master > master: Lösung ÜB4

master
RD 2 years ago
parent 2e211d9f78
commit ee43410601
  1. BIN
      docs/loesungen.pdf
  2. 495
      docs/loesungen.tex

Binary file not shown.

@ -51,6 +51,8 @@
%% |
%% — body/uebung/ueb3.tex;
%% |
%% — body/uebung/ueb4.tex;
%% |
%% — body/ska/ska4.tex;
%% |
%% — body/quizzes/quiz1.tex;
@ -184,6 +186,8 @@
\usepackage{ifthen}
\usepackage{ifnextok}
\usepackage{longtable}
\usepackage{multicol}
\usepackage{multirow}
\usepackage{nameref}
\usepackage{nowtoaux}
\usepackage{paralist}
@ -1346,6 +1350,7 @@
\def\id{\text{\textup id}}
\def\modfn{\mathop{\text{\textup mod}}}
\def\divides{\mathbin{\mid}}
\def\ndivides{\mathbin{\nmid}}
\def\ggT{\mathop{\text{\upshape ggT}}}
\makeatother
@ -2974,7 +2979,7 @@ Seien $X$, $Y$ nicht leere Mengen und ${f:X\to Y}$ eine Funktion.
\end{proof}
%% AUFGABE 3-3b
\item
Seien $n\in\ntrlpos$ und $X=\reell^{n}\times(\reell^{n}\ohne\{\zerovector\}$.
Seien $n\in\ntrlpos$ und $X=\reell^{n}\times(\reell^{n}\ohne\{\zerovector\})$.
Sei $Y$ die Menge aller Geraden im $\reell^{n}$.
Sei ${f:X\to Y}$ durch $f(v,w)=\{v+t\cdot w\mid t\in\reell\}$ definiert.
@ -3062,6 +3067,494 @@ Seien $X$, $Y$ nicht leere Mengen und ${f:X\to Y}$ eine Funktion.
\end{proof}
\end{enumerate}
%% ********************************************************************************
%% FILE: body/uebung/ueb4.tex
%% ********************************************************************************
\setcounternach{chapter}{4}
\chapter[Woche 4]{Woche 4}
\label{ueb:4}
\textbf{ACHTUNG.}
Diese Lösungen dienen \emph{nicht} als Musterlösungen sondern eher als Referenz.
Hier wird eingehender gearbeitet, als generell verlangt wird.
Das Hauptziel hier ist, eine Variant anzubieten, gegen die man seine Versuche vergleichen kann.
%% AUFGABE 4-1
\let\altsectionname\sectionname
\def\sectionname{Aufgabe}
\section[Aufgabe 1]{}
\label{ueb:4:ex:1}
\let\sectionname\altsectionname
\begin{enumerate}{\bfseries (a)}
%% AUFGABE 4-1a
\item
Betrachte die Menge $X:=\intgr\times\ntrlpos$
und die binäre Relation, $\sim\subseteq X\times X$,
die durch
\begin{mathe}[mc]{rcl}
(a,b)\sim (a',b') &\Longleftrightarrow &ab'=a'b
\end{mathe}
für $(a,b),(a',b')\in X$ definiert wird.
\begin{claim*}
$(X,\sim)$ ist eine Äquivalenzrelation.
\end{claim*}
\begin{proof}
Wir gehen die Axiome durch:
\begin{kompaktenum}[\rtab][\rtab]
\item[\uwave{{\itshape Reflexivität:}}]
Sei $(a,b)\in X$ beliebig.
\textbf{Zu zeigen:} $(a,b)\sim(a,b)$.\\
Offensichtlich gilt $ab=ab$.\\
Per Konstruktion gilt also $(a,b)\sim(a,b)$.
\item[\uwave{{\itshape Symmetrie:}}]
Seien $(a,b),(a',b')\in X$ beliebig.
