ᵀ |
||||
u3 = (0, 1, 0, 0)ᵀ |
||||
u4 = (1, -1, 0, 4)ᵀ |
||||
|
||||
( B | C·A ) |
||||
und φ : ℝ^4 —> ℝ^2 partiell definiert |
||||
|
||||
= ( 4 0 | 11 0 16 ) |
||||
( 5 1 | 3 -10 4 ) |
||||
Zeile2 <- 4*Zeile2 - 5*Zeile1 |
||||
φ(u1) = (8, 1)ᵀ |
||||
φ(u2) = (4, 5)ᵀ |
||||
φ(u3) = (4, -4)ᵀ |
||||
φ(u4) = (0, 9)ᵀ |
||||
|
||||
~> ( 4 0 | 11 0 16 ) |
||||
( 0 4 | -43 -40 -64 ) |
||||
Zeile1 <- Zeile1 : 4 |
||||
Zeile2 <- Zeile2 : 4 |
||||
|
||||
~> ( 1 0 | 11/4 0 4 ) |
||||
( 0 1 | -43/4 -10 -16 ) |
||||
|
||||
Darum gilt |
||||
|
||||
M_A^B(φ) = ( 11/4 0 4 ) |
||||
( -43/4 -10 -16 ) |
||||
|
||||
|
||||
|
||||
## §3. Lineare Fortsetzung von partiell definierten Funktionen ## |
||||
Beachte: |
||||
{u1, u2} lin. unabh. |
||||
u3, u4 ∈ Lin{u1, u2}: |
||||
u3 = u1 - u2 |
||||
u4 = u2 - u3 = u2 - (u1 - u2) = 2·u2 – u1 |
||||
|
||||
Seien u₁, u₂, u₃, u₄, u₅ eine Basis für ℝ⁵. |
||||
Seien v₁, v₂, v₃ Vektoren in ℝ³. |
||||
Definiert werden |
||||
Darum müssen |
||||
|
||||
φ(u₁) = v₁, φ(u₂) = v₂, φ(u₄) = v₃ |
||||
φ(u3) = φ(u1) - φ(u2) |
||||
φ(u4) = 2·φ(u2) – φ(u1) |
||||
|
||||
**Aufgabe:** Gibt es eine lineare Abbildung, φ : ℝ⁵ ⟶ ℝ³, die die o. s. Gleichungen erfüllen? |
||||
gelten. |
||||
|
||||
**Antwort:** Ja. |
||||
Wenn nicht erfüllt ==> ex. keine lineare Ausdehnung. |
||||
Wenn erfüllt ==> ex. eine lineare Ausdehnung: |
||||
|
||||
**Beweis:** |
||||
Da eine (u₁, u₂, u₃, u₄, u₅) Basis für ℝ⁵ ist, |
||||
können wir [Skript, Satz 6.1.13] anwenden. |
||||
Setze |
||||
|
||||
φ(u₃) := 0 (Nullvektor) |
||||
φ(u₅) := 0 (Nullvektor) |
||||
|
||||
Mit der partiellen Definition von φ auf der Basis (u₁, u₂, u₃, u₄, u₅), |
||||
existiert laut [Skript, Satz 6.1.13] eine **lineare Ausdehnung** |
||||
(auch _Fortsetzung_ od. _Erweiterung_ in der Literatur genannt) |
||||
φ : ℝ⁵ ⟶ ℝ³, so dass |
||||
|
||||
φ(u₁) = v₁, φ(u₂) = v₂, φ(u₄) = v₃, φ(u₃) = 0, φ(u₅) = 0. |
||||
**QED** |
||||
|
||||
**Bemerkung 1.** |
||||
Konkret, da u₁, u₂, u₃, u₄, u₅ eine Basis ist, |
||||
existiert für jedes x ∈ ℝ⁵ eindeutige Werte |
||||
c₁, c₂, c₃, c₄, c₅ im Körper ℝ, |
||||
so dass |
||||
|
||||
x = ∑ c_i · ui |
||||
|
||||
gilt, und man setzt |
||||
|
||||
φ(x) := ∑ c_i · φ(u_i). |
||||
|
||||
Mit dieser Definition ist es einfach, die Axiome durchzugehen, |
||||
und zu beweisen, dass dies eine lineare Abbildung definiert. |
||||
|
||||
**Bemerkung 2.** |
||||
Beachte, dass die _Wahl_ von den φ(u₃), φ(u₅) im o. s. Beispiel beliebig sein kann. Es ist nur entscheidend, dass in der partiellen |
||||
Definition wir es mit linear unabhängigen Elementen zu tun haben. |
||||
Falls es zu Abhängigkeiten zwischen den Inputvektoren kommt, |
||||
müssen wir wie gewohnt auf eine maximale linear unabhängige Teilmenge |
||||
reduzieren, und zeigen, dass für die restlichen Inputs, |
||||
die Definition kompatibel ist. |
||||
|
||||
Als Beispiel nehmen wir |
||||
|
||||
u₁ = (1, 0, 1, 0, 0)ᵀ |
||||
u₂ = (1, 2, 1, 0, 0)ᵀ |
||||
u₃ = (0, 1, 0, 0, 0)ᵀ |
||||
|
||||
und φ : ℝ⁵ ⟶ ℝ³ partiell definiert auf {u₁, u₂, u₃}. |
||||
Aus (u₁, u₂, u₃) können wir sehen (etwa durch den Gaußalgorithmus), |
||||
dass (u₁, u₂) ein maximales linear unabhängiges Teilsystem ist |
||||
und |
||||
|
||||
u₃ = -½u₁ + ½u₂. |
||||
|
||||
Darum können φ(u₁), φ(u₂) beliebig gewählt werden, |
||||
umd es muss |
||||
|
||||
φ(u₃) = -½φ(u₁) + ½φ(u₂) |
||||
|
||||
gelten (entsprechend dem o. s. Verhältnis). |
||||
|
||||
Wenn wir zum Beispiel |
||||
|
||||
φ(u₁) = ( 4, 2)ᵀ |
||||
φ(u₂) = (-2, 8)ᵀ |
||||
φ(u₃) = (-3, 3)ᵀ |
||||
u1' = u1 |
||||
u2' = u2 |
||||
---> {u1', u2'} lin. unabh. |
||||
