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(Für die Berechnungen haben wir Octave benutzt.)
## Aufgabe ähnlich wie ÜB9-1 ##
# Woche 10 #
## §1. Linear oder nicht? ##
U = lin{u1, u2}
V = lin{v1, v2, v3}
In folgenden Aufgaben wird eine Funktion φ : ℝ³ ⟶ ℝ² definiert.
Bestimme in jedem Falle, ob φ linear ist.
### U ⊆ V ? ###
#### Beispiel 1 ####
a)
u1 = (1 1 0 0)ᵀ
u2 = (-1 1 0 0)ᵀ
φ(x₁, x₂, x₃) = ( 4·x₁·x₃ )
( 10·x₂ )
v1 = (4 0 0 0)ᵀ
v2 = (1 4 0 0)ᵀ
v3 = (1 0 1 0)ᵀ
Anmerkung: lin{u1, u2} ⊆ lin{v1, v2, v3} <===> u1, u2 ∈ lin{v1, v2, v3}
Setze A := (v1 v2 v3 u1 u2)
---> auf Zeilenstufenform reduzieren
---> zeigen, dass in homogenen LGS Ax = 0 x4 und x5 freie Unbekannte sind.
---> ja
---> lin{u1, u2} ⊆ lin{v1, v2, v3}
#### Beispiel 2 ####
u1 = (1 1 0 1)ᵀ
u2 = (-1 1 0 0)ᵀ
Wenn φ linear wäre, dann müsste φ(2, 0, 2) = 2·φ(1, 0, 1) gelten.
Aber:
v1 = (4 0 0 0)ᵀ
v2 = (1 4 0 0)ᵀ
v3 = (1 0 1 0)ᵀ
φ(2, 0, 2) = (16, 0)ᵀ
2·φ(1, 0, 1) = 2·(4, 0)ᵀ = (8, 0)ᵀ ≠ φ(2, 0, 2)
Setze A := (v1 v2 v3 u1 u2)
---> auf Zeilenstufenform reduzieren
---> zeigen, dass in homogenen LGS Ax = 0 x4 und x5 freie Unbekannte sind.
---> nein
---> also lin{u1, u2} ⊈ lin{v1, v2, v3}
Also ist φ nicht linear, weil Homogenität verletzt wird.
### Basis von V/U ###
b)
--> Beispiel 1.
φ(x₁, x₂, x₃) = ( x₃² )
( 0 )
u1 = (1 1 0 0)ᵀ
u2 = (-1 1 0 0)ᵀ
Wenn φ linear wäre, dann müsste φ(0, 0, 8) = 8·φ(0, 0, 1) gelten.
Aber:
v1 = (4 0 0 0)ᵀ
v2 = (1 0 1 0)ᵀ
v3 = (1 4 0 0)ᵀ
φ(0, 0, 8) = (64, 0)ᵀ
8·φ(0, 0, 1) = 8·(1, 0)ᵀ = (8, 0)ᵀ ≠ φ(0, 0, 8)
Schreibweise für Äquivalenzklassen:
[v] = v + U
--> die Elemente in V/U
Also ist φ nicht linear, weil Homogenität verletzt wird.
Setze A := (u1 u2 v1 v2 v3)
---> auf Zeilenstufenform reduzieren
---> bestimmen, welche Variablen frei / unfrei sind
---> bestimme die Basis durch die Spalten, die den unfreien Variablen entsprechen
--->
x3, x5 sind frei
x1, x2, x4 nicht frei
---> v2 + U (entspricht x4) bildet eine Basis
c)
φ(x₁, x₂, x₃) = ( x₃ )
( 0 )
## SKA 9-5 ##
--> linear
Basis für U:
u1 = (1 1 0)ᵀ
u2 = (0 1 1)ᵀ
Basis für V = ℝ^3:
v1 = (1 0 0)ᵀ
v2 = (0 1 0)ᵀ
v3 = (0 0 1)ᵀ
d)
A = (u1, u2, v1, v2, v3)
---> Zeilenstufenform: x1, x2, x3 nicht frei; x4, x5 frei
---> V / U = lin {v1 + U} = lin { e1 + U }
und dim(V/U) = 1
φ(x₁, x₂, x₃) = ( 0 )
( 0 )
Beachte: v2 = u1 - v1 ===> v2 + U = -(v1 + U)
v3 = (u2-u1) + v1 ===> v3 + U = v1 + U
--> linear
e)
φ(x₁, x₂, x₃) = ( 4 )
( 0 )
## UB9-2 (Bsp) ##
Wenn φ linear wäre, dann müsste φ(0) = 0 gelten. [Siehe Lemma 6.1.2]
Aber φ ist hier niemals der Nullvektor!
Also ist φ nicht linear.
Seien
f)
v1 = (1 0 0 4 1)ᵀ
v2 = (0 1 0 8 0)ᵀ
v3 = (-3 0 0 0 1)ᵀ
φ(x₁, x₂, x₃) = ( 10·x₃ )
( -x₂ + x₁ )
φ : ℝ^3 ---> ℝ^5
sei linear mit
φ(e_i) = v_i für alle i
linear!
1. Sei x = (x1, x2, x3) ∈ ℝ^3
φ(x1,x2,x3)
= φ(x)
= φ(x1·e1 + x2·e2 + x3·e3)
= φ(x1·e1) + φ(x2·e2) + φ(x3·e3)
= x1·φ(e1) + x2·φ(e2) + x3·φ(e3)
= x1·v1 + x2·v2 + x3·v3
= Ax
wobei A = (v1 v2 v3)
= 1 0 -3
0 1 0
0 0 0
4 8 0
1 0 1
Also ist φ = φ_A (siehe Korollar 6.3.15 aus [Sinn2020]).
