master > master: Verschiebung der Berechnungen
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c382fd9fee
commit
cecfbf99dc
@ -1,151 +1,295 @@
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(Für die Berechnungen haben wir Octave benutzt.)
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## Aufgabe ähnlich wie ÜB9-1 ##
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# Woche 10 #
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## §1. Linear oder nicht? ##
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U = lin{u1, u2}
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V = lin{v1, v2, v3}
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In folgenden Aufgaben wird eine Funktion φ : ℝ³ ⟶ ℝ² definiert.
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Bestimme in jedem Falle, ob φ linear ist.
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### U ⊆ V ? ###
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#### Beispiel 1 ####
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a)
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u1 = (1 1 0 0)ᵀ
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u2 = (-1 1 0 0)ᵀ
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φ(x₁, x₂, x₃) = ( 4·x₁·x₃ )
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( 10·x₂ )
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v1 = (4 0 0 0)ᵀ
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v2 = (1 4 0 0)ᵀ
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v3 = (1 0 1 0)ᵀ
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Wenn φ linear wäre, dann müsste φ(2, 0, 2) = 2·φ(1, 0, 1) gelten.
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Aber:
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Anmerkung: lin{u1, u2} ⊆ lin{v1, v2, v3} <===> u1, u2 ∈ lin{v1, v2, v3}
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φ(2, 0, 2) = (16, 0)ᵀ
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2·φ(1, 0, 1) = 2·(4, 0)ᵀ = (8, 0)ᵀ ≠ φ(2, 0, 2)
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Setze A := (v1 v2 v3 u1 u2)
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---> auf Zeilenstufenform reduzieren
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---> zeigen, dass in homogenen LGS Ax = 0 x4 und x5 freie Unbekannte sind.
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---> ja
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---> lin{u1, u2} ⊆ lin{v1, v2, v3}
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Also ist φ nicht linear, weil Homogenität verletzt wird.
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#### Beispiel 2 ####
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b)
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u1 = (1 1 0 1)ᵀ
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u2 = (-1 1 0 0)ᵀ
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φ(x₁, x₂, x₃) = ( x₃² )
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( 0 )
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v1 = (4 0 0 0)ᵀ
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v2 = (1 4 0 0)ᵀ
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v3 = (1 0 1 0)ᵀ
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Wenn φ linear wäre, dann müsste φ(0, 0, 8) = 8·φ(0, 0, 1) gelten.
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Aber:
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Setze A := (v1 v2 v3 u1 u2)
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---> auf Zeilenstufenform reduzieren
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---> zeigen, dass in homogenen LGS Ax = 0 x4 und x5 freie Unbekannte sind.
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---> nein
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---> also lin{u1, u2} ⊈ lin{v1, v2, v3}
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φ(0, 0, 8) = (64, 0)ᵀ
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8·φ(0, 0, 1) = 8·(1, 0)ᵀ = (8, 0)ᵀ ≠ φ(0, 0, 8)
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### Basis von V/U ###
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Also ist φ nicht linear, weil Homogenität verletzt wird.
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--> Beispiel 1.
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c)
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u1 = (1 1 0 0)ᵀ
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u2 = (-1 1 0 0)ᵀ
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φ(x₁, x₂, x₃) = ( x₃ )
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( 0 )
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v1 = (4 0 0 0)ᵀ
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v2 = (1 0 1 0)ᵀ
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v3 = (1 4 0 0)ᵀ
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--> linear
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Schreibweise für Äquivalenzklassen:
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[v] = v + U
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--> die Elemente in V/U
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d)
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Setze A := (u1 u2 v1 v2 v3)
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---> auf Zeilenstufenform reduzieren
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---> bestimmen, welche Variablen frei / unfrei sind
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---> bestimme die Basis durch die Spalten, die den unfreien Variablen entsprechen
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--->
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x3, x5 sind frei
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x1, x2, x4 nicht frei
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---> v2 + U (entspricht x4) bildet eine Basis
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φ(x₁, x₂, x₃) = ( 0 )
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( 0 )
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--> linear
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## SKA 9-5 ##
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e)
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Basis für U:
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u1 = (1 1 0)ᵀ
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u2 = (0 1 1)ᵀ
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Basis für V = ℝ^3:
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v1 = (1 0 0)ᵀ
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v2 = (0 1 0)ᵀ
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v3 = (0 0 1)ᵀ
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φ(x₁, x₂, x₃) = ( 4 )
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( 0 )
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A = (u1, u2, v1, v2, v3)
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---> Zeilenstufenform: x1, x2, x3 nicht frei; x4, x5 frei
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---> V / U = lin {v1 + U} = lin { e1 + U }
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und dim(V/U) = 1
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Wenn φ linear wäre, dann müsste φ(0) = 0 gelten. [Siehe Lemma 6.1.2]
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Aber φ ist hier niemals der Nullvektor!
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Also ist φ nicht linear.
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Beachte: v2 = u1 - v1 ===> v2 + U = -(v1 + U)
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v3 = (u2-u1) + v1 ===> v3 + U = v1 + U
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f)
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φ(x₁, x₂, x₃) = ( 10·x₃ )
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( -x₂ + x₁ )
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linear!
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g)
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φ(x₁, x₂, x₃) = ( 1 - 10·x₃ )
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( -x₂ + x₁ )
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Wenn φ linear wäre, dann müsste φ(0) = 0 gelten. [Siehe Lemma 6.1.2]
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Aber φ(0) = (1, 0)ᵀ.
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Also ist φ nicht linear.
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h)
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φ(x₁, x₂, x₃) = ( exp(-(7·x₂ + 8·x₁)) )
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( 0 )
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Wenn φ linear wäre, dann müsste φ(0) = 0 gelten. [Siehe Lemma 6.1.2]
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Aber φ(0) = (exp(0), 0)ᵀ = (1, 0)ᵀ.
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Also ist φ nicht linear.
