You can not select more than 25 topics
Topics must start with a letter or number, can include dashes ('-') and can be up to 35 characters long.
1889 lines
68 KiB
1889 lines
68 KiB
%% ******************************************************************************** |
|
%% AUTHOR: Raj Dahya |
|
%% CREATED: 9. März 2020 |
|
%% EDITED: 9. März 2020 |
|
%% TYPE: Notizen |
|
%% TITLE: Musterlösung Klausur1 WiSe 2020/2021, A6 |
|
%% DOI: — |
|
%% DEPARTMENT: Fakultät for Mathematik und Informatik |
|
%% INSTITUTE: Universität Leipzig |
|
%% ******************************************************************************** |
|
|
|
%% ******************************************************************************** |
|
%% DOCUMENT STRUCTURE: |
|
%% ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ |
|
%% |
|
%% - root.tex; |
|
%% | |
|
%% ---- parameters.tex; |
|
%% | |
|
%% ---- srclocal/index.tex; |
|
%% | |
|
%% ---- src/setup-type.tex; |
|
%% | |
|
%% ---- src/setup-packages.tex; |
|
%% | |
|
%% ---- src/setup-parameters.tex; |
|
%% | |
|
%% ---- src/setup-macros.tex; |
|
%% | |
|
%% ---- src/setup-environments.tex; |
|
%% | |
|
%% ---- src/setup-layout.tex; |
|
%% | |
|
%% ---- srclocal/setup-locallayout.tex; |
|
%% | |
|
%% ---- srclocal/setup-localmacros.tex; |
|
%% | |
|
%% ---- body/index.tex; |
|
%% | |
|
%% ---- body/A6.tex; |
|
%% | |
|
%% ---- body/A6a.tex; |
|
%% | |
|
%% ---- body/A6b.tex; |
|
%% | |
|
%% ---- body/A6c.tex; |
|
%% | |
|
%% ---- body/A6d.tex; |
|
%% |
|
%% DOCUMENT-RANDOM-SEED: 5637845 |
|
%% ******************************************************************************** |
|
|
|
%% ******************************************************************************** |
|
%% FILE: root.tex |
|
%% ******************************************************************************** |
|
|
|
%% ******************************************************************************** |
|
%% FILE: parameters.tex |
|
%% ******************************************************************************** |
|
|
|
%% ******************************************************************************** |
|
%% FILE: srclocal/index.tex |
|
%% ******************************************************************************** |
|
|
|
\makeatletter |
|
|
|
%% ******************************************************************************** |
|
%% FILE: src/setup-type.tex |
|
%% ******************************************************************************** |
|
|
|
\documentclass[ |
|
10pt, |
|
a4paper, |
|
oneside, |
|
openright, |
|
center, |
|
chapterbib, |
|
crosshair, |
|
fleqn, |
|
headcount, |
|
headline, |
|
indent, |
|
indentfirst=false, |
|
portrait, |
|
phonetic, |
|
oldernstyle, |
|
onecolumn, |
|
sfbold, |
|
upper, |
|
]{scrbook} |
|
|
|
%% ******************************************************************************** |
|
%% FILE: src/setup-packages.tex |
|
%% ******************************************************************************** |
|
|
|
\PassOptionsToPackage{T2A,OT1}{fontenc} % T1,OT1,T2A,OT2 |
|
\PassOptionsToPackage{utf8}{inputenc} % utf8 |
|
\PassOptionsToPackage{british,english,ngerman,russian}{babel} |
|
\PassOptionsToPackage{ |
|
english, |
|
ngerman, |
|
russian, |
|
capitalise, |
|
}{cleveref} |
|
\PassOptionsToPackage{ |
|
bookmarks=true, |
|
bookmarksopen=false, |
|
bookmarksopenlevel=0, |
|
bookmarkstype=toc, |
|
colorlinks=false, |
|
raiselinks=true, |
|
hyperfigures=true, |
|
}{hyperref} |
|
\PassOptionsToPackage{ |
|
reset, |
|
left=1in, |
|
right=1in, |
|
top=20mm, |
|
bottom=20mm, |
|
heightrounded, |
|
}{geometry} |
|
\PassOptionsToPackage{ |
|
framemethod=TikZ, |
|
}{mdframed} |
|
\PassOptionsToPackage{normalem}{ulem} |
|
\PassOptionsToPackage{ |
|
amsmath, |
|
thmmarks, |
|
}{ntheorem} |
|
\PassOptionsToPackage{table}{xcolor} |
|
\PassOptionsToPackage{ |
|
all, |
|
color, |
|
curve, |
|
frame, |
|
import, |
|
knot, |
|
line, |
|
movie, |
|
rotate, |
|
textures, |
|
tile, |
|
tips, |
|
web, |
|
xdvi, |
|
}{xy} |
|
|
|
\usepackage{amsfonts} |
|
\usepackage{amsmath} |
|
\usepackage{amssymb} |
|
\usepackage{ntheorem} % <— muss nach den ams* Packages vorkommen!! |
|
\usepackage{array} |
|
\usepackage{babel} |
|
\usepackage{bbding} |
|
\usepackage{bbm} |
|
\usepackage{calc} |
|
\usepackage{sectsty} |
|
\usepackage{titlesec} |
|
\usepackage{fancyhdr} |
|
\usepackage{footmisc} |
|
\usepackage{geometry} |
|
\usepackage{graphicx} |
|
\usepackage{ifpdf} |
|
\usepackage{ifthen} |
|
\usepackage{ifnextok} |
|
\usepackage{longtable} |
|
\usepackage{multicol} |
|
\usepackage{multirow} |
|
\usepackage{nameref} |
|
\usepackage{nowtoaux} |
|
\usepackage{paralist} |
|
\usepackage{enumerate} %% nach [paralist] |
|
\usepackage{pgf} |
|
\usepackage{arydshln} %% nach [pgf!] |
|
\usepackage{pgfplots} |
|
\usepackage{proof} |
|
\usepackage{refcount} |
|
\usepackage{relsize} |
|
\usepackage{savesym} |
|
\usepackage{stmaryrd} |
|
\usepackage{subfigure} |
|
\usepackage{yfonts} %% <— Altgotische Fonts |
|
\usepackage{tikz} |
|
\usepackage{xy} |
|
\usepackage{undertilde} |
|
\usepackage{ulem} %% <– f\"ur besseren \underline-Befehl (\ul) |
|
\usepackage{xcolor} |
|
\usepackage{xspace} |
|
\usepackage{xstring} |
|
\usepackage{hyperref} |
|
\usepackage{cleveref} % must vor hyperref geladen werden. |
|
|
|
\pgfplotsset{compat=newest} |
|
|
|
\usetikzlibrary{ |
|
angles, |
|
arrows, |
|
automata, |
|
calc, |
|
decorations, |
|
decorations.pathmorphing, |
|
decorations.pathreplacing, |
|
math, |
|
positioning, |
|
patterns, |
|
quotes, |
|
snakes, |
|
} |
|
|
|
%% \var ≈ alter Befehl |
|
%% \xvar ≈ wie das neue Package \var interpretieren soll. |
|
\savesymbol{Diamond} |
|
\savesymbol{emptyset} |
|
\savesymbol{ggg} |
|
\savesymbol{int} |
|
\savesymbol{lll} |
|
\savesymbol{RectangleBold} |
|
\savesymbol{langle} |
|
\savesymbol{rangle} |
|
\savesymbol{hookrightarrow} |
|
\savesymbol{hookleftarrow} |
|
\savesymbol{Asterisk} |
|
\usepackage{mathabx} |
|
\usepackage{wasysym} |
|
\let\varemptyset=\emptyset |
|
\restoresymbol{x}{Diamond} |
|
\restoresymbol{x}{emptyset} |
|
\restoresymbol{x}{ggg} |
|
\restoresymbol{x}{int} |
|
\restoresymbol{x}{lll} |
|
\restoresymbol{x}{RectangleBold} |
|
\restoresymbol{x}{langle} |
|
\restoresymbol{x}{rangle} |
|
\restoresymbol{x}{hookrightarrow} |
|
\restoresymbol{x}{hookleftarrow} |
|
\restoresymbol{x}{Asterisk} |
|
|
|
\ifpdf |
|
\usepackage{pdfcolmk} |
|
\fi |
|
|
|
\usepackage{mdframed} |
|
|
|
%% Force-Import aus MnSymbol |
|
\DeclareFontFamily{U}{MnSymbolA}{} |
|
\DeclareFontShape{U}{MnSymbolA}{m}{n}{ |
|
<-6> MnSymbolA5 |
|
<6-7> MnSymbolA6 |
|
<7-8> MnSymbolA7 |
|
<8-9> MnSymbolA8 |
|
<9-10> MnSymbolA9 |
|
<10-12> MnSymbolA10 |
|
<12-> MnSymbolA12 |
|
}{} |
|
\DeclareFontShape{U}{MnSymbolA}{b}{n}{ |
|
<-6> MnSymbolA-Bold5 |
|
<6-7> MnSymbolA-Bold6 |
|
<7-8> MnSymbolA-Bold7 |
|
<8-9> MnSymbolA-Bold8 |
|
<9-10> MnSymbolA-Bold9 |
|
<10-12> MnSymbolA-Bold10 |
|
<12-> MnSymbolA-Bold12 |
|
}{} |
|
\DeclareSymbolFont{MnSyA}{U}{MnSymbolA}{m}{n} |
|
\DeclareMathSymbol{\lcirclearrowright}{\mathrel}{MnSyA}{252} |
|
\DeclareMathSymbol{\lcirclearrowdown}{\mathrel}{MnSyA}{255} |
|
\DeclareMathSymbol{\rcirclearrowleft}{\mathrel}{MnSyA}{250} |
|
\DeclareMathSymbol{\rcirclearrowdown}{\mathrel}{MnSyA}{251} |
|
|
|
\DeclareFontFamily{U}{MnSymbolC}{} |
|
\DeclareSymbolFont{MnSyC}{U}{MnSymbolC}{m}{n} |
|
\DeclareFontShape{U}{MnSymbolC}{m}{n}{ |
|
<-6> MnSymbolC5 |
|
<6-7> MnSymbolC6 |
|
<7-8> MnSymbolC7 |
|
<8-9> MnSymbolC8 |
|
<9-10> MnSymbolC9 |
|
<10-12> MnSymbolC10 |
|
<12-> MnSymbolC12% |
|
}{} |
|
\DeclareMathSymbol{\powerset}{\mathord}{MnSyC}{180} |
|
|
|
%% ******************************************************************************** |
|
%% FILE: src/setup-parameters.tex |
|
%% ******************************************************************************** |
|
|
|
\def\boolwahr{true} |
|
\def\boolfalsch{false} |
|
\def\boolleer{} |
|
|
|
\let\documenttwosided\boolfalsch |
|
\let\boolinappendix\boolfalsch |
|
\let\boolinmdframed\boolfalsch |
|
\let\eqtagset\boolfalsch |
|
\let\eqtaglabel\boolleer |
|
\let\eqtagsymb\boolleer |
|
|
|
\newcount\bufferctr |
|
\newcount\bufferreplace |
|
\newcounter{columnanzahl} |
|
|
|
\newlength\rtab |
|
\newlength\gesamtlinkerRand |
|
\newlength\gesamtrechterRand |
|
\newlength\ownspaceabovethm |
|
\newlength\ownspacebelowthm |
|
\setlength{\rtab}{0.025\textwidth} |
|
\setlength{\ownspaceabovethm}{0.5\baselineskip} |
|
\setlength{\ownspacebelowthm}{0.5\baselineskip} |