Wℝ berechnen den Rang von A, um die Injektivität/Surjektivität/Bijektivität
von φ zu klassifizieren:
---> A in Zeilenstufenform:
1 0 -3
0 1 0
0 0 0
0 0 12
0 0 4
Rang(A) = 3
---> A ist eine mxn Matrix mit m=5, n=3
Rang(A) = 3 ≥ 3 = n ===> φ = φ_A ist injektiv
Rang(A) = 3 < 5 = m ===> φ = φ_A ist nicht surjektiv
m ≠ n ===> φ = φ_A ist nicht bijektiv
g)
φ(x₁, x₂, x₃) = ( 1 - 10·x₃ )
( -x₂ + x₁ )
Wenn φ linear wäre, dann müsste φ(0) = 0 gelten. [Siehe Lemma 6.1.2]
Aber φ(0) = (1, 0)ᵀ.
Also ist φ nicht linear.
## UB9-3 (wie man ansetzen kann...) ##
h)
**Zz:** ψ◦ϕ injektiv <===> ϕ injektiv + Kern(ψ) ∩ Bild(ϕ) = {0}
φ(x₁, x₂, x₃) = ( exp(-(7·x₂ + 8·x₁)) )
( 0 )
(==>) Angenommen, ψ◦ϕ injektiv.
**Zz:** ϕ injektiv + Kern(ψ) ∩ Bild(ϕ) = {0}.
Wenn φ linear wäre, dann müsste φ(0) = 0 gelten. [Siehe Lemma 6.1.2]
Aber φ(0) = (exp(0), 0)ᵀ = (1, 0)ᵀ.
Also ist φ nicht linear.
...
## §2. Aufgaben ähnlich zu ÜB 10-2 ##
(<==) Angenommen, ϕ injektiv + Kern(ψ) ∩ Bild(ϕ) = {0}.
**Zz:** ψ◦ϕ injektiv
Seien A = (u₁, u₂, u₃) und B = (v₁, v₂),
wobei
Laut Korollar 6.3.15 aus [Sinn2020] reicht es aus zu zeigen, dass Kern(ψ◦ϕ) = {0}.
u₁ = (3, 0, 1)ᵀ
u₂ = (0, -1, 0)ᵀ
u₃ = (4, 0, 0)ᵀ
Sei x ∈ U beliebig.
v₁ = (4, 5)ᵀ
v₂ = (0, 1)ᵀ
**Zz:** x ∈ Kern(ψ◦ϕ) <===> x = 0
Beachte:
x ∈ Kern(ψ◦ϕ)
<===> (ψ◦ϕ)(x) = 0
..
.. <--- ϕ injektiv + Kern(ψ) Bild(ϕ) = {0} ausnutzen !
..
<===> x = 0
- A bildet eine Basis für ℝ³
- B bildet eine Basis für ℝ²
Sei nun φ : ℝ³ ⟶ ℝ² definiert durch
φ(x₁, x₂, x₃) = ( 4·x₁ - x₃ )
( 10·x₂ + x₁ )
### Zur Linearität ###
Seien
(x₁,x₂,x₃), (x₁',x₂',x₃') ∈ ℝ³
c, c' ∈ ℝ
**Zu zeigen:**
φ(c(x₁, x₂, x₃) +c'(x₁',x₂',x₃')) = c·φ(x₁, x₂, x₃) +c'·φ(x₁', x₂', x₃')
Es gilt
l. S. = φ(c(x₁, x₂, x₃) +c'(x₁',x₂',x₃'))
= φ(c(x₁·e1 + x₂·e2 + x₃·e3) +c'(x₁'·e1 + x₂'·e2 + x₃'·e3))
= φ((c·x₁ + c'·x₁)·e1 + (c·x₂ + c'·x₂)·e2 + (c·x₃ + c'·x₃)·e3)
= φ(c·x₁ + c'·x₁', c·x₂ + c'·x₂', c·x₃ + c'·x₃')
= ( 4·(c·x₁ + c'·x₁') - (c·x₃ + c'·x₃') )
( 10·(c·x₂ + c'·x₂') + (c·x₁ + c'·x₁') )
= ( c·(4·x₁ - x₃) + c'·(4·x₁' - x₃') )
( c·(10·x₂ + x₁) + c'·(10·x₂' + x₁') )
= c·( 4·x₁ - x₃ ) + c'·( 4·x₁' - x₃' )
( 10·x₂ + x₁ ) ( 10·x₂' + x₁' )
= r. S.
Darum ist φ linear.
### Darstellung ###
Zunächst beobachten wir:
φ(x₁, x₂, x₃) = ( 4 0 -1 ) ( x₁ )
( 1 10 0 ) ( x₂ )
( x₃ )
= C·x
= φ_C(x) siehe [Skript, Bsp 6.2.2],
wobei C die Matrix
C = ( 4 0 -1 )
( 1 10 0 )
ist.
**Bemerkung.** Den vorherigen Teil konnten wir hiermit viel einfacher machen:
Da φ_C linear ist (siehe [Skript, Bsp 6.2.2]), ist φ = φ_C linear.
_Zurück zur Berechnung der Darstellung..._
Die zu berechnende Matrix M := M_A^B(φ), ist diejenige, die erfüllt:
- ist x der Form x = ∑ α_j·u_j = (α_j) <--- als Vektor über Basis A
- und ist M·(α_j) = (β_i) für einen Vektor (β_i) ∈ ℝ²
- dann gilt φ(x) = y, wobei y = ∑ β_i·v_i
Zusammengefasst ist M genau die Matrix, für die gilt:
B·M·α = φ(A·α)
für alle α ∈ ℝ³. Da φ = φ_C, ist die äquivalent zu
B·M·α = C·A·α
Kurzgesagt: M_A^B(φ) = B^-1 · C · A.