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## §2. Aufgaben ähnlich zu ÜB 10-2 ##
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Seien A = (u₁, u₂, u₃) und B = (v₁, v₂),
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wobei
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u₁ = (3, 0, 1)ᵀ
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u₂ = (0, -1, 0)ᵀ
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u₃ = (4, 0, 0)ᵀ
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v₁ = (4, 5)ᵀ
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v₂ = (0, 1)ᵀ
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Beachte:
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- A bildet eine Basis für ℝ³
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- B bildet eine Basis für ℝ²
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Sei nun φ : ℝ³ ⟶ ℝ² definiert durch
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φ(x₁, x₂, x₃) = ( 4·x₁ - x₃ )
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( 10·x₂ + x₁ )
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### Zur Linearität ###
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Seien
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(x₁,x₂,x₃), (x₁',x₂',x₃') ∈ ℝ³
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c, c' ∈ ℝ
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**Zu zeigen:**
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φ(c(x₁, x₂, x₃) +c'(x₁',x₂',x₃')) = c·φ(x₁, x₂, x₃) +c'·φ(x₁', x₂', x₃')
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Es gilt
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l. S. = φ(c(x₁, x₂, x₃) +c'(x₁',x₂',x₃'))
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= φ(c(x₁·e1 + x₂·e2 + x₃·e3) +c'(x₁'·e1 + x₂'·e2 + x₃'·e3))
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= φ((c·x₁ + c'·x₁)·e1 + (c·x₂ + c'·x₂)·e2 + (c·x₃ + c'·x₃)·e3)
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= φ(c·x₁ + c'·x₁', c·x₂ + c'·x₂', c·x₃ + c'·x₃')
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= ( 4·(c·x₁ + c'·x₁') - (c·x₃ + c'·x₃') )
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( 10·(c·x₂ + c'·x₂') + (c·x₁ + c'·x₁') )
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= ( c·(4·x₁ - x₃) + c'·(4·x₁' - x₃') )
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( c·(10·x₂ + x₁) + c'·(10·x₂' + x₁') )
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= c·( 4·x₁ - x₃ ) + c'·( 4·x₁' - x₃' )
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( 10·x₂ + x₁ ) ( 10·x₂' + x₁' )
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= r. S.
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Darum ist φ linear.
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### Darstellung ###
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Zunächst beobachten wir:
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φ(x₁, x₂, x₃) = ( 4 0 -1 ) ( x₁ )
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( 1 10 0 ) ( x₂ )
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( x₃ )
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= C·x
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= φ_C(x) siehe [Skript, Bsp 6.2.2],
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wobei C die Matrix
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C = ( 4 0 -1 )
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( 1 10 0 )
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ist.
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**Bemerkung.** Den vorherigen Teil konnten wir hiermit viel einfacher machen:
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Da φ_C linear ist (siehe [Skript, Bsp 6.2.2]), ist φ = φ_C linear.
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_Zurück zur Berechnung der Darstellung..._
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Die zu berechnende Matrix M := M_A^B(φ), ist diejenige, die erfüllt:
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- ist x der Form x = ∑ α_j·u_j = (α_j) <--- als Vektor über Basis A
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- und ist M·(α_j) = (β_i) für einen Vektor (β_i) ∈ ℝ²
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- dann gilt φ(x) = y, wobei y = ∑ β_i·v_i
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Zusammengefasst ist M genau die Matrix, für die gilt:
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B·M·α = φ(A·α)
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für alle α ∈ ℝ³. Da φ = φ_C, ist die äquivalent zu
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B·M·α = C·A·α
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Kurzgesagt: M_A^B(φ) = B^-1 · C · A.
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Um dies zu bestimmen, wenden wir das Gaußverfahren
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auf folgendes augmentiertes System an
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( B | C·A )
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und reduzieren die linke Hälfte auf die Identitätsmatrix.
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Die resultierende Matrix in der rechten Hälfte wir dann M sein.
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Es gilt
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C·A = ( 4 0 -1 ) (3 0 4)
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( 1 10 0 ) (0 -1 0)
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(1 0 0)
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= ( 11 0 16 )
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( 3 -10 4 )
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Also ist das augmentiere System
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( B | C·A )
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= ( 4 0 | 11 0 16 )
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( 5 1 | 3 -10 4 )
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Zeile2 <- 4*Zeile2 - 5*Zeile1
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~> ( 4 0 | 11 0 16 )
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( 0 4 | -43 -40 -64 )
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Zeile1 <- Zeile1 : 4
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Zeile2 <- Zeile2 : 4
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~> ( 1 0 | 11/4 0 4 )
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( 0 1 | -43/4 -10 -16 )
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Darum gilt
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M_A^B(φ) = ( 11/4 0 4 )
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( -43/4 -10 -16 )
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## UB9-2 (Bsp) ##
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## §3. Lineare Fortsetzung von partiell definierten Funktionen ##
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Seien
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Seien u₁, u₂, u₃, u₄, u₅ eine Basis für ℝ⁵.
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Seien v₁, v₂, v₃ Vektoren in ℝ³.
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Definiert werden
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v1 = (1 0 0 4 1)ᵀ
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v2 = (0 1 0 8 0)ᵀ
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v3 = (-3 0 0 0 1)ᵀ
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φ(u₁) = v₁, φ(u₂) = v₂, φ(u₄) = v₃
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φ : ℝ^3 ---> ℝ^5
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sei linear mit
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φ(e_i) = v_i für alle i
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**Aufgabe:** Gibt es eine lineare Abbildung, φ : ℝ⁵ ⟶ ℝ³, die die o. s. Gleichungen erfüllen?
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1. Sei x = (x1, x2, x3) ∈ ℝ^3
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φ(x1,x2,x3)
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= φ(x)
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= φ(x1·e1 + x2·e2 + x3·e3)
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= φ(x1·e1) + φ(x2·e2) + φ(x3·e3)
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= x1·φ(e1) + x2·φ(e2) + x3·φ(e3)
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= x1·v1 + x2·v2 + x3·v3
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= Ax
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wobei A = (v1 v2 v3)
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= 1 0 -3
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0 1 0
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0 0 0
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4 8 0
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1 0 1
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Also ist φ = φ_A (siehe Korollar 6.3.15 aus [Sinn2020]).
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Wℝ berechnen den Rang von A, um die Injektivität/Surjektivität/Bijektivität
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von φ zu klassifizieren:
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---> A in Zeilenstufenform:
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1 0 -3
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0 1 0
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0 0 0
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0 0 12
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0 0 4
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Rang(A) = 3
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---> A ist eine mxn Matrix mit m=5, n=3
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Rang(A) = 3 ≥ 3 = n ===> φ = φ_A ist injektiv
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Rang(A) = 3 < 5 = m ===> φ = φ_A ist nicht surjektiv
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m ≠ n ===> φ = φ_A ist nicht bijektiv
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**Antwort:** Ja.
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**Beweis:**
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Da eine (u₁, u₂, u₃, u₄, u₅) Basis für ℝ⁵ ist,
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können wir [Skript, Satz 6.1.13] anwenden.
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Setze
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φ(u₃) := 0 (Nullvektor)
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φ(u₅) := 0 (Nullvektor)
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## UB9-3 (wie man ansetzen kann...) ##
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Mit der partiellen Definition von φ auf der Basis (u₁, u₂, u₃, u₄, u₅),
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existiert laut [Skript, Satz 6.1.13] eine **lineare Ausdehnung**
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(auch _Fortsetzung_ od. _Erweiterung_ in der Literatur genannt)
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φ : ℝ⁵ ⟶ ℝ³, so dass
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**Zz:** ψ◦ϕ injektiv <===> ϕ injektiv + Kern(ψ) ∩ Bild(ϕ) = {0}
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||||
φ(u₁) = v₁, φ(u₂) = v₂, φ(u₄) = v₃, φ(u₃) = 0, φ(u₅) = 0.
