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notes/berechnungen_wk11.md

@@ -5,8 +5,8 @@ Bestimme in jedem Falle, ob φ linear ist.
 
 a)
 
-    φ(x1, x2, x3) = ( 4·x1·x3 )
-                    ( 10·x2   )
+    φ(x₁, x₂, x₃) = ( 4·x₁·x₃ )
+                    ( 10·x₂   )
 
 Wenn φ linear wäre, dann müsste φ(2, 0, 2) = 2·φ(1, 0, 1) gelten.
 Aber:
@@ -18,8 +18,8 @@ Also ist φ nicht linear, weil Homogenität verletzt wird.
 
 b)
 
-    φ(x1, x2, x3) = ( x3² )
-                    (  0   )
+    φ(x₁, x₂, x₃) = ( x₃² )
+                    (  0  )
 
 Wenn φ linear wäre, dann müsste φ(0, 0, 8) = 8·φ(0, 0, 1) gelten.
 Aber:
@@ -31,21 +31,21 @@ Also ist φ nicht linear, weil Homogenität verletzt wird.
 
 c)
 
-    φ(x1, x2, x3) = ( x3 )
+    φ(x₁, x₂, x₃) = ( x₃ )
                     (  0 )
 
 --> linear
 
 d)
 
-    φ(x1, x2, x3) = ( 0 )
+    φ(x₁, x₂, x₃) = ( 0 )
                     ( 0 )
 
 --> linear
 
 e)
 
-    φ(x1, x2, x3) = ( 4  )
+    φ(x₁, x₂, x₃) = ( 4  )
                     ( 0  )
 
 Wenn φ linear wäre, dann müsste φ(0) = 0 gelten. [Siehe Lemma 6.1.2]
@@ -54,15 +54,15 @@ Also ist φ nicht linear.
 
 f)
 
-    φ(x1, x2, x3) = ( 10·x3     )
-                    (  -x2 + x1 )
+    φ(x₁, x₂, x₃) = ( 10·x₃     )
+                    (  -x₂ + x₁ )
 
 linear!
 
 g)
 
-    φ(x1, x2, x3) = ( 1 - 10·x3 )
-                    (  -x2 + x1 )
+    φ(x₁, x₂, x₃) = ( 1 - 10·x₃ )
+                    (  -x₂ + x₁ )
 
 Wenn φ linear wäre, dann müsste φ(0) = 0 gelten. [Siehe Lemma 6.1.2]
 Aber φ(0) = (1, 0)ᵀ.
@@ -70,7 +70,7 @@ Also ist φ nicht linear.
 
 h)
 
-    φ(x1, x2, x3) = ( exp(-(7·x2 + 8·x1)) )
+    φ(x₁, x₂, x₃) = ( exp(-(7·x₂ + 8·x₁)) )
                     ( 0                   )
 
 Wenn φ linear wäre, dann müsste φ(0) = 0 gelten. [Siehe Lemma 6.1.2]
@@ -79,15 +79,15 @@ Also ist φ nicht linear.
 
 ## §2. Aufgaben ähnlich zu ÜB 10-2 ##
 
-Seien A = (u1, u2, u3) und B = (v1, v2),
+Seien A = (u₁, u₂, u₃) und B = (v₁, v₂),
 wobei
 
-    u1 = (3,  0, 1)ᵀ
-    u2 = (0, -1, 0)ᵀ
-    u3 = (4,  0, 0)ᵀ
+    u₁ = (3,  0, 1)ᵀ
+    u₂ = (0, -1, 0)ᵀ
+    u₃ = (4,  0, 0)ᵀ
 
-    v1 = (4, 5)ᵀ
-    v2 = (0, 1)ᵀ
+    v₁ = (4, 5)ᵀ
+    v₂ = (0, 1)ᵀ
 
 Beachte:
 
@@ -96,33 +96,33 @@ Beachte:
 
 Sei nun φ : ℝ³ ⟶ ℝ² definiert durch
 
-    φ(x1, x2, x3) = ( 4·x1 - x3  )
-                    ( 10·x2 + x1 )
+    φ(x₁, x₂, x₃) = ( 4·x₁ - x₃  )
+                    ( 10·x₂ + x₁ )
 
 ### Zur Linearität ###
 Seien
 
-    (x1,x2,x3), (x1',x2',x3') ∈ ℝ³
+    (x₁,x₂,x₃), (x₁',x₂',x₃') ∈ ℝ³
     c, c' ∈ ℝ
 
