master > master: Repo

README.md

@@ -0,0 +1,144 @@
+# Repository für Lineare Algebra / Übungsgruppe  #
+
+In diesem Repository werden Ressourcen hochgeladen,
+zum Beispiel Skripte oder Dokumente für mathematische Argumente.
+Gründe hierfür:
+
+- um den Umstand zu vermeiden, per Email, Moodle, BBB, usw. Dateien zu schicken.
+- technische Kritzelei irgendwo festzuhalten.
+
+Dieses Repo enthält
+
+1. Code/Codeschnippsel: siehe [/code](./code).
+2. Dokument inklusive meiner Lösungen zu den Übungsblättern (die nach dem Abgabetermin hochgeladen werden): siehe [/docs](./docs) und [/docs/loesungen.pdf](./docs/loesungen.pdf).
+3. Notizen/Kritzelei für mathematische Argumente, Berechnungen, usw.: siehe [/notes](./notes).
+4. Protokolle von den Übungsgruppen: siehe [/uebung](./uebung).
+
+## Mathematisches Denken ##
+
+Mathematik ist eine präzise aber abstrakte Kunst.
+Pflegen muss man zwei den Umgang mit zwei Aspekten:
+
+- Anschauung,
+- Formalismen.
+
+Es gibt ein Zwischenspiel zwischen beiden dieser Aspekte.
+
+### Anschauung ###
+
+Stichwörte: **Konzepte** (en: _notion_), **Vorstellung**, **Visualisierung**, **Intuition**, ...
+
+Mit _Anschauung_ meine ich nicht bloß _Visualisierung_, sondern vielmehr das intuitive Begreifen von Mathematik.
+Mit Intuition nun meine ich aber _nicht_ »common sense«,
+sondern eine Fähigkeit, die man antrainieren muss, um abstrakte Sachverhalte
+zu visualisieren, internalisieren, und um sich mit den mathematischen »Gegenständen« vertraut zu machen.
+
+### Formalismen ###
+
+Stichwörte: **Symbole**, **Notation**, **Axiome**, **Rahmen**, **Aussagen**, **Beweise**, **Argumentation**, ...
+
+Der Begriff _Formalismen_ geht eigentlich auf die Grundlagen der Mathematik ab der Mitte des 19. Jh zurück.
+Ab dieser Zeit fingen Mathematiker an, nicht mehr lose zu berechnen, sondern Erkenntnisse in _formalen Systemen_ aufzuschreiben.
+Im Grunde (und im Falle von Church, Turing, Kleene, usw. buchstäblich) legten sie die Bausteine für das moderne Konzept von Berechenbarkeit, Algorithmen, und Rechnern.
+Es stellt sich heraus (siehe insbesondere das Löwenheim-Skolem-Tarski Paradoxon), dass mathematische Aussagen komplett unabhängig von Anschauungen ausgelegt und bewiesen werden können.
+Mit anderen Worten, man kann einen seelenlosen Rechner mit mathematischen Aufgaben beauftragen,
+und dieser ohne jegliche Vorstellungskraft wäre in der Lage _richtige_ Berechnungen durchzuführen und Schlüsse zu ziehen.
+
+Kurz gesagt, die _formalen_ Aspekte bestehen aus technischen Symbolen, mithilfe derer wir Aussagen schreiben, und der Struktur von Argumenten.
+
+### Die Rolle von beiden Aspekten ###
+
+Einerseits sind formale Mitteln notwendig, um Aussagen _klar und eindeutig_ zu formulieren,
+und notwendig und hinreichend, um diese zu beweisen.
+Andererseits benötigen wir als _denkende Menschen_ aber auch Anschauungen,
+
+1. um formale Aussagen _deuten_ zu können und deren Informationsgehalt zu _begreifen_,
+2. damit einem Ideen und Ansätze einfallen, um Behauptungen zu beweisen.
+
+Wir brauchen also die formale Seite, um **präzis** zu kommunizieren und richtig zu argumentieren,
+und die anschauliche Seite, um uns überhaupt orientieren zu können.
+
+### Wie trainiere ich das? ###
+
+Es gibt einige Möglichkeiten für verschiedene Lerntypen:
+
+- Selbstlernen: sich alleine mit dem Skript auseinandersetzen. Am besten ein paar Stunden in einem ruhigen Ort wie einem Café, der Bibliothek, zu Hause.
+Gründlich die Definitionen und Resultate durchgehen.
+- Durch Gruppenarbeit.
+- Austausch von konkreten Fragen in eurer Chat-Gruppe oder in online Foren wie stackexchange, math.hashcode, usw..
+- In der Übungsgruppe. Bei wichtigen Fragen, die wir gemeinsam bearbeiten, werde ich versuchen, diese in dem Repository festzuhalten.
+
+## Software für Text/Notizen ##
+
+Unter Mathematikern, Wissenschaftlern, (womöglich auch Ingenieuren), und Informatikern sind folgende Optionen sehr beliebt:
+
+- LaTeX
+- Markdown, sowie die verschiedenen Kombinationen mit anderer Software:
+    - Pandocs (kombiniert so ziemlich alles!)
+    - Rmd (R Markdown)
+    - pynb/JyPyter (Python notebooks)
+