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||||
**QED**
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||||
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||||
(==>) Angenommen, ψ◦ϕ injektiv.
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||||
**Zz:** ϕ injektiv + Kern(ψ) ∩ Bild(ϕ) = {0}.
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||||
**Bemerkung 1.**
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||||
Konkret, da u₁, u₂, u₃, u₄, u₅ eine Basis ist,
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existiert für jedes x ∈ ℝ⁵ eindeutige Werte
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||||
c₁, c₂, c₃, c₄, c₅ im Körper ℝ,
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||||
so dass
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||||
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||||
...
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x = ∑ c_i · ui
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(<==) Angenommen, ϕ injektiv + Kern(ψ) ∩ Bild(ϕ) = {0}.
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||||
**Zz:** ψ◦ϕ injektiv
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gilt, und man setzt
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Laut Korollar 6.3.15 aus [Sinn2020] reicht es aus zu zeigen, dass Kern(ψ◦ϕ) = {0}.
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φ(x) := ∑ c_i · φ(u_i).
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Sei x ∈ U beliebig.
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Mit dieser Definition ist es einfach, die Axiome durchzugehen,
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und zu beweisen, dass dies eine lineare Abbildung definiert.
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**Zz:** x ∈ Kern(ψ◦ϕ) <===> x = 0
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**Bemerkung 2.**
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Beachte, dass die _Wahl_ von den φ(u₃), φ(u₅) im o. s. Beispiel beliebig sein kann. Es ist nur entscheidend, dass in der partiellen
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Definition wir es mit linear unabhängigen Elementen zu tun haben.
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Falls es zu Abhängigkeiten zwischen den Inputvektoren kommt,
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müssen wir wie gewohnt auf eine maximale linear unabhängige Teilmenge
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reduzieren, und zeigen, dass für die restlichen Inputs,
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die Definition kompatibel ist.
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x ∈ Kern(ψ◦ϕ)
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<===> (ψ◦ϕ)(x) = 0
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||||
..
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||||
.. <--- ϕ injektiv + Kern(ψ) ∩ Bild(ϕ) = {0} ausnutzen !
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||||
..
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<===> x = 0
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||||
Als Beispiel nehmen wir
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u₁ = (1, 0, 1, 0, 0)ᵀ
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||||
u₂ = (1, 2, 1, 0, 0)ᵀ
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||||
u₃ = (0, 1, 0, 0, 0)ᵀ
|
||||
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||||
und φ : ℝ⁵ ⟶ ℝ³ partiell definiert auf {u₁, u₂, u₃}.
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||||
Aus (u₁, u₂, u₃) können wir sehen (etwa durch den Gaußalgorithmus),
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dass (u₁, u₂) ein maximales linear unabhängiges Teilsystem ist
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||||
und
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u₃ = -½u₁ + ½u₂.
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||||
Darum können φ(u₁), φ(u₂) beliebig gewählt werden,
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umd es muss
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||||
φ(u₃) = -½φ(u₁) + ½φ(u₂)
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|
||||
gelten (entsprechend dem o. s. Verhältnis).
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||||
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||||
Wenn wir zum Beispiel
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||||
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||||
φ(u₁) = ( 4, 2)ᵀ
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||||
φ(u₂) = (-2, 8)ᵀ
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||||
φ(u₃) = (-3, 3)ᵀ
|
||||
|
||||
wählen ist, dies erfüllt.
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||||
Man kann das l. u. Teilsystem (u₁, u₂)
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durch 3 weitere Vektoren zu einer Basis ergänzen
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||||
und φ zu einer linearen Abb ausdehnen.
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||||
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||||
Wenn wir aber
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||||
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||||
φ(u₁) = ( 8, 1)ᵀ
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||||
φ(u₂) = (-4, 8)ᵀ
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||||
φ(u₃) = ( 0, 1)ᵀ
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||||
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||||
wählen ist, ist φ(u₃) = -½φ(u₁) + ½φ(u₂) nicht erfüllt.
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Darum lässt sich hier φ **nicht** zu einer linearen Abbildung erweitern.
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||||
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@ -1,294 +1,191 @@
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## §1. Linear oder nicht? ##
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# Woche 10 #
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## SKA 11 ##
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||||
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||||
In folgenden Aufgaben wird eine Funktion φ : ℝ³ ⟶ ℝ² definiert.
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Bestimme in jedem Falle, ob φ linear ist.
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### Aufgabe 12 ###
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||||
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a)
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Gegeben sei
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φ(x₁, x₂, x₃) = ( 4·x₁·x₃ )
|
||||
( 10·x₂ )
|
||||
A = -1 1
|
||||
2 0
|
||||
3 1
|
||||
|
||||
Wenn φ linear wäre, dann müsste φ(2, 0, 2) = 2·φ(1, 0, 1) gelten.
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||||
Aber:
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A ist in ℝ^{3 x 2}
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||||
**Zu finden:** Matrizen P, Q, so dass P·A·Q im Format wie in Satz 6.3.10
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||||
Offensichtlich müssen
|
||||
|
||||
φ(2, 0, 2) = (16, 0)ᵀ
|
||||
2·φ(1, 0, 1) = 2·(4, 0)ᵀ = (8, 0)ᵀ ≠ φ(2, 0, 2)
|
||||
P ∈ ℝ^{3 x 3}
|
||||
Q ∈ ℝ^{2 x 2}
|
||||
|
||||
Also ist φ nicht linear, weil Homogenität verletzt wird.
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||||
gelten. Da bei X·Y müssen #col(X), #row(Y) übereinstimmen, weil
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||||
wenn man die Matrixmultiplikation ausführt, dann multipliziert man
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- Zeilen aus X
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||||
mit
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||||
- Spalten aus Y.
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||||
Im Gaußverfahren
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||||
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||||
b)
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||||
A —> E1·A —> E2·E1·A —> E3·E2·E1·A ... —> (E_r·E_{r-1}·...·E3·E2·E1)·A
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||||
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||||
φ(x₁, x₂, x₃) = ( x₃² )
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||||
( 0 )
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||||
—> Wir wollen (E_r·E_{r-1}·...·E3·E2·E1) als einzige Matrix erfassen, also als P.
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||||
|
||||
Wenn φ linear wäre, dann müsste φ(0, 0, 8) = 8·φ(0, 0, 1) gelten.