---> {u1', u2'} lässt sich zu einer Basis |
||||
{u1', u2', u3', u4'} von ℝ^4 |
||||
|
||||
wählen ist, dies erfüllt. |
||||
Man kann das l. u. Teilsystem (u₁, u₂) |
||||
durch 3 weitere Vektoren zu einer Basis ergänzen |
||||
und φ zu einer linearen Abb ausdehnen. |
||||
Wähle v3, v4 ∈ ℝ^2 beliebig und setze |
||||
|
||||
Wenn wir aber |
||||
φ(u1') := (8, 1)ᵀ |
||||
φ(u2') := (4, 5)ᵀ |
||||
φ(u3') := v3 |
||||
φ(u4') := v4 |
||||
|
||||
φ(u₁) = ( 8, 1)ᵀ |
||||
φ(u₂) = (-4, 8)ᵀ |
||||
φ(u₃) = ( 0, 1)ᵀ |
||||
Dann laut Satz 6.1.13. ex. eine (eindeutige) lineare Abb. |
||||
φ : ℝ^4 —> ℝ^2 |
||||
mit |
||||
|
||||
wählen ist, ist φ(u₃) = -½φ(u₁) + ½φ(u₂) nicht erfüllt. |
||||
Darum lässt sich hier φ **nicht** zu einer linearen Abbildung erweitern. |
||||
φ(u1') = (8, 1)ᵀ |
||||
φ(u2') = (4, 5)ᵀ |
||||
φ(u3') = v3 |
||||
φ(u4') = v4 |
||||
|
@ -1,191 +1 @@
|
||||
## SKA 1 ## |
||||
|
||||
### Aufgabe 12 ### |
||||
|
||||
Gegeben sei |
||||
|
||||
A = -1 1 |
||||
2 0 |
||||
3 1 |
||||
|
||||
A ist in ℝ^{3 x 2} |
||||
**Zu finden:** Matrizen P, Q, so dass P·A·Q im Format wie in Satz 6.3.10 |
||||
Offensichtlich müssen |
||||
|
||||
P ∈ ℝ^{3 x 3} |
||||
Q ∈ ℝ^{2 x 2} |
||||
|
||||
gelten. Da bei X·Y müssen #col(X), #row(Y) übereinstimmen, weil |
||||
wenn man die Matrixmultiplikation ausführt, dann multipliziert man |
||||
- Zeilen aus X |
||||
mit |
||||
- Spalten aus Y. |
||||
Im Gaußverfahren |
||||
|
||||
A —> E1·A —> E2·E1·A —> E3·E2·E1·A ... —> (E_r·E_{r-1}·...·E3·E2·E1)·A |
||||
|
||||
—> Wir wollen (E_r·E_{r-1}·...·E3·E2·E1) als einzige Matrix erfassen, also als P. |
||||
|
||||
Wir führen A in ein augmentiertes System mit der 3x3 Identitätsmatrix auf |
||||
|
||||
-1 1 | 1 0 0 |
||||
2 0 | 0 1 0 |
||||
3 1 | 0 0 1 |
||||
|
||||
und führen das Gaußverfahren darauf auf. Dann geschieht (effektiv) parallel |
||||
|
||||
linke Hälfte: A —> E1·A —> E2·E1·A —> E3·E2·E1·A ... —> (E_r·E_{r-1}·...·E3·E2·E1)·A |
||||
rechte Hälfte: I —> E1·I —> E2·E1·I —> E3·E2·E1·I ... —> (E_r·E_{r-1}·...·E3·E2·E1)·I |
||||
= (E_r·E_{r-1}·...·E3·E2·E1) |
||||
= P |
||||
|
||||
Gaußverfahren: |
||||
|
||||
-1 1 | 1 0 0 |
||||
2 0 | 0 1 0 |
||||
3 1 | 0 0 1 |
||||
|
||||
Zeilen 1 und 2 tauschen: |
||||
|
||||
2 0 | 0 1 0 |
||||
-1 1 | 1 0 0 |
||||
3 1 | 0 0 1 |
||||
|
||||
Zeile_2 <— 2·Zeil_2 + Zeile_1 |
||||
Zeile_3 <— 2·Zeil_3 - 3·Zeile_1 |
||||
|
||||
2 0 | 0 1 0 |
||||
0 2 | 2 1 0 |
||||
0 2 | 0 -3 2 |
||||
|
||||
Zeile_3 <— Zeil_3 - Zeile_2 |
||||
|
||||
2 0 | 0 1 0 |
||||
0 2 | 2 1 0 |
||||
0 0 | -2 -4 2 |
||||
|
||||
Zeile_1 <— Zeile_1 / 2 |
||||
Zeile_2 <— Zeile_2 / 2 |
||||
|
||||
1 0 | 0 1/2 0 |
||||
0 1 | 1 1/2 0 |
||||
0 0 | -2 -4 2 |
||||
|
||||
Also gilt mit |
||||
|
||||
P = 0 1 0 |
||||
2 1 0 |
||||
-2 -4 2 |
||||
|
||||
Dass P·A = Form aus Satz 6.3.10. |
||||
Setze Q := 2 x 2 Identitätsmatrix |
||||
Dann |
||||
|
||||
P·A·Q = P·A = Matrix im Format aus Satz 6.3.10 |
||||
|
||||
### Anderes nicht so glückliches Beispiel ### |
||||
|
||||
Angenommen wir hätten A als 3 x 5 Matrix und nach Ausführung des o. s. Verfahrens |
||||
|
||||
0 1 0 0 0 | 0 1/2 0 |
||||
0 0 0 1 0 | 1 1/2 0 |
||||
0 0 0 0 0 | -2 -4 2 |
||||
|
||||
erzielt. Dann würden wir P wie oben setzen. |
||||
Aber wir müssen noch Q bestimmen. |
||||
Das können wir einfach durch Permutationen erreichen: |
||||
|
||||
Q = 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 |
||||
1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 |
||||
0 0 1 0 0 · 0 0 1 0 0 |
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0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 |