Um dies zu bestimmen, wenden wir das Gaußverfahren
auf folgendes augmentiertes System an
( B | C·A )
und reduzieren die linke Hälfte auf die Identitätsmatrix.
Die resultierende Matrix in der rechten Hälfte wir dann M sein.
Es gilt
C·A = ( 4 0 -1 ) (3 0 4)
( 1 10 0 ) (0 -1 0)
(1 0 0)
= ( 11 0 16 )
( 3 -10 4 )
Also ist das augmentiere System
( B | C·A )
= ( 4 0 | 11 0 16 )
( 5 1 | 3 -10 4 )
Zeile2 <- 4*Zeile2 - 5*Zeile1
~> ( 4 0 | 11 0 16 )
( 0 4 | -43 -40 -64 )
Zeile1 <- Zeile1 : 4
Zeile2 <- Zeile2 : 4
~> ( 1 0 | 11/4 0 4 )
( 0 1 | -43/4 -10 -16 )
Darum gilt
M_A^B(φ) = ( 11/4 0 4 )
( -43/4 -10 -16 )
## §3. Lineare Fortsetzung von partiell definierten Funktionen ##
Seien u₁, u₂, u₃, u₄, u₅ eine Basis für ℝ⁵.
Seien v₁, v₂, v₃ Vektoren in ℝ³.
Definiert werden
φ(u₁) = v₁, φ(u₂) = v₂, φ(u₄) = v₃
**Aufgabe:** Gibt es eine lineare Abbildung, φ : ℝ⁵ ⟶ ℝ³, die die o. s. Gleichungen erfüllen?
**Antwort:** Ja.
**Beweis:**
Da eine (u₁, u₂, u₃, u₄, u₅) Basis für ℝ⁵ ist,
können wir [Skript, Satz 6.1.13] anwenden.
Setze
φ(u₃) := 0 (Nullvektor)
φ(u₅) := 0 (Nullvektor)
Mit der partiellen Definition von φ auf der Basis (u₁, u₂, u₃, u₄, u₅),
existiert laut [Skript, Satz 6.1.13] eine **lineare Ausdehnung**
(auch _Fortsetzung_ od. _Erweiterung_ in der Literatur genannt)
φ : ℝ⁵ ⟶ ℝ³, so dass
φ(u₁) = v₁, φ(u₂) = v₂, φ(u₄) = v₃, φ(u₃) = 0, φ(u₅) = 0.
**QED**
**Bemerkung 1.**
Konkret, da u₁, u₂, u₃, u₄, u₅ eine Basis ist,
existiert für jedes x ∈ ℝ⁵ eindeutige Werte
c₁, c₂, c₃, c₄, c₅ im Körper ℝ,
so dass
x = ∑ c_i · ui
gilt, und man setzt
φ(x) := ∑ c_i · φ(u_i).
Mit dieser Definition ist es einfach, die Axiome durchzugehen,
und zu beweisen, dass dies eine lineare Abbildung definiert.
**Bemerkung 2.**
Beachte, dass die _Wahl_ von den φ(u₃), φ(u₅) im o. s. Beispiel beliebig sein kann. Es ist nur entscheidend, dass in der partiellen
Definition wir es mit linear unabhängigen Elementen zu tun haben.
Falls es zu Abhängigkeiten zwischen den Inputvektoren kommt,
müssen wir wie gewohnt auf eine maximale linear unabhängige Teilmenge
reduzieren, und zeigen, dass für die restlichen Inputs,
die Definition kompatibel ist.
Als Beispiel nehmen wir
u₁ = (1, 0, 1, 0, 0)ᵀ
u₂ = (1, 2, 1, 0, 0)ᵀ
u₃ = (0, 1, 0, 0, 0)ᵀ
und φ : ℝ⁵ ⟶ ℝ³ partiell definiert auf {u₁, u₂, u₃}.
Aus (u₁, u₂, u₃) können wir sehen (etwa durch den Gaußalgorithmus),
dass (u₁, u₂) ein maximales linear unabhängiges Teilsystem ist
und
u₃ = -½u₁ + ½u₂.
Darum können φ(u₁), φ(u₂) beliebig gewählt werden,
umd es muss
φ(u₃) = -½φ(u₁) + ½φ(u₂)
gelten (entsprechend dem o. s. Verhältnis).
Wenn wir zum Beispiel
φ(u₁) = ( 4, 2)ᵀ
φ(u₂) = (-2, 8)ᵀ
φ(u₃) = (-3, 3)ᵀ
wählen ist, dies erfüllt.
Man kann das l. u. Teilsystem (u₁, u₂)
durch 3 weitere Vektoren zu einer Basis ergänzen
und φ zu einer linearen Abb ausdehnen.
Wenn wir aber
φ(u₁) = ( 8, 1)ᵀ
φ(u₂) = (-4, 8)ᵀ
φ(u₃) = ( 0, 1)ᵀ
wählen ist, ist φ(u₃) = -½φ(u₁) + ½φ(u₂) nicht erfüllt.
Darum lässt sich hier φ **nicht** zu einer linearen Abbildung erweitern.

@ -1,294 +1,191 @@
## §1. Linear oder nicht? ##
# Woche 10 #
## SKA 11 ##
In folgenden Aufgaben wird eine Funktion φ : ℝ³ ⟶ ℝ² definiert.
Bestimme in jedem Falle, ob φ linear ist.
### Aufgabe 12 ###
a)
Gegeben sei
φ(x₁, x₂, x₃) = ( 4·x₁·x₃ )
( 10·x₂ )
A = -1 1
2 0
3 1
Wenn φ linear wäre, dann müsste φ(2, 0, 2) = 2·φ(1, 0, 1) gelten.