\textbf{Zu zeigen:} ${(a,b)\sim(a',b')\Rightarrow(a',b')\sim(a,b)}$.\\
Es gilt
\begin{mathe}[mc]{rclql}
(a,b)\sim (a',b')
&\Longleftrightarrow
&ab'=a'b
&\text{(per Konstruktion)}\\
&\Longrightarrow
&a'b=ab'\\
&\Longleftrightarrow
&(a',b')\sim(a,b)
&\text{(per Konstruktion).}\\
\end{mathe}
\item[\uwave{{\itshape Transitivität:}}]
Seien $(a,b),(a',b'),(a'',b'')\in X$ beliebig.\\
\textbf{Zu zeigen:}
$(a,b)\sim(a',b')$
und
$(a',b')\sim(a'',b'')$
$\Rightarrow$
$(a,b)\sim(a'',b'')$.\\
Es gilt
\begin{mathe}[mc]{rcl}
\begin{array}[b]{0l0}
(a,b)\sim (a',b')\\
\,\text{und}\,(a',b')\sim(a'',b'')\\
\end{array}
&\Longleftrightarrow
&ab'=a'b\,\text{und}\,a'b''=a''b'\\
&&\quad\text{(per Konstruktion)}\\
&\Longrightarrow
&(ab'')b'=(ab')b''=(a'b)b''=(a'b'')b=(a''b')b=(a''b)b'\\
&\Longrightarrow
&ab''=a''b,\\
&&\quad\text{da $b'\neq 0$}\\
&\Longleftrightarrow
&(a,b)\sim(a'',b'')\\
&&\quad\text{(per Konstruktion).}\\
\end{mathe}
\end{kompaktenum}
Darum erfüllt $(X,\sim)$ die Axiome einer Äquivalenzrelation.
\end{proof}
\textbf{Bemerkung.}
Man kann zeigen, dass ${f:X/\lsim\to\rtnl}$
definiert durch $f([(a,b)])=a/b$
wohldefiniert und bijektiv ist.
In der Tat realisieren manche Werke die rationalen Zahlen, $\rtnl$,
als genau diesen Quotientenraum,
d.\,h. man kann die Äquivalenzklassen hier als rationale Zahlen deuten.
%% AUFGABE 4-1b
\item
Betrachte die Menge $X:=\intgr\times\intgr$
und die binäre Relation, $\leq\subseteq X\times X$,
die durch
\begin{mathe}[mc]{rcl}
(a,b)\leq(a',b') &\Longleftrightarrow &a\leq a'\,\text{und}\,b\leq b'\\
\end{mathe}
für $(a,b),(a',b')\in X$ definiert wird.
\begin{claim*}
$(X,\leq)$ ist ist eine Halbordnung aber \fbox{nicht total}.
\end{claim*}
\begin{proof}
Wir gehen die Axiome durch:
\begin{kompaktenum}[\rtab][\rtab]
\item[\uwave{{\itshape Reflexivität:}}]
Sei $(a,b)\in X$ beliebig.
\textbf{Zu zeigen:} $(a,b)\leq(a,b)$.\\
Offensichtlich gilt $a\leq a$ und $b\leq b$.\\
Per Konstruktion gilt also $(a,b)\leq(a,b)$.