+Am Rechner schreibe ich alles meistens in Markdown oder LaTeX-Dateien.
+Wenn ich wirklich schnell schreiben will, und mir die Formattierung egal ist,
+benutze ich sogar Notepad / TextEditor / rtf.
+Freunde benutzen Apps, in denen man zeichnen kann. Das ist auch sehr nützlich.
+
+## Software für Berechnungen und Anschauungen ##
+
+Es gibt einige Hilfsmittel, derer man sich bedienen kann, um entweder Konzepte zu visualisieren oder zu berechnen.
+**Diese Möglichkeiten sind keineswegs verpflichtend!**
+
+### Geogebra ###
+
+Diese App ist ein lustiges aber sehr nützliches Programm, um schnell im 2-d Raum ($\mathbb{R}^{2}$) oder 3-d Raum ($\mathbb{R}^{3}$) geometrische Objekte und Konzepte zu realisieren.
+Man kann GeoGebra [hier](https://www.geogebra.org/download?lang=de) herunterladen.
+
+**Vorteile:** man braucht hier _null_ Programmierkenntnisse. Mit der App kann man ohne Weiteres direkt loslegen.
+
+**Nachteile:** Man sollte es aber nicht zu weit betreiben, denn diese App wird schnell überfordert.
+Es scheint, dass man nicht mehr Dateien lokal speichern kann (?!).
+Anscheinend wollen die „klugen“ Betreiber dieser App einen rein online Gebrauch erzwingen 🤦.
+
+### R ###
+
+Für **R** braucht man
+
+- Den **R** Compiler (siehe z. B. [hier](https://cran.rstudio.com))
+- (optional) einen Editor wie **RStudio** (siehe [hier](https://rstudio.com/products/rstudio/download/#download)).
+
+Man kann auch ohne Installation R-Skripte ausführen: einfach nach »R compiler online« googeln (oder z. B. <https://repl.it> -> `<>Start coding` —> Sprache auswählen).
+
+**Vorteile:** man braucht hier nur _sehr minimale_ Programmierkenntnisse.
+Diese Sprache wurde für Naturwissenschaftler und Statistiker entwickelt, und Menschen rund um den Globus entwickeln immer neue Packages für alles Mögliche in dieser Sprache.
+Es gibt eine große Community und damit kann man für alle Probleme Hilfe finden.
+Visualisierung mag zwar umständlicher als mit Geogebra sein, aber ist nicht so schwer.
+
+**Nachteile:**
+Man sollte im Laufe seines Studiums **R** nicht _ausschließlich_ bedienen,
+denn diese Sprache fördert einen richtig schlechten Programmierstil.
+Für die Logiker und Informatiker unter euch, wird es bspw. nerven, dass in **R**-Arrays (sog. lists/vectors) Indexes mit `1` anfangen.
+Für Programmierer, wird stören, dass **R** keine saubere Implementierung von Klassen, (lokalen) Imports, usw. anbietet
+(diese Dinge existieren, aber sind sehr umständlich).
+
+### Python ###
+
+_„Pfft! Python ist nichts anderes als glorifiziertes Bash!“_ — ein ehem. Arbeitskollege
+
+Von diesem Zitat abgesehen ich persönlich liebe diese Sprache.
+Man kann den Python-Compiler [hier](https://www.python.org/downloads/) herunterladen.
+(ACHTUNG! Version 3.9.0 scheint mit C-libraries Probleme zu haben. Ich persönlich hatte Schwierigkeiten gewisse mathe-Module dafür zu installieren. Ich würde deshalb erstmals v3.8.xx empfehlen.)
+
+Man kann auch ohne Installation python Skripte ausführen: einfach nach »python compiler online« googeln (oder z. B. <https://repl.it> -> `<>Start coding` —> Sprache auswählen).
+
+**Vorteile:** Da man kein Memory-Allocation o. Ä., oder Typisierung pflegen muss, kann man mit grundlegenden Programmierkenntnissen sehr leicht in Python einsteigen.
+Es gibt eine immense Community für Python und man kann sehr schnell online durch Foren u. Ä. Hilfe holen.
+Die Python-Dokumentation ist sehr ausführlich und alles ist gut versioniert.
+Möglicherweise werden einige von euch etwas im Bereich Data Science machen.
+Dafür ist python (aktuell) mit das gängigste Tool.
+Generell (nicht nur wegen DS) lohnt es sich, Python (samt Modulen wie **numpy**/**numpy.linalg**, **pandas**, usw.) zu können.
+
+**Nachteile:** Python ist nicht sonderlich schnell, aber bzgl. Geschwindigkeit definitiv besser als Geogebra.
+Für Programmierer gibts an Python viel Grund zu meckern (z. B. keine echten privat/public/protected access modifiers, unsauberer Umgang mit Typing.).
+
+Für Visualisierungen von Vektoren wäre Python nicht die beste Option.
+Für unseren Kurs würde ich dies nur für die Ausführung von Algorithmen Empfehlen.