Aber:
A ist in ℝ^{3 x 2}
**Zu finden:** Matrizen P, Q, so dass P·A·Q im Format wie in Satz 6.3.10
Offensichtlich müssen
φ(2, 0, 2) = (16, 0)ᵀ
2·φ(1, 0, 1) = 2·(4, 0)ᵀ = (8, 0)ᵀ ≠ φ(2, 0, 2)
P ∈ ℝ^{3 x 3}
Q ∈ ℝ^{2 x 2}
Also ist φ nicht linear, weil Homogenität verletzt wird.
gelten. Da bei X·Y müssen #col(X), #row(Y) übereinstimmen, weil
wenn man die Matrixmultiplikation ausführt, dann multipliziert man
- Zeilen aus X
mit
- Spalten aus Y.
Im Gaußverfahren
b)
A —> E1·A —> E2·E1·A —> E3·E2·E1·A ... —> (E_r·E_{r-1}·...·E3·E2·E1)·A
φ(x₁, x₂, x₃) = ( x₃² )
( 0 )
—> Wir wollen (E_r·E_{r-1}·...·E3·E2·E1) als einzige Matrix erfassen, also als P.
Wenn φ linear wäre, dann müsste φ(0, 0, 8) = 8·φ(0, 0, 1) gelten.
Aber:
Wir führen A in ein augmentiertes System mit der 3x3 Identitätsmatrix auf
φ(0, 0, 8) = (64, 0)ᵀ
8·φ(0, 0, 1) = 8·(1, 0)ᵀ = (8, 0)ᵀ ≠ φ(0, 0, 8)
-1 1 | 1 0 0
2 0 | 0 1 0
3 1 | 0 0 1
Also ist φ nicht linear, weil Homogenität verletzt wird.
und führen das Gaußverfahren darauf auf. Dann geschieht (effektiv) parallel
c)
linke Hälfte: A —> E1·A —> E2·E1·A —> E3·E2·E1·A ... —> (E_r·E_{r-1}·...·E3·E2·E1)·A
rechte Hälfte: I —> E1·I —> E2·E1·I —> E3·E2·E1·I ... —> (E_r·E_{r-1}·...·E3·E2·E1)·I
= (E_r·E_{r-1}·...·E3·E2·E1)
= P
φ(x₁, x₂, x₃) = ( x₃ )
( 0 )
Gaußverfahren:
--> linear
-1 1 | 1 0 0
2 0 | 0 1 0
3 1 | 0 0 1
d)
Zeilen 1 und 2 tauschen:
φ(x₁, x₂, x₃) = ( 0 )
( 0 )
2 0 | 0 1 0
-1 1 | 1 0 0
3 1 | 0 0 1
--> linear
Zeile_2 <— 2·Zeile_2 + Zeile_1
Zeile_3 <— 2·Zeile_3 - 3·Zeile_1
e)
2 0 | 0 1 0
0 2 | 2 1 0
0 2 | 0 -3 2
φ(x₁, x₂, x₃) = ( 4 )
( 0 )
Zeile_3 <— Zeile_3 - Zeile_2
Wenn φ linear wäre, dann müsste φ(0) = 0 gelten. [Siehe Lemma 6.1.2]
Aber φ ist hier niemals der Nullvektor!
Also ist φ nicht linear.
2 0 | 0 1 0
0 2 | 2 1 0
0 0 | -2 -4 2
f)
Zeile_1 <— Zeile_1 / 2
Zeile_2 <— Zeile_2 / 2
φ(x₁, x₂, x₃) = ( 10·x₃ )
( -x₂ + x₁ )
1 0 | 0 1/2 0
0 1 | 1 1/2 0
0 0 | -2 -4 2
linear!
Also gilt mit
g)
P = 0 1 0
2 1 0
-2 -4 2
φ(x₁, x₂, x₃) = ( 1 - 10·x₃ )
( -x₂ + x₁ )
Dass P·A = Form aus Satz 6.3.10.
Setze Q := 2 x 2 Identitätsmatrix
Dann
Wenn φ linear wäre, dann müsste φ(0) = 0 gelten. [Siehe Lemma 6.1.2]
Aber φ(0) = (1, 0)ᵀ.
Also ist φ nicht linear.
P·A·Q = P·A = Matrix im Format aus Satz 6.3.10
h)
### Anderes nicht so glückliches Beispiel ###
φ(x₁, x₂, x₃) = ( exp(-(7·x₂ + 8·x₁)) )
( 0 )
Angenommen wir hätten A als 3 x 5 Matrix und nach Ausführung des o. s. Verfahrens
Wenn φ linear wäre, dann müsste φ(0) = 0 gelten. [Siehe Lemma 6.1.2]
Aber φ(0) = (exp(0), 0)ᵀ = (1, 0)ᵀ.
Also ist φ nicht linear.
0 1 0 0 0 | 0 1/2 0
0 0 0 1 0 | 1 1/2 0
0 0 0 0 0 | -2 -4 2
## §2. Aufgaben ähnlich zu ÜB 10-2 ##
erzielt. Dann würden wir P wie oben setzen.
Aber wir müssen noch Q bestimmen.