|
\setlength{\gesamtlinkerRand}{0pt} |
|
\setlength{\gesamtrechterRand}{0pt} |
|
|
|
\def\secnumberingpt{$\cdot$} |
|
\def\secnumberingseppt{.} |
|
\def\subsecnumberingseppt{} |
|
\def\thmnumberingpt{$\cdot$} |
|
\def\thmnumberingseppt{} |
|
\def\thmForceSepPt{.} |
|
|
|
\definecolor{leer}{gray}{1} |
|
\definecolor{hellgrau}{gray}{0.85} |
|
\definecolor{dunkelgrau}{gray}{0.5} |
|
\definecolor{maroon}{rgb}{0.6901961,0.1882353,0.3764706} |
|
\definecolor{dunkelgruen}{rgb}{0.015625,0.363281,0.109375} |
|
\definecolor{dunkelrot}{rgb}{0.5450980392,0,0} |
|
\definecolor{dunkelblau}{rgb}{0,0,0.5450980392} |
|
\definecolor{blau}{rgb}{0,0,1} |
|
\definecolor{newresult}{rgb}{0.6,0.6,0.6} |
|
\definecolor{improvedresult}{rgb}{0.9,0.9,0.9} |
|
\definecolor{hervorheben}{rgb}{0,0.9,0.7} |
|
\definecolor{starkesblau}{rgb}{0.1019607843,0.3176470588,0.8156862745} |
|
\definecolor{achtung}{rgb}{1,0.5,0.5} |
|
\definecolor{frage}{rgb}{0.5,1,0.5} |
|
\definecolor{schreibweise}{rgb}{0,0.7,0.9} |
|
\definecolor{axiom}{rgb}{0,0.3,0.3} |
|
|
|
%% ******************************************************************************** |
|
%% FILE: src/setup-macros.tex |
|
%% ******************************************************************************** |
|
|
|
%% **************************************************************** |
|
%% TEX: |
|
%% **************************************************************** |
|
|
|
\def\let@name#1#2{\expandafter\let\csname #1\expandafter\endcsname\csname #2\endcsname\relax} |
|
\DeclareRobustCommand\crfamily{\fontfamily{ccr}\selectfont} |
|
\DeclareTextFontCommand{\textcr}{\crfamily} |
|
|
|
\def\nichtzeigen#1{\phantom{#1}} |
|
|
|
%% **************************************************************** |
|
%% SPACING: |
|
%% **************************************************************** |
|
|
|
\def\ifthenelseleer#1#2#3{\ifthenelse{\equal{#1}{}}{#2}{#1#3}} |
|
\def\bedingtesspaceexpand#1#2#3{\ifthenelseleer{\csname #1\endcsname}{#3}{#2#3}} |
|
\def\voritemise{\leavevmode\nvraum{1}} |
|
\def\hraum{\null\hfill\null} |
|
\def\vraum{\null\vfill\null} |
|
\def\nvraum{\@ifnextchar\bgroup{\nvraum@c}{\nvraum@bes}} |
|
\def\nvraum@c#1{\vspace*{-#1\baselineskip}} |
|
\def\nvraum@bes{\vspace*{-\baselineskip}} |
|
\def\erlaubeplatz{\relax\ifmmode\else\@\xspace\fi} |
|
\def\entferneplatz{\relax\ifmmode\else\expandafter\@gobble\fi} |
|
\def\forceindent{\hspace*{20pt}} %% * nötig, damit am Anfang/Ende einer Zeile nicht ignoriert wird |
|
|
|
%% **************************************************************** |
|
%% TAGS / BEZEICHNUNGEN / LABELLING: |
|
%% **************************************************************** |
|
|
|
\def\send@toaux#1{\@bsphack\protected@write\@auxout{}{\string#1}\@esphack} |
|
|
|
%% \rlabel{LABEL}[CTR]{CREF-SHORT}{CREF-LONG}{DISPLAYTEXT} |
|
\def\rlabel#1[#2]#3#4#5{#5\rlabel@aux{#1}[#2]{#3}{#4}{#5}} |
|
\def\rlabel@aux#1[#2]#3#4#5{% |
|
\send@toaux{\newlabel{#1}{{\@currentlabel}{\thepage}{{\unexpanded{#5}}}{#2.\csname the#2\endcsname}{}}}\relax% |
|
} |
|
|
|
%% \tag@rawscheme{CREF-SHORT}{CREF-LONG}[CTR]{LEFT-BRKT}{RIGHT-BRKT} [LABEL]{DISPLAYTEXT} |
|
\def\tag@rawscheme#1#2[#3]#4#5{\@ifnextchar[{\tag@rawscheme@{#1}{#2}[#3]{#4}{#5}}{\tag@rawscheme@{#1}{#2}[#3]{#4}{#5}[*]}} |
|
\def\tag@rawscheme@#1#2[#3]#4#5[#6]{\@ifnextchar\bgroup{\tag@rawscheme@@{#1}{#2}[#3]{#4}{#5}[#6]}{\tag@rawscheme@@{#1}{#2}[#3]{#4}{#5}[#6]{}}} |
|
\def\tag@rawscheme@@#1#2[#3]#4#5[#6]#7{% |
|
\ifthenelse{\equal{#6}{*}}{% |
|
\ifthenelse{\equal{#7}{\boolleer}}{\refstepcounter{#3}#4\csname the#3\endcsname#5}{#4#7#5}% |
|
}{% |
|
\refstepcounter{#3}#4% |
|
\ifthenelse{\equal{#7}{\boolleer}}{\rlabel{#6}[#3]{#1}{#2}{\csname the#3\endcsname}}{\rlabel{#6}[#3]{#1}{#2}{#7}}% |
|
#5% |
|
}% |
|
} |
|
%% \tag@scheme{CREF-SHORT}{CREF-LONG}[CTR] [LABEL]{DISPLAYTEXT} |
|
\def\tag@scheme#1#2[#3]{\tag@rawscheme{#1}{#2}[#3]{\upshape(}{\upshape)}} |
|
|
|
%% \eqtag[LABEL]{DISPLAYTEXT} |
|
\def\eqtag@post#1{\makebox[0pt][r]{#1}} |
|
\def\eqtag@pre{\tag@scheme{Eq}{Equation}[Xe]} |
|
\def\eqtag{\@ifnextchar[{\eqtag@}{\eqtag@[*]}} |
|
\def\eqtag@[#1]{\@ifnextchar\bgroup{\eqtag@@[#1]}{\eqtag@@[#1]{}}} |
|
\def\eqtag@@[#1]#2{\eqtag@post{\eqtag@pre[#1]{#2}}} |
|
|
|
\def\eqcref#1{\text{(\ref{#1})}} |
|
\def\ptcref#1{\ref{#1}} |
|
\def\punktlabel#1{\label{it:#1:\beweislabel}} |
|
\def\punktcref#1{\eqcref{it:#1:\beweislabel}} |
|
\def\crefit#1#2{\cref{#1}~\eqcref{it:#2:#1}} |
|
\def\Crefit#1#2{\Cref{#1}~\eqcref{it:#2:#1}} |
|
|
|
%% UNDER/OVERSET BEFEHLE |
|
\def\opfromto[#1]_#2^#3{\underset{#2}{\overset{#3}{#1}}} |
|
\def\textoverset#1#2{\overset{\text{#1}}{#2}} |
|
\def\textunderset#1#2{\underset{#2}{\text{#1}}} |
|
\def\crefoverset#1#2{\textoverset{\cref{#1}}{#2}} |
|
\def\Crefoverset#1#2{\textoverset{\Cref{#1}}{#2}} |
|
\def\crefunderset#1#2{\textunderset{#2}{\cref{#1}}} |
|
\def\Crefunderset#1#2{\textunderset{#2}{\Cref{#1}}} |
|
\def\eqcrefoverset#1#2{\textoverset{\eqcref{#1}}{#2}} |
|
\def\eqcrefunderset#1#2{\textunderset{#2}{\eqcref{#1}}} |
|
\def\mathclap#1{#1} |
|
\def\oberunterset#1{\@ifnextchar^{\oberunterset@oben{#1}}{\oberunterset@unten{#1}}} |
|
\def\oberunterset@oben#1^#2_#3{\underset{\mathclap{#3}}{\overset{\mathclap{#2}}{#1}}} |
|
\def\oberunterset@unten#1_#2^#3{\underset{\mathclap{#2}}{\overset{\mathclap{#3}}{#1}}} |
|
\def\breitunderbrace#1_#2{\underbrace{#1}_{\mathclap{#2}}} |
|
\def\breitoverbrace#1^#2{\overbrace{#1}^{\mathclap{#2}}} |
|
\def\breitunderbracket#1_#2{\underbracket{#1}_{\mathclap{#2}}} |
|
\def\breitoverbracket#1^#2{\overbracket{#1}^{\mathclap{#2}}} |
|
|
|
\def\generatenestedsecnumbering#1#2#3{% |
|
\expandafter\gdef\csname thelong#3\endcsname{% |
|
\expandafter\csname the#2\endcsname% |
|
\secnumberingpt% |
|
\expandafter\csname #1\endcsname{#3}% |
|
}% |
|
\expandafter\gdef\csname theshort#3\endcsname{% |
|
\expandafter\csname #1\endcsname{#3}% |
|
}% |
|
} |
|
\def\generatenestedthmnumbering#1#2#3{% |
|
\expandafter\gdef\csname the#3\endcsname{% |
|
\expandafter\csname the#2\endcsname% |
|
\thmnumberingpt% |
|
\expandafter\csname #1\endcsname{#3}% |
|
}% |
|
\expandafter\gdef\csname theshort#3\endcsname{% |
|
\expandafter\csname #1\endcsname{#3}% |
|
}% |
|
} |
|
|
|
%% **************************************************************** |
|
%% ALLG. MACROS: |
|
%% **************************************************************** |
|
|
|
\def\+#1{\addtocounter{#1}{1}} |
|
\def\setcounternach#1#2{\setcounter{#1}{#2}\addtocounter{#1}{-1}} |
|
\def\textsubscript#1{${}_{\textup{#1}}$} |
|
\def\rome#1{\overline{\underline{#1}}} |
|
\def\textTODO{\text{[{\large\textcolor{red}{More work needed!}}]}} |
|
\def\hlineEIGENpt{\hdashline[0.5pt/5pt]} |
|
\def\clineEIGENpt#1{\cdashline{#1}[0.5pt/5pt]} |
|
|
|
\def\forcepunkt#1{#1\IfEndWith{#1}{.}{}{.}} |
|
\def\lateinabkuerzung#1#2{% |
|
\expandafter\gdef\csname #1\endcsname{\emph{#2}\@ifnextchar.{\entferneplatz}{\erlaubeplatz}} |
|
} |
|
\def\deutscheabkuerzung#1#2{% |
|
\expandafter\gdef\csname #1\endcsname{{#2}\@ifnextchar.{\entferneplatz}{\erlaubeplatz}} |
|
} |
|
|
|
%% **************************************************************** |
|
%% MATHE |
|
%% **************************************************************** |
|
|
|
\def\matrix#1{\left(\begin{array}{#1}} |
|
\def\endmatrix{\end{array}\right)} |
|
\def\smatrix{\left(\begin{smallmatrix}} |
|
\def\endsmatrix{\end{smallmatrix}\right)} |
|
|
|
\def\multiargrekursiverbefehl#1#2#3#4#5#6#7#8{% |
|
\expandafter\gdef\csname#1\endcsname #2##1#4{\csname #1@anfang\endcsname##1#3\egroup} |
|
\expandafter\def\csname #1@anfang\endcsname##1#3{#5##1\@ifnextchar\egroup{\csname #1@ende\endcsname}{#7\csname #1@mitte\endcsname}} |
|
\expandafter\def\csname #1@mitte\endcsname##1#3{#6##1\@ifnextchar\egroup{\csname #1@ende\endcsname}{#7\csname #1@mitte\endcsname}} |
|
\expandafter\def\csname #1@ende\endcsname##1{#8} |
|
} |
|
\multiargrekursiverbefehl{svektor}{[}{;}{]}{\begin{smatrix}}{}{\\}{\\\end{smatrix}} |
|
\multiargrekursiverbefehl{vektor}{[}{;}{]}{\begin{matrix}{c}}{}{\\}{\\\end{matrix}} |
|
\multiargrekursiverbefehl{vektorzeile}{}{,}{;}{}{&}{}{} |
|
\multiargrekursiverbefehl{matlabmatrix}{[}{;}{]}{\begin{smatrix}\vektorzeile}{\vektorzeile}{;\\}{;\end{smatrix}} |
|
|
|
\def\cases[#1]#2{\left\{\begin{array}[#1]{#2}} |
|
\def\endcases{\end{array}\right.} |
|
|
|
\def\BeweisRichtung[#1]{\@ifnextchar\bgroup{\@BeweisRichtung@c[#1]}{\@BeweisRichtung@bes[#1]}} |
|
\def\@BeweisRichtung@bes[#1]{{\bfseries(#1).~}} |
|