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||||
Aber:
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||||
Wir führen A in ein augmentiertes System mit der 3x3 Identitätsmatrix auf
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||||
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||||
φ(0, 0, 8) = (64, 0)ᵀ
|
||||
8·φ(0, 0, 1) = 8·(1, 0)ᵀ = (8, 0)ᵀ ≠ φ(0, 0, 8)
|
||||
-1 1 | 1 0 0
|
||||
2 0 | 0 1 0
|
||||
3 1 | 0 0 1
|
||||
|
||||
Also ist φ nicht linear, weil Homogenität verletzt wird.
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||||
und führen das Gaußverfahren darauf auf. Dann geschieht (effektiv) parallel
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||||
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||||
c)
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||||
linke Hälfte: A —> E1·A —> E2·E1·A —> E3·E2·E1·A ... —> (E_r·E_{r-1}·...·E3·E2·E1)·A
|
||||
rechte Hälfte: I —> E1·I —> E2·E1·I —> E3·E2·E1·I ... —> (E_r·E_{r-1}·...·E3·E2·E1)·I
|
||||
= (E_r·E_{r-1}·...·E3·E2·E1)
|
||||
= P
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||||
|
||||
φ(x₁, x₂, x₃) = ( x₃ )
|
||||
( 0 )
|
||||
Gaußverfahren:
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||||
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||||
--> linear
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||||
-1 1 | 1 0 0
|
||||
2 0 | 0 1 0
|
||||
3 1 | 0 0 1
|
||||
|
||||
d)
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||||
Zeilen 1 und 2 tauschen:
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||||
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||||
φ(x₁, x₂, x₃) = ( 0 )
|
||||
( 0 )
|
||||
2 0 | 0 1 0
|
||||
-1 1 | 1 0 0
|
||||
3 1 | 0 0 1
|
||||
|
||||
--> linear
|
||||
Zeile_2 <— 2·Zeile_2 + Zeile_1
|
||||
Zeile_3 <— 2·Zeile_3 - 3·Zeile_1
|
||||
|
||||
e)
|
||||
2 0 | 0 1 0
|
||||
0 2 | 2 1 0
|
||||
0 2 | 0 -3 2
|
||||
|
||||
φ(x₁, x₂, x₃) = ( 4 )
|
||||
( 0 )
|
||||
Zeile_3 <— Zeile_3 - Zeile_2
|
||||
|
||||
Wenn φ linear wäre, dann müsste φ(0) = 0 gelten. [Siehe Lemma 6.1.2]
|
||||
Aber φ ist hier niemals der Nullvektor!
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||||
Also ist φ nicht linear.
|
||||
2 0 | 0 1 0
|
||||
0 2 | 2 1 0
|
||||
0 0 | -2 -4 2
|
||||
|
||||
f)
|
||||
Zeile_1 <— Zeile_1 / 2
|
||||
Zeile_2 <— Zeile_2 / 2
|
||||
|
||||
φ(x₁, x₂, x₃) = ( 10·x₃ )
|
||||
( -x₂ + x₁ )
|
||||
1 0 | 0 1/2 0
|
||||
0 1 | 1 1/2 0
|
||||
0 0 | -2 -4 2
|
||||
|
||||
linear!
|
||||
Also gilt mit
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||||
|
||||
g)
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||||
P = 0 1 0
|
||||
2 1 0
|
||||
-2 -4 2
|
||||
|
||||
φ(x₁, x₂, x₃) = ( 1 - 10·x₃ )
|
||||
( -x₂ + x₁ )
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||||
Dass P·A = Form aus Satz 6.3.10.
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||||
Setze Q := 2 x 2 Identitätsmatrix
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||||
Dann
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||||
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||||
Wenn φ linear wäre, dann müsste φ(0) = 0 gelten. [Siehe Lemma 6.1.2]
|
||||
Aber φ(0) = (1, 0)ᵀ.
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||||
Also ist φ nicht linear.
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||||
P·A·Q = P·A = Matrix im Format aus Satz 6.3.10
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||||
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||||
h)
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||||
### Anderes nicht so glückliches Beispiel ###
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||||
φ(x₁, x₂, x₃) = ( exp(-(7·x₂ + 8·x₁)) )
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||||
( 0 )
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||||
Angenommen wir hätten A als 3 x 5 Matrix und nach Ausführung des o. s. Verfahrens
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||||
|
||||
Wenn φ linear wäre, dann müsste φ(0) = 0 gelten. [Siehe Lemma 6.1.2]
|
||||
Aber φ(0) = (exp(0), 0)ᵀ = (1, 0)ᵀ.
|
||||
Also ist φ nicht linear.
|
||||
0 1 0 0 0 | 0 1/2 0
|
||||
0 0 0 1 0 | 1 1/2 0
|
||||
0 0 0 0 0 | -2 -4 2
|
||||
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||||
## §2. Aufgaben ähnlich zu ÜB 10-2 ##
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erzielt. Dann würden wir P wie oben setzen.
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||||
Aber wir müssen noch Q bestimmen.
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||||
Das können wir einfach durch Permutationen erreichen:
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||||
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||||
Seien A = (u₁, u₂, u₃) und B = (v₁, v₂),
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||||
wobei
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||||
0 1 0 0 0 1 0 0 0 0
|
||||
1 0 0 0 0 0 0 0 1 0
|
||||
Q = 0 0 1 0 0 · 0 0 1 0 0
|
||||
0 0 0 1 0 0 1 0 0 0
|
||||
0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
|
||||
|
||||
u₁ = (3, 0, 1)ᵀ
|
||||
u₂ = (0, -1, 0)ᵀ
|
||||
u₃ = (4, 0, 0)ᵀ
|
||||
Oder mit Gaußverfahren, transponieren wir und augmentieren wir mit der 5x5 Identitätsmatrix:
|
||||
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||||
v₁ = (4, 5)ᵀ
|
||||
v₂ = (0, 1)ᵀ
|
||||
0 0 0 | 1 0 0 0 0
|
||||
1 0 0 | 0 1 0 0 0
|
||||
0 0 0 | 0 0 1 0 0
|
||||
0 1 0 | 0 0 0 1 0
|
||||
0 0 0 | 0 0 0 0 1
|
||||
|
||||
Zeile1 und Zeile2 vertauschen:
|
||||
|
||||
1 0 0 | 0 1 0 0 0
|
||||
0 0 0 | 1 0 0 0 0
|
||||
0 0 0 | 0 0 1 0 0
|
||||
0 1 0 | 0 0 0 1 0
|
||||
0 0 0 | 0 0 0 0 1
|
||||
|
||||
Zeile2 und Zeile4 vertauschen:
|
||||
|
||||
1 0 0 | 0 1 0 0 0
|
||||
0 1 0 | 0 0 0 1 0
|
||||
0 0 0 | 0 0 1 0 0
|
||||
0 0 0 | 1 0 0 0 0
|
||||
0 0 0 | 0 0 0 0 1
|
||||
|
||||
Rechte Hälfte __transponiert__:
|
||||
|
||||
0 0 0 1 0
|
||||
1 0 0 0 0
|
||||
Q = 0 0 1 0 0
|
||||
0 1 0 0 0
|
||||
0 0 0 0 1
|
||||
|
||||
## Lineare Ausdehnung mit Komplikationen... ##
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||||
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||||
Betrachte
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u1 = (1, 1, 0, 4)ᵀ
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||||
u2 = (1, 0, 0, 4)ᵀ
|
||||
u3 = (0, 1, 0, 0)ᵀ
|
||||
u4 = (1, -1, 0, 4)ᵀ
|
||||
|
||||
und φ : ℝ^4 —> ℝ^2 partiell definiert
|
||||
|
||||
φ(u1) = (8, 1)ᵀ
|
||||
φ(u2) = (4, 5)ᵀ
|
||||
φ(u3) = (4, -4)ᵀ
|
||||
φ(u4) = (0, 9)ᵀ
|
||||
|
||||
Beachte:
|
||||
{u1, u2} lin. unabh.
