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# Woche 8 #
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## Hinweise zu ÜB 8-1 ##
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Als Beispiel nehme ich die linearen Unterräume:
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U₁ = {x ∈ ℝ⁴ | x₁ + 3·x₂ = 4·x₃ + x₄},
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U₂ = {x ∈ ℝ⁴ | x₁ = 5·x₂ + 2·x₃ + x₄}.
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Sei x ∈ ℝ⁴. Dann gelten offensichtlich
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- x ∈ U₁ ⟺ x₁ + 3·x₂ - 4·x₃ - x₄ = 0 ⟺ A₁x = 0,
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- x ∈ U₂ ⟺ x₁ - 5·x₂ - 2·x₃ - x₄ = 0 ⟺ A₂x = 0,
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- x ∈ U₁∩U₂ ⟺ (x₁ + 3·x₂ - 4·x₃ - x₄ = 0 und x₁ - 5·x₂ - 2·x₃ - x₄ = 0) ⟺ A₃x = (0, 0)ᵀ,
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wobei
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- A₁ = die 1 x 4 Matrix
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(1 3 -4 -1),
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- A₂ = die 1 x 4 Matrix
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(1 -5 -2 1),
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- A₃ = die 2 x 4 Matrix
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(1 3 -4 -1)
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(1 -5 -2 1).
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1) Für U₁ haben wir also x ∈ U₁ ⟺ A₁x = 0.
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Nun ist A₁ bereits in Zeilenstufenform.
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Und hier sind x₂, x₃, x₄ frei.
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Das liefert uns erzeugende Elemente, indem wir diese jeweils auf 0 od. 1 setzen.
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u₁ = (-3, 1, 0, 0)ᵀ [hier setze man x₂=1, x₃=x₄=0]
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u₂ = ( 4, 0, 1, 0)ᵀ [hier setze man x₃=1, x₂=x₄=0]
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u₃ = ( 1, 0, 0, 1)ᵀ [hier setze man x₄=1, x₂=x₃=0]
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Diese sind offensichtlich linear unabhängig (wegen der disjunkten Ein und Ausschaltung von freien Variablen),
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und da nur x₂, x₃, x₄ in der allgemeinen Lösung frei sind, sind diese Vektoren erzeugend für U₁.
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Also ist {u₁, u₂, u₃} eine Basis für U₁.
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2) analog für eine Basisberechnung für U₂. Man bekommt als Basis
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{v₁, v₂, v₃}, wobei
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v₁ = ( 5, 1, 0, 0)ᵀ
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v₂ = ( 2, 0, 1, 0)ᵀ
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v₃ = (-1, 0, 0, 1)ᵀ.
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3) Für U₁∩U₂ gilt x ∈ U₁∩U₂ ⟺ A₃x = 0.
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In Zeilenstufenform wird A₃ zu
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A₃ ~~> (1 3 -4 -1)
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(0 8 -2 -2)
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Also sind x₃ und x₄ frei.
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Die Auflösung des LGS liefert uns erzeugende Elemente,
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indem wir die freien Variablen jeweils auf 0 od. 1 setzen:
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w₁ = (13/4, 1/4, 1, 0)ᵀ [hier setze man x₃=1, x₄=0]
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w₂ = ( 1/4, 1/4, 0, 1)ᵀ [hier setze man x₄=1, x₃=0]
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Wir können diese Vektoren beliebig skalieren.
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Es ist sinnvoll alles mit 4 zu multiplizieren und man erhält stattdessen:
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w₁ = (13, 1, 4, 0)ᵀ
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w₂ = ( 1, 1, 0, 4)ᵀ
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Diese sind offensichtlich linear unabhängig (wegen der disjunkten Ein und Ausschaltung von freien Variablen),
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und da nur x₃, x₄ in der allgemeinen Lösung frei sind, sind diese Vektoren erzeugend für U₁∩U₂.
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Also ist {w₁, w₂} eine Basis für U₁∩U₂.
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4) Für U₁ + U₂ erhält man mithilfe der oben berechneten Basen
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U₁ + U₂ = Lin{u₁, u₂, u₃} + Lin{v₁, v₂, v₃}
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= Lin{u₁, u₂, u₃, v₁, v₂, v₃}
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Darum ist {u₁, u₂, u₃, v₁, v₂, v₃} erzeugend für U₁ + U₂.