\def\@BeweisRichtung@c[#1]#2#3{{\bfseries(#2#1#3).~}} |
|
\def\erzeugeBeweisRichtungBefehle#1#2{ |
|
\expandafter\gdef\csname #1text\endcsname##1##2{\BeweisRichtung[#2]{##1}{##2}} |
|
\expandafter\gdef\csname #1\endcsname{% |
|
\@ifnextchar\bgroup{\csname #1@\endcsname}{\csname #1text\endcsname{}{}}% |
|
} |
|
\expandafter\gdef\csname #1@\endcsname##1##2{% |
|
\csname #1text\endcsname{\punktcref{##1}}{\punktcref{##2}}% |
|
} |
|
} |
|
\erzeugeBeweisRichtungBefehle{hinRichtung}{$\Longrightarrow$} |
|
\erzeugeBeweisRichtungBefehle{herRichtung}{$\Longleftarrow$} |
|
\erzeugeBeweisRichtungBefehle{hinherRichtung}{$\Longleftrightarrow$} |
|
|
|
\def\cal#1{\mathcal{#1}} |
|
\def\brkt#1{\langle{}#1{}\rangle} |
|
\def\mathfrak#1{\mbox{\usefont{U}{euf}{m}{n}#1}} |
|
\def\kurs#1{\textit{#1}} |
|
\def\rectangleblack{\text{\RectangleBold}} |
|
\def\rectanglewhite{\text{\Rectangle}} |
|
\def\squareblack{\blacksquare} |
|
\def\squarewhite{\Box} |
|
|
|
%% ******************************************************************************** |
|
%% FILE: src/setup-environments.tex |
|
%% ******************************************************************************** |
|
|
|
%% ********************************************************************** |
|
%% CLEVEREF: ************************************************************ |
|
|
|
\def\crefname@full#1#2#3{\crefname{#1}{#2}{#3}\Crefname{#1}{#2}{#3}} |
|
\crefname@full{chapter}{Kapitel}{Kapitel} |
|
\crefname@full{section}{Abschnitt}{Abschnitte} |
|
\crefname@full{figure}{Fig.}{Fig.} |
|
\crefname@full{subfigure}{Fig.}{Fig.} |
|
|
|
\crefname@full{proof}{Beweis}{Beweise} |
|
\crefname@full{thm}{Theorem}{Theoreme} |
|
\crefname@full{satz}{Satz}{Sätze} |
|
\crefname@full{claim}{Behauptung}{Behauptungen} |
|
\crefname@full{lemm}{Lemma}{Lemmata} |
|
\crefname@full{cor}{Korollar}{Korollarien} |
|
\crefname@full{folg}{Folgerung}{Folgerungen} |
|
\crefname@full{prop}{Proposition}{Propositionen} |
|
\crefname@full{defn}{Definition}{Definitionen} |
|
\crefname@full{conv}{Konvention}{Konventionen} |
|
\crefname@full{fact}{Fakt}{Fakten} |
|
\crefname@full{rem}{Bemerkung}{Bemerkungen} |
|
\crefname@full{qstn}{Frage}{Fragen} |
|
\crefname@full{e.g.}{Beipsiel}{Beipsiele} |
|
|
|
%% **************************************************************** |
|
%% THEOREME: |
|
%% **************************************************************** |
|
|
|
\def\qedEIGEN#1{\@ifnextchar[{\qedEIGEN@c{#1}}{\qedEIGEN@bes{#1}}}%] |
|
\def\qedEIGEN@bes#1{% |
|
\bgroup% |
|
\parfillskip=0pt% % so \par doesnt push \square to left |
|
\widowpenalty=10000% % so we dont break the page before \square |
|
\displaywidowpenalty=10000% % ditto |
|
\finalhyphendemerits=0% % TeXbook exercise 14.32 |
|
\leavevmode% % \nobreak means lines not pages |
|
\unskip% % remove previous space or glue |
|
\nobreak% % don’t break lines |
|
\hfil% % ragged right if we spill over |
|
\penalty50% % discouragement to do so |
|
\hskip.2em% % ensure some space |
|
\null% % anchor following \hfill |
|
\hfill% % push \square to right |
|
#1% % the end-of-proof mark |
|
\par% |
|
\egroup% |
|
} |
|
\def\qedEIGEN@c#1[#2]{% |
|
\bgroup% |
|
\parfillskip=0pt% % so \par doesnt push \square to left |
|
\widowpenalty=10000% % so we dont break the page before \square |
|
\displaywidowpenalty=10000% % ditto |
|
\finalhyphendemerits=0% % TeXbook exercise 14.32 |
|
\leavevmode% % \nobreak means lines not pages |
|
\unskip% % remove previous space or glue |
|
\nobreak% % don’t break lines |
|
\hfil% % ragged right if we spill over |
|
\penalty50% % discouragement to do so |
|
\hskip.2em% % ensure some space |
|
\null% % anchor following \hfill |
|
\hfill% % push \square to right |
|
{#1~{\smaller\bfseries\upshape (#2)}}% |
|
\par% |
|
\egroup% |
|
} |
|
\def\qedVARIANT#1#2{ |
|
\expandafter\def\csname ennde#1Sign\endcsname{#2} |
|
\expandafter\def\csname ennde#1\endcsname{\@ifnextchar[{\qedEIGEN@c{#2}}{\qedEIGEN@bes{#2}}} %] |
|
} |
|
\qedVARIANT{OfProof}{$\squareblack$} |
|
\qedVARIANT{OfWork}{\rectangleblack} |
|
\qedVARIANT{OfSomething}{$\dashv$} |
|
\qedVARIANT{OnNeutral}{$\lozenge$} % \lozenge \bigcirc \blacklozenge |
|
\def\qedsymbol{\enndeOfProofSign} |
|
\def\proofSymbol{\enndeOfProofSign} |
|
|
|
\def\ra@pretheoremwork{ |
|
\setlength{\theorempreskipamount}{\ownspaceabovethm} |
|
} |
|
\def\rathmtransfer#1#2{ |
|
\expandafter\def\csname #2\endcsname{\csname #1\endcsname} |
|
\expandafter\def\csname end#2\endcsname{\csname end#1\endcsname} |
|
} |
|
|
|
\def\ranewthm#1#2#3[#4]{ |
|
%% FOR \BEGIN{THM} |
|
\theoremstyle{\current@theoremstyle} |
|
\theoremseparator{\current@theoremseparator} |
|
\theoremprework{\ra@pretheoremwork} |
|
\@ifundefined{#1@basic}{\newtheorem{#1@basic}[#4]{#2}}{\renewtheorem{#1@basic}[#4]{#2}} |
|
%% FOR \BEGIN{THM}[...] |
|
\theoremstyle{\current@theoremstyle} |
|
\theoremseparator{\thmForceSepPt} |
|
\theoremprework{\ra@pretheoremwork} |
|
\@ifundefined{#1@withName}{\newtheorem{#1@withName}[#4]{#2}}{\renewtheorem{#1@withName}[#4]{#2}} |
|
%% FOR \BEGIN{THM*} |
|
\theoremstyle{nonumberplain} |
|
\theoremseparator{\thmForceSepPt} |
|
\theoremprework{\ra@pretheoremwork} |
|
\@ifundefined{#1@star@basic}{\newtheorem{#1@star@basic}[Xdisplaynone]{#2}}{\renewtheorem{#1@star@basic}[Xdisplaynone]{#2}} |
|
%% FOR \BEGIN{THM*}[...] |
|
\theoremstyle{nonumberplain} |
|
\theoremseparator{\thmForceSepPt} |
|
\theoremprework{\ra@pretheoremwork} |
|
\@ifundefined{#1@star@withName}{\newtheorem{#1@star@withName}[Xdisplaynone]{#2}}{\renewtheorem{#1@star@withName}[Xdisplaynone]{#2}} |
|
%% GENERATE ENVIRONMENTS: |
|
\umbauenenv{#1}{#3}[#4] |
|
\umbauenenv{#1@star}{#3}[Xdisplaynone] |
|
%% TRANSFER *-DEFINITION |
|
\rathmtransfer{#1@star}{#1*} |
|
} |
|
|
|
\def\umbauenenv#1#2[#3]{% |
|
%% \BEGIN{THM}... |
|
\expandafter\def\csname #1\endcsname{\relax% |
|
\@ifnextchar[{\csname #1@\endcsname}{\csname #1@\endcsname[*]}% |
|
} |
|
%% \BEGIN{THM}[ANFANG]... |
|
\expandafter\def\csname #1@\endcsname[##1]{\relax% |
|
\@ifnextchar[{\csname #1@@\endcsname[##1]}{\csname #1@@\endcsname[##1][*]}% |
|
} |
|
%% \BEGIN{THM}[ANFANG][SCHLUSS] |
|
\expandafter\def\csname #1@@\endcsname[##1][##2]{% |
|
\ifx*##1% |
|
\def\enndeOfBlock{\csname end#1@basic\endcsname} |
|
\csname #1@basic\endcsname% |
|
\else% |
|
\def\enndeOfBlock{\csname end#1@withName\endcsname} |
|
\csname #1@withName\endcsname[##1]% |
|
\fi% |
|
\def\makelabel####1{% |
|
\gdef\beweislabel{####1}% |
|
\label{\beweislabel}% |
|
}% |
|
\ifx*##2% |
|
\def\enndeSymbol{\qedEIGEN{#2}} |
|
\else% |
|
\def\enndeSymbol{\qedEIGEN{#2}[##2]} |
|
\fi |
|
} |
|
%% \END{THM} |
|
\expandafter\gdef\csname end#1\endcsname{\enndeSymbol\enndeOfBlock} |
|
} |
|
|
|
%% NEWTHEOREM EINSTELLUNGSOPTIONEN: |
|
%% F\"UR \theoremstyle |
|
%% plain Emulates original LATEX defin, except uses param \theorem...skipamount. |
|
%% break Header followed by line break. |
|
%% change Header, Number and Text are interchanged, without a line break. |
|
%% changebreak =change, but with a line break after Header. |
|
%% margin Number in left margin, without a line break. |
|
%% marginbreak =margin, but with a line break after the header. |
|
%% nonumberplain =plain, without number. |
|
%% nonumberbreak =break, without number. |
|
%% empty No number, no name. Only the optional argument is typeset. |
|
%% \theoremclass \theoremnumbering |
|
%% \theorempreskip \theorempostkip \theoremindent |
|
%% \theoremprework \theorempostwork |
|
|
|
\def\current@theoremstyle{plain} |
|
\def\current@theoremseparator{\thmnumberingseppt} |
|
\theoremstyle{\current@theoremstyle} |
|
\theoremseparator{\current@theoremseparator} |
|
\theoremsymbol{} |
|
|
|
\newtheorem{X}{X}[chapter] % for most theorems |
|
\newtheorem{Xe}{Xe}[chapter] % for equations |
|
\newtheorem*{Xdisplaynone}{Xdisplaynone}[chapter] % a dummy counter, that will never be displayed. |
|
\newtheorem{Xsp}{Xsp}[chapter] % for special theorems |
|
\generatenestedthmnumbering{arabic}{chapter}{X} |
|
\generatenestedthmnumbering{arabic}{chapter}{Xe} |
|
\generatenestedthmnumbering{Roman}{chapter}{Xsp} |
|
\let\theXsp\theshortXsp |
|
|
|
\theoremheaderfont{\upshape\bfseries} |
|
\theorembodyfont{\slshape} |
|
|
|
\ranewthm{thm}{Theorem}{\enndeOnNeutralSign}[X] |
|
\ranewthm{satz}{Satz}{\enndeOnNeutralSign}[X] |
|
\ranewthm{claim}{Behauptung}{\enndeOnNeutralSign}[X] |
|
\ranewthm{lemm}{Lemma}{\enndeOnNeutralSign}[X] |
|
\ranewthm{cor}{Korollar}{\enndeOnNeutralSign}[X] |
|
\ranewthm{folg}{Folgerung}{\enndeOnNeutralSign}[X] |
|