Das können wir einfach durch Permutationen erreichen:
Seien A = (u₁, u₂, u₃) und B = (v₁, v₂),
wobei
0 1 0 0 0 1 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0 1 0
Q = 0 0 1 0 0 · 0 0 1 0 0
0 0 0 1 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
u₁ = (3, 0, 1)ᵀ
u₂ = (0, -1, 0)ᵀ
u₃ = (4, 0, 0)ᵀ
Oder mit Gaußverfahren, transponieren wir und augmentieren wir mit der 5x5 Identitätsmatrix:
v₁ = (4, 5)ᵀ
v₂ = (0, 1)ᵀ
0 0 0 | 1 0 0 0 0
1 0 0 | 0 1 0 0 0
0 0 0 | 0 0 1 0 0
0 1 0 | 0 0 0 1 0
0 0 0 | 0 0 0 0 1
Beachte:
- A bildet eine Basis für ℝ³
- B bildet eine Basis für ℝ²
Sei nun φ : ℝ³ ⟶ ℝ² definiert durch
φ(x₁, x₂, x₃) = ( 4·x₁ - x₃ )
( 10·x₂ + x₁ )
### Zur Linearität ###
Seien
(x₁,x₂,x₃), (x₁',x₂',x₃') ∈ ℝ³
c, c' ∈ ℝ
**Zu zeigen:**
φ(c(x₁, x₂, x₃) +c'(x₁',x₂',x₃')) = c·φ(x₁, x₂, x₃) +c'·φ(x₁', x₂', x₃')
Es gilt
l. S. = φ(c(x₁, x₂, x₃) +c'(x₁',x₂',x₃'))
= φ(c(x₁·e1 + x₂·e2 + x₃·e3) +c'(x₁'·e1 + x₂'·e2 + x₃'·e3))
= φ((c·x₁ + c'·x₁)·e1 + (c·x₂ + c'·x₂)·e2 + (c·x₃ + c'·x₃)·e3)
= φ(c·x₁ + c'·x₁', c·x₂ + c'·x₂', c·x₃ + c'·x₃')
= ( 4·(c·x₁ + c'·x₁') - (c·x₃ + c'·x₃') )
( 10·(c·x₂ + c'·x₂') + (c·x₁ + c'·x₁') )
= ( c·(4·x₁ - x₃) + c'·(4·x₁' - x₃') )
( c·(10·x₂ + x₁) + c'·(10·x₂' + x₁') )
= c·( 4·x₁ - x₃ ) + c'·( 4·x₁' - x₃' )
( 10·x₂ + x₁ ) ( 10·x₂' + x₁' )
= r. S.
Darum ist φ linear.
### Darstellung ###
Zunächst beobachten wir:
φ(x₁, x₂, x₃) = ( 4 0 -1 ) ( x₁ )
( 1 10 0 ) ( x₂ )
( x₃ )
= C·x
= φ_C(x) siehe [Skript, Bsp 6.2.2],
wobei C die Matrix
C = ( 4 0 -1 )
( 1 10 0 )
ist.
**Bemerkung.** Den vorherigen Teil konnten wir hiermit viel einfacher machen:
Da φ_C linear ist (siehe [Skript, Bsp 6.2.2]), ist φ = φ_C linear.
_Zurück zur Berechnung der Darstellung..._
Die zu berechnende Matrix M := M_A^B(φ), ist diejenige, die erfüllt:
- ist x der Form x = ∑ α_j·u_j = (α_j) <--- als Vektor über Basis A
- und ist M·(α_j) = (β_i) für einen Vektor (β_i) ∈ ℝ²
- dann gilt φ(x) = y, wobei y = ∑ β_i·v_i
Zusammengefasst ist M genau die Matrix, für die gilt:
Zeile1 und Zeile2 vertauschen:
B·M·α = φ(A·α)
1 0 0 | 0 1 0 0 0
0 0 0 | 1 0 0 0 0
0 0 0 | 0 0 1 0 0
0 1 0 | 0 0 0 1 0
0 0 0 | 0 0 0 0 1
für alle α ∈ ℝ³. Da φ = φ_C, ist die äquivalent zu
Zeile2 und Zeile4 vertauschen:
B·M·α = C·A·α
1 0 0 | 0 1 0 0 0
0 1 0 | 0 0 0 1 0
0 0 0 | 0 0 1 0 0
0 0 0 | 1 0 0 0 0
0 0 0 | 0 0 0 0 1
Kurzgesagt: M_A^B(φ) = B^-1 · C · A.
Um dies zu bestimmen, wenden wir das Gaußverfahren
auf folgendes augmentiertes System an
Rechte Hälfte __transponiert__:
( B | C·A )
0 0 0 1 0
1 0 0 0 0
Q = 0 0 1 0 0
0 1 0 0 0
0 0 0 0 1
und reduzieren die linke Hälfte auf die Identitätsmatrix.
Die resultierende Matrix in der rechten Hälfte wir dann M sein.
Es gilt
## Lineare Ausdehnung mit Komplikationen... ##
C·A = ( 4 0 -1 ) (3 0 4)
( 1 10 0 ) (0 -1 0)
(1 0 0)
= ( 11 0 16 )
( 3 -10 4 )
Betrachte
Also ist das augmentiere System
u1 = (1, 1, 0, 4)ᵀ
u2 = (1, 0, 0, 4)ᵀ
u3 = (0, 1, 0, 0)ᵀ
u4 = (1, -1, 0, 4)ᵀ
( B | C·A )
und φ : ℝ^4 —> ℝ^2 partiell definiert
= ( 4 0 | 11 0 16 )
( 5 1 | 3 -10 4 )
Zeile2 <- 4*Zeile2 - 5*Zeile1
φ(u1) = (8, 1)ᵀ
φ(u2) = (4, 5)ᵀ
φ(u3) = (4, -4)ᵀ
φ(u4) = (0, 9)ᵀ
~> ( 4 0 | 11 0 16 )
( 0 4 | -43 -40 -64 )
Zeile1 <- Zeile1 : 4
Zeile2 <- Zeile2 : 4
~> ( 1 0 | 11/4 0 4 )
( 0 1 | -43/4 -10 -16 )
Darum gilt
M_A^B(φ) = ( 11/4 0 4 )
( -43/4 -10 -16 )
## §3. Lineare Fortsetzung von partiell definierten Funktionen ##
Beachte:
{u1, u2} lin. unabh.
u3, u4 ∈ Lin{u1, u2}:
u3 = u1 - u2
u4 = u2 - u3 = u2 - (u1 - u2) = 2·u2 – u1
Seien u₁, u₂, u₃, u₄, u₅ eine Basis für ℝ⁵.
