5.2 KiB
§1. Linear oder nicht?
In folgenden Aufgaben wird eine Funktion φ : ℝ³ ⟶ ℝ² definiert. Bestimme in jedem Falle, ob φ linear ist.
a)
φ(x1, x2, x3) = ( 4·x1·x3 )
( 10·x2 )
Wenn φ linear wäre, dann müsste φ(2, 0, 2) = 2·φ(1, 0, 1) gelten. Aber:
φ(2, 0, 2) = (16, 0)ᵀ
2·φ(1, 0, 1) = 2·(4, 0)ᵀ = (8, 0)ᵀ ≠ φ(2, 0, 2)
Also ist φ nicht linear, weil Homogenität verletzt wird.
b)
φ(x1, x2, x3) = ( x3² )
( 0 )
Wenn φ linear wäre, dann müsste φ(0, 0, 8) = 8·φ(0, 0, 1) gelten. Aber:
φ(0, 0, 8) = (64, 0)ᵀ
8·φ(0, 0, 1) = 8·(1, 0)ᵀ = (8, 0)ᵀ ≠ φ(0, 0, 8)
Also ist φ nicht linear, weil Homogenität verletzt wird.
c)
φ(x1, x2, x3) = ( x3 )
( 0 )
--> linear
d)
φ(x1, x2, x3) = ( 0 )
( 0 )
--> linear
e)
φ(x1, x2, x3) = ( 4 )
( 0 )
Wenn φ linear wäre, dann müsste φ(0) = 0 gelten. [Siehe Lemma 6.1.2] Aber φ ist hier niemals der Nullvektor! Also ist φ nicht linear.
f)
φ(x1, x2, x3) = ( 10·x3 )
( -x2 + x1 )
linear!
g)
φ(x1, x2, x3) = ( 1 - 10·x3 )
( -x2 + x1 )
Wenn φ linear wäre, dann müsste φ(0) = 0 gelten. [Siehe Lemma 6.1.2] Aber φ(0) = (1, 0)ᵀ. Also ist φ nicht linear.
h)
φ(x1, x2, x3) = ( exp(-(7·x2 + 8·x1)) )
( 0 )
Wenn φ linear wäre, dann müsste φ(0) = 0 gelten. [Siehe Lemma 6.1.2] Aber φ(0) = (exp(0), 0)ᵀ = (1, 0)ᵀ. Also ist φ nicht linear.
§2. Aufgaben ähnlich zu ÜB 10-2
Seien A = (u1, u2, u3) und B = (v1, v2), wobei
u1 = (3, 0, 1)ᵀ
u2 = (0, -1, 0)ᵀ
u3 = (4, 0, 0)ᵀ
v1 = (4, 5)ᵀ
v2 = (0, 1)ᵀ
Beachte:
- A bildet eine Basis für ℝ³
- B bildet eine Basis für ℝ²
Sei nun φ : ℝ³ ⟶ ℝ² definiert durch
φ(x1, x2, x3) = ( 4·x1 - x3 )
( 10·x2 + x1 )
Zur Linearität
Seien
(x1,x2,x3), (x1',x2',x3') ∈ ℝ³
c, c' ∈ ℝ
Zu zeigen: φ(c(x1, x2, x3) +c'(x1',x2',x3')) = c·φ(x1, x2, x3) +c'·φ(x1',x2',x3')
Es gilt
l. S. = φ(c(x1, x2, x3) +c'(x1',x2',x3'))
= φ(c(x1·e1 + x2·e2 + x3·e3) +c'(x1'·e1 + x2'·e2 + x3'·e3))
= φ((c·x1 + c'·x1)·e1 + (c·x2 + c'·x2)·e2 + (c·x3 + c'·x3)·e3)
= φ(c·x1 + c'·x1', c·x2 + c'·x2', c·x3 + c'·x3')
= ( 4·(c·x1 + c'·x1') - (c·x3 + c'·x3') )
( 10·(c·x2 + c'·x2') + (c·x1 + c'·x1') )
= ( c·(4·x1 - x3) + c'·(4·x1' - x3') )
( c·(10·x2 + x1) + c'·(10·x2' + x1') )
= c·( 4·x1 - x3 ) + c'·( 4·x1' - x3' )
( 10·x2 + x1 ) ( 10·x2' + x1' )
= r. S.
Darum ist φ linear.
Darstellung
Zunächst beobachten wir:
φ(x1, x2, x3) = ( 4 0 -1 ) ( x1 )
( 1 10 0 ) ( x2 )
( x3 )
= C·x
= φ_C(x) siehe [Skript, Bsp 6.2.2],
wobei C die Matrix
C = ( 4 0 -1 )
( 1 10 0 )
ist.
Bemerkung. Den vorherigen Teil konnten wir hiermit viel einfacher machen: Da φ_C linear ist (siehe [Skript, Bsp 6.2.2]), ist φ = φ_C linear.
Zurück zur Berechnung der Darstellung...
Die zu berechnende Matrix M := M_A^B(φ), ist diejenige, die erfüllt:
- ist x der Form x = ∑ α_j·u_j = (α_j) <--- als Vektor über Basis A
- und ist M·(α_j) = (β_i) für einen Vektor (β_i) ∈ ℝ²
- dann gilt φ(x) = y, wobei y = ∑ β_i·v_i
Zusammengefasst ist M genau die Matrix, für die gilt:
B·M·α = φ(A·α)
für alle α ∈ ℝ³. Da φ = φ_C, ist die äquivalent zu
B·M·α = C·A·α
Kurzgesagt: M_A^B(φ) = B^-1 · C · A. Um dies zu bestimmen, wenden wir das Gaußverfahren auf folgendes augmentiertes System an
( B | C·A )
und reduzieren die linke Hälfte auf die Identitätsmatrix. Die resultierende Matrix in der rechten Hälfte wir dann M sein. Es gilt
C·A = ( 4 0 -1 ) (3 0 4)
( 1 10 0 ) (0 -1 0)
(1 0 0)
= ( 11 0 16 )
( 3 -10 4 )
Also ist das augmentiere System
( B | C·A )
= ( 4 0 | 11 0 16 )
( 5 1 | 3 -10 4 )
Zeile2 <- 4*Zeile2 - 5*Zeile1
~> ( 4 0 | 11 0 16 )
( 0 4 | -43 -40 -64 )
Zeile1 <- Zeile1 : 4
Zeile2 <- Zeile2 : 4
~> ( 1 0 | 11/4 0 4 )
( 0 1 | -43/4 -10 -16 )
Darum gilt
M_A^B(φ) = ( 11/4 0 4 )
( -43/4 -10 -16 )
§3. Lineare Fortsetzung von partiell definierten Funktionen
Sei φ : ℝ^5 ⟶ ℝ³
Seien u1, u2, u3, u4, u5 eine Basis für ℝ^5. Definiert werden
φ(u1) = v1, φ(u2) = v2, φ(u4) = v3
Aufgabe: Gibt es eine lineare Abbildung, die die o. s. Gleichungen erfüllen?
Antwort: Ja.
Beweis: Setze φ(u3) := 0 (Nullvektor) φ(u5) := 0 (Nullvektor)
Da u1, u2, u3, u4, u5 eine Basis ist, können wir für belieges x ∈ ℝ^5
φ(x) = ∑ c_i · φ(ui)
wobei c_1, c_2, .... die eindeutigen Werte im Körper ℝ sind, so dass
x = ∑ c_i · ui
gilt. Dann ist φ linear (zeige die Axiome!!). QED