\ranewthm{prop}{Proposition}{\enndeOnNeutralSign}[X] |
|
|
|
\theorembodyfont{\upshape} |
|
|
|
\ranewthm{defn}{Definition}{\enndeOnNeutralSign}[X] |
|
\ranewthm{conv}{Konvention}{\enndeOnNeutralSign}[X] |
|
\ranewthm{obs}{Beobachtung}{\enndeOnNeutralSign}[X] |
|
\ranewthm{e.g.}{Beipsiel}{\enndeOnNeutralSign}[X] |
|
\ranewthm{fact}{Fakt}{\enndeOnNeutralSign}[X] |
|
\ranewthm{rem}{Bemerkung}{\enndeOnNeutralSign}[X] |
|
\ranewthm{qstn}{Frage}{\enndeOnNeutralSign}[X] |
|
\ranewthm{exer}{Aufgabe}{\enndeOnNeutralSign}[X] |
|
\ranewthm{soln}{Lösung}{\enndeOnNeutralSign}[X] |
|
|
|
\theoremheaderfont{\itshape\bfseries} |
|
\theorembodyfont{\upshape} |
|
|
|
\ranewthm{proof@tmp}{Beweis}{\enndeOfProofSign}[Xdisplaynone] |
|
\rathmtransfer{proof@tmp*}{proof} |
|
|
|
\def\behauptungbeleg@claim{% |
|
\iflanguage{british}{Claim}{% |
|
\iflanguage{english}{Claim}{% |
|
\iflanguage{ngerman}{Behauptung}{% |
|
\iflanguage{russian}{Утверждение}{% |
|
Claim% |
|
}}}}% |
|
} |
|
\def\behauptungbeleg@pf@kurz{% |
|
\iflanguage{british}{Pf}{% |
|
\iflanguage{english}{Pf}{% |
|
\iflanguage{ngerman}{Bew}{% |
|
\iflanguage{russian}{Доказательство}{% |
|
Pf% |
|
}}}}% |
|
} |
|
\def\behauptungbeleg{\@ifnextchar\bgroup{\behauptungbeleg@c}{\behauptungbeleg@bes}} |
|
\def\behauptungbeleg@c#1{\item[{\bfseries \behauptungbeleg@claim\erlaubeplatz #1.}]} |
|
\def\behauptungbeleg@bes{\item[{\bfseries \behauptungbeleg@claim.}]} |
|
\def\belegbehauptung{\item[{\bfseries\itshape\behauptungbeleg@pf@kurz.}]} |
|
|
|
%% **************************************************************** |
|
%% ALTE UMGEBUNGEN: |
|
%% **************************************************************** |
|
|
|
\newcolumntype{\RECHTS}[1]{>{\raggedleft}p{#1}} |
|
\newcolumntype{\LINKS}[1]{>{\raggedright}p{#1}} |
|
\newcolumntype{m}{>{$}l<{$}} |
|
\newcolumntype{C}{>{$}c<{$}} |
|
\newcolumntype{L}{>{$}l<{$}} |
|
\newcolumntype{R}{>{$}r<{$}} |
|
\newcolumntype{0}{@{\hspace{0pt}}} |
|
\newcolumntype{\LINKSRAND}{@{\hspace{\@totalleftmargin}}} |
|
\newcolumntype{h}{@{\extracolsep{\fill}}} |
|
\newcolumntype{i}{>{\itshape}} |
|
\newcolumntype{t}{@{\hspace{\tabcolsep}}} |
|
\newcolumntype{q}{@{\hspace{1em}}} |
|
\newcolumntype{n}{@{\hspace{-\tabcolsep}}} |
|
\newcolumntype{M}[2]{% |
|
>{\begin{minipage}{#2}\begin{math}}% |
|
{#1}% |
|
<{\end{math}\end{minipage}}% |
|
} |
|
\newcolumntype{T}[2]{% |
|
>{\begin{minipage}{#2}}% |
|
{#1}% |
|
<{\end{minipage}}% |
|
} |
|
\setlength{\LTpre}{\baselineskip} |
|
\setlength{\LTpost}{0pt} |
|
\def\center{\centering} |
|
\def\endcenter{} |
|
|
|
\def\punkteumgebung@genbefehl#1#2#3{ |
|
\punkteumgebung@genbefehl@{#1}{#2}{#3}{}{} |
|
\punkteumgebung@genbefehl@{multi#1}{#2}{#3}{ |
|
\setlength{\columnsep}{10pt}% |
|
\setlength{\columnseprule}{0pt}% |
|
\begin{multicols}{\thecolumnanzahl}% |
|
}{\end{multicols}\nvraum{1}} |
|
} |
|
\def\punkteumgebung@genbefehl@#1#2#3#4#5{ |
|
\expandafter\gdef\csname #1\endcsname{ |
|
\@ifnextchar\bgroup{\csname #1@c\endcsname}{\csname #1@bes\endcsname} |
|
}%] |
|
\expandafter\def\csname #1@c\endcsname##1{ |
|
\@ifnextchar[{\csname #1@c@\endcsname{##1}}{\csname #1@c@\endcsname{##1}[\z@]} |
|
}%] |
|
\expandafter\def\csname #1@c@\endcsname##1[##2]{ |
|
\@ifnextchar[{\csname #1@c@@\endcsname{##1}[##2]}{\csname #1@c@@\endcsname{##1}[##2][\z@]} |
|
}%] |
|
\expandafter\def\csname #1@c@@\endcsname##1[##2][##3]{ |
|
\let\alterlinkerRand\gesamtlinkerRand |
|
\let\alterrechterRand\gesamtrechterRand |
|
\addtolength{\gesamtlinkerRand}{##2} |
|
\addtolength{\gesamtrechterRand}{##3} |
|
\advance\linewidth -##2% |
|
\advance\linewidth -##3% |
|
\advance\@totalleftmargin ##2% |
|
\parshape\@ne \@totalleftmargin\linewidth% |
|
#4 |
|
\begin{#2}[\upshape ##1]% |
|
\setlength{\parskip}{0.5\baselineskip}\relax% |
|
\setlength{\topsep}{\z@}\relax% |
|
\setlength{\partopsep}{\z@}\relax% |
|
\setlength{\parsep}{\parskip}\relax% |
|
\setlength{\itemsep}{#3}\relax% |
|
\setlength{\listparindent}{\z@}\relax% |
|
\setlength{\itemindent}{\z@}\relax% |
|
} |
|
\expandafter\def\csname #1@bes\endcsname{ |
|
\@ifnextchar[{\csname #1@bes@\endcsname}{\csname #1@bes@\endcsname[\z@]} |
|
}%] |
|
\expandafter\def\csname #1@bes@\endcsname[##1]{ |
|
\@ifnextchar[{\csname #1@bes@@\endcsname[##1]}{\csname #1@bes@@\endcsname[##1][\z@]} |
|
}%] |
|
\expandafter\def\csname #1@bes@@\endcsname[##1][##2]{ |
|
\let\alterlinkerRand\gesamtlinkerRand |
|
\let\alterrechterRand\gesamtrechterRand |
|
\addtolength{\gesamtlinkerRand}{##1} |
|
\addtolength{\gesamtrechterRand}{##2} |
|
\advance\linewidth -##1% |
|
\advance\linewidth -##2% |
|
\advance\@totalleftmargin ##1% |
|
\parshape\@ne \@totalleftmargin\linewidth% |
|
#4 |
|
\begin{#2}% |
|
\setlength{\parskip}{0.5\baselineskip}\relax% |
|
\setlength{\topsep}{\z@}\relax% |
|
\setlength{\partopsep}{\z@}\relax% |
|
\setlength{\parsep}{\parskip}\relax% |
|
\setlength{\itemsep}{#3}\relax% |
|
\setlength{\listparindent}{\z@}\relax% |
|
\setlength{\itemindent}{\z@}\relax% |
|
} |
|
\expandafter\gdef\csname end#1\endcsname{% |
|
\end{#2}#5 |
|
\setlength{\gesamtlinkerRand}{\alterlinkerRand} |
|
\setlength{\gesamtlinkerRand}{\alterrechterRand} |
|
} |
|
} |
|
|
|
\def\ritempunkt{{\Large\textbullet}} % \textbullet, $\sqbullet$, $\blacktriangleright$ |
|
\setdefaultitem{\ritempunkt}{\ritempunkt}{\ritempunkt}{\ritempunkt} |
|
\punkteumgebung@genbefehl{itemise}{compactitem}{\parskip}{}{} |
|
\punkteumgebung@genbefehl{kompaktitem}{compactitem}{\z@}{}{} |
|
\punkteumgebung@genbefehl{enumerate}{compactenum}{\parskip}{}{} |
|
\punkteumgebung@genbefehl{kompaktenum}{compactenum}{\z@}{}{} |
|
|
|
\let\ALTthebibliography\thebibliography |
|
\renewenvironment{thebibliography}[1]{% |
|
\begin{ALTthebibliography}{#1} |
|
\addcontentsline{toc}{part}{\bibname} |
|
}{% |
|
\end{ALTthebibliography} |
|
} |
|
|
|
%% **************************************************************** |
|
%% NEUE UMGEBUNGEN: |
|
%% **************************************************************** |
|
|
|
\def\matrix#1{\left(\begin{array}[mc]{#1}} |
|
\def\endmatrix{\end{array}\right)} |
|
\def\smatrix{\left(\begin{smallmatrix}} |
|
\def\endsmatrix{\end{smallmatrix}\right)} |
|
\def\vector{\begin{matrix}{c}} |
|
\def\endvector{\end{matrix}} |
|
\def\svector{\begin{smatrix}} |
|
\def\endsvector{\end{smatrix}} |
|
|
|
\def\multiargrekursiverbefehl#1#2#3#4#5#6#7#8{% |
|
\expandafter\gdef\csname#1\endcsname #2##1#4{\csname #1@anfang\endcsname##1#3\egroup} |
|
\expandafter\def\csname #1@anfang\endcsname##1#3{#5##1\@ifnextchar\egroup{\csname #1@ende\endcsname}{#7\csname #1@mitte\endcsname}} |
|
\expandafter\def\csname #1@mitte\endcsname##1#3{#6##1\@ifnextchar\egroup{\csname #1@ende\endcsname}{#7\csname #1@mitte\endcsname}} |
|
\expandafter\def\csname #1@ende\endcsname##1{#8} |
|
} |
|
\multiargrekursiverbefehl{svektor}{[}{;}{]}{\begin{smatrix}}{}{\\}{\\\end{smatrix}} |
|
\multiargrekursiverbefehl{vektor}{[}{;}{]}{\begin{matrix}{c}}{}{\\}{\\\end{matrix}} |
|
\multiargrekursiverbefehl{vektorzeile}{}{,}{;}{}{&}{}{} |
|
\multiargrekursiverbefehl{matlabmatrix}{[}{;}{]}{\begin{smatrix}\vektorzeile}{\vektorzeile}{;\\}{;\end{smatrix}} |
|
|
|
\def\underbracenodisplay#1{% |
|
\mathop{\vtop{\m@th\ialign{##\crcr |
|
$\hfil\displaystyle{#1}\hfil$\crcr |
|
\noalign{\kern3\p@\nointerlineskip}% |
|
\upbracefill\crcr\noalign{\kern3\p@}}}}\limits% |
|
} |
|
|
|
\def\mathe[#1]#2{% |
|
\ifthenelse{\equal{\boolinmdframed}{\boolwahr}}{}{\begin{escapeeinzug}} |
|
\noindent% |
|
\let\eqtagset\boolfalsch |
|
\let\eqtaglabel\boolleer |
|
\let\eqtagsymb\boolleer |
|
\let\alteqtag\eqtag |
|
\def\eqtag{\@ifnextchar[{\eqtag@loc@}{\eqtag@loc@[*]}}% |
|
\def\eqtag@loc@[##1]{\@ifnextchar\bgroup{\eqtag@loc@@[##1]}{\eqtag@loc@@[##1]{}}}% |
|
\def\eqtag@loc@@[##1]##2{% |
|
\gdef\eqtagset{\boolwahr} |
|
\gdef\eqtaglabel{##1} |
|
\gdef\eqtagsymb{##2} |
|
}% |
|
\def\verticalalign{}% |
|
\IfBeginWith{#1}{t}{\def\verticalalign{t}}{}% |
|
\IfBeginWith{#1}{m}{\def\verticalalign{c}}{}% |
|
\IfBeginWith{#1}{b}{\def\verticalalign{b}}{}% |
|
\def\horizontalalign{\null\hfill\null}% |
|
\IfEndWith{#1}{l}{}{\null\hfill\null}% |
|
\IfEndWith{#1}{r}{\def\horizontalalign{}}{}% |
|
\begin{math} |
|
\begin{array}[\verticalalign]{0#2}% |
|
} |
|
\def\endmathe{% |
|
\end{array} |
|
\end{math}\horizontalalign% |
|
\let\eqtag\alteqtag |
|
\ifthenelse{\equal{\eqtagset}{\boolwahr}}{\eqtag[\eqtaglabel]{\eqtagsymb}}{} |
|
\ifthenelse{\equal{\boolinmdframed}{\boolwahr}}{}{\end{escapeeinzug}}% |
|
} |
|
|
|
\def\longmathe[#1]#2{\relax |