notes/berechnungen_wk3.md

@@ -0,0 +1,51 @@
+# Kritzelei aus Woche 3 #
+
+## Übungsblatt 1 ##
+
+Für volle Lösungen siehe Datei [/docs/loesungen.pdf](../docs/loesungen.pdf).
+### Anmerkung zu Aufgabe 2 ###
+
+Seien **A** eine m x n Matrix über IR, und **b** in IR^m.
+
+_Lösungsmenge vor Transformation:_
+
+Sei L_1 := { x ∈ IR^n | Ax = b }
+
+_Lösungsmenge nach Transformation:_
+
+Sei L_2 := { x ∈ IR^n | A'x = b' },
+wobei (A'|b') das Resultat einer Transformation (Art I, II, III) ist.
+
+**BEHAUPTUNG.** Es gilt L_1 = L_2.
+
+**BEWEIS.**
+
+- **Zu zeigen 1:** L_1 ⊆ L_2
+    - Sei x aus L_1 beliebig. D. h. **x** ist eine Lösung zu (A|b)
+    - **Zu zeigen:** x in L_2, d. h. dass x eine Lösung zu (A'|b') ist.
+        - Fall 1. Transformation vom Typ I:
+            - ...
+        - Fall 2. Transformation vom Typ II:
+            - ...
+        - Fall 3. Transformation vom Typ III:
+            - ...
+
+- **Zu zeigen 2:** L_2 ⊆ L_1
+    - Sei x aus L_2 beliebig. D. h. **x** ist eine Lösung zu (A'|b')
+    - **Zu zeigen:** x in L_1, d. h. dass x eine Lösung zu (A|b) ist.
+        - _Unvollständige Argumentation:_ Die Transformationen sind umkehrbar. Also ist x eine Lösung von (A|b) auch.
+            - !! **Fehlt:** Warum bedeutet diese Umkehrbarkeit, dass x noch eine Lösung von (A|b) ist? !!
+        - Richtiger Ansatz 1:
+            - Gegeben ist, dass A'x = b' gilt.
+            - Nun gilt: A' = E·A, b' = E·b, wobei E die Zeilenumformung ist.
+            - **Umkehrbarkeit der Transformation bedeutet:** E ist umkehrbar.
+            - Also, aus A'x = b' (d. h. E·A·x = E·b) folgt Ax = b.
+        - Richtiger Ansatz 2:
+            - (A'|b') entsteht durch Anwendung von I, II, od. III. aus (A|b)
+            - **die Umkehrung (von (A'|b') ---> nach (A|b)) ist selbst eine Transformation vom Typ I, II, od. III.**
+            - Also (A|b) ist eine Transformation von (A'|b')
+            - Der erste Teil des Beweis hat gezeigt, dass
+                - **x** Lösung von (A'|b') ==> **x** Lösung von Transformation von (A'|b')
+                - d. h. **x** Lösung von (A'|b') ==> **x** Lösung von Transformation von (A|b).
+
+**QED**

