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191
notes/berechnungen_wk12.md
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191
notes/berechnungen_wk12.md
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@ -0,0 +1,191 @@
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## SKA 1 ##
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### Aufgabe 12 ###
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Gegeben sei
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A = -1 1
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2 0
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3 1
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A ist in ℝ^{3 x 2}
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**Zu finden:** Matrizen P, Q, so dass P·A·Q im Format wie in Satz 6.3.10
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Offensichtlich müssen
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P ∈ ℝ^{3 x 3}
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Q ∈ ℝ^{2 x 2}
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gelten. Da bei X·Y müssen #col(X), #row(Y) übereinstimmen, weil
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wenn man die Matrixmultiplikation ausführt, dann multipliziert man
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- Zeilen aus X
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mit
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- Spalten aus Y.
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Im Gaußverfahren
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A —> E1·A —> E2·E1·A —> E3·E2·E1·A ... —> (E_r·E_{r-1}·...·E3·E2·E1)·A
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—> Wir wollen (E_r·E_{r-1}·...·E3·E2·E1) als einzige Matrix erfassen, also als P.
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Wir führen A in ein augmentiertes System mit der 3x3 Identitätsmatrix auf
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-1 1 | 1 0 0
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2 0 | 0 1 0
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3 1 | 0 0 1
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und führen das Gaußverfahren darauf auf. Dann geschieht (effektiv) parallel
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linke Hälfte: A —> E1·A —> E2·E1·A —> E3·E2·E1·A ... —> (E_r·E_{r-1}·...·E3·E2·E1)·A
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rechte Hälfte: I —> E1·I —> E2·E1·I —> E3·E2·E1·I ... —> (E_r·E_{r-1}·...·E3·E2·E1)·I
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= (E_r·E_{r-1}·...·E3·E2·E1)
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= P
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Gaußverfahren:
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-1 1 | 1 0 0
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2 0 | 0 1 0
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3 1 | 0 0 1
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Zeilen 1 und 2 tauschen:
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2 0 | 0 1 0
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-1 1 | 1 0 0
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3 1 | 0 0 1
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Zeile_2 <— 2·Zeil_2 + Zeile_1
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Zeile_3 <— 2·Zeil_3 - 3·Zeile_1
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2 0 | 0 1 0
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0 2 | 2 1 0
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0 2 | 0 -3 2
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Zeile_3 <— Zeil_3 - Zeile_2
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2 0 | 0 1 0
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0 2 | 2 1 0
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0 0 | -2 -4 2
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Zeile_1 <— Zeile_1 / 2
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Zeile_2 <— Zeile_2 / 2
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1 0 | 0 1/2 0
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0 1 | 1 1/2 0
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0 0 | -2 -4 2
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Also gilt mit
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P = 0 1 0
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2 1 0
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-2 -4 2
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Dass P·A = Form aus Satz 6.3.10.
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Setze Q := 2 x 2 Identitätsmatrix
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Dann
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P·A·Q = P·A = Matrix im Format aus Satz 6.3.10
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### Anderes nicht so glückliches Beispiel ###
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Angenommen wir hätten A als 3 x 5 Matrix und nach Ausführung des o. s. Verfahrens
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0 1 0 0 0 | 0 1/2 0
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0 0 0 1 0 | 1 1/2 0
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0 0 0 0 0 | -2 -4 2
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erzielt. Dann würden wir P wie oben setzen.
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Aber wir müssen noch Q bestimmen.
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Das können wir einfach durch Permutationen erreichen:
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Q = 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0
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1 0 0 0 0 0 0 0 1 0
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0 0 1 0 0 · 0 0 1 0 0
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0 0 0 1 0 0 1 0 0 0
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0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
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Oder mit Gaußverfahren, transponieren wir und augmentieren wir mit der 5x5 Identitätsmatrix:
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0 0 0 | 1 0 0 0 0
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1 0 0 | 0 1 0 0 0
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0 0 0 | 0 0 1 0 0
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0 1 0 | 0 0 0 1 0
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0 0 0 | 0 0 0 0 1
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Zeile1 und Zeile2 vertauschen:
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1 0 0 | 0 1 0 0 0
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0 0 0 | 1 0 0 0 0
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0 0 0 | 0 0 1 0 0
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0 1 0 | 0 0 0 1 0
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0 0 0 | 0 0 0 0 1
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Zeile2 und Zeile4 vertauschen:
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1 0 0 | 0 1 0 0 0
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0 1 0 | 0 0 0 1 0
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0 0 0 | 0 0 1 0 0
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0 0 0 | 1 0 0 0 0
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0 0 0 | 0 0 0 0 1
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Rechte Hälfte transponiert:
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Q = 0 0 0 1 0
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1 0 0 0 0
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0 0 1 0 0
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0 1 0 0 0
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0 0 0 0 1
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## Lineare Ausdehnung mit Komplikationen... ##
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Betrachte
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u1 = (1, 1, 0, 4)ᵀ
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u2 = (1, 0, 0, 4)ᵀ
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u3 = (0, 1, 0, 0)ᵀ
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u4 = (1, -1, 0, 4)ᵀ
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und φ : ℝ^4 —> ℝ^2 partiell definiert
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φ(u1) = (8, 1)ᵀ
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φ(u2) = (4, 5)ᵀ
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φ(u3) = (4, -4)ᵀ
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φ(u4) = (0, 9)ᵀ
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Beachte:
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{u1, u2} lin. unabh.
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||||
u3, u4 ∈ Lin{u1, u2}:
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u3 = u1 - u2
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u4 = u2 - u3 = u2 - (u1 - u2) = 2·u2 – u1
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Darum müssen
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φ(u3) = φ(u1) - φ(u2)
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φ(u4) = 2·φ(u2) – φ(u1)
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gelten.
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Wenn nicht erfüllt ==> ex. keine lineare Ausdehnung.
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Wenn erfüllt ==> ex. eine lineare Ausdehnung:
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Setze
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u1' = u1
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u2' = u2
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---> {u1', u2'} lin. unabh.
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---> {u1', u2'} lässt sich zu einer Basis
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{u1', u2', u3', u4'} von ℝ^4
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Wähle v3, v4 ∈ ℝ^2 beliebig und setze
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φ(u1') := (8, 1)ᵀ
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φ(u2') := (4, 5)ᵀ
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φ(u3') := v3
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φ(u4') := v4
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Dann laut Satz 6.1.13. ex. eine (eindeutige) lineare Abb.
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φ : ℝ^4 —> ℝ^2
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mit
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φ(u1') = (8, 1)ᵀ
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φ(u2') = (4, 5)ᵀ
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φ(u3') = v3
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||||
φ(u4') = v4
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@ -8,7 +8,10 @@
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- Warten noch Leute auf deren Noten?
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- Klausurvorbereitung
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- Liste (noch unter Arbeit) von relevanten Themen: [/protocol/README.md > Klausur](../../protocol/README.md)).
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- ( ) Fragen/Feedback zu ÜB10
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- ( ) Fragen zu SKA 11
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- ( ) Fragen zu ÜB11
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- ( ) VL-Stoff + allg. Fragen (Rest)
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- (x) Fragen/Feedback zu ÜB10
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- (√) Fragen zu SKA 11
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- Aufgabe 12 (---> siehe [/notes/berechnungen_wk12.md](../../notes/berechnungen_wk12.md))
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- (√) Fragen zu ÜB11
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- Erkennung von linearen Abb.
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- Punkt über Q / Permutationsmatrix für Aufgabe 3.
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- (x) VL-Stoff + allg. Fragen (Rest)
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