|
\let\altarraystretch\arraystretch |
|
\renewcommand\arraystretch{1.2}\relax |
|
\begin{longtable}[#1]{\LINKSRAND #2} |
|
} |
|
\def\endlongmathe{ |
|
\end{longtable} |
|
\renewcommand\arraystretch{\altarraystretch} |
|
} |
|
|
|
\def\einzug{\@ifnextchar[{\indents@}{\indents@[\z@]}}%] |
|
\def\indents@[#1]{\@ifnextchar[{\indents@@[#1]}{\indents@@[#1][\z@]}}%] |
|
\def\indents@@[#1][#2]{% |
|
\begin{list}{}{\relax |
|
\setlength{\topsep}{\z@}\relax |
|
\setlength{\partopsep}{\z@}\relax |
|
\setlength{\parsep}{\parskip}\relax |
|
\setlength{\listparindent}{\z@}\relax |
|
\setlength{\itemindent}{\z@}\relax |
|
\setlength{\leftmargin}{#1}\relax |
|
\setlength{\rightmargin}{#2}\relax |
|
\let\alterlinkerRand\gesamtlinkerRand |
|
\let\alterrechterRand\gesamtrechterRand |
|
\addtolength{\gesamtlinkerRand}{#1} |
|
\addtolength{\gesamtrechterRand}{#2} |
|
}\relax |
|
\item[]\relax |
|
} |
|
\def\endeinzug{% |
|
\setlength{\gesamtlinkerRand}{\alterlinkerRand} |
|
\setlength{\gesamtlinkerRand}{\alterrechterRand} |
|
\end{list}% |
|
} |
|
|
|
\def\escapeeinzug{\begin{einzug}[-\gesamtlinkerRand][-\gesamtrechterRand]} |
|
\def\endescapeeinzug{\end{einzug}} |
|
|
|
\def\programmiercode{ |
|
\modulolinenumbers[1] |
|
\begin{einzug}[\rtab][\rtab]% |
|
\begin{linenumbers}% |
|
\fontfamily{cmtt}\fontseries{m}\fontshape{u}\selectfont% |
|
\setlength{\parskip}{1\baselineskip}% |
|
\setlength{\parindent}{0pt}% |
|
} |
|
\def\endprogrammiercode{ |
|
\end{linenumbers} |
|
\end{einzug} |
|
} |
|
|
|
\def\schattiertebox@genbefehl#1#2#3{ |
|
\expandafter\gdef\csname #1\endcsname{% |
|
\@ifnextchar[{\csname #1@args\endcsname}{\csname #1@args\endcsname[#3]}%]% |
|
} |
|
\expandafter\def\csname #1@args\endcsname[##1]{% |
|
\@ifnextchar[{\csname #1@args@l\endcsname[##1]}{\csname #1@args@n\endcsname[##1]}%]% |
|
} |
|
\expandafter\def\csname #1@args@l\endcsname[##1][##2]{% |
|
\@ifnextchar[{\csname #1@args@l@r\endcsname[##1][##2]}{\csname #1@args@l@n\endcsname[##1][##2]}%]% |
|
} |
|
\expandafter\def\csname #1@args@n\endcsname[##1]{% |
|
\let\boolinmdframed\boolwahr |
|
\begin{mdframed}[#2leftmargin=0,rightmargin=0,outermargin=0,innermargin=0,##1] |
|
} |
|
\expandafter\def\csname #1@args@l@n\endcsname[##1][##2]{% |
|
\let\boolinmdframed\boolwahr |
|
\begin{mdframed}[#2leftmargin=##2/2,rightmargin=##2/2,outermargin=##2/2,innermargin=##2/2,##1] |
|
} |
|
\expandafter\def\csname #1@args@l@r\endcsname[##1][##2][##3]{% |
|
\let\boolinmdframed\boolwahr |
|
\begin{mdframed}[#2leftmargin=##2,rightmargin=##3,outermargin=##2,innermargin=##3,##1] |
|
} |
|
\expandafter\gdef\csname end#1\endcsname{% |
|
\end{mdframed} |
|
\let\boolinmdframed\boolfalsch |
|
} |
|
} |
|
\schattiertebox@genbefehl{schattiertebox}{ |
|
splittopskip=0,% |
|
splitbottomskip=0,% |
|
frametitleaboveskip=0,% |
|
frametitlebelowskip=0,% |
|
skipabove=1\baselineskip,% |
|
skipbelow=1\baselineskip,% |
|
linewidth=2pt,% |
|
linecolor=black,% |
|
roundcorner=4pt,% |
|
}{ |
|
backgroundcolor=leer,% |
|
nobreak=true,% |
|
} |
|
|
|
\schattiertebox@genbefehl{schattierteboxdunn}{ |
|
splittopskip=0,% |
|
splitbottomskip=0,% |
|
frametitleaboveskip=0,% |
|
frametitlebelowskip=0,% |
|
skipabove=1\baselineskip,% |
|
skipbelow=1\baselineskip,% |
|
linewidth=1pt,% |
|
linecolor=black,% |
|
roundcorner=2pt,% |
|
}{ |
|
backgroundcolor=leer,% |
|
nobreak=true,% |
|
} |
|
|
|
\def\algorithm{\schattiertebox[backgroundcolor=hellgrau,nobreak=false]} |
|
\def\endalgorithm{\endschattiertebox} |
|
|
|
\def\tikzsetzenode#1{% |
|
\tikz[remember picture,baseline,overlay]{\node #1;}% |
|
} |
|
\def\tikzsetzepfeil#1{% |
|
\begin{tikzpicture}[remember picture,overlay,>=latex]% |
|
\draw #1;% |
|
\end{tikzpicture}% |
|
} |
|
\def\tikzsetzeoverlay#1{% |
|
\begin{tikzpicture}[remember picture,overlay,>=latex]% |
|
#1% |
|
\end{tikzpicture}% |
|
} |
|
\def\tikzsetzekreise[#1]#2#3{% |
|
\tikzsetzepfeil{% |
|
[rounded corners,#1]% |
|
([shift={(-\tabcolsep,0.75\baselineskip)}]#2)% |
|
rectangle% |
|
([shift={(\tabcolsep,-0.5\baselineskip)}]#3) |
|
}% |
|
} |
|
|
|
\tikzset{ |
|
>=stealth, |
|
auto, |
|
thick, |
|
main node/.style={ |
|
circle,draw,font=\sffamily\Large\bfseries,minimum size=0pt |
|
}, |
|
} |
|
|
|
%% ******************************************************************************** |
|
%% FILE: src/setup-layout.tex |
|
%% ******************************************************************************** |
|
|
|
\pagestyle{fancyplain} |
|
|
|
\@ifundefined{setcitestyle}{% |
|
%% do nothing |
|
}{% |
|
\setcitestyle{numeric-comp,open={[},close={]}} |
|
} |
|
\def\crefpairconjunction{ und } |
|
\def\crefmiddleconjunction{, } |
|
\def\creflastconjunction{, und } |
|
|
|
\raggedbottom %% <- pushes footers up |
|
\sloppy |
|
\def\headrulewidth{0pt} |
|
\def\footrulewidth{0pt} |
|
\setlength{\columnsep}{20pt} |
|
\setlength{\columnseprule}{1pt} |
|
\setlength{\headheight}{11pt} |
|
\setlength{\partopsep}{0pt} |
|
\setlength{\topsep}{\baselineskip} |
|
\setlength{\topskip}{0.5\baselineskip} |
|
\setlength{\footskip}{-1\baselineskip} |
|
\setlength{\maxdepth}{0pt} |
|
\renewcommand{\baselinestretch}{1} |
|
\renewcommand{\arraystretch}{1} |
|
\setcounter{LTchunksize}{\infty} |
|
\setlength{\abovedisplayskip}{0pt} |
|
\setlength{\parskip}{1\baselineskip} |
|
\def\firstparagraph{\noindent} |
|
\def\continueparagraph{\noindent} |
|
|
|
\hypersetup{ |
|
hidelinks=true, |
|
} |
|
|
|
\@addtoreset{chapter}{part} %% nötig für Hyperref. |
|
|
|
\def\partfont{\documentfont\fontseries{bx}\Huge\selectfont} |
|
\def\chapterfont{\documentfont\fontseries{bx}\huge\selectfont} |
|
\def\sectionfont{\documentfont\fontseries{bx}\Large\selectfont} |
|
\def\subsectionfont{\documentfont\fontseries{bx}\large\selectfont} |
|
|
|
\def\thepart{\Roman{part}} |
|
\generatenestedsecnumbering{arabic}{part}{chapter} |
|
\generatenestedsecnumbering{arabic}{chapter}{section} |
|
\generatenestedsecnumbering{arabic}{section}{subsection} |
|
\generatenestedsecnumbering{arabic}{subsection}{subsubsection} |
|
\def\theunitnamepart{\thepart} |
|
\def\theunitnamechapter{\theshortchapter} |
|
\def\theunitnamesection{\thelongsection} |
|
\def\theunitnamesubsection{\thelongsubsection} |
|
\def\theunitnamesubsubsection{\thelongsubsubsection} |
|
|
|
\def\partname{Teil\erlaubeplatz} |
|
\def\chaptername{Kapitel\erlaubeplatz} |
|
\def\sectionname{\S\erlaubeplatz} |
|
\def\subsectionname{} |
|
\def\subsubsectionname{} |
|
|
|
\let\appendix@orig\appendix |
|
\def\appendix{% |
|
\appendix@orig% |
|
\let\boolinappendix\boolwahr |
|
\addcontentsline{toc}{part}{\appendixname}% |
|
\addtocontents{toc}{\protect\setcounter{tocdepth}{0}} |
|
\def\sectionname{Appendix}% |
|
\def\theunitnamesection{\Alph{section}}% |
|
} |
|
\def\notappendix{% |
|
\let\boolinappendix\boolfalse |
|
\addtocontents{toc}{\protect\setcounter{tocdepth}{1 }} |
|
\def\sectionname{}% |
|
\def\theunitnamesection{\arabic{section}}% |
|
} |
|
|
|
%% \titlespacing{<sectionclassname>} |
|
%% {linker einzug}{platz oberhalb}{platz unterhalb}[rechter einzug] |
|
|
|
\titlespacing{\section}{0pt}{\baselineskip}{\baselineskip} |
|
\titlespacing{\subsection}{0pt}{\baselineskip}{\baselineskip} |
|
\titlespacing{\subsubsection}{0pt}{\baselineskip}{\baselineskip} |
|
\titlespacing{\paragraph}{0pt}{0pt}{1em} |
|
|
|
\titleformat{\part}[display] |
|
{\normalfont\headingfont\bfseries\Huge\centering} |
|
{% |
|
\ifthenelse{\equal{\partname}{}}{% |
|
\theunitnamepart% |
|
}{% |
|
\MakeUppercase{\partname}~\theunitnamepart% |
|
}% |
|
}{0pt}{% |
|
}[\thispagestyle{empty}] |
|
\titleformat{\chapter}[frame] |
|
{\normalfont\headingfont\bfseries\Large} |
|
{% |
|
\bedingtesspaceexpand{chaptername}{~}{\theunitnamechapter}% |
|
}{0.5em}{% |
|
}[\thispagestyle{empty}]%\titlerule%[2pt]% |
|
\titleformat{\section}[hang] |
|
{\normalfont\headingfont\bfseries\flushleft\large} |
|
{% |
|
\bedingtesspaceexpand{sectionname}{~}{\theunitnamesection}% |
|
}{0.5em} |
|
{% |
|
} |
|
[% |
|
\nvraum{0.25}% |
|
] |
|
\titleformat{\subsection}[hang] |
|
{\normalfont\headingfont\bfseries\flushleft\large} |
|
{% |
|
\bedingtesspaceexpand{subsectionname}{~}{\theunitnamesubsection}% |
|
}{0.5em} |
|
{% |
|
} |
|
[% |
|
\nvraum{0.25}% |
|
] |
|
\titleformat{\subsubsection}[hang] |
|
{\normalfont\headingfont\bfseries\flushleft\large} |
|
{% |
|
\bedingtesspaceexpand{subsubsectionname}{~}{\theunitnamesubsubsection}% |
|
}{0.5em} |
|
{% |
|
} |
|
[% |
|
\nvraum{0.25}% |
|
] |
|
|
|
\def\rafootnotectr{20} |
|
\def\incrftnotectr#1{% |
|