notes/berechnungen_wk4.md

@@ -0,0 +1,240 @@
+# Kritzelei aus Woche 4 #
+
+## SKA 3 ##
+
+- **1.** Unterschied zw. ℕ, ℕ₀ beachten.
+- **2.** „minimales Beispiel“: A = {🍎}, B = Ø, C = Ø.
+- **3.** x ∈ linker Seite ⟺ x ∈ rechter Seite; Dualität zw. Mengen und logischen Operationen.
+- **4.** ja —> Aussagenlogischer Ansatz vs. „visueller“ Ansatz vs. „algebraischer“ Ansatz (DeM).
+- **5.** =
+- **6.** 3·4, ja
+- **7.** erst Z in R „definieren“, dann ZxZ in RxR definieren, analog mit NxN ⊆ ZxZ
+- **8.** Diagramm
+- **9.** ja
+- **10.** ∈: nein, ⊆: ja 
+- **11.** Formale Semantik / algebraische Oeprationen
+- **12.** nein, sondern sind klassische Komplemente
+- **13.** Mengentheoretisch: Ja, weil Gph(ƒ) = Gph(g). Kategorientheoretisch: „Nein“.
+- **14.** Fasern/Bildmengen für ƒ : X ⟶ Y
+
+        ƒ Injektiv ⟺ alle Fasern von ƒ enthalten ≤ 1 Element
+        ƒ Surjektiv ⟺ alle Faster von ƒ sind nicht leer ⟺ ƒ(X) = Y
+- **15.** ƒ¯¹{y} ist die Schnittmenge aus Gph(ƒ) und dem Geraden {(x,y) | x ∈ ℝ}
+
+        Injektiv ⟺ jede Schnittmenge von Gph(ƒ) mit vertikalen Geraden hat höchstens 1 Pkt
+        Surjektiv ⟺ jede Schnittmenge von Gph(ƒ) mit vertikalen Geraden hat mindestens 1 Pkt
+- **16.** dom(log) = (0,∞), ran(log) = ℝ
+
+
+## SKA 4 ##
+
+- **1.** Lösungsskizze:
+
+        R := Gph(ƒ). Etwas ausführlicher:
+
+        ƒ : X ⟶ Y sei eine Funktion
+        R := {(x,y) ∈ X x Y | ƒ(x) = y} = Gph(ƒ)
+        Dann ist R eine binäre Relation mit R ⊆ X x Y
+
+- **2.** Lösungsskizze
+
+        Sei ƒ : M ⟶ N definiert durch
+        ƒ(m) = das n, so dass (m,n) ∈ R
+        für alle m ∈ M.
+
+        (i) ⟺ ƒ überall definiert;
+        (ii) ⟺ ƒ wohldefiniert
+
+- **3.** Beachte, dass die Relation auf P(X) ist und _nicht_ auf X!
+
+        Formales Argument
+        ~~~~~~~~~~~~~~~~~
+        Wir prüfen die Axiome einer OR:
+        Refl.       Zz: Sei A ∈ P(X). Dann A ≤ A.
+                    Offensichtlich gilt X \ A ⊆ X \ A.
+                    Per Konstruktion gilt also A ≤ A.
+        Antisymm.   Zz: Seien A, B ∈ P(X). Dann A ≤ B und B ≤ A ⟹ A=B.
+                    Es gilt
+                        A ≤ B und B ≤ A.
+                        ⟹ X \ A ⊆ X \ B und X \ B ⊆ X \ A
+                            per Konstruktion
+                        ⟹ X \ A = X \ B
+                            per Definition von Mengengleichheit
+                        ⟹ X \ (X \ A) = X \ (X \ B)
+                        ⟹ A = B
+                            da A, B Teilmengen von X sind
+        Trans.      Zz: Seien A, B, C ∈ P(X). Dann A ≤ B und B ≤ C ⟹ A ≤ C.
+                    Es gilt
+                        A ≤ B und B ≤ C.
+                        ⟹ X \ A ⊆ X \ B und X \ B ⊆ X \ C
+                            per Konstruktion
+                        ⟹ X \ A ⊆ X \ C
+                            da Mengeninklusion transitiv ist
+                        ⟹ A ≤ C
+                            per Konstruktion.
+        Also genügt (P(X), ≤) den Axiomen einer OR.
+
+- **4.** Beachte: Entfernung von P(C) nicht von C!!
+
+        Lösung
+        ~~~~~~~~
+        Entferne Ø von P(C).
+        Dann existiert kein „kleinstes Element“ (auch „Minimum“ genannt).