\item[\uwave{{\itshape Antisymmetrie:}}]
Seien $(a,b),(a',b')\in X$ beliebig.\\
\textbf{Zu zeigen:}
$(a,b)\leq(a',b')$
und
$(a',b')\leq(a,b)$
$\Rightarrow$
$(a,b)=(a',b')$.\\
Es gilt
\begin{mathe}[mc]{rcl}
\begin{array}[b]{0l0}
(a,b)\leq (a',b')\\
\,\text{und}\,(a',b')\leq(a,b)\\
\end{array}
&\Longleftrightarrow
&a\leq a'\,\text{und}\,b\leq b'
\text{und}\,
a'\leq a\,\text{und}\,b'\leq b\\
&&\text{(per Konstruktion)}\\
&\Longrightarrow
&a=a\,\text{und}\,b=b',\\
&&\text{da $(\intgr,\leq)$ antisymmetrisch ist}\\
&\Longleftrightarrow
&(a,b)=(a',b').\\
\end{mathe}
\item[\uwave{{\itshape Transitivität:}}]
Seien $(a,b),(a',b'),(a'',b'')\in X$ beliebig.\\
\textbf{Zu zeigen:}
$(a,b)\leq(a',b')$
und
$(a',b')\leq(a'',b'')$
$\Rightarrow$
$(a,b)\leq(a'',b'')$.\\
Es gilt
\begin{mathe}[mc]{rcl}
\begin{array}[b]{0l0}
(a,b)\leq (a',b')\\
\,\text{und}\,(a',b')\leq(a'',b'')\\
\end{array}
&\Longleftrightarrow
&a\leq a'\,\text{und}\,b\leq b'
\text{und}\,
a'\leq a''\,\text{und}\,b'\leq b''\\
&&\text{(per Konstruktion)}\\
&\Longrightarrow
&a\leq a''\,\text{und}\,b\leq b'',\\
&&\text{da $(\intgr,\leq)$ transitiv ist}\\
&\Longleftrightarrow
&(a,b)\leq(a'',b'')\\
&&\text{(per Konstruktion).}\\
\end{mathe}
\end{kompaktenum}
Darum erfüllt $(X,\leq)$ die Axiome einer Halbordnung.\\
Zum Schluss, beachte, dass $(0,1)$ und $(1,0)$ bzgl. $\leq$ unvergleichbar sind.
Darum ist $(X,\leq)$ nicht total.
\end{proof}
\end{enumerate}
%% AUFGABE 4-2
\clearpage
\let\altsectionname\sectionname
\def\sectionname{Aufgabe}
\section[Aufgabe 2]{}
\label{ueb:4:ex:2}
\let\sectionname\altsectionname
Fixiere $n\in\ntrlpos$. Wir definieren die binäre Relation ${\sim\subseteq\intgr\times\intgr}$
mittels
\begin{mathe}[mc]{rcl}
a \sim b &:\Longleftrightarrow &\modfn(a,n)=\modfn(b,n)\\
\end{mathe}
für $a,b\in\intgr$.
\begin{enumerate}{\bfseries (a)}
%% AUFGABE 4-2a
\item
\begin{claim*}
$(\intgr,\sim)$ ist eine Äquivalenzrelation.
\end{claim*}
\begin{proof}
Wir gehen die Axiome durch:
\begin{kompaktenum}[\rtab][\rtab]
\item[\uwave{{\itshape Reflexivität:}}]
Sei $a\in \intgr$ beliebig.
\textbf{Zu zeigen:} $a\sim a$.\\
Offensichtlich gilt $\modfn(a,n)=\modfn(a,n)$.\\
Per Konstruktion gilt also $(a,b)\sim(a,b)$.
\item[\uwave{{\itshape Symmetrie:}}]
Seien $a, a'\in \intgr$ beliebig.
\textbf{Zu zeigen:} ${a\sim a'\Rightarrow a'\sim a}$.\\
Es gilt
\begin{mathe}[mc]{rclql}
a\sim a'
&\Longleftrightarrow
&\modfn(a,n)=\modfn(a',n)
&\text{(per Konstruktion)}\\
&\Longrightarrow
&\modfn(a',n)=\modfn(a,n)\\
&\Longleftrightarrow
& a'\sim a
&\text{(per Konstruktion).}\\
\end{mathe}
\item[\uwave{{\itshape Transitivität:}}]
Seien $ a, a', a''\in \intgr$ beliebig.
\textbf{Zu zeigen:}
$a\sim a'$
und
$a'\sim a''$
$\Rightarrow$
$a\sim a''$.\\
Es gilt
\begin{mathe}[mc]{rclql}
a\sim a'\,\text{und}\, a'\sim a''
&\Longleftrightarrow
&\modfn(a,n)=\modfn(a',n)
\,\text{und}\,
\modfn(a',n)=\modfn(a'',n)\\
&&\text{(per Konstruktion)}\\
&\Longrightarrow
&\modfn(a,n)=\modfn(a'',n)\\
&\Longleftrightarrow
&a\sim a''
\quad\text{(per Konstruktion).}\\
\end{mathe}
\end{kompaktenum}
Darum erfüllt $(\intgr,\sim)$ die Axiome einer Äquivalenzrelation.