Seien v₁, v₂, v₃ Vektoren in ℝ³.
Definiert werden
Darum müssen
φ(u₁) = v₁, φ(u₂) = v₂, φ(u₄) = v₃
φ(u3) = φ(u1) - φ(u2)
φ(u4) = 2·φ(u2) – φ(u1)
**Aufgabe:** Gibt es eine lineare Abbildung, φ : ℝ⁵ ⟶ ℝ³, die die o. s. Gleichungen erfüllen?
gelten.
**Antwort:** Ja.
Wenn nicht erfüllt ==> ex. keine lineare Ausdehnung.
Wenn erfüllt ==> ex. eine lineare Ausdehnung:
**Beweis:**
Da eine (u₁, u₂, u₃, u₄, u₅) Basis für ℝ⁵ ist,
können wir [Skript, Satz 6.1.13] anwenden.
Setze
φ(u₃) := 0 (Nullvektor)
φ(u₅) := 0 (Nullvektor)
Mit der partiellen Definition von φ auf der Basis (u₁, u₂, u₃, u₄, u₅),
existiert laut [Skript, Satz 6.1.13] eine **lineare Ausdehnung**
(auch _Fortsetzung_ od. _Erweiterung_ in der Literatur genannt)
φ : ℝ⁵ ⟶ ℝ³, so dass
φ(u₁) = v₁, φ(u₂) = v₂, φ(u₄) = v₃, φ(u₃) = 0, φ(u₅) = 0.
**QED**
**Bemerkung 1.**
Konkret, da u₁, u₂, u₃, u₄, u₅ eine Basis ist,
existiert für jedes x ∈ ℝ⁵ eindeutige Werte
c₁, c₂, c₃, c₄, c₅ im Körper ℝ,
so dass
x = ∑ c_i · ui
gilt, und man setzt
φ(x) := ∑ c_i · φ(u_i).
Mit dieser Definition ist es einfach, die Axiome durchzugehen,
und zu beweisen, dass dies eine lineare Abbildung definiert.
**Bemerkung 2.**
Beachte, dass die _Wahl_ von den φ(u₃), φ(u₅) im o. s. Beispiel beliebig sein kann. Es ist nur entscheidend, dass in der partiellen
Definition wir es mit linear unabhängigen Elementen zu tun haben.
Falls es zu Abhängigkeiten zwischen den Inputvektoren kommt,
müssen wir wie gewohnt auf eine maximale linear unabhängige Teilmenge
reduzieren, und zeigen, dass für die restlichen Inputs,
die Definition kompatibel ist.
Als Beispiel nehmen wir
u₁ = (1, 0, 1, 0, 0)ᵀ
u₂ = (1, 2, 1, 0, 0)ᵀ
u₃ = (0, 1, 0, 0, 0)ᵀ
und φ : ℝ⁵ ⟶ ℝ³ partiell definiert auf {u₁, u₂, u₃}.
Aus (u₁, u₂, u₃) können wir sehen (etwa durch den Gaußalgorithmus),
dass (u₁, u₂) ein maximales linear unabhängiges Teilsystem ist
und
u₃ = -½u₁ + ½u₂.
Darum können φ(u₁), φ(u₂) beliebig gewählt werden,
umd es muss
φ(u₃) = -½φ(u₁) + ½φ(u₂)
gelten (entsprechend dem o. s. Verhältnis).
Wenn wir zum Beispiel
φ(u₁) = ( 4, 2)ᵀ
φ(u₂) = (-2, 8)ᵀ
φ(u₃) = (-3, 3)ᵀ
u1' = u1
u2' = u2
---> {u1', u2'} lin. unabh.
---> {u1', u2'} lässt sich zu einer Basis
{u1', u2', u3', u4'} von ℝ^4
wählen ist, dies erfüllt.
Man kann das l. u. Teilsystem (u₁, u₂)
durch 3 weitere Vektoren zu einer Basis ergänzen
und φ zu einer linearen Abb ausdehnen.
Wähle v3, v4 ∈ ℝ^2 beliebig und setze
Wenn wir aber
φ(u1') := (8, 1)ᵀ
φ(u2') := (4, 5)ᵀ
φ(u3') := v3
φ(u4') := v4
φ(u₁) = ( 8, 1)ᵀ
φ(u₂) = (-4, 8)ᵀ
φ(u₃) = ( 0, 1)ᵀ
Dann laut Satz 6.1.13. ex. eine (eindeutige) lineare Abb.
φ : ℝ^4 —> ℝ^2
mit
wählen ist, ist φ(u₃) = -½φ(u₁) + ½φ(u₂) nicht erfüllt.
Darum lässt sich hier φ **nicht** zu einer linearen Abbildung erweitern.
φ(u1') = (8, 1)ᵀ
φ(u2') = (4, 5)ᵀ
φ(u3') = v3
φ(u4') = v4

@ -1,191 +1 @@
## SKA 1 ##
### Aufgabe 12 ###
Gegeben sei
A = -1 1
2 0
3 1
A ist in ℝ^{3 x 2}
**Zu finden:** Matrizen P, Q, so dass P·A·Q im Format wie in Satz 6.3.10
Offensichtlich müssen
P ∈ ℝ^{3 x 3}
Q ∈ ℝ^{2 x 2}
gelten. Da bei X·Y müssen #col(X), #row(Y) übereinstimmen, weil
wenn man die Matrixmultiplikation ausführt, dann multipliziert man
- Zeilen aus X
mit
- Spalten aus Y.