\addtocounter{#1}{1}% |
|
\ifnum\value{#1}>\rafootnotectr\relax |
|
\setcounter{#1}{0}% |
|
\fi% |
|
} |
|
\def\footnoteref[#1]{\protected@xdef\@thefnmark{\ref{#1}}\@footnotemark} |
|
\let\altfootnotetext\footnotetext |
|
\def\footnotetext[#1]#2{\incrftnotectr{footnote}\altfootnotetext[\value{footnote}]{\label{#1}#2}} |
|
\let\altfootnotemark\footnotemark |
|
%% Undesirable solution, as the text is not hyperlinked. |
|
\def\footnotemark[#1]{\text{\textsuperscript{\getrefnumber{#1}}}} |
|
|
|
\DefineFNsymbols*{custom}{abcdefghijklmnopqrstuvwxyz} |
|
\setfnsymbol{custom} |
|
\def\footnotelayout{\documentfont\scriptsize} |
|
\def\thefootnote{\fnsymbol{footnote}} |
|
|
|
\def\kopfzeileleer{ |
|
\lhead[]{} |
|
\chead[]{} |
|
\rhead[]{} |
|
\lfoot[]{} |
|
\cfoot[]{} |
|
\rfoot[]{} |
|
} |
|
\def\kopfzeiledefault{ |
|
\lhead[]{} |
|
\lhead[]{} |
|
\chead[]{} |
|
\rhead[]{} |
|
\lfoot[]{} |
|
\cfoot{\footnotesize\thepage} |
|
\rfoot[]{} |
|
} |
|
|
|
\DeclareRobustCommand\crfamily{\fontfamily{pcr}\selectfont} |
|
\def\headingfont{\fontfamily{cmss}\selectfont} |
|
\def\documentfancyfont{% |
|
\gdef\headingfont{\crfamily}% |
|
\fontfamily{ccr}\fontseries{m}\selectfont% |
|
} |
|
\def\documentfont{% |
|
\gdef\headingfont{\fontfamily{cmss}\selectfont}% |
|
\fontfamily{cmss}\fontseries{m}\selectfont% |
|
\renewcommand{\sfdefault}{phv}% |
|
\renewcommand{\ttdefault}{pcr}% |
|
\renewcommand{\rmdefault}{cmr}% <— funktionieren nicht mit {ptm} |
|
\renewcommand{\bfdefault}{bx}% |
|
\renewcommand{\itdefault}{it}% |
|
\renewcommand{\sldefault}{sl}% |
|
\renewcommand{\scdefault}{sc}% |
|
\renewcommand{\updefault}{n}% |
|
} |
|
|
|
\allowdisplaybreaks |
|
\let\altcleardoublepage\cleardoublepage |
|
\let\cleardoublepage\clearpage |
|
|
|
\def\startdocumentlayoutoptions{ |
|
\selectlanguage{ngerman} |
|
\setlength{\parskip}{0.5\baselineskip} |
|
\setlength{\parindent}{0pt} |
|
\kopfzeiledefault |
|
\documentfont |
|
\normalsize |
|
} |
|
|
|
\def\highlightTerm#1{\emph{#1}} |
|
|
|
%% ******************************************************************************** |
|
%% FILE: srclocal/setup-locallayout.tex |
|
%% ******************************************************************************** |
|
|
|
\def\theunitnamesection{\theshortsection} |
|
|
|
%% ******************************************************************************** |
|
%% FILE: srclocal/setup-localmacros.tex |
|
%% ******************************************************************************** |
|
|
|
%% **************************************************************** |
|
%% MATHE: |
|
%% **************************************************************** |
|
|
|
\def\cal#1{\mathcal{#1}} |
|
\def\reell{\mathbb{R}} |
|
\def\kmplx{\mathbb{C}} |
|
\def\Torus{\mathbb{T}} |
|
\def\rtnl{\mathbb{Q}} |
|
\def\intgr{\mathbb{Z}} |
|
|
|
\def\ntrl{\mathbb{N}} |
|
\def\ntrlpos{\mathbb{N}} |
|
\def\ntrlzero{\mathbb{N}_{0}} |
|
\def\reellNonNeg{\reell_{+}} |
|
|
|
\def\imageinh{\imath} |
|
\def\ReTeil{\mathop{\mathfrak{R}\text{\upshape e}}} |
|
\def\ImTeil{\mathop{\mathfrak{I}\text{\upshape m}}} |
|
|
|
\def\leer{\emptyset} |
|
\def\restr#1{\vert_{#1}} |
|
\def\ohne{\mathbin{\setminus}} |
|
\def\Pot{\mathop{\mathcal{P}}} |
|
\def\einser{\mathbf{1}} |
|
\def\supp{\mathop{\mathrm{supp}}} |
|
|
|
\def\brkt#1{\langle{}#1{}\rangle} |
|
\def\lsim{\mathop{\sim}} |
|
\def\lneg{\mathop{\neg}} |
|
\def\land{\mathop{\wedge}} |
|
\def\lor{\mathop{\vee}} |
|
|
|
\def\eps{\varepsilon} |
|
\let\altphi\phi |
|
\let\altvarphi\varphi |
|
\def\phi{\altvarphi} |
|
\def\varphi{\altphi} |
|
|
|
\def\vectorspacespan{\mathop{\text{\upshape Lin}}} |
|
\def\dim{\mathop{\text{\upshape dim}}} |
|
\def\det{\mathop{\text{\upshape det}}} |
|
\def\rank{\mathop{\text{\upshape Rang}}} |
|
\def\onematrix{\text{\upshape\bfseries I}} |
|
\def\zeromatrix{\text{\upshape\bfseries 0}} |
|
\def\zerovector{\text{\upshape\bfseries 0}} |
|
|
|
\def\graph{\mathop{\text{\upshape Gph}}} |
|
\def\domain{\mathop{\text{\upshape dom}}} |
|
\def\range{\mathop{\text{\upshape Bild}}} |
|
\def\ker{\mathop{\text{\upshape Kern}}} |
|
\def\functionspace{\mathop{\text{\upshape Abb}}} |
|
\def\id{\text{\upshape id}} |
|
\def\modfn{\mathop{\text{\upshape mod}}} |
|
\def\divides{\mathbin{\mid}} |
|
\def\ndivides{\mathbin{\nmid}} |
|
\def\ggT{\mathop{\text{\upshape ggT}}} |
|
\def\choose#1#2{\begin{smatrix}#1\\#2\\\end{smatrix}} |
|
|
|
\def\punktschema{ |
|
\footnotesize |
|
\hraum |
|
\begin{tabular}[mc]{|p{0.1\textwidth}|p{0.7\textwidth}|} |
|
\hline |
|
\multicolumn{2}{|l|}{{\bfseries NOTENSCHEMA}}\\ |
|
Punkte &Beschreibung\\ |
|
\hline |
|
\hline |
|
} |
|
\def\endpunktschema{ |
|
\hline |
|
\end{tabular} |
|
\hraum |
|
} |
|
|
|
\def\headingTeilaufgabe#1{ |
|
\uwave{{\bfseries\large Aufgabe #1}} |
|
} |
|
|
|
\makeatother |
|
|
|
\begin{document} |
|
\startdocumentlayoutoptions |
|
|
|
%% HAUPTTEXT: |
|
|
|
%% ******************************************************************************** |
|
%% FILE: body/index.tex |
|
%% ******************************************************************************** |
|
|
|
%% ******************************************************************************** |
|
%% FILE: body/A6.tex |
|
%% ******************************************************************************** |
|
|
|
%% AUFGABE 6 |
|
\let\altsectionname\sectionname |
|
\def\sectionname{Aufgabe} |
|
\setcounternach{section}{6} |
|
\section[]{(Klausur${}_{1}$, WiSe 2020/2021)} |
|
\label{ueb:1:ex:1} |
|
\let\sectionname\altsectionname |
|
|
|
Es sei $V\neq\{0\}$ ein Vektorraum über einem Körper, $K$. |
|
Eine lineare Abbildung ${\phi:V\to V}$ heißt dann \emph{stark kontrahierend}, |
|
wenn $\exists{n\in\ntrlpos:~}\phi^{n}=0(\cdot)$. |
|
|
|
%% ******************************************************************************** |
|
%% FILE: body/A6a.tex |
|
%% ******************************************************************************** |
|
|
|
%% AUFGABE 6a |
|
\headingTeilaufgabe{6a} |
|
|
|
\begin{claim*} |
|
Sei ${\phi:V\to V}$ linear. |
|
Dann gilt $\phi$ \emph{stark kontrahierend} $\Rightarrow$ $\phi$ nicht invertierbar. |
|
\end{claim*} |
|
|
|
Es gibt hierfür mehrere Ansätze. |
|
In jedem der u.\,s. Möglichkeiten fixieren wir ein $n\in\ntrlpos$, so dass $\phi^{n}=\zerovector$, |
|
und wir nehmen an, $\phi$ sei \emph{stark kontrahierend}. |
|
|
|
Als möglicherweise einfachste Ansätze kann man auf der Ebene von Abbildungen argumentieren. |
|
|
|
\setcounternach{enumi}{1} |
|
\begin{enumerate}{\bfseries {Ansatz} I.} |
|
\item |
|
\textbf{Zu zeigen}, $\phi$ sei nicht invertierbar. |
|
Angenommen, dies sei nicht der Fall. |
|
Aus \textbf{Lemma 6.3.2} im Skript (siehe insbes. den Beweis dort) |
|
ist die Menge der invertierbaren lineare Abbildungen |
|
unter „Multiplikation“ (d.\,h. Komposition) abgeschlossen. |
|
Darum sind |
|
$\phi$, $\phi^{2}=\phi\circ\phi$, $\phi^{3}=\phi\circ\phi^{2}$, \ldots\, |
|
alle invertierbar. |
|
Insbesondere muss $\phi^{n}(=0(\cdot))$ \fbox{invertierbar} sein. |
|
Da $V\neq\{\zerovector\}$ ist die $0(\cdot)$-Abbildung \fbox{nicht invertierbar}. |
|
Widerspuch! |
|
Also ist $\phi$ nicht invertierbar. |
|
\enndeOfProof |
|
\item |
|
Es reicht aus \textbf{zu zeigen}, dass $\phi$ nicht surjektiv ist. |
|
Angenommen, dies sei nicht der Fall. |
|
Aus \textbf{Satz 2.3.6(1)} im Skript (siehe insbes. den Beweis) |
|
sind surjektive Abbildungen unter Komposition abgeschlossen. |
|
Darum sind |
|
$\phi$, $\phi^{2}=\phi\circ\phi$, $\phi^{3}=\phi\circ\phi^{2}$, \ldots\, |
|
alle surjektiv. |
|
Insbesondere muss $\phi^{n}$ surjektiv sein. |
|
Da $\phi^{n}$ linear ist, muss also \fbox{$\range(\phi^{n})=V$} gelten. |
|
Da $\phi^{n}=0(\cdot)$, gilt aber $\range(\phi^{n})=\{\zerovector\}$. |
|
Darum muss $V=\{\zerovector\}$ gelten, was der Voraussetzung auf $V$ widerspricht. |
|
Darum haben wir einen Widerspruch erreicht. |
|
Also ist $\phi$ nicht surjektiv, w.z.z.w. |
|
\enndeOfProof |
|
\item |
|
Es reicht aus \textbf{zu zeigen}, dass $\phi$ nicht injektiv ist. |
|
Angenommen, dies sei nicht der Fall. |
|
Aus \textbf{Satz 2.3.6(1)} im Skript (siehe insbes. den Beweis) |
|
sind injektive Abbildungen unter Komposition abgeschlossen. |
|
Darum sind |
|
$\phi$, $\phi^{2}=\phi\circ\phi$, $\phi^{3}=\phi\circ\phi^{2}$, \ldots\, |
|
alle injektiv. |
|
Insbesondere muss $\phi^{n}$ injektiv sein. |
|
Da $\phi^{n}$ linear ist, muss also \fbox{$\ker(\phi^{n})=\{\zerovector\}$} gelten. |
|
Da $\phi^{n}=0(\cdot)$, gilt aber $\ker(\phi^{n})=V$ (weil $\phi^{n}(u)=\zerovector$ für alle $u\in V$). |