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Diese Vektoren sind aber nicht unbedingt linear unabhängig,
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also längst keine Basis. Wir führen das Gaußverfahren darauf,
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um auf eine maximale linear unabhängige Teilmenge davon zu kommen:
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(u₁ | u₂ | u₃ | v₁ | v₂ | v₃)
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( -3 4 1 5 2 -1 )
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= ( 1 0 0 1 0 0 ) · 3, + Z1
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( 0 1 0 0 1 0 )
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( 0 0 1 0 0 1 )
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( -3 4 1 5 2 -1 )
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~> ( 0 4 1 8 2 -1 )
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( 0 1 0 0 1 0 ) · -4, + Z2
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( 0 0 1 0 0 1 )
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( -3 4 1 5 2 -1 )
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~> ( 0 4 1 8 2 -1 )
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( 0 0 1 8 -2 -1 )
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( 0 0 1 0 0 1 ) · -1, + Z3
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( -3 4 1 5 2 -1 )
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~> ( 0 4 1 8 2 -1 )
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( 0 0 1 8 -2 -1 )
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( 0 0 0 8 -2 -2 )
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Die Stellen der Stufen weisen auf die linear unabhängigen Vektoren hin:
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{u₁, u₂, u₃, v₁} sind linear unabhängig und {v₂, v₃} hängen davon ab.
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Darum gilt
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U₁ + U₂ = Lin{u₁, u₂, u₃, v₁},
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sodass wegen linearer Unabhängigkeit {u₁, u₂, u₃, v₁} eine Basis ist.
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Da aber dim(V) = 4 = Anzahl der Basiselemente von U₁ + U₂,
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erhalten wir
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U₁ + U₂ = V.
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## Alternativ I für Teilaufgabe 8-1 (4) ##
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Man braucht nach dem Gaußverfahren keine Basiselemente aufzulisten.
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Es reicht sich den Zeilenrang anzuschauen, was gleich 4 ist,
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und da dim(V) = 4, erkennt man sofort, dass
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U₁ + U₂ = V.
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## Alternativ II für Teilaufgabe 8-1 (4) ##
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Man braucht die Aufstellung der Basiselemente und das Gaußverfahren eigentlich nicht. Laut Aufgabenstellung gelten
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U₁ = {x ∈ ℝ⁴ | x₁ + 3·x₂ - 4·x₃ - x₄ = 0} = {a₁}^⊥ = (Lin{a₁})^⊥,
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U₂ = {x ∈ ℝ⁴ | x₁ - 5·x₂ - 2·x₃ - x₄ = 0} = {a₂}^⊥ = (Lin{a₂})^⊥,
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wobei a₁ = (1,3,-4,-1)ᵀ und a₂ = (1,-5,-2,-1)ᵀ
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und damit gilt
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U₁ + U₂ = ((U₁ + U₂)^⊥)^⊥
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[hierfür braucht man ein Lemma (1)]
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= (U₁^⊥ ∩ U₂^⊥)^⊥
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[hierfür braucht man ein Lemma (2)]
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= (((Lin{a₁})^⊥)^⊥ ∩ ((Lin{a₂})^⊥)^⊥)^⊥
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= (Lin{a₁} ∩ Lin{a₂})^⊥
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[hier wird Lemma 1 wieder verwendet]
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= ({0})^⊥,
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da {a₁, a₂} offensichtlich lin unabh. sind,
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und damit gibt es kein gemeinsames Element
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in Lin{a₁} ∩ Lin{a₂} außer den Nullvektor
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= V, da alles in V zu 0 senkrecht steht.
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Dafür aber brauchen wir einiges über Skalarprodukte zu wissen.
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Man braucht folgende Definition und wie angedeutet zwei Lemmata:
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**Definition.** Sei V ein Vektorraum mit Skalarprodukt.
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Für jede Teilmenge, A ⊆ V, setze man A^⊥ := {x ∈ V | ∀y∈A: ⟨x, y⟩=0}.
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**Lemma 1.** Sei V ein endlich dimensionaler Vektorraum mit Skalarpodukt.
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Dann (U^⊥)^⊥ = U für alle Untervektorräume, U ⊆ V.
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(Für unendlich dimensionale Vektorräume brauchen wir den Begriff eines _abgeschlossenen Untervektorraums_.)
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**Lemma 2.** Sei V ein Vektorraum mit Skalarpodukt.
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Dann (U₁ + U₂)^⊥ = U₁^⊥ ∩ U₂^⊥ für alle Untervektorräume, U₁, U₂ ⊆ V.
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