+        Allerdings existieren genau 3 „minimale Elemente“ in (P(C)\{Ø}, ⊆), viz. {a}, {b}, {c}.
+- **5.** Ja in beiden Fällen (im 2. Falle nehmen wir an, dass Alle Wörter mindestens 2 Buchstaben enthalten).
+
+        Formales Argument:
+        ~~~~~~~~~~~~~~~~~~
+        Sei ∑ die Menge von Buchstaben und W die Menge von Wörtern im Wörterbuch.
+        Dann handelt es sich in beiden Fällen um eine Relation, die durch
+
+            ~ := {(w1,w2) ∈ W⨉W | ƒ(w1) = ƒ(w2)}
+
+        definiert wird, wobei ƒ eine Abbildung von W nach ∑ ist.
+        (Im 1. Falle gilt ƒ(w) = erster Buchstabe in w;
+        im 2. Falle gilt ƒ(w) = zweitletzter Buchstabe in w.)
+
+        Schnelle Variante:
+        ~~~~~~~~~~~~~~~~~~
+            (1) Für w1, w2 ∈ W gilt w1 ~ w2 ⟺ ƒ(w1) = ƒ(w2).
+                D. h. ƒ ist eine „Reduktion“ von der ÄR (W, ~) auf (∑, =).
+            (2) (∑, =) ist eine ÄR, d.h. Gleichheit ist eine Äquivalenzrelation auf ∑.
+            (3) Aus (1) + (2) folgt, dass ~ eine ÄR ist.
+
+        Ausführliche Variante:
+        ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
+            Wir prüfen die Axiome einer OR:
+            Refl.       Zz: Sei w ∈ W. Dann w ~ w.
+                        Es gilt ƒ(w) = ƒ(w), da „=“ reflexiv ist.
+                        Per Konstruktion gilt also w ~ w.
+            Symm.       Zz: Seien u, v ∈ W. Dann u ~ v ⟹ v ~ u.
+                        Es gilt
+                            u ~ v
+                            ⟹ ƒ(u) = ƒ(v) per Konstruktion
+                            ⟹ ƒ(v) = ƒ(u) da „=“ symmetrisch ist
+                            ⟹ v ~ u per Konstruktion.
+            Trans.      Zz: Seien u, v, w ∈ W. Dann u ~ v und v ~ w ⟹ u ~ w.
+                        Es gilt
+                            u ~ v und v ~ w
+                            ⟹ ƒ(u) = ƒ(v) und ƒ(v) = ƒ(w) per Konstruktion
+                            ⟹ ƒ(u) = ƒ(w) da „=“ transitiv ist
+                            ⟹ u ~ w per Konstruktion.
+
+            Also genügt (W, ~) den Axiomen einer ÄR.
+
+- **6.** -
+- **7.** -
+
+- **8.** Schubfachprinzip mit 4 Kategorien und 5 Plätzen:
+
+        Schnelles Argument:
+        ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
+        muss gelten, da sonst jede Farbe höchstens 1 Mal vorkommt,
+        was höchstens 4 Plätze belegt, aber wir wählen 5 Karten.
+
+- **9.** Schubfachprinzip mit 366 Kategorien und 7000 Plätzen:
+
+        Schnelles Argument:
+        ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
+        Falls für jeden Tag max 17 Studierende diesen Geburtstag haben,
+        dann würde es maximal
+            (18-1)·366 = 6222
+        Studierende geben.
+        Aber es gibt 7000 (> 6222) Studierende.
+        Widerspruch!
+        Darum gibt es einen Tag, an dem (mind.) 18 Studierende den als ihren Geburtstag feiern.
+
+        Formales Argument:
+        ~~~~~~~~~~~~~~~~~~
+        Sei T die Menge von Tagen. Also |T|=366
+        Sei S die Menge von Studierenden, |S|≥7000.
+        Sei
+            ƒ : S ⟶ T
+        die Funktion, die jedem Studierenden seinen Geburtstag zuordnet.
+        Setze
+            G := {ƒ¯¹{d} | d ∈ T} \ {Ø}.