|
||||
u3, u4 ∈ Lin{u1, u2}:
|
||||
u3 = u1 - u2
|
||||
u4 = u2 - u3 = u2 - (u1 - u2) = 2·u2 – u1
|
||||
|
||||
- A bildet eine Basis für ℝ³
|
||||
- B bildet eine Basis für ℝ²
|
||||
Darum müssen
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||||
|
||||
Sei nun φ : ℝ³ ⟶ ℝ² definiert durch
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||||
φ(u3) = φ(u1) - φ(u2)
|
||||
φ(u4) = 2·φ(u2) – φ(u1)
|
||||
|
||||
φ(x₁, x₂, x₃) = ( 4·x₁ - x₃ )
|
||||
( 10·x₂ + x₁ )
|
||||
gelten.
|
||||
|
||||
### Zur Linearität ###
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Seien
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||||
Wenn nicht erfüllt ==> ex. keine lineare Ausdehnung.
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||||
Wenn erfüllt ==> ex. eine lineare Ausdehnung:
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||||
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||||
(x₁,x₂,x₃), (x₁',x₂',x₃') ∈ ℝ³
|
||||
c, c' ∈ ℝ
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||||
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||||
**Zu zeigen:**
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||||
φ(c(x₁, x₂, x₃) +c'(x₁',x₂',x₃')) = c·φ(x₁, x₂, x₃) +c'·φ(x₁', x₂', x₃')
|
||||
|
||||
Es gilt
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||||
|
||||
l. S. = φ(c(x₁, x₂, x₃) +c'(x₁',x₂',x₃'))
|
||||
= φ(c(x₁·e1 + x₂·e2 + x₃·e3) +c'(x₁'·e1 + x₂'·e2 + x₃'·e3))
|
||||
= φ((c·x₁ + c'·x₁)·e1 + (c·x₂ + c'·x₂)·e2 + (c·x₃ + c'·x₃)·e3)
|
||||
= φ(c·x₁ + c'·x₁', c·x₂ + c'·x₂', c·x₃ + c'·x₃')
|
||||
|
||||
= ( 4·(c·x₁ + c'·x₁') - (c·x₃ + c'·x₃') )
|
||||
( 10·(c·x₂ + c'·x₂') + (c·x₁ + c'·x₁') )
|
||||
|
||||
= ( c·(4·x₁ - x₃) + c'·(4·x₁' - x₃') )
|
||||
( c·(10·x₂ + x₁) + c'·(10·x₂' + x₁') )
|
||||
|
||||
= c·( 4·x₁ - x₃ ) + c'·( 4·x₁' - x₃' )
|
||||
( 10·x₂ + x₁ ) ( 10·x₂' + x₁' )
|
||||
|
||||
= r. S.
|
||||
|
||||
Darum ist φ linear.
|
||||
|
||||
### Darstellung ###
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||||
Zunächst beobachten wir:
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||||
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||||
φ(x₁, x₂, x₃) = ( 4 0 -1 ) ( x₁ )
|
||||
( 1 10 0 ) ( x₂ )
|
||||
( x₃ )
|
||||
= C·x
|
||||
= φ_C(x) siehe [Skript, Bsp 6.2.2],
|
||||
|
||||
wobei C die Matrix
|
||||
|
||||
C = ( 4 0 -1 )
|
||||
( 1 10 0 )
|
||||
|
||||
ist.
|
||||
|
||||
**Bemerkung.** Den vorherigen Teil konnten wir hiermit viel einfacher machen:
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||||
Da φ_C linear ist (siehe [Skript, Bsp 6.2.2]), ist φ = φ_C linear.
|
||||
|
||||
_Zurück zur Berechnung der Darstellung..._
|
||||
|
||||
Die zu berechnende Matrix M := M_A^B(φ), ist diejenige, die erfüllt:
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||||
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||||
- ist x der Form x = ∑ α_j·u_j = (α_j) <--- als Vektor über Basis A
|
||||
- und ist M·(α_j) = (β_i) für einen Vektor (β_i) ∈ ℝ²
|
||||
- dann gilt φ(x) = y, wobei y = ∑ β_i·v_i
|
||||
|
||||
Zusammengefasst ist M genau die Matrix, für die gilt:
|
||||
|
||||
B·M·α = φ(A·α)
|
||||
|
||||
für alle α ∈ ℝ³. Da φ = φ_C, ist die äquivalent zu
|
||||
|
||||
B·M·α = C·A·α
|
||||
|
||||
Kurzgesagt: M_A^B(φ) = B^-1 · C · A.
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||||
Um dies zu bestimmen, wenden wir das Gaußverfahren
|
||||
auf folgendes augmentiertes System an
|
||||
|
||||
( B | C·A )
|
||||
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||||
und reduzieren die linke Hälfte auf die Identitätsmatrix.
|
||||
Die resultierende Matrix in der rechten Hälfte wir dann M sein.
|
||||
Es gilt
|
||||
|
||||
C·A = ( 4 0 -1 ) (3 0 4)
|
||||
( 1 10 0 ) (0 -1 0)
|
||||
(1 0 0)
|
||||
= ( 11 0 16 )
|
||||
( 3 -10 4 )
|
||||
|
||||
Also ist das augmentiere System
|
||||
|
||||
( B | C·A )
|
||||
|
||||
= ( 4 0 | 11 0 16 )
|
||||
( 5 1 | 3 -10 4 )
|
||||
Zeile2 <- 4*Zeile2 - 5*Zeile1
|
||||
|
||||
~> ( 4 0 | 11 0 16 )
|
||||
( 0 4 | -43 -40 -64 )
|
||||
Zeile1 <- Zeile1 : 4
|
||||
Zeile2 <- Zeile2 : 4
|
||||
|
||||
~> ( 1 0 | 11/4 0 4 )
|
||||
( 0 1 | -43/4 -10 -16 )
|
||||
|
||||
Darum gilt
|
||||
|
||||
M_A^B(φ) = ( 11/4 0 4 )
|
||||
( -43/4 -10 -16 )
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
## §3. Lineare Fortsetzung von partiell definierten Funktionen ##
|
||||
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||||
Seien u₁, u₂, u₃, u₄, u₅ eine Basis für ℝ⁵.
|
||||
Seien v₁, v₂, v₃ Vektoren in ℝ³.