 **Zu zeigen:**
-    φ(c(x1, x2, x3) +c'(x1',x2',x3')) = c·φ(x1, x2, x3) +c'·φ(x1',x2',x3')
+    φ(c(x₁, x₂, x₃) +c'(x₁',x₂',x₃')) = c·φ(x₁, x₂, x₃) +c'·φ(x₁', x₂', x₃')
 
 Es gilt
 
-    l. S. = φ(c(x1, x2, x3) +c'(x1',x2',x3'))
-          = φ(c(x1·e1 + x2·e2 + x3·e3) +c'(x1'·e1 + x2'·e2 + x3'·e3))
-          = φ((c·x1 + c'·x1)·e1 + (c·x2 + c'·x2)·e2 + (c·x3 + c'·x3)·e3)
-          = φ(c·x1 + c'·x1', c·x2 + c'·x2', c·x3 + c'·x3')
+    l. S. = φ(c(x₁, x₂, x₃) +c'(x₁',x₂',x₃'))
+          = φ(c(x₁·e1 + x₂·e2 + x₃·e3) +c'(x₁'·e1 + x₂'·e2 + x₃'·e3))
+          = φ((c·x₁ + c'·x₁)·e1 + (c·x₂ + c'·x₂)·e2 + (c·x₃ + c'·x₃)·e3)
+          = φ(c·x₁ + c'·x₁', c·x₂ + c'·x₂', c·x₃ + c'·x₃')
 
-          = ( 4·(c·x1 + c'·x1') - (c·x3 + c'·x3')  )
-            ( 10·(c·x2 + c'·x2') + (c·x1 + c'·x1') )
+          = ( 4·(c·x₁ + c'·x₁') - (c·x₃ + c'·x₃')  )
+            ( 10·(c·x₂ + c'·x₂') + (c·x₁ + c'·x₁') )
 
-          = ( c·(4·x1 - x3)  + c'·(4·x1' - x3')  )
-            ( c·(10·x2 + x1) + c'·(10·x2' + x1') )
+          = ( c·(4·x₁ - x₃)  + c'·(4·x₁' - x₃')  )
+            ( c·(10·x₂ + x₁) + c'·(10·x₂' + x₁') )
 
-          = c·( 4·x1 - x3  ) + c'·( 4·x1' - x3' )
-              ( 10·x2 + x1 )      ( 10·x2' + x1' )
+          = c·( 4·x₁ - x₃  ) + c'·( 4·x₁' - x₃' )
+              ( 10·x₂ + x₁ )      ( 10·x₂' + x₁' )
 
           = r. S.
 
@@ -131,9 +131,9 @@ Darum ist φ linear.
 ### Darstellung ###
 Zunächst beobachten wir:
 
-    φ(x1, x2, x3) = ( 4   0   -1 ) ( x1 )
-                    ( 1   10   0 ) ( x2 )
-                                   ( x3 )
+    φ(x₁, x₂, x₃) = ( 4   0   -1 ) ( x₁ )
+                    ( 1   10   0 ) ( x₂ )
+                                   ( x₃ )
                   = C·x
                   = φ_C(x)   siehe [Skript, Bsp 6.2.2],
 
@@ -204,13 +204,14 @@ Darum gilt
 
 ## §3. Lineare Fortsetzung von partiell definierten Funktionen ##
 
-Sei φ : ℝ^5 ⟶ ℝ³
+Sei φ : ℝ⁵ ⟶ ℝ³
 
 
-Seien u1, u2, u3, u4, u5 eine Basis für ℝ^5.
+Seien u₁, u₂, u₃, u₄, u₅ eine Basis für ℝ⁵.
+Seien v₁, v₂, v₃ Vektoren in ℝ³.
 Definiert werden
 
-    φ(u1) = v1, φ(u2) = v2, φ(u4) = v3
+    φ(u₁) = v₁, φ(u₂) = v₂, φ(u₄) = v₃
 
 **Aufgabe:** Gibt es eine lineare Abbildung, die die o. s. Gleichungen erfüllen?
 
@@ -218,11 +219,11 @@ Definiert werden
 
 **Beweis:**
 Setze
-        φ(u3) := 0 (Nullvektor)
-        φ(u5) := 0 (Nullvektor)
+        φ(u₃) := 0 (Nullvektor)
+        φ(u₅) := 0 (Nullvektor)
 
-Da u1, u2, u3, u4, u5 eine Basis ist,
-können wir für belieges x ∈ ℝ^5
+Da u₁, u₂, u₃, u₄, u₅ eine Basis ist,
+können wir für beliebiges x ∈ ℝ⁵
 
     φ(x) = ∑ c_i · φ(ui)