Im Gaußverfahren
A —> E1·A —> E2·E1·A —> E3·E2·E1·A ... —> (E_r·E_{r-1}·...·E3·E2·E1)·A
—> Wir wollen (E_r·E_{r-1}·...·E3·E2·E1) als einzige Matrix erfassen, also als P.
Wir führen A in ein augmentiertes System mit der 3x3 Identitätsmatrix auf
-1 1 | 1 0 0
2 0 | 0 1 0
3 1 | 0 0 1
und führen das Gaußverfahren darauf auf. Dann geschieht (effektiv) parallel
linke Hälfte: A —> E1·A —> E2·E1·A —> E3·E2·E1·A ... —> (E_r·E_{r-1}·...·E3·E2·E1)·A
rechte Hälfte: I —> E1·I —> E2·E1·I —> E3·E2·E1·I ... —> (E_r·E_{r-1}·...·E3·E2·E1)·I
= (E_r·E_{r-1}·...·E3·E2·E1)
= P
Gaußverfahren:
-1 1 | 1 0 0
2 0 | 0 1 0
3 1 | 0 0 1
Zeilen 1 und 2 tauschen:
2 0 | 0 1 0
-1 1 | 1 0 0
3 1 | 0 0 1
Zeile_2 <— 2·Zeil_2 + Zeile_1
Zeile_3 <— 2·Zeil_3 - 3·Zeile_1
2 0 | 0 1 0
0 2 | 2 1 0
0 2 | 0 -3 2
Zeile_3 <— Zeil_3 - Zeile_2
2 0 | 0 1 0
0 2 | 2 1 0
0 0 | -2 -4 2
Zeile_1 <— Zeile_1 / 2
Zeile_2 <— Zeile_2 / 2
1 0 | 0 1/2 0
0 1 | 1 1/2 0
0 0 | -2 -4 2
Also gilt mit
P = 0 1 0
2 1 0
-2 -4 2
Dass P·A = Form aus Satz 6.3.10.
Setze Q := 2 x 2 Identitätsmatrix
Dann
P·A·Q = P·A = Matrix im Format aus Satz 6.3.10
### Anderes nicht so glückliches Beispiel ###
Angenommen wir hätten A als 3 x 5 Matrix und nach Ausführung des o. s. Verfahrens
0 1 0 0 0 | 0 1/2 0
0 0 0 1 0 | 1 1/2 0
0 0 0 0 0 | -2 -4 2
erzielt. Dann würden wir P wie oben setzen.
Aber wir müssen noch Q bestimmen.
Das können wir einfach durch Permutationen erreichen:
Q = 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 1 0 0 · 0 0 1 0 0
0 0 0 1 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
Oder mit Gaußverfahren, transponieren wir und augmentieren wir mit der 5x5 Identitätsmatrix:
0 0 0 | 1 0 0 0 0
1 0 0 | 0 1 0 0 0
0 0 0 | 0 0 1 0 0
0 1 0 | 0 0 0 1 0
0 0 0 | 0 0 0 0 1
Zeile1 und Zeile2 vertauschen:
1 0 0 | 0 1 0 0 0
0 0 0 | 1 0 0 0 0
0 0 0 | 0 0 1 0 0
0 1 0 | 0 0 0 1 0
0 0 0 | 0 0 0 0 1
Zeile2 und Zeile4 vertauschen:
1 0 0 | 0 1 0 0 0
0 1 0 | 0 0 0 1 0
0 0 0 | 0 0 1 0 0
0 0 0 | 1 0 0 0 0
0 0 0 | 0 0 0 0 1
Rechte Hälfte transponiert:
Q = 0 0 0 1 0
1 0 0 0 0
0 0 1 0 0
0 1 0 0 0
0 0 0 0 1
## Lineare Ausdehnung mit Komplikationen... ##
Betrachte
u1 = (1, 1, 0, 4)ᵀ
u2 = (1, 0, 0, 4)ᵀ
u3 = (0, 1, 0, 0)ᵀ
u4 = (1, -1, 0, 4)ᵀ
und φ : ℝ^4 —> ℝ^2 partiell definiert
φ(u1) = (8, 1)ᵀ
φ(u2) = (4, 5)ᵀ
φ(u3) = (4, -4)ᵀ
φ(u4) = (0, 9)ᵀ
Beachte:
{u1, u2} lin. unabh.
u3, u4 ∈ Lin{u1, u2}:
u3 = u1 - u2
u4 = u2 - u3 = u2 - (u1 - u2) = 2·u2 – u1
Darum müssen
φ(u3) = φ(u1) - φ(u2)
φ(u4) = 2·φ(u2) – φ(u1)
gelten.
Wenn nicht erfüllt ==> ex. keine lineare Ausdehnung.
Wenn erfüllt ==> ex. eine lineare Ausdehnung:
Setze
u1' = u1
u2' = u2
---> {u1', u2'} lin. unabh.
---> {u1', u2'} lässt sich zu einer Basis
{u1', u2', u3', u4'} von ℝ^4
Wähle v3, v4 ∈ ℝ^2 beliebig und setze
φ(u1') := (8, 1)ᵀ
φ(u2') := (4, 5)ᵀ
φ(u3') := v3
φ(u4') := v4
Dann laut Satz 6.1.13. ex. eine (eindeutige) lineare Abb.