\end{proof}
\textbf{Bemerkung.} Es gibt einen einfacheren Ansatz.
Zunächst beweist man das allgemeine Lemma:
Für jede Äquivalenzrelation $(Y,\approx)$ und jede Relation $(X,R)$,
falls eine Funktion ${f:X\to Y}$ existiert,
so dass ${\forall{x,x'\in X:~}(x,x')\in R\Leftrightarrow f(x)\approx f(x')}$,
so gilt dass $(X,R)$ eine Äquivalenzrelation ist.
Und jetzt wendet man dies auf unseren Kontext an:
Wir die Äquivalenzrelation $(\{0,1,2\ldots,n-1\},=)$
und die Relation $(\intgr,\sim)$
und eine Abbildung ${f:a\in\intgr\mapsto\modfn(a,n)}$,
für die
${\forall{a,a'\in\intgr:~}(a,a')\in\sim\Leftrightarrow f(a)\approx f(a')}$
\emph{per Konstruktion} gilt.
Darum ist $(\intgr,\sim)$ eine Äquivalenzrelation.
%% AUFGABE 4-2b
\item
\begin{claim*}
Es gibt $n$ Äquivalenzklassen.
\end{claim*}
\begin{proof}
Betrachte die Abbildung
\begin{mathe}[mc]{rcccl}
\rho &: &\intgr/\lsim &\to &\{0,1,\ldots,n-1\}\\
&: &[a] &\mapsto &\modfn(a,n)\\
\end{mathe}
Es reicht aus \textbf{zu zeigen}, dass $\rho$ eine wohldefinierte Bijektion ist.
\begin{kompaktenum}[\rtab][\rtab]
\item[\uwave{{\itshape Wohldefiniertheit:}}]
Sei $C\in\intgr/\sim$ beliebig.
Seien $a,a'\in\intgr$ mit $[a]=C$ und $[a']=C$.\\
\textbf{Zu zeigen:} $\modfn(a,n)=\modfn(a',n)$.\\
Aus $[a]=C=[a']$
folgt $a\sim a'$
und damit per Konstruktion
$\modfn(a,n)=\modfn(a',n)$.
Darum ordnet $\rho$ einen eindeutig Wert $[a]$ zu.
\item[\uwave{{\itshape Injektivität:}}]
Seien $C,C'\in\intgr/\lsim$ beliebig.
\textbf{Zu zeigen:} ${\rho(C)=\rho(C')\Rightarrow C=C'}$.\\
Wähle zunächst $a,a'\in\intgr$, so dass $C=[a]$ und $C=[a']$.
Dann gilt
\begin{mathe}[mc]{rcl}
\rho(C)=\rho(C')
&\Longrightarrow
&\modfn(a,n)=\modfn(a',n)\\
&\Longrightarrow
&a\sim a'\\
&\Longrightarrow
&C=[a]=[a']=C'.\\
\end{mathe}
\item[\uwave{{\itshape Surjektivität:}}]
Sei $k\in\{0,1,\ldots,n-1\}$ beliebig.
\textbf{Zu zeigen:} $k\in\rho(\intgr/\lsim)$.\\
Setze $C=[k]\in\intgr/\lsim$.
Dann $\rho(C)=\modfn(k,n)=k$.\footnote{
Seien $q\in\intgr$ und $r\in\{0,1,\ldots,n-1\}$ mit $qn+r=k$.
Da $k,r\in\{0,1,\ldots,n-1\}$,
gilt $qn=k-r\in\intgr\cap(-n,n)$.
Also muss $q=0$ gelten.
Also $r=k$.
Also $\modfn(k,n)=r=k$.
}
Also gilt $k\in\rho(\intgr/\lsim)$.