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||||
Definiert werden
|
||||
|
||||
φ(u₁) = v₁, φ(u₂) = v₂, φ(u₄) = v₃
|
||||
|
||||
**Aufgabe:** Gibt es eine lineare Abbildung, φ : ℝ⁵ ⟶ ℝ³, die die o. s. Gleichungen erfüllen?
|
||||
|
||||
**Antwort:** Ja.
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||||
|
||||
**Beweis:**
|
||||
Da eine (u₁, u₂, u₃, u₄, u₅) Basis für ℝ⁵ ist,
|
||||
können wir [Skript, Satz 6.1.13] anwenden.
|
||||
Setze
|
||||
|
||||
φ(u₃) := 0 (Nullvektor)
|
||||
φ(u₅) := 0 (Nullvektor)
|
||||
u1' = u1
|
||||
u2' = u2
|
||||
---> {u1', u2'} lin. unabh.
|
||||
---> {u1', u2'} lässt sich zu einer Basis
|
||||
{u1', u2', u3', u4'} von ℝ^4
|
||||
|
||||
Mit der partiellen Definition von φ auf der Basis (u₁, u₂, u₃, u₄, u₅),
|
||||
existiert laut [Skript, Satz 6.1.13] eine **lineare Ausdehnung**
|
||||
(auch _Fortsetzung_ od. _Erweiterung_ in der Literatur genannt)
|
||||
φ : ℝ⁵ ⟶ ℝ³, so dass
|
||||
Wähle v3, v4 ∈ ℝ^2 beliebig und setze
|
||||
|
||||
φ(u₁) = v₁, φ(u₂) = v₂, φ(u₄) = v₃, φ(u₃) = 0, φ(u₅) = 0.
|
||||
**QED**
|
||||
φ(u1') := (8, 1)ᵀ
|
||||
φ(u2') := (4, 5)ᵀ
|
||||
φ(u3') := v3
|
||||
φ(u4') := v4
|
||||
|
||||
**Bemerkung 1.**
|
||||
Konkret, da u₁, u₂, u₃, u₄, u₅ eine Basis ist,
|
||||
existiert für jedes x ∈ ℝ⁵ eindeutige Werte
|
||||
c₁, c₂, c₃, c₄, c₅ im Körper ℝ,
|
||||
so dass
|
||||
Dann laut Satz 6.1.13. ex. eine (eindeutige) lineare Abb.
|
||||
φ : ℝ^4 —> ℝ^2
|
||||
mit
|
||||
|
||||
x = ∑ c_i · ui
|
||||
|
||||
gilt, und man setzt
|
||||
|
||||
φ(x) := ∑ c_i · φ(u_i).
|
||||
|
||||
Mit dieser Definition ist es einfach, die Axiome durchzugehen,
|
||||
und zu beweisen, dass dies eine lineare Abbildung definiert.
|
||||
|
||||
**Bemerkung 2.**
|
||||
Beachte, dass die _Wahl_ von den φ(u₃), φ(u₅) im o. s. Beispiel beliebig sein kann. Es ist nur entscheidend, dass in der partiellen
|
||||
Definition wir es mit linear unabhängigen Elementen zu tun haben.
|
||||
Falls es zu Abhängigkeiten zwischen den Inputvektoren kommt,
|
||||
müssen wir wie gewohnt auf eine maximale linear unabhängige Teilmenge
|
||||
reduzieren, und zeigen, dass für die restlichen Inputs,
|
||||
die Definition kompatibel ist.
|
||||
|
||||
Als Beispiel nehmen wir
|
||||
|
||||
u₁ = (1, 0, 1, 0, 0)ᵀ
|
||||
u₂ = (1, 2, 1, 0, 0)ᵀ
|
||||
u₃ = (0, 1, 0, 0, 0)ᵀ
|
||||
|
||||
und φ : ℝ⁵ ⟶ ℝ³ partiell definiert auf {u₁, u₂, u₃}.
|
||||
Aus (u₁, u₂, u₃) können wir sehen (etwa durch den Gaußalgorithmus),
|
||||
dass (u₁, u₂) ein maximales linear unabhängiges Teilsystem ist
|
||||
und
|
||||
|
||||
u₃ = -½u₁ + ½u₂.
|
||||
|
||||
Darum können φ(u₁), φ(u₂) beliebig gewählt werden,
|
||||
umd es muss
|
||||
|
||||
φ(u₃) = -½φ(u₁) + ½φ(u₂)
|
||||
|
||||
gelten (entsprechend dem o. s. Verhältnis).
|
||||
|
||||
Wenn wir zum Beispiel
|
||||
|
||||
φ(u₁) = ( 4, 2)ᵀ
|
||||
φ(u₂) = (-2, 8)ᵀ
|
||||
φ(u₃) = (-3, 3)ᵀ
|
||||
|
||||
wählen ist, dies erfüllt.
|
||||
Man kann das l. u. Teilsystem (u₁, u₂)
|
||||
durch 3 weitere Vektoren zu einer Basis ergänzen
|
||||
und φ zu einer linearen Abb ausdehnen.
|
||||
|
||||
Wenn wir aber
|
||||
|
||||
φ(u₁) = ( 8, 1)ᵀ
|
||||
φ(u₂) = (-4, 8)ᵀ
|
||||
φ(u₃) = ( 0, 1)ᵀ
|
||||
|
||||
wählen ist, ist φ(u₃) = -½φ(u₁) + ½φ(u₂) nicht erfüllt.
|
||||
Darum lässt sich hier φ **nicht** zu einer linearen Abbildung erweitern.