|
Darum muss $\{\zerovector\}=V$ gelten, was der Voraussetzung auf $V$ widerspricht. |
|
Darum haben wir einen Widerspruch erreicht. |
|
Also ist $\phi$ nicht injektiv, w.z.z.w. |
|
\enndeOfProof |
|
\end{enumerate} |
|
|
|
Als direkter Ansatz kann man auf der Ebene von Vektoren argumentieren |
|
und konstruktiv vorgehen. |
|
|
|
\begin{enumerate}{\bfseries {Ansatz} I.} |
|
\setcounternach{enumi}{4} |
|
\item |
|
Es reicht aus \textbf{zu zeigen}, dass $\ker(\phi)\neq\{\zerovector\}$, d.\,h. dass $\phi$ nicht injektiv ist. |
|
Wir zeigen dies direkt. |
|
Da $V\neq\{\zerovector\}$ existiert ein $v\in V\ohne\{\zerovector\}$. |
|
Betrachten wir die Elemente: |
|
|
|
\begin{mathe}[mc]{ccccc} |
|
(\zerovector\neq)v=\phi^{0}(v), |
|
&\phi^{1}(v), |
|
&\phi^{2}(v), |
|
&\ldots, |
|
&\phi^{n}(v)(=\zerovector)\\ |
|
\end{mathe} |
|
|
|
Dann existiert ein $k\in\ntrlzero$ mit $1\leq k<n$, |
|
so dass $\phi^{k}(v)\neq\zerovector$ und $\phi^{k+1}(v)=\zerovector$. |
|
(Man kann das auch so argumentieren: wähle $k\in\ntrlzero$ maximal mit $\phi^{k}(v)\neq\zerovector$. |
|
Dann muss $0\leq k<n$ gelten.) |
|
Setze $u:=\phi^{k}(v)$. Dann per Konstruktion gilt $u\in V\ohne\{\zerovector\}$ |
|
und $\phi(u)=\phi(\phi^{k}(v))=\phi^{k+1}(v)=\zerovector$. |
|
Also gilt $u\in\ker(u)\ohne\{\zerovector\}$. |
|
Darum $\ker(\phi)\neq\{\zerovector\}$, w.z.z.w. |
|
\enndeOfProof |
|
\end{enumerate} |
|
|
|
Die vielleicht schönsten Ideen kamen von zwei Studierenden |
|
und verwenden \emph{Dimension} bzw. \emph{Determinante}. |
|
|
|
\begin{enumerate}{\bfseries {Ansatz} I.} |
|
\setcounternach{enumi}{5} |
|
\item |
|
\textbf{Zu zeigen:} $\dim(\ker(\phi))>0$. |
|
(Anhand Elementarkenntnisse wissen wir, dass dies zu $\ker(\phi)\neq\{\zerovector\}$ äquivalent ist, |
|
was wiederum zu der Nichtinjektivität von $\phi$ äquivalent ist, |
|
was die Nichtinvertierbarkeit von $\phi$ impliziert.)\\ |
|
\forceindent |
|
O.\,E. können wir auch annehmen, dass $n$ \uline{minimal} gewählt wird, so dass $\phi^{n}=0(\cdot)$.\\ |
|
\textbf{Fall 1.} $n=1$. |
|
Dann gilt $\phi=\phi^{1}=0(\cdot)$, |
|
woraus sich $\ker(\phi)=V$ und $\dim(\ker(\phi))=\dim(V)>0$ ergibt, |
|
da $V\neq\{\zerovector\}$.\\ |
|
\textbf{Fall 2.} $n>1$. |
|
Dann gilt $\phi\circ\phi^{n-1}=\phi^{n}=0(\cdot)$, |
|
woraus sich \fbox{$\range(\phi^{n-1})\subseteq\ker(\phi)$}\textsuperscript{~($\ast$)} ergibt. |
|
Nun, wegen \uline{Minimalität} von $n$ kann $\phi^{n-1}=0(\cdot)$ \uline{nicht} gelten. |
|
Es gilt nun |
|
|
|
\begin{mathe}[mc]{rcl} |
|
\phi^{n-1}\neq 0(\cdot) |
|
&\Longrightarrow |
|
&\range(\phi^{n-1})\neq\{\zerovector\}\\ |
|
&\Longrightarrow |
|
&\dim(\range(\phi^{n-1}))>0\\ |
|
&\Longrightarrow |
|
&\dim(\ker(\phi))\geq\dim(\range(\phi^{n-1}))>0.\\ |
|
\end{mathe} |
|
|
|
In der letzten Aussage gilt die erste Ungleichung gilt wegen ($\ast$). |
|
|
|
Darum gilt in allen Fällen $\dim(\ker(\phi))>0$, wzzw. |
|
\enndeOfProof |
|
\item |
|
(Funktioniert nur, wenn $V$ endlich dimensional ist.) |
|
Sei $A$ eine Matrizendarstellung von $\phi$. |
|
\textbf{Zu zeigen:} $\det(A)=0$ (da $A$ invertierbar $\Leftrightarrow$ $\det(A)\neq 0$). |
|
Es gilt $\det(A)^{n}=\det(A^{n})=\det(\zeromatrix)=0$. |
|
Daraus folgt, dass $\det(A)=0$. |
|
\enndeOfProof |
|
\end{enumerate} |
|
|
|
\begin{punktschema} |
|
3 &Argument vollständig (=ausführlich) und logisch gültig.\\ |
|
\hdashline |
|
2 &Der Ansatz war richtig aber z.\,B.:\\ |
|
&er war nicht ausführlich (enthielt jedoch genug von dem nicht trivialen Teil);\\ |
|
&oder die Aufgabe war in (a) falsch, aber versteckteweise in (b) vorhanden (und zwar vollständig+gültig);\\ |
|
&oder er baute z.\,T. auf einem inkorrekt präsentierten Resultat |
|
(was dann z.\,B. auf die Ausführlichkeit eine Auswirkung hatte).\\ |
|
\hdashline |
|
1 &Ansatz enthielt eine richtige Idee, aber wurde nicht korrekt/ausführlich ausgeführt, |
|
od. man schließt die (nicht triviale) Lücke zw. Aussage über $\phi^{n}$ und Aussage über $\phi$ nicht\\ |
|
\hdashline |
|
0 &sonst.\\ |
|
\end{punktschema} |
|
|
|
{\footnotesize |
|
\textbf{Bemerkung.} |
|
Da es sich hier um die Bewertung von Argumentationen handelt, |
|
kann man in Wirklichkeit kein Schema festlegen. |
|
Stattdessen musste über die Qualität Urteile getroffen werden. |
|
In erster Linie kriegt man volle Punkte, wenn man |
|
vollständig (idealerweise auch ausführlich) + gültig + überzeugend |
|
argumentierte. |
|
Ab dann wurden anhand unterschiedlicher Defizite empirische Graduierungen implementiert. |
|
Wenn etwas unvollständig oder ungültig war, bekam der Versuch einen Abzug. |
|
Wenn etwas zu unordentlich oder inkohärent war, wurde meistens $0$ Pkt gegeben. |
|
(Hier ging es nicht um Handschrift, sondern um die Präsentation insgesamt, |
|
den Umgang mit technischen Mitteln |
|
und den Aufbau des Argumentes.) |
|
Dies wurde dennoch gespart, wenn die Argumentation eine richtige Idee enthielt. |
|
Es gab z.\,B. einen Fall, wo leider ein Denkfehler (ungültiger Schritt) vorlag, |
|
aber der Ansatz war sonst sauber aufgeschrieben, |
|
sodass der Versuch mindestens $1$ Pkt verdiente. |
|
} |
|
|
|
\clearpage |
|
|
|
%% ******************************************************************************** |
|
%% FILE: body/A6b.tex |
|
%% ******************************************************************************** |
|
|
|
%% AUFGABE 6b |
|
\headingTeilaufgabe{6b} |
|
|
|
\begin{claim*} |
|
Sei ${\phi:V\to V}$ linear und \emph{stark kontrahierend}. |
|
Sei $v\in V$ mit $v\neq\zerovector$ und $\phi(v)\neq\zerovector$. |
|
Dann gilt $\ker(\phi)\cap\range(\phi)\neq\{\zerovector\}$. |
|
\end{claim*} |
|
|
|
Beachte, dass (offensichtlich) |
|
$\zerovector\in\ker(\phi)$ |
|
und |
|
$\zerovector\in\range(\phi)$ |
|
gelten, sodass $\ker(\phi)\cap\range(\phi)\supseteq\{\zerovector\}$. |
|
Was wir also eigentlich in dieser Behauptung zeigen, ist |
|
$\ker(\phi)\cap\range(\phi)\supset\{\zerovector\}$ (strikte Inklusion), |
|
d.\,h. dass ein Element $u\in V\ohne\{\zerovector\}$ existiert, |
|
so dass \uline{dasselbe} Element $u$ sowohl in $\ker(\phi)$ |
|
als auch in $\range(\phi)$ liegt. |
|
|
|
Es gibt hierfür mehrere Ansätze. |
|
In jedem der u.\,s. Möglichkeiten fixieren wir ein $n\in\ntrlpos$, so dass $\phi^{n}=\zerovector$, |
|
und wir nehmen an, $\phi$ sei \emph{stark kontrahierend}. |
|
|
|
\begin{enumerate}{\bfseries {Ansatz} I.} |
|
\item |
|
\textbf{Zu zeigen:} Es gibt ein Element |
|
$u\in V\ohne\{\zerovector\}$ |
|
mit $u\in\ker(\phi)$ und $u\in\range(\phi)$. |
|
|
|
Um ein solches $u$ zu konstruieren, betrachten wir die Elemente: |
|
|
|
\begin{mathe}[mc]{ccccc} |
|
v=\phi^{0}(v), |
|
&\phi^{1}(v), |
|
&\phi^{2}(v), |
|
&\ldots, |
|
&\phi^{n}(v)(=\zerovector)\\ |
|
\end{mathe} |
|
|
|
Sei $k\in\ntrlzero$ \uline{minimal} mit $\phi^{k}(v)=\zerovector$. |
|
Da $\phi^{n}(v)=\zerovector$, ist dies wohldefiniert. |
|
Da |
|
$\phi^{0}(v)\neq\zerovector$ |
|
und |
|
$\phi^{1}(v)\neq\zerovector$, |
|
gilt $k\geq 2$.\\ |
|
\forceindent |
|
Darum können wir den Vektor, $u:=\phi^{k-1}(v)$ betrachten. |
|
Wegen \uline{Minimalität} von $k$ gilt $u\neq\zerovector$. |
|
Da $k\geq 2$, gilt $u=\phi(\phi^{k-2}(v))\in\range(\phi)$. |
|
Und per Wahl von $k$ gilt $\phi(u)=\phi(\phi^{k-1}(v))=\phi^{k}(v)=\zerovector$, |
|
sodass $u\in\ker(u)$ gilt. |
|
Darum haben wir ein passendes Element gefunden, |
|
und die Behauptung ist bewiesen. |
|
\enndeOfProof |
|
\item |
|
\textbf{Zu zeigen:} $\ker(\phi)\cap\range(\phi)\neq\{\zerovector\}$. |
|
|
|
Angenommen, dies sei nicht der Fall. |
|
Dann |
|
|
|
\begin{mathe}[mc]{rcl} |
|
\eqtag{$\star$} |
|
\ker(\phi)\cap\range(\phi) &= &\{\zerovector\}.\\ |
|
\end{mathe} |
|
|
|
Sei $k\in\ntrlzero$ \uline{minimal} mit $\phi^{k}(v)=\zerovector$. |
|
Da $\phi^{n}(v)=\zerovector$, ist dies wohldefiniert |
|
und per Voraussetzung auf $v$ gilt $k\geq 2$.\\ |
|
\forceindent |
|
Man betrachte nun $u:=\phi^{k-1}(v)$. |
|
Wegen \uline{Minimalität} von $k$ gilt $u\neq\zerovector$. |
|
Da $k\geq 2$, gilt $u=\phi(\phi^{k-2}(v))\in\range(\phi)$. |
|
Und per Wahl von $k$ gilt $\phi(u)=\phi(\phi^{k-1}(v))=\phi^{k}(v)=\zerovector$, |
|
sodass $u\in\ker(u)$ gilt. |
|
Darum |
|
$% |
|
u\in\ker(\phi)\cap\range(\phi)% |
|
\overset{(\star)}{=}\{\zerovector\}% |
|
$. |
|
Also $\phi^{k-1}(v)=u=\zerovector$, was ein Widerspruch zur \uline{Minimalität} von $k$ ist. |
|
Da wir einen Widerspruch erreicht haben, |
|
gilt doch $\ker(\phi)\cap\range(\phi)\neq\{\zerovector\}$. |
|
\enndeOfProof |
|