\end{kompaktenum}
Darum ist $\rho$ eine Bijektion.
Also gilt $|\intgr/\lsim|=|\{0,1,\ldots,n-1\}|=n$.
\end{proof}
%% AUFGABE 4-2c
\item
Laut der Berechnung in Aufgabe 2(b) gilt
${\intgr/\lsim=\{[0],[1],\ldots,[n-1]\}}$.
Für jedes ${k\in\{0,1,\ldots,n-1\}}$
lässt sich die Äquivalenzklasse $[k]$
wie folgt als Teilmenge beschreiben
\begin{mathe}[bc]{rcl}
[k] &= &\{a\in\intgr \mid a\sim k\}
\,\text{per Definition}\\
&= &\{a\in\intgr \mid \modfn(a,n)=\modfn(k,n)\}\\
&= &\{a\in\intgr \mid \modfn(a,n)=k\}\\
&= &\{a\in\intgr \mid \exists{q\in\intgr:~}a=qn+r\}\\
&= &\{qn+r \mid q\in\intgr\}\\
&= &\intgr\cdot n + r.\\
\end{mathe}
Also lassen sich die Äquivalenzklassen durch die Teilmengen
${\{\intgr\cdot n+r\mid r\in\{0,1,\ldots,n-1\}\}}$
darstellen.
\end{enumerate}
%% AUFGABE 4-3
\let\altsectionname\sectionname
\def\sectionname{Aufgabe}
\section[Aufgabe 3]{}
\label{ueb:4:ex:3}
\let\sectionname\altsectionname
\begin{claim*}
\makelabel{claim:main:ueb:4:ex:3}
Für $n\in\ntrlpos$ bezeichne mit $\Phi(n)$ die Aussage,
dass für alle Mengen $X$, $Y$ mit $|X|=|Y|=n$
\begin{mathe}[mc]{rcl}
\eqtag[eq:1:\beweislabel]
|\{f\mid f\,\text{eine Bijektion zw. $X$ und $Y$}\}| &= &n!.\\
\end{mathe}
Dann gilt $\forall{n\in\ntrlpos:~}\Phi(n)$.
\end{claim*}
\begin{proof}[Ansatz I][Ansatz I]
Sei $n\in\ntrlpos$ und seien $X$, $Y$ $n$-elementige Mengen.
Sei $(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n})$ eine Auflistung der Elemente in $X$.
Um eine Injektion zw. $X$ und $Y$ zu definieren,
wählt man zuerst ein Element $y_{1}\in Y$ für $x_{1}$ (dafür gibt es $n$ Möglichkeiten),
dann ein Element $y_{2}\in Y$ for $x_{2}$ (dafür bleiben $n-1$ Möglichkeiten übrig),
usw.
Darum gibt es insgesamt $n\cdot (n-1)\cdot\cdots 1=n!$
Injektionen zwischen $X$ und $Y$.
Da $X$ und $Y$ endlich und gleichmächtig sind,
ist jede Injektion zwischen diesen Mengen automatisch surjektiv und damit bijektiv.
Darum gibt es $n!$ Bijektionen zwischen $X$ und $Y$.
\end{proof}
\begin{proof}[Ansatz II][Ansatz II]
Wir beweisen die Behauptung per Induktion über $n$.
\begin{kompaktenum}[\rtab][\rtab]
\item[\uwave{{\bfseries Induktionsanfang:}}]
Sei $n=1$. Für $1$-elementigen Mengen $X$, $Y$,
gibt es offensichtlich exakt eine Funktion zwischen $X$ und $Y$,
und dies ist eine Bijektion.
Darum gilt \eqcref{eq:1:\beweislabel}.
\item[\uwave{{\bfseries Induktionsvoraussetzung:}}]
Sei $n>1$.
Angenommen, $\Phi(n-1)$ gilt.
\item[\uwave{{\bfseries Induktionsschritt:}}]
Seien $X$, $Y$ beliebige $n$-elementige Mengen.