||||
0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 |
||||
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Oder mit Gaußverfahren, transponieren wir und augmentieren wir mit der 5x5 Identitätsmatrix: |
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0 0 0 | 1 0 0 0 0 |
||||
1 0 0 | 0 1 0 0 0 |
||||
0 0 0 | 0 0 1 0 0 |
||||
0 1 0 | 0 0 0 1 0 |
||||
0 0 0 | 0 0 0 0 1 |
||||
|
||||
Zeile1 und Zeile2 vertauschen: |
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1 0 0 | 0 1 0 0 0 |
||||
0 0 0 | 1 0 0 0 0 |
||||
0 0 0 | 0 0 1 0 0 |
||||
0 1 0 | 0 0 0 1 0 |
||||
0 0 0 | 0 0 0 0 1 |
||||
|
||||
Zeile2 und Zeile4 vertauschen: |
||||
|
||||
1 0 0 | 0 1 0 0 0 |
||||
0 1 0 | 0 0 0 1 0 |
||||
0 0 0 | 0 0 1 0 0 |
||||
0 0 0 | 1 0 0 0 0 |
||||
0 0 0 | 0 0 0 0 1 |
||||
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Rechte Hälfte transponiert: |
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Q = 0 0 0 1 0 |
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1 0 0 0 0 |
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0 0 1 0 0 |
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0 1 0 0 0 |
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0 0 0 0 1 |
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## Lineare Ausdehnung mit Komplikationen... ## |
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Betrachte |
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u1 = (1, 1, 0, 4)ᵀ |
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u2 = (1, 0, 0, 4)ᵀ |
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u3 = (0, 1, 0, 0)ᵀ |
||||
u4 = (1, -1, 0, 4)ᵀ |
||||
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||||
und φ : ℝ^4 —> ℝ^2 partiell definiert |
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φ(u1) = (8, 1)ᵀ |
||||
φ(u2) = (4, 5)ᵀ |
||||
φ(u3) = (4, -4)ᵀ |
||||
φ(u4) = (0, 9)ᵀ |
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||||
Beachte: |
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{u1, u2} lin. unabh. |
||||
u3, u4 ∈ Lin{u1, u2}: |
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u3 = u1 - u2 |
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u4 = u2 - u3 = u2 - (u1 - u2) = 2·u2 – u1 |
||||
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||||
Darum müssen |
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φ(u3) = φ(u1) - φ(u2) |
||||
φ(u4) = 2·φ(u2) – φ(u1) |
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gelten. |
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Wenn nicht erfüllt ==> ex. keine lineare Ausdehnung. |
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Wenn erfüllt ==> ex. eine lineare Ausdehnung: |
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Setze |
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u1' = u1 |
||||
u2' = u2 |
||||
---> {u1', u2'} lin. unabh. |
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---> {u1', u2'} lässt sich zu einer Basis |
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{u1', u2', u3', u4'} von ℝ^4 |
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||||
Wähle v3, v4 ∈ ℝ^2 beliebig und setze |
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φ(u1') := (8, 1)ᵀ |
||||
φ(u2') := (4, 5)ᵀ |
||||
φ(u3') := v3 |
||||
φ(u4') := v4 |
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Dann laut Satz 6.1.13. ex. eine (eindeutige) lineare Abb. |
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φ : ℝ^4 —> ℝ^2 |
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mit |
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φ(u1') = (8, 1)ᵀ |
||||
φ(u2') = (4, 5)ᵀ |