\end{enumerate} |
|
|
|
Beachte, dass diese Ansätze eigentlich äquivalent sind: |
|
in dem II. Ansatz haben wir das gesuchte Element in I konstruiert. |
|
Aber die Zielsetzungen sind anders. |
|
|
|
\begin{punktschema} |
|
3 &Argument vollständig (=ausführlich) und logisch gültig.\\ |
|
\hdashline |
|
2 &Fehlte was Kleines (aber Wichtiges), wie, |
|
explizit zu sagen/zeigen, |
|
dass $\phi^{k-1}(v)\in\range(\phi)$ |
|
oder dass $\phi^{k-1}(v)\in\ker(\phi)$ (aber wenn beides fehlten kriegt man natürlich weniger als $2$), |
|
oder dass $k\geq 2$ (was nötig ist, damit man $\phi^{k-1}(v)=\phi^{k-2}(v)$ schreiben darf). |
|
Oder man hat mit $k=n-1$ gearbeitet, obwohl das nicht unbedingt stimmt (außer man wählte $n$ minimal für $v$, aber das muss man dann sagen).\\ |
|
\hdashline |
|
1,5 &Der Ansatz enthielt eine richtige Idee, aber wurde nicht korrekt oder ausführlich ausgeführt. |
|
Es lag zumindest vor, dass man ein gemeinsames Element in $\ker(\phi)$ und im $\range(\phi)$ |
|
zeigen musste.\\ |
|
\hdashline |
|
1 &Der Ansatz enthielt eine richtige Idee, aber wurde nicht korrekt oder ausführlich ausgeführt. |
|
Unterschied zu 1,5: Entweder fehlte zu viel oder war an Stellen inkohärent.\\ |
|
\hdashline |
|
0 &sonst.\\ |
|
\end{punktschema} |
|
|
|
{\footnotesize |
|
\textbf{Bemerkung.} Hier lagen wiederum Schwierigkeiten vor, ein Schema festzulegen. |
|
Dafür wurde ähnliche Prinzipien angewandt wie in A6a (siehe Bemerkung dort). |
|
Spezifisch zu dieser Aufgabe konnte man folgendes Beobachten: |
|
|
|
\begin{kompaktitem} |
|
\item Denkfehler im Ansatz: |
|
Viele haben ein Element in $\ker(\phi)$ gesucht, |
|
dann eins in $\range(\phi)$, |
|
aber kein \uline{gemeinsames Element}. |
|
\item Technische Kleinigkeiten (die jedoch keine Lappalien sind): |
|
Damit man $\phi^{k-1}(v)$ und $\phi^{k-2}(v)$ überhaupt bilden darf, |
|
muss man \uline{begründen}, dass $k\geq 1$ bzw. $k\geq 2$. |
|
Ein sorgfältiger Umgang mit Randfällen und zu prüfen, dass etwas nicht jenseits eines Randes, |
|
sind allgemein wichtig in allen technischen Bereichen. |
|
\item Es schien für einige schwierig zu unterscheiden, |
|
wann etwas trivial war, |
|
und wann etwas explizit/ausführlich begründet werden soll. |
|
\item Manchmal argumentierte man für Ergebnisse, |
|
die schon in anderen Teilaufgaben vorhanden waren. |
|
So etwas weist darauf hin, |
|
dass man sich der Bedeutung der Resultate bzw. der Zusammenhänge nicht bewusst ist. |
|
Auch wenn eine Prüfung größtenteils sachlich ist, |
|
ist es dennoch sinnvoll, |
|
sich zu überlegen, wie die Teile einer Aufgabe aufeinander aufbauen |
|
und wie sie konzipiert sind. |
|
\end{kompaktitem} |
|
} |
|
|
|
\clearpage |
|
|
|
%% ******************************************************************************** |
|
%% FILE: body/A6c.tex |
|
%% ******************************************************************************** |
|
|
|
%% AUFGABE 6c |
|
\headingTeilaufgabe{6c} |
|
|
|
Hier müssen wir für $V=\reell^{2}$ ein lineares ${\phi:V\to V}$ konstruieren, |
|
so dass $\phi\neq 0(\cdot)$ |
|
und |
|
so dass $\phi$ \kurs{stark kontrahierend} ist. |
|
Äquivalent können wir eine passende |
|
Matrixdarstellung, $A\in M_{2\times 2}(\reell)$, |
|
konstruieren. |
|
|
|
Hier ein paar Möglichkeiten: |
|
|
|
\begin{kompaktitem} |
|
\item |
|
$A:=\begin{matrix}{cc} |
|
1 &-1\\ |
|
1 &-1\\ |
|
\end{matrix}$. |
|
Dann ist $A$ offensichtlich ungleich $\zeromatrix$ (die Nullmatrix). |
|
Und $A^{2}=\begin{matrix}{cc} |
|
0 &0\\ |
|
0 &0\\ |
|
\end{matrix}$, |
|
sodass $A$ (bzw. $\phi_{A}$) auch \kurs{stark kontrahierend} ist. |
|
\item |
|
$A:=\begin{matrix}{cc} |
|
0 &1\\ |
|
0 &0\\ |
|
\end{matrix}$. |
|
Dann ist $A$ offensichtlich ungleich $\zeromatrix$. |
|
Und $A^{2}=\begin{matrix}{cc} |
|
0 &0\\ |
|
0 &0\\ |
|
\end{matrix}$, |
|
sodass $A$ (bzw. $\phi_{A}$) auch \kurs{stark kontrahierend} ist. |
|
\end{kompaktitem} |
|
|
|
Es gibt natürlich viel mehr Möglichkeiten. |
|
|
|
\begin{punktschema} |
|
2 &Konstruktion beide Eigenschaften erfüllt + stark kontrahierend begründet.\\ |
|
\hdashline |
|
1 &Konstruktion beide Eigenschaften erfüllt, aber unbegründet.\\ |
|
\hdashline |
|
0 &Konstruktion erfüllt mind. eine der zwei Bedingungen nicht.\\ |
|
\end{punktschema} |
|
|
|
\clearpage |
|
|
|
%% ******************************************************************************** |
|
%% FILE: body/A6d.tex |
|
%% ******************************************************************************** |
|
|
|
%% AUFGABE 6d |
|
\headingTeilaufgabe{6d} |
|
|
|
Hier müssen wir für $V=\reell^{2}$ ein ${\phi:V\to V}$, |
|
so dass $\phi$ nicht invertierbar |
|
und so dass $\phi$ \uline{nicht} \kurs{stark kontrahierend} ist. |
|
Äquivalent können wir eine passende |
|
Matrixdarstellung, $A\in M_{2\times 2}(\reell)$, |
|
konstruieren. |
|
|
|
Hier ein paar Möglichkeiten: |
|
|
|
\begin{kompaktitem} |
|
\item |
|
$A:=\begin{matrix}{cc} |
|
1 &1\\ |
|
1 &1\\ |
|
\end{matrix}$. |
|
Da $\rank(A)=1$, ist $A$ nicht invertierbar. |
|
(Auch möglich: man weise darauf hin, dass die Spalten in $A$ nicht linear unabhängig sind.) |
|
Es gilt nun $A^{2}=\begin{matrix}{cc} |
|
2 &2\\ |
|
2 &2\\ |
|
\end{matrix}=2A$. |
|
Darum |
|
$A^{3} = A^{2}\cdot A = 2A\cdot A = 2\cdot A^{2} = 2\cdot 2A = 2^{2}A$, |
|
usw. |
|
Man sieht per Induktion, dass $A^{n}=2^{n}A\neq\zeromatrix$ für alle $n\in\ntrlpos$. |
|
Darum ist $A$ (bzw. $\phi_{A}$) \uline{nicht} \kurs{stark kontrahierend}. |
|
\item |
|
$A:=\begin{matrix}{cc} |
|
p &1-p\\ |
|
p &1-p\\ |
|
\end{matrix}$ |
|
für $p\in[0,1]$. |
|
Da $\rank(A)=1$, ist $A$ nicht invertierbar. |
|
(Auch möglich: man weise darauf hin, dass die Spalten in $A$ nicht linear unabhängig sind.) |
|
Es gilt nun $A^{2}=\begin{matrix}{cc} |
|
p &1-p\\ |
|
p &1-p\\ |
|
\end{matrix}=A$. |
|
Darum |
|
$A^{3} = A^{2}\cdot A = A\cdot A = A^{2} = A$, |
|
usw. |
|
Man sieht per Induktion, dass $A^{n}=A\neq\zeromatrix$ für alle $n\in\ntrlpos$. |
|
Darum ist $A$ (bzw. $\phi_{A}$) \uline{nicht} \kurs{stark kontrahierend}. |
|
\item |
|
$A:=\begin{matrix}{cc} |
|
1 &0\\ |
|
1 &0\\ |
|
\end{matrix}$. |
|
Da $\rank(A)=1$, ist $A$ nicht invertierbar. |
|
(Auch möglich: berechne Zeilenstufen form und begründe dadurch.) |
|
Es gilt nun $A^{2}=\begin{matrix}{cc} |
|
1 &0\\ |
|
1 &0\\ |
|
\end{matrix}=A$. |
|
Darum |
|
$A^{3}=A^{2}\cdot A = A\cdot A = A^{2}=A$, |
|
usw. |
|
Man sieht per Induktion, dass $A^{n}=A\neq\zeromatrix$ für alle $n\in\ntrlpos$. |
|
Darum ist $A$ (bzw. $\phi_{A}$) \uline{nicht} \kurs{stark kontrahierend}. |
|
\item |
|
$A:=\begin{matrix}{cc} |
|
1 &0\\ |
|
0 &0\\ |
|
\end{matrix}$. |
|
Da $\rank(A)=1$, ist $A$ nicht invertierbar. |
|
(Auch möglich: man weise darauf hin, dass die Spalten in $A$ nicht linear unabhängig sind.) |
|
Es gilt nun $A^{2}=\begin{matrix}{cc} |
|
1 &0\\ |
|
0 &0\\ |
|
\end{matrix}=A$. |
|
Darum |
|
$A^{3}=A^{2}\cdot A = A\cdot A = A^{2}=A$, |
|
usw. |
|
Man sieht per Induktion, dass $A^{n}=A\neq\zeromatrix$ für alle $n\in\ntrlpos$. |
|
Darum ist $A$ (bzw. $\phi_{A}$) \uline{nicht} \kurs{stark kontrahierend}. |
|
\end{kompaktitem} |
|
|
|
Es gibt natürlich viel mehr Möglichkeiten. |
|
|
|
\begin{punktschema} |
|
2 &Konstruktion erfüllt beide Eigenschaften + und 2 Eigenschaften begründet.\\ |
|
\hdashline |
|
1,5 &Konstruktion erfüllt beide Eigenschaften + und 1 Eigenschaft begründet.\\ |
|
\hdashline |
|
1 &Konstruktion erfüllt beide Eigenschaften + und 0 Eigenschaft begründet.\\ |
|
\hdashline |
|
0 &sonst.\\ |
|
\end{punktschema} |
|
|
|
{\footnotesize |
|
\textbf{Bemerkung.} |
|
Es gab keine Teilpunkte, wenn $A$ invertierbar war. |
|
Der Grund hierfür war, dass, |
|
\emph{auch wenn man die anderen Aufgaben nicht beweisen konnte}, |
|
man aus 6(a) hätte verstehen müssen, |
|
dass |
|
|
|
\begin{mathe}[mc]{rcl} |
|
\eqtag{$\star$} |
|
\text{stark kontrahierend} &\Longrightarrow &\text{nicht invertierbar}\\ |
|
\end{mathe} |
|
|
|
und damit trivialerweise |
|
|
|
\begin{mathe}[mc]{rcl} |
|
\text{invertierbar} &\Longrightarrow &\text{nicht stark kontrahierend}\\ |
|
\end{mathe} |
|
|
|
gelten. Der Zweck von Aufgabe 6(d) ist zu zeigen, |
|
dass die Implikation in ($\star$) strikt ist, und dass die Umkehrung von ($\star$): |
|
|
|
\begin{mathe}[mc]{rcl} |
|
\text{nicht invertierbar} &\Longrightarrow &\text{stark kontrahierend}\\ |
|
\end{mathe} |
|
|
|
nicht gilt. Dies zeigt man, indem man ein $\phi$ findet, die nicht invertierbar |
|
ist und nicht \emph{stark kontrahierend} ist. |
|
} |
|
|
|
\end{document}
|
|
|