\textbf{Zu zeigen:} \eqcref{eq:1:\beweislabel} gilt.\\
Fixiere $x_{0}\in X$.
Beobachte, dass für alle $y_{0}\in Y$
die Mengen
$X':=X\ohne\{x_{0}\}$
und
$Y':=Y\ohne\{y_{0}\}$
beide $n-1$-elementig sind.
Betrachte nun die Abbildung
\begin{mathe}[mc]{rcccl}
F &: &\{g\mid g\,\text{Bij. zw. $X\ohne\{x_{0}\}$ und $Y\ohne\{x_{0}\}$}\}
&\to
&\{f\mid f\,\text{Bij. zw. $X$ und $Y$},\,f(x_{0})=y_{0}\}\\
&: &g &\mapsto &g\cup\{(x_{0},y_{0})\}.\\
\end{mathe}
Das heißt, jede Bijektion ${g:X\ohne\{x_{0}\}\to Y\ohne\{y_{0}\}}$
wird durch $F$ zu einer Funktion von $X$ nach $Y$ fortgesetzt,
indem das zusätzliche Element, $x_{0}$, auf $y_{0}$ abgebildet wird.
Es ist einfach zu sehen, dass $F$ wohldefiniert ist,
d.\,h. für jede Bijektion ${g:X\ohne\{x_{0}\}\to Y\ohne\{y_{0}\}}$,
es gilt, dass $F(g)$ eine wohldefinierte Funktion zwischen $X$ und $Y$ ist
und weiterhin ist dies eine Bijektion.
Außerdem ist es klar, dass die Abbildung
\begin{mathe}[mc]{rcccl}
G &: &\{f\mid f\,\text{Bij. zw. $X$ und $Y$},\,f(x_{0})=y_{0}\}
&\to
&\{g\mid g\,\text{Bij. zw. $X\ohne\{x_{0}\}$ und $Y\ohne\{x_{0}\}$}\}\\
&: &f &\mapsto &f\restr{X\ohne\{x_{0}\}\times Y\ohne\{x_{0}\}}\\
\end{mathe}
die Abbildung $F$ nach rechts und links invertiert.
Also ist $G$ eine Bijektion.
Daraus folgt per Definition von Kardinalität
\begin{mathe}[mc]{rcl}
\eqtag[eq:2:\beweislabel]
|\{f\mid f\,\text{Bij. zw. $X$ und $Y$},\,f(x_{0})=y_{0}\}|
&= &|\{g\mid g\,\text{Bij. zw. $X\ohne\{x_{0}\}$ und $Y\ohne\{x_{0}\}$}\}|\\
&= &(n-1)!\,\text{laut IV}.\\
\end{mathe}
Anderseits ist
${(\{f\mid f\,\text{Bij. zw. $X$ und $Y$},\,f(x_{0})=y_{0}\})_{y_{0}\in Y}}$
eine Partition von
${\{f\mid f\,\text{Bij. zw. $X$ und $Y$}\}}$.
Darum gilt
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|\{f\mid f\,\text{Bij. zw. $X$ und $Y$}\}|
&= &|\bigcup_{y_{0}\in Y}\{f\mid f\,\text{Bij. zw. $X$ und $Y$},\,f(x_{0})=y_{0}\}|\\
&= &\sum_{y_{0}\in Y}|\{f\mid f\,\text{Bij. zw. $X$ und $Y$},\,f(x_{0})=y_{0}\}|\\
&&\text{wegen paarweise Disjunktheit}\\
&\eqcrefoverset{eq:2:\beweislabel}{=}
&\sum_{y_{0}\in Y}(n-1)!
= |Y|\cdot (n-1)!
= n\cdot (n-1)!
= n!.\\
\end{mathe}
Also gilt \eqcref{eq:1:\beweislabel}.
\end{kompaktenum}
Darum gilt $\Phi(n)$ per Induktion für alle $n\in\ntrl$.
\end{proof}
\setcounternach{part}{2}
\part{Selbstkontrollenaufgaben}

Loading…
Cancel
Save