|
||||
φ(u1') = (8, 1)ᵀ
|
||||
φ(u2') = (4, 5)ᵀ
|
||||
φ(u3') = v3
|
||||
φ(u4') = v4
|
||||
|
||||
@ -1,191 +1 @@
|
||||
## SKA 1 ##
|
||||
|
||||
### Aufgabe 12 ###
|
||||
|
||||
Gegeben sei
|
||||
|
||||
A = -1 1
|
||||
2 0
|
||||
3 1
|
||||
|
||||
A ist in ℝ^{3 x 2}
|
||||
**Zu finden:** Matrizen P, Q, so dass P·A·Q im Format wie in Satz 6.3.10
|
||||
Offensichtlich müssen
|
||||
|
||||
P ∈ ℝ^{3 x 3}
|
||||
Q ∈ ℝ^{2 x 2}
|
||||
|
||||
gelten. Da bei X·Y müssen #col(X), #row(Y) übereinstimmen, weil
|
||||
wenn man die Matrixmultiplikation ausführt, dann multipliziert man
|
||||
- Zeilen aus X
|
||||
mit
|
||||
- Spalten aus Y.
|
||||
Im Gaußverfahren
|
||||
|
||||
A —> E1·A —> E2·E1·A —> E3·E2·E1·A ... —> (E_r·E_{r-1}·...·E3·E2·E1)·A
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—> Wir wollen (E_r·E_{r-1}·...·E3·E2·E1) als einzige Matrix erfassen, also als P.
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Wir führen A in ein augmentiertes System mit der 3x3 Identitätsmatrix auf
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-1 1 | 1 0 0
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2 0 | 0 1 0
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3 1 | 0 0 1
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und führen das Gaußverfahren darauf auf. Dann geschieht (effektiv) parallel
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linke Hälfte: A —> E1·A —> E2·E1·A —> E3·E2·E1·A ... —> (E_r·E_{r-1}·...·E3·E2·E1)·A
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||||
rechte Hälfte: I —> E1·I —> E2·E1·I —> E3·E2·E1·I ... —> (E_r·E_{r-1}·...·E3·E2·E1)·I
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= (E_r·E_{r-1}·...·E3·E2·E1)
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= P
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Gaußverfahren:
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-1 1 | 1 0 0
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2 0 | 0 1 0
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3 1 | 0 0 1
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Zeilen 1 und 2 tauschen:
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2 0 | 0 1 0
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-1 1 | 1 0 0
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||||
3 1 | 0 0 1
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Zeile_2 <— 2·Zeil_2 + Zeile_1
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||||
Zeile_3 <— 2·Zeil_3 - 3·Zeile_1
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2 0 | 0 1 0
|
||||
0 2 | 2 1 0
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0 2 | 0 -3 2
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||||
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||||
Zeile_3 <— Zeil_3 - Zeile_2
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||||
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||||
2 0 | 0 1 0
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||||
0 2 | 2 1 0
|
||||
0 0 | -2 -4 2
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||||
Zeile_1 <— Zeile_1 / 2
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||||
Zeile_2 <— Zeile_2 / 2
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1 0 | 0 1/2 0
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0 1 | 1 1/2 0
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0 0 | -2 -4 2
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Also gilt mit
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P = 0 1 0
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2 1 0
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-2 -4 2
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Dass P·A = Form aus Satz 6.3.10.
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Setze Q := 2 x 2 Identitätsmatrix
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Dann
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P·A·Q = P·A = Matrix im Format aus Satz 6.3.10
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### Anderes nicht so glückliches Beispiel ###
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Angenommen wir hätten A als 3 x 5 Matrix und nach Ausführung des o. s. Verfahrens
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0 1 0 0 0 | 0 1/2 0
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0 0 0 1 0 | 1 1/2 0
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0 0 0 0 0 | -2 -4 2
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erzielt. Dann würden wir P wie oben setzen.
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Aber wir müssen noch Q bestimmen.
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Das können wir einfach durch Permutationen erreichen:
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Q = 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0
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1 0 0 0 0 0 0 0 1 0
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0 0 1 0 0 · 0 0 1 0 0
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0 0 0 1 0 0 1 0 0 0
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0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
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Oder mit Gaußverfahren, transponieren wir und augmentieren wir mit der 5x5 Identitätsmatrix:
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0 0 0 | 1 0 0 0 0
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1 0 0 | 0 1 0 0 0
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0 0 0 | 0 0 1 0 0
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||||
0 1 0 | 0 0 0 1 0
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||||
0 0 0 | 0 0 0 0 1
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Zeile1 und Zeile2 vertauschen:
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1 0 0 | 0 1 0 0 0
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0 0 0 | 1 0 0 0 0
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||||
0 0 0 | 0 0 1 0 0
|
||||
0 1 0 | 0 0 0 1 0
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||||
0 0 0 | 0 0 0 0 1
|
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Zeile2 und Zeile4 vertauschen:
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1 0 0 | 0 1 0 0 0
|
||||
0 1 0 | 0 0 0 1 0
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||||
0 0 0 | 0 0 1 0 0
|
||||
0 0 0 | 1 0 0 0 0
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||||
0 0 0 | 0 0 0 0 1
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Rechte Hälfte transponiert:
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Q = 0 0 0 1 0
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1 0 0 0 0
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0 0 1 0 0
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0 1 0 0 0
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0 0 0 0 1
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## Lineare Ausdehnung mit Komplikationen... ##
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Betrachte
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u1 = (1, 1, 0, 4)ᵀ
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u2 = (1, 0, 0, 4)ᵀ
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u3 = (0, 1, 0, 0)ᵀ
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u4 = (1, -1, 0, 4)ᵀ
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und φ : ℝ^4 —> ℝ^2 partiell definiert
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φ(u1) = (8, 1)ᵀ
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φ(u2) = (4, 5)ᵀ
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φ(u3) = (4, -4)ᵀ
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φ(u4) = (0, 9)ᵀ
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Beachte:
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{u1, u2} lin. unabh.
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u3, u4 ∈ Lin{u1, u2}:
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u3 = u1 - u2
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u4 = u2 - u3 = u2 - (u1 - u2) = 2·u2 – u1
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Darum müssen
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φ(u3) = φ(u1) - φ(u2)
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φ(u4) = 2·φ(u2) – φ(u1)
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gelten.
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Wenn nicht erfüllt ==> ex. keine lineare Ausdehnung.
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Wenn erfüllt ==> ex. eine lineare Ausdehnung:
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Setze
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u1' = u1
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u2' = u2
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---> {u1', u2'} lin. unabh.
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---> {u1', u2'} lässt sich zu einer Basis
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{u1', u2', u3', u4'} von ℝ^4
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Wähle v3, v4 ∈ ℝ^2 beliebig und setze
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φ(u1') := (8, 1)ᵀ
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φ(u2') := (4, 5)ᵀ
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φ(u3') := v3
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φ(u4') := v4
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Dann laut Satz 6.1.13. ex. eine (eindeutige) lineare Abb.