φ : ℝ^4 —> ℝ^2
mit
φ(u1') = (8, 1)ᵀ
φ(u2') = (4, 5)ᵀ
φ(u3') = v3
φ(u4') = v4
# Woche 12 #

@ -0,0 +1,153 @@
# Woche 9 #
(Für die Berechnungen haben wir Octave benutzt.)
## Aufgabe ähnlich wie ÜB9-1 ##
U = lin{u1, u2}
V = lin{v1, v2, v3}
### U ⊆ V ? ###
#### Beispiel 1 ####
u1 = (1 1 0 0)ᵀ
u2 = (-1 1 0 0)ᵀ
v1 = (4 0 0 0)ᵀ
v2 = (1 4 0 0)ᵀ
v3 = (1 0 1 0)ᵀ
Anmerkung: lin{u1, u2} ⊆ lin{v1, v2, v3} <===> u1, u2 ∈ lin{v1, v2, v3}
Setze A := (v1 v2 v3 u1 u2)
---> auf Zeilenstufenform reduzieren
---> zeigen, dass in homogenen LGS Ax = 0 x4 und x5 freie Unbekannte sind.
---> ja
---> lin{u1, u2} ⊆ lin{v1, v2, v3}
#### Beispiel 2 ####
u1 = (1 1 0 1)ᵀ
u2 = (-1 1 0 0)ᵀ
v1 = (4 0 0 0)ᵀ
v2 = (1 4 0 0)ᵀ
v3 = (1 0 1 0)ᵀ
Setze A := (v1 v2 v3 u1 u2)
---> auf Zeilenstufenform reduzieren
---> zeigen, dass in homogenen LGS Ax = 0 x4 und x5 freie Unbekannte sind.
---> nein
---> also lin{u1, u2} ⊈ lin{v1, v2, v3}
### Basis von V/U ###
--> Beispiel 1.
u1 = (1 1 0 0)ᵀ
u2 = (-1 1 0 0)ᵀ
v1 = (4 0 0 0)ᵀ
v2 = (1 0 1 0)ᵀ
v3 = (1 4 0 0)ᵀ
Schreibweise für Äquivalenzklassen:
[v] = v + U
--> die Elemente in V/U
Setze A := (u1 u2 v1 v2 v3)
---> auf Zeilenstufenform reduzieren
---> bestimmen, welche Variablen frei / unfrei sind
---> bestimme die Basis durch die Spalten, die den unfreien Variablen entsprechen
--->
x3, x5 sind frei
x1, x2, x4 nicht frei
---> v2 + U (entspricht x4) bildet eine Basis
## SKA 9-5 ##
Basis für U:
u1 = (1 1 0)ᵀ
u2 = (0 1 1)ᵀ
Basis für V = ℝ^3:
v1 = (1 0 0)ᵀ
v2 = (0 1 0)ᵀ
v3 = (0 0 1)ᵀ
A = (u1, u2, v1, v2, v3)
---> Zeilenstufenform: x1, x2, x3 nicht frei; x4, x5 frei
---> V / U = lin {v1 + U} = lin { e1 + U }
und dim(V/U) = 1
Beachte: v2 = u1 - v1 ===> v2 + U = -(v1 + U)
v3 = (u2-u1) + v1 ===> v3 + U = v1 + U
## UB9-2 (Bsp) ##
Seien
v1 = (1 0 0 4 1)ᵀ
v2 = (0 1 0 8 0)ᵀ
v3 = (-3 0 0 0 1)ᵀ
φ : ℝ^3 ---> ℝ^5
sei linear mit
φ(e_i) = v_i für alle i
1. Sei x = (x1, x2, x3) ∈ ℝ^3
φ(x1,x2,x3)
= φ(x)
= φ(x1·e1 + x2·e2 + x3·e3)
= φ(x1·e1) + φ(x2·e2) + φ(x3·e3)
= x1·φ(e1) + x2·φ(e2) + x3·φ(e3)
= x1·v1 + x2·v2 + x3·v3
= Ax
wobei A = (v1 v2 v3)
= 1 0 -3
0 1 0
0 0 0
4 8 0
1 0 1
Also ist φ = φ_A (siehe Korollar 6.3.15 aus [Sinn2020]).
Wℝ berechnen den Rang von A, um die Injektivität/Surjektivität/Bijektivität
von φ zu klassifizieren:
---> A in Zeilenstufenform:
1 0 -3
0 1 0
0 0 0
0 0 12
0 0 4
Rang(A) = 3
---> A ist eine mxn Matrix mit m=5, n=3
Rang(A) = 3 ≥ 3 = n ===> φ = φ_A ist injektiv
Rang(A) = 3 < 5 = m ===> φ = φ_A ist nicht surjektiv
m ≠ n ===> φ = φ_A ist nicht bijektiv
## UB9-3 (wie man ansetzen kann...) ##
**Zz:** ψ◦ϕ injektiv <===> ϕ injektiv + Kern(ψ) ∩ Bild(ϕ) = {0}
(==>) Angenommen, ψ◦ϕ injektiv.
**Zz:** ϕ injektiv + Kern(ψ) ∩ Bild(ϕ) = {0}.
...
(<==) Angenommen, ϕ injektiv + Kern(ψ) ∩ Bild(ϕ) = {0}.
**Zz:** ψ◦ϕ injektiv
Laut Korollar 6.3.15 aus [Sinn2020] reicht es aus zu zeigen, dass Kern(ψ◦ϕ) = {0}.
Sei x ∈ U beliebig.
**Zz:** x ∈ Kern(ψ◦ϕ) <===> x = 0
x ∈ Kern(ψ◦ϕ)
<===> (ψ◦ϕ)(x) = 0
..
.. <--- ϕ injektiv + Kern(ψ) Bild(ϕ) = {0} ausnutzen !
..
<===> x = 0
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