||||
φ(u3') = v3 |
||||
φ(u4') = v4 |
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# Woche 12 # |
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@ -0,0 +1,153 @@
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# Woche 9 # |
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(Für die Berechnungen haben wir Octave benutzt.) |
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## Aufgabe ähnlich wie ÜB9-1 ## |
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U = lin{u1, u2} |
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V = lin{v1, v2, v3} |
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### U ⊆ V ? ### |
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#### Beispiel 1 #### |
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u1 = (1 1 0 0)ᵀ |
||||
u2 = (-1 1 0 0)ᵀ |
||||
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||||
v1 = (4 0 0 0)ᵀ |
||||
v2 = (1 4 0 0)ᵀ |
||||
v3 = (1 0 1 0)ᵀ |
||||
|
||||
Anmerkung: lin{u1, u2} ⊆ lin{v1, v2, v3} <===> u1, u2 ∈ lin{v1, v2, v3} |
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||||
Setze A := (v1 v2 v3 u1 u2) |
||||
---> auf Zeilenstufenform reduzieren |
||||
---> zeigen, dass in homogenen LGS Ax = 0 x4 und x5 freie Unbekannte sind. |
||||
---> ja |
||||
---> lin{u1, u2} ⊆ lin{v1, v2, v3} |
||||
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||||
#### Beispiel 2 #### |
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||||
u1 = (1 1 0 1)ᵀ |
||||
u2 = (-1 1 0 0)ᵀ |
||||
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||||
v1 = (4 0 0 0)ᵀ |
||||
v2 = (1 4 0 0)ᵀ |
||||
v3 = (1 0 1 0)ᵀ |
||||
|
||||
Setze A := (v1 v2 v3 u1 u2) |
||||
---> auf Zeilenstufenform reduzieren |
||||
---> zeigen, dass in homogenen LGS Ax = 0 x4 und x5 freie Unbekannte sind. |
||||
---> nein |
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---> also lin{u1, u2} ⊈ lin{v1, v2, v3} |
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### Basis von V/U ### |
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--> Beispiel 1. |
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u1 = (1 1 0 0)ᵀ |
||||
u2 = (-1 1 0 0)ᵀ |
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||||
v1 = (4 0 0 0)ᵀ |
||||
v2 = (1 0 1 0)ᵀ |
||||
v3 = (1 4 0 0)ᵀ |
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||||
Schreibweise für Äquivalenzklassen: |
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[v] = v + U |
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--> die Elemente in V/U |
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Setze A := (u1 u2 v1 v2 v3) |
||||
---> auf Zeilenstufenform reduzieren |
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---> bestimmen, welche Variablen frei / unfrei sind |
||||
---> bestimme die Basis durch die Spalten, die den unfreien Variablen entsprechen |
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---> |
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x3, x5 sind frei |
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x1, x2, x4 nicht frei |
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---> v2 + U (entspricht x4) bildet eine Basis |
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## SKA 9-5 ## |
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Basis für U: |
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u1 = (1 1 0)ᵀ |
||||
u2 = (0 1 1)ᵀ |
||||
Basis für V = ℝ^3: |
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v1 = (1 0 0)ᵀ |
||||
v2 = (0 1 0)ᵀ |
||||
v3 = (0 0 1)ᵀ |
||||
|
||||
A = (u1, u2, v1, v2, v3) |
||||
---> Zeilenstufenform: x1, x2, x3 nicht frei; x4, x5 frei |