+        und
+            geb : G ⟶ T
+        durch
+            geb(A) = ƒ(a) für ein a ∈ A
+        für jedes A ∈ G.
+
+            Beobachtung 1:
+            ~~~~~~~~~~~~~~
+            Die Funktion, geb, ist wohldefiniert:
+
+            Sei A ∈ G beliebig.
+            Dann A = ƒ¯¹{d} für ein d ∈ T und A ≠ Ø
+            Also gibt es ein a ∈ A
+            und weiterhin gilt für a1, a2 ∈ A, dass ƒ(a1) = d = ƒ(a2).
+            Darum ordnet geb der Menge A exakt einen Wert zu.
+
+            Beobachtung 2:
+            ~~~~~~~~~~~~~~
+            Die Funktion, geb, ist injektiv:
+
+            Seien A1, A2 ∈ G.
+            Zz: ƒ(A1) = ƒ(A2) ⟹ A1 = A2.
+            Per Konstruktion gelten
+                A1 = ƒ¯¹{d1}, A1 ≠ Ø, und
+                A2 = ƒ¯¹{d2}, A2 ≠ Ø
+            für ein d1, d2 ∈ T.
+            Wie oben gilt ƒ(A1) = d1 und ƒ(A2) = d2.
+            Darum
+                ƒ(A1) = ƒ(A2)
+                ⟹ d1 = d2
+                ⟹ ƒ¯¹{d1} = ƒ¯¹{d2}
+                ⟹ A1 = A2.
+
+            Beobachtung 3:
+            ~~~~~~~~~~~~~~
+            Es gilt S = ⋃{A | A ∈ G}.
+            Warum?
+            - Per Konstruktion gilt A ⊆ S für alle A ∈ G.
+                Also gilt ⋃{A | A ∈ G} ⊆ S.
+            - Sei s ∈ S belibig.
+                Seien d := ƒ(s) und A₀ := ƒ¯¹{d}.
+                Dann A₀ ≠ Ø, da s ∈ A₀, da ƒ(s) = d.
+                Also gilt A₀ ∈ G per Konstruktion von G.
+                Also s ∈ A₀ ⊆ ⋃{A | A ∈ G}.
+                Darum gilt S ⊆ ⋃{A | A ∈ G}.
+
+        Da die Funktion, geb, injektiv ist (Beobachtung 2),
+        liefert das SCHUBFACHPRINZIP
+            |G| ≤ |T| = 366.
+        Da die Mengen in G offensichtlich paarweise disjunkt sind,
+        und da S = ⋃{A | A ∈ G} (Beobachtung 3),
+        gilt
+            7000 ≤ |S|
+                 = ∑{|A| | A ∈ G}
+                 ≤ max{|A| | A ∈ G} · |G|
+                 ≤ max{|A| | A ∈ G} · 366.
+        Also
+            max{|A| | A ∈ G} ≥ 7000/366 > 19.
+        Also existiert mindestens ein A₀ ∈ G mit |A₀| > 19 > 18.
+        Per Konstruktion von G haben nun alle Studierende in A₀ den gleichen Geburtstag.
+        Darum haben mindestens 18 Studierende denselben Geburtstag.
+
+- **10.**
+
+        Induktionsargument:
+        ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
+        IND-ANFANG:
+        Für n = 1. Nichts zu zeigen, da ∏{E_i : 1≤i≤1} = E_1.
+        Für n = 2.
+            ... siehe Argument im Skript
+            ... oder gilt einfach per Definition: siehe jedes Lehrbuch über Mengenlehre.
+        Sei n > 2.
+        IND-VORAUSSETZUNG:
+            Angenommen, |∏{E_i : 1≤i<n}| = ∏{|E_i| : 1≤i<n}.
+        IND-SCHRITT:
+            Es gilt
+            |∏{E_i : 1≤i≤n}|
+                = |∏{E_i : 1≤i<n} ⨉ E_n| wegen bijektiver Äquivalenz
+                = |∏{E_i : 1≤i≤n}|·|E_n| aus (allgemeinem) Fall n=2
+                =(∏{|E_i| : 1≤i<n}·|E_n| per Induktionsvoraussetzung
+                = ∏{|E_i| : 1≤i≤n},
+        Darum gilt die Aussage per Induktion.
+
+- **11.** Induktionsschritt (n —> n+1) geht nur, wenn n ≥ 2.
+    Das heißt, der Fall 1 —> 2 wird übersprungen.

