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master > master: Berechnung 11 erweitert

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notes/berechnungen_wk11.md

@ -204,34 +204,91 @@ Darum gilt
## §3. Lineare Fortsetzung von partiell definierten Funktionen ##
Sei φ : ℝ⁵ ⟶ ℝ³
Seien u₁, u₂, u₃, u₄, u₅ eine Basis für ℝ⁵.
Seien v₁, v₂, v₃ Vektoren in ℝ³.
Definiert werden
φ(u₁) = v₁, φ(u₂) = v₂, φ(u₄) = v₃
**Aufgabe:** Gibt es eine lineare Abbildung, die die o. s. Gleichungen erfüllen?
**Aufgabe:** Gibt es eine lineare Abbildung, φ : ℝ⁵ ⟶ ℝ³, die die o. s. Gleichungen erfüllen?
**Antwort:** Ja.
**Beweis:**
Da eine (u₁, u₂, u₃, u₄, u₅) Basis für ℝ⁵ ist,
können wir [Skript, Satz 6.1.13] anwenden.
Setze
φ(u₃) := 0 (Nullvektor)
φ(u₅) := 0 (Nullvektor)
Da u₁, u₂, u₃, u₄, u₅ eine Basis ist,
können wir für beliebiges x ∈ ℝ⁵
Mit der partiellen Definition von φ auf der Basis (u₁, u₂, u₃, u₄, u₅),
existiert laut [Skript, Satz 6.1.13] eine **lineare Ausdehnung**
(auch _Fortsetzung_ od. _Erweiterung_ in der Literatur genannt)
φ : ℝ⁵ ⟶ ℝ³, so dass
φ(x) = ∑ c_i · φ(ui)
φ(u₁) = v₁, φ(u₂) = v₂, φ(u₄) = v₃, φ(u₃) = 0, φ(u₅) = 0.
**QED**
wobei c_1, c_2, .... die eindeutigen Werte im Körper ℝ sind,
**Bemerkung 1.**
Konkret, da u₁, u₂, u₃, u₄, u₅ eine Basis ist,
existiert für jedes x ∈ ℝ⁵ eindeutige Werte
c₁, c₂, c₃, c₄, c₅ im Körper ℝ,
so dass
x = ∑ c_i · ui
gilt.
Dann ist φ linear (zeige die Axiome!!).
**QED**
gilt, und man setzt
φ(x) := ∑ c_i · φ(u_i).
Mit dieser Definition ist es einfach, die Axiome durchzugehen,
und zu beweisen, dass dies eine lineare Abbildung definiert.
**Bemerkung 2.**
Beachte, dass die _Wahl_ von den φ(u₃), φ(u₅) im o. s. Beispiel beliebig sein kann. Es ist nur entscheidend, dass in der partiellen
Definition wir es mit linear unabhängigen Elementen zu tun haben.
Falls es zu Abhängigkeiten zwischen den Inputvektoren kommt,
müssen wir wie gewohnt auf eine maximale linear unabhängige Teilmenge
reduzieren, und zeigen, dass für die restlichen Inputs,
die Definition kompatibel ist.
Als Beispiel nehmen wir
u₁ = (1, 0, 1, 0, 0)ᵀ
u₂ = (1, 2, 1, 0, 0)ᵀ
u₃ = (0, 1, 0, 0, 0)ᵀ
und φ : ℝ⁵ ⟶ ℝ³ partiell definiert auf {u₁, u₂, u₃}.
Aus (u₁, u₂, u₃) können wir sehen (etwa durch den Gaußalgorithmus),
dass (u₁, u₂) ein maximales linear unabhängiges Teilsystem ist
und
u₃ = -½u₁ + ½u₂.
Darum können φ(u₁), φ(u₂) beliebig gewählt werden,
umd es muss
φ(u₃) = -½φ(u₁) + ½φ(u₂)
gelten (entsprechend dem o. s. Verhältnis).
Wenn wir zum Beispiel
φ(u₁) = (4, 2)
φ(u₂) = (-2, 8)
φ(u₃) = (-3, 3)
wählen ist, dies erfüllt.
Man kann das l. u. Teilsystem (u₁, u₂)
durch 3 weitere Vektoren zu einer Basis ergänzen
und φ zu einer linearen Abb ausdehnen.
Wenn wir aber
φ(u₁) = (8, 1)
φ(u₂) = (-4, 8)
φ(u₃) = (0, 1)
wählen ist, ist φ(u₃) = -½φ(u₁) + ½φ(u₂) nicht erfüllt.
Darum lässt sich hier φ **nicht** zu einer linearen Abbildung erweitern.

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