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---> V / U = lin {v1 + U} = lin { e1 + U } |
||||
und dim(V/U) = 1 |
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||||
Beachte: v2 = u1 - v1 ===> v2 + U = -(v1 + U) |
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v3 = (u2-u1) + v1 ===> v3 + U = v1 + U |
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## UB9-2 (Bsp) ## |
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Seien |
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v1 = (1 0 0 4 1)ᵀ |
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v2 = (0 1 0 8 0)ᵀ |
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v3 = (-3 0 0 0 1)ᵀ |
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||||
φ : ℝ^3 ---> ℝ^5 |
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sei linear mit |
||||
φ(e_i) = v_i für alle i |
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1. Sei x = (x1, x2, x3) ∈ ℝ^3 |
||||
φ(x1,x2,x3) |
||||
= φ(x) |
||||
= φ(x1·e1 + x2·e2 + x3·e3) |
||||
= φ(x1·e1) + φ(x2·e2) + φ(x3·e3) |
||||
= x1·φ(e1) + x2·φ(e2) + x3·φ(e3) |
||||
= x1·v1 + x2·v2 + x3·v3 |
||||
= Ax |
||||
wobei A = (v1 v2 v3) |
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= 1 0 -3 |
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0 1 0 |
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0 0 0 |
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4 8 0 |
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1 0 1 |
||||
Also ist φ = φ_A (siehe Korollar 6.3.15 aus [Sinn2020]). |
||||
Wℝ berechnen den Rang von A, um die Injektivität/Surjektivität/Bijektivität |
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von φ zu klassifizieren: |
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---> A in Zeilenstufenform: |
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1 0 -3 |
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0 1 0 |
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0 0 0 |
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0 0 12 |
||||
0 0 4 |
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Rang(A) = 3 |
||||
---> A ist eine mxn Matrix mit m=5, n=3 |
||||
Rang(A) = 3 ≥ 3 = n ===> φ = φ_A ist injektiv |
||||
Rang(A) = 3 < 5 = m ===> φ = φ_A ist nicht surjektiv |
||||
m ≠ n ===> φ = φ_A ist nicht bijektiv |
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## UB9-3 (wie man ansetzen kann...) ## |
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**Zz:** ψ◦ϕ injektiv <===> ϕ injektiv + Kern(ψ) ∩ Bild(ϕ) = {0} |
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(==>) Angenommen, ψ◦ϕ injektiv. |
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**Zz:** ϕ injektiv + Kern(ψ) ∩ Bild(ϕ) = {0}. |
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... |
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(<==) Angenommen, ϕ injektiv + Kern(ψ) ∩ Bild(ϕ) = {0}. |
||||
**Zz:** ψ◦ϕ injektiv |
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Laut Korollar 6.3.15 aus [Sinn2020] reicht es aus zu zeigen, dass Kern(ψ◦ϕ) = {0}. |
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Sei x ∈ U beliebig. |
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**Zz:** x ∈ Kern(ψ◦ϕ) <===> x = 0 |
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x ∈ Kern(ψ◦ϕ) |
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<===> (ψ◦ϕ)(x) = 0 |
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.. |
||||
.. <--- ϕ injektiv + Kern(ψ) ∩ Bild(ϕ) = {0} ausnutzen ! |
||||
.. |
||||
<===> x = 0 |
Loading…
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