uebung/README.md

@@ -0,0 +1,40 @@
+# Kurs #
+
+Die URL vom Kurs findet man hier: <http://www.math.uni-leipzig.de/~sinn/lehre/LA1.html>.
+
+## Leistungen ##
+
+Klausurzulassung, wenn
+
+- ≥ 50% der Punkte aus den insgesamt 12 Übungsblättern (je 15 Pkt).
+- ~~?/? Quizzes~~ —> keine Voraussetzung mehr. Die Quizzes sind freiwillig!
+
+Klausur:
+
+- voraussichtlich am 16.02.2021
+- 90 min Dauer
+- ??? Fragen
+
+## Übungsgruppen ###
+
+Die Übungsgruppen sind Pflichtveranstaltungen.
+
+Jede Woche besteht der Ablauf grob aus folgenden Teilen:
+
+- allgemeine Ankündigungen
+- Präsentation von SKA von jeder Gruppe (sofern anstehend)
+- Besprechung von ÜB aus vorheriger Woche (sofern korrigiert)
+- Besprechung vom Stoff aus VL
+- Quiz 10min
+- Breakout-Rooms für SKA
+
+Je nach Zeit und Nachfrage fallen manche Dinge aus, damit wir uns den wichtigeren Dingen widmen können.
+
+## Notizen aus jeder Woche ##
+
+Jede Woche werden Anmerkungen in Markdown-Dateien hier festgehalten:
+
+- Woche 1: ---
+- Woche 2: ---
+- Woche 3: [/uebung/woche3/README.md](./woche3).
+- Woche 4: [/uebung/woche4/README.md](./woche4).

uebung/woche3/README.md

@@ -0,0 +1,53 @@
+## Woche 3 (KW 46, 9.–15. November) ##
+
+### Agenda ###
+
+- allgemeine Ankündigungen
+    - ÜB Abgaben: einscannen -> in DIN A4 o. Ä. konvertieren
+    - Git Repo
+    - Bitte um Fragen zur VL im Chat zu posten (für später)
+- Präsentation von **SKA 2** von den Gruppen:
+    - **Gruppe 1** | Aufgabe 1
+    - **Gruppe 2** | Aufgabe 2
+    - **Gruppe 3** | Aufgabe 3
+    - **Gruppe 4** | Aufgabe 6
+    - **Gruppe 5** | Aufgabe 11
+    - **Gruppe 6** | Aufgabe 5
+    - **Gruppe 7** | Aufgabe 4
+- Besprechung von ÜB aus vorheriger Woche
+    - A1:
+        - Missverständnisse über freie Variablen
+        - Fallunterscheidung α≠4; (α=4 und β=8); (α=4 und β≠8).
+    - A2:
+        - Beweisführung: **Zu zeigen:** _L₁ = L₂_. Teil 1: (⊆) ... Teil 2: (⊇).
+        - Mechanismus für die Rechtfertigung Rückrichtung fehlte.
+    - A3:
+        - Logische Umformungen:
+            - **Statement**:
+                [Es gibt (eine Auswahl von) _n+1_ Gleichungen], die ein _unlösbares_ LGS bilden.
+                [Es gibt x], so dass x Eigenschaft Φ erfüllt
+            - ⟶ **falsche Verneinung**:
+                ~~[Es gibt (eine Auswahl von) _n+1_ Gleichungen], die ein _lösbares_ LGS bilden.~~
+            - ⟶ **richtige Verneinung**:
+                [Für jede Auswahl von _n+1_ Gleichungen], ist das durch sie definierte LGS _lösbar_.
+                [Für alle x], x erfüllt Eigenschaft Φ nicht
+
+        - »Nach Definition ist ein Gleichungssystem unlösbar, wenn eine Gleichung unlösbar ist.«
+        ```
+                                        A                 <====      B
+        ```
+        - **Anmerkung** Hier schwankte es einige Male zwischen der Ungewissheit, ob sie
+            - hier nur die Implikation verwenden wollten, (Gleichung unlösbar ⟹ System unlösbar)
+            - die Definition im Sinne dieses „genau, dann wenn“ Zusammenhangs verstanden hatten.
+
+    Für volle Lösungen siehe Datei [/docs/loesungen.pdf](../../docs/loesungen.pdf).
+
+- Besprechung von Materialien / VL
+    - Geogebra
+    - Verständnis durch Anschauung vs. formales Vorgehen
+    - Beweisführung: wie man formale Aussagen formal aufdrosselt und „Ziele“ setzt („zu zeigen ist...“)
+    - konkrete Fragen von Studierenden behandeln
+- Quiz 10min (?)
+    - fällt evtl. aus
+- Breakout-Rooms für SKA (?)
+    - fällt evtl. aus

