linalg2020/notes/selbstkontrollenaufgaben.md

Fragen zur Selbstkontrolle

Hier eine zufällige Stichprobe von Fragen für die Klausurvorbereitung.

Verschiedene Fragen über Dimension

1. Sei V ein Vektorraum und 0 ∈ V der Nullvektor. Was ist dim({0}) ?
2. Sei V ein Vektorraum und u₁, u₂, u₃, u₄ ∈ V. Was sind mögliche Werte von dim(lin{u₁, u₂, u₃, u₄}) ?
3. Sei W ein Vektorraum über einem Körper K und U, V ⊆ W lineare Unterräume.
   • Wie wird der lineare Unterraum U + V definiert?
   • Wie verhalten sich dim(U) und dim(U+V)?
   • Wie verhalten sich dim(V) und dim(U+V)?
   • Wie verhalten sich dim(U+V) und dim(W)?
4. Gib die Dimensionsformel für Vektorräume an.
5. Seien W ein Vektorraum und U, V ⊆ W lineare Unterräume. Angenommen, dim(W) = 10 und dim(U) = 6 und dim(V) = 8. Was sind die möglichen Werte von dim(U ∩ V)?
6. Gib die Dimensionsformel für lineare Abbildungen an.
7. ρ : U ⟶ V sei eine injektive lineare Abbildung. Was können wir über dim(U) und dim(V) sagen?
8. Wie wird der Rang einer linearen Abbildung, ψ : U ⟶ V definiert?

Verschiedene Fragen über lineare Unterräume

1. Was sind die Axiome eines linearen Unterraums?
2. Seien U, V Vektorräume über einem Körper, K. Wie wird der Vektorraum U × V definiert?
3. Sei R ⊆ U × V eine Relation. Wie prüft man, ob R ein linearer Unterraum ist? (D. h. packe die Aussagen noch genauer aus, was in diesem Kontext zu zeigen wäre.)

Verschiedene Fragen über Basis

1. Gib eine Basis für den Vektorraum alle Polynome ≤ 4. Grades über ℝ an.
2. Gib eine Basis für den Vektorraum alle 3 x 4 Matrizen an. Was ist die Dimension dieses Vektorraums?
3. Was ist die Dimension des Vektorraums aller m x n Matrizen?
4. Wie bestimmt man die Basis des Lösungsraums einer Matrix?
5. Wie bestimmt man die Basis des Spaltenraums einer Matrix?

Verschiedene Fragen über axiomatische Relationstypen

1. Was sind die Axiome einer partiellen Ordnungsrelation?
2. Was muss zusätzlich gelten, damit eine partielle Ordnungsrelation eine lineare Ordnungsrelation (auch »total« genannt) ist?
3. Was sind die Axiome einer Äquivalenzrelation?

Verschiedene Aspekte von Beweisen

In jedem der Aufgaben (ohne sie die Beweise komplett auszuführen), bestimme, (1) was zu zeigen ist und (2) wie man einen Beweis strukturieren kann.

Aufgabe 1.

Sei W ein Vektorraum über einem Körper, K.
Seien U, V lineare Unterräume von W.
Zeige, dass U ∩ V ein lineare Unterraum von W ist.

Aufgabe 2.

Sei ψ : U ⟶ U eine lineare Abbildung, wobei U ein Vektorraum über Körper K ist.
Sei λ ∈ K.
Ein Vektor, x, heißt Eigenvektor mit Eigenwert λ, wenn ψ(x) = λx.
Zeige, dass ρ genau dann einen Eigenvektor mit Eigenwert λ besitzt, wenn dim(Kern(ψ - λ)) > 0.

(Hier bezeichnet ψ - λ die lineare Abbildung U ⟶ U, x ⟼ ψ(x) - λx.)