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φ : ℝ^4 —> ℝ^2
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mit
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φ(u1') = (8, 1)ᵀ
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||||
φ(u2') = (4, 5)ᵀ
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φ(u3') = v3
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||||
φ(u4') = v4
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||||
# Woche 12 #
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||||
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||||
1
notes/berechnungen_wk13.md
Normal file
1
notes/berechnungen_wk13.md
Normal file
@ -0,0 +1 @@
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||||
# Woche 13 #
|
||||
@ -0,0 +1,153 @@
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||||
# Woche 9 #
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(Für die Berechnungen haben wir Octave benutzt.)
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## Aufgabe ähnlich wie ÜB9-1 ##
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U = lin{u1, u2}
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V = lin{v1, v2, v3}
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### U ⊆ V ? ###
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#### Beispiel 1 ####
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u1 = (1 1 0 0)ᵀ
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||||
u2 = (-1 1 0 0)ᵀ
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||||
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||||
v1 = (4 0 0 0)ᵀ
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||||
v2 = (1 4 0 0)ᵀ
|
||||
v3 = (1 0 1 0)ᵀ
|
||||
|
||||
Anmerkung: lin{u1, u2} ⊆ lin{v1, v2, v3} <===> u1, u2 ∈ lin{v1, v2, v3}
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||||
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||||
Setze A := (v1 v2 v3 u1 u2)
|
||||
---> auf Zeilenstufenform reduzieren
|
||||
---> zeigen, dass in homogenen LGS Ax = 0 x4 und x5 freie Unbekannte sind.
|
||||
---> ja
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||||
---> lin{u1, u2} ⊆ lin{v1, v2, v3}
|
||||
|
||||
#### Beispiel 2 ####
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u1 = (1 1 0 1)ᵀ
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||||
u2 = (-1 1 0 0)ᵀ
|
||||
|
||||
v1 = (4 0 0 0)ᵀ
|
||||
v2 = (1 4 0 0)ᵀ
|
||||
v3 = (1 0 1 0)ᵀ
|
||||
|
||||
Setze A := (v1 v2 v3 u1 u2)
|
||||
---> auf Zeilenstufenform reduzieren
|
||||
---> zeigen, dass in homogenen LGS Ax = 0 x4 und x5 freie Unbekannte sind.
|
||||
---> nein
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||||
---> also lin{u1, u2} ⊈ lin{v1, v2, v3}
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||||
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### Basis von V/U ###
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--> Beispiel 1.
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u1 = (1 1 0 0)ᵀ
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||||
u2 = (-1 1 0 0)ᵀ
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||||
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||||
v1 = (4 0 0 0)ᵀ
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||||
v2 = (1 0 1 0)ᵀ
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||||
v3 = (1 4 0 0)ᵀ
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Schreibweise für Äquivalenzklassen:
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[v] = v + U
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--> die Elemente in V/U
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Setze A := (u1 u2 v1 v2 v3)
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---> auf Zeilenstufenform reduzieren
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---> bestimmen, welche Variablen frei / unfrei sind
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---> bestimme die Basis durch die Spalten, die den unfreien Variablen entsprechen
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--->
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x3, x5 sind frei
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x1, x2, x4 nicht frei
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---> v2 + U (entspricht x4) bildet eine Basis
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## SKA 9-5 ##
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Basis für U:
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u1 = (1 1 0)ᵀ
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||||
u2 = (0 1 1)ᵀ
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Basis für V = ℝ^3:
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||||
v1 = (1 0 0)ᵀ
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||||
v2 = (0 1 0)ᵀ
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||||
v3 = (0 0 1)ᵀ
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||||
|
||||
A = (u1, u2, v1, v2, v3)
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||||
---> Zeilenstufenform: x1, x2, x3 nicht frei; x4, x5 frei
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---> V / U = lin {v1 + U} = lin { e1 + U }
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und dim(V/U) = 1
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Beachte: v2 = u1 - v1 ===> v2 + U = -(v1 + U)
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v3 = (u2-u1) + v1 ===> v3 + U = v1 + U
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## UB9-2 (Bsp) ##
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Seien
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v1 = (1 0 0 4 1)ᵀ
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v2 = (0 1 0 8 0)ᵀ
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||||
v3 = (-3 0 0 0 1)ᵀ
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φ : ℝ^3 ---> ℝ^5
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sei linear mit
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φ(e_i) = v_i für alle i
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1. Sei x = (x1, x2, x3) ∈ ℝ^3
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φ(x1,x2,x3)
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= φ(x)
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= φ(x1·e1 + x2·e2 + x3·e3)
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||||
= φ(x1·e1) + φ(x2·e2) + φ(x3·e3)
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||||
= x1·φ(e1) + x2·φ(e2) + x3·φ(e3)
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||||
= x1·v1 + x2·v2 + x3·v3
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= Ax
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wobei A = (v1 v2 v3)
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= 1 0 -3
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0 1 0
|
||||
0 0 0
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4 8 0
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1 0 1
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Also ist φ = φ_A (siehe Korollar 6.3.15 aus [Sinn2020]).
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Wℝ berechnen den Rang von A, um die Injektivität/Surjektivität/Bijektivität
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von φ zu klassifizieren:
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---> A in Zeilenstufenform:
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1 0 -3
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0 1 0
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||||
0 0 0
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||||
0 0 12
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||||
0 0 4
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Rang(A) = 3
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---> A ist eine mxn Matrix mit m=5, n=3
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Rang(A) = 3 ≥ 3 = n ===> φ = φ_A ist injektiv
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Rang(A) = 3 < 5 = m ===> φ = φ_A ist nicht surjektiv
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m ≠ n ===> φ = φ_A ist nicht bijektiv
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## UB9-3 (wie man ansetzen kann...) ##
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**Zz:** ψ◦ϕ injektiv <===> ϕ injektiv + Kern(ψ) ∩ Bild(ϕ) = {0}
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(==>) Angenommen, ψ◦ϕ injektiv.
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**Zz:** ϕ injektiv + Kern(ψ) ∩ Bild(ϕ) = {0}.
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...
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(<==) Angenommen, ϕ injektiv + Kern(ψ) ∩ Bild(ϕ) = {0}.
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||||
**Zz:** ψ◦ϕ injektiv
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Laut Korollar 6.3.15 aus [Sinn2020] reicht es aus zu zeigen, dass Kern(ψ◦ϕ) = {0}.
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Sei x ∈ U beliebig.
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**Zz:** x ∈ Kern(ψ◦ϕ) <===> x = 0
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x ∈ Kern(ψ◦ϕ)
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<===> (ψ◦ϕ)(x) = 0
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..
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.. <--- ϕ injektiv + Kern(ψ) ∩ Bild(ϕ) = {0} ausnutzen !
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||||
..
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||||
<===> x = 0
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||||
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