uebung/woche4/README.md

@@ -0,0 +1,43 @@
+## Woche 4 (KW 47, 16.–22. November) ##
+
+### Agenda ###
+
+- (√) allgemeine Ankündigungen
+    - „Lösungen“ in Git-Repo
+    - Sortierung: VL, ÜB, SKA, Quiz, interaktive Aufgaben ???
+    - Umfrage über Rhythmus (--> Diskussion evtl. am Ende verschieben)
+- (√) Präsentation von **SKA 3 / ÜB 2** von den Gruppen:
+    - **Gruppe 1** | SKA 11-12
+    - **Gruppe 2** | ???
+    - **Gruppe 3** | ???
+    - **Gruppe 4** | SKA 11
+    - **Gruppe 5** | ???
+    - **Gruppe 6** | ???
+    - **Gruppe 7** | ???
+- (x) SKA 3: Besprechung / Zusammenarbeit / Breakout-Rooms (---> Umfrage!)
+
+    siehe [/notes/berechnungen_wk4.md](../../notes/berechnungen_wk4.md) > Abschnitt über SKA 3 für Kritzelei.
+- (√) SKA 4: Besprechung / Zusammenarbeit / Breakout-Rooms (---> Umfrage!
+
+    siehe [/notes/berechnungen_wk4.md](../../notes/berechnungen_wk4.md) > Abschnitt über SKA 4 für Kritzelei.)
+- (x) ÜB2: Besprechung:
+    - A2-1 und A2-2(a)
+        - aufdrosseln der Hauptaussage
+    - A2-2(b): Windschief
+    - A2-3
+        - a) Trick mit γ1, γ2 und Differenzen.
+
+    Für volle Lösungen siehe Datei [/docs/loesungen.pdf](../../docs/loesungen.pdf).
+- (x) VL-Stoff: Fragen / Redebedarf.
+
+## Beschlüsse mit der Gruppe ##
+
+- Besprechung in den Übungsgruppen:
+    - ÜB:
+        - „Musterlösungen“ (quasi) sind im Repo bzw. von SHK im Laufe der Woche verfügbar.
+        Den Studierenden überlassen, ob sie sie anschauen.
+    - SKA:
+        - hauptsächlich die SKA aus der aktuellen Woche besprechen.
+- Präsentationen: jede Gruppe meldet sich im Moodle-Chat im Laufe der Woche:
+    - ob die was präsentiert
+    - was die präsentiert (muss aber SKA aus aktueller oder letzter Woche sein)

uebung/woche5/README.md

@@ -0,0 +1,10 @@
+## Woche 5 (KW 48, 23.–29. November) ##
+
+## Ablauf ##
+
+- ( ) allgemeine Ankündigungen
+    - Erinnerung an Beschlüsse aus der letzten Woche
+- ( ) Präsentation von **SKA 4 / SKA 5 / ÜB 3** von den Gruppen:
+- ( ) SKA 5: / Zusammenarbeit / Breakout-Rooms (---> Umfrage!)
+- ( ) ÜB 3
+- ( ) VL-Stoff

uebung/woche6/README.md

@@ -0,0 +1,10 @@
+## Woche 6 (KW 49, 30.11.–6.12.) ##
+
+## Ablauf ##
+
+- ( ) allgemeine Ankündigungen
+    - Erinnerung an Beschlüsse aus der letzten Woche
+- ( ) Präsentation von **SKA 5 / SKA 6 / ÜB 4** von den Gruppen:
+- ( ) SKA 6: / Zusammenarbeit / Breakout-Rooms (---> Umfrage!)
+- ( ) ÜB 4
+- ( ) VL-Stoff