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Woche 12
A = [1, 2, -2, -1; 2, 0, -1, 1; 4, 3, 3, 1; 1, -2, 2, 3];
Quiz 11
A eine m x m Matrix, m = 4:
A = 1 2 -2 -1
2 0 -1 1
4 3 3 1
1 -2 2 3
in IF₅.
Zur Bestimmung der Invertierbarkeit: Gaußverfahren auf (A | I):
1 2 -2 -1 | 1 0 0 0
2 0 -1 1 | 0 1 0 0
4 3 3 1 | 0 0 1 0
1 -2 2 3 | 0 0 0 1
Zeile 2 <- Zeile 2 - 2·Zeile 1 Zeile 3 <- Zeile 3 - 4·Zeile 1 Zeile 4 <- Zeile 4 - Zeile 1
1 2 -2 -1 | 1 0 0 0
0 -4 3 3 | -2 1 0 0
0 -5 11 5 | -4 0 1 0
0 -4 4 4 | -1 0 0 1
—> modulo 5
1 2 3 4 | 1 0 0 0 0 1 3 3 | 3 1 0 0 0 0 1 0 | 1 0 1 0 0 1 4 4 | 4 0 0 1
Zeile 4 <- Zeile 4 - Zeile 2
1 2 3 4 | 1 0 0 0 0 1 3 3 | 3 1 0 0 0 0 1 0 | 1 0 1 0 0 0 1 1 | 1 4 0 1
(hier habe ich sofort mod 5 berechnet)
Zeile 4 <- Zeile 4 - Zeile 3
1 2 3 4 | 1 0 0 0 0 1 3 3 | 3 1 0 0 0 0 1 0 | 1 0 1 0 0 0 0 1 | 0 4 4 1
==> Rang(A) = 4 = m ==> A invertierbar
Zeile 1 <- Zeile 1 - 2·Zeile 2
1 0 -3 -2 |-5 -2 0 0 0 1 3 3 | 3 1 0 0 0 0 1 0 | 1 0 1 0 0 0 0 1 | 0 4 4 1
Zeile 1 <- Zeile 1 + 3·Zeile 3 Zeile 2 <- Zeile 2 - 3·Zeile 3
1 0 0 -2 |-2 -2 3 0 0 1 0 3 | 0 1 -3 0 0 0 1 0 | 1 0 1 0 0 0 0 1 | 0 4 4 1
Zeile 1 <- Zeile 1 + 2·Zeile 4 Zeile 2 <- Zeile 2 - 3·Zeile 4
1 0 0 0 | 3 1 1 2 0 1 0 0 | 0 4 0 2 0 0 1 0 | 1 0 1 0 0 0 0 1 | 0 4 4 1
===> A^-1 steht in der rechten Hälfte
A^-1 = 3 1 1 2
0 4 0 2
1 0 1 0
0 4 4 1
Lineare Ausdehnung
Aufgabe 1.
Seien
w1 = (1, 1, 0)ᵀ
w2 = (1, -1, 2)ᵀ
w3 = (0, 3, -1)ᵀ
v1 = ( 2, 1)ᵀ
v2 = (-1, 1)ᵀ
v3 = ( 1, 0)ᵀ
Gibt es eine lineare Abbildung, φ : IR^3 —> IR^2, so dass
φ(w1) = v1
φ(w2) = v2
φ(w3) = v3
gilt? Ist dies injektiv/surjektiv/bijektiv?
Antwort. {w1, w2, w3} eine Basis ~~~> Gaußverfahren auf (w1 w2 w3) und Rang berechnen (soll gleich 3 sein)! ==> ja! (Satz 6.1.13 aus VL)
- Nicht injektiv, weil Rang(φ) <= 2, aber 2 ≥ 3 gilt nicht.
- Surjektiv: Zz: Rang(φ) ≥ 2. φ = φ_A A = Darstellungsmatrix ....
- Bijektiv: nein, weil nicht injektiv.
Aufgabe 2.
Seien
w1 = (1, 1, 0)ᵀ
w2 = (1, -1, 2)ᵀ
v1 = ( 2, 1)ᵀ
v2 = (-1, 1)ᵀ
Gibt es eine lineare Abbildung, φ : IR^3 —> IR^2, so dass
φ(w1) = v1
φ(w2) = v2
gilt, und so dass φ injektiv ist? surjektiv? bijektiv?
Antwort.
-
{w1, w2} sind linear unabhängig (wiederum mit Gaußverfahren und Rang zeigen).
-
{w1, w2} können zu einer Basis von IR^3 ergänzt werden: {w1, w2, w3}
-
Setze v3 ∈ IR^2 beliebig
-
Satz der linearen Ausdehnung (6.1.13) wieder anwenden:
-
es gibt eine lineare Abb, φ, die
φ(w1) = v1 φ(w2) = v2 φ(w3) = v3
erfüllt.
- Bild(φ) = lin{v1,v2,v3} ⊇ lin{v1, v2} = IR^2, weil {v1, v2} eine Basis von IR^2. Also Bild(φ) = IR^2.
- Darum ist φ surjektiv.
-
-
Es gibt keine injektive (und damit keine bijektive) lin. Abb. φ von IR^3 nach IR^2, weil Rang(φ) <= 2, und 2 ≥ 3 gilt nicht.
Aufgabe 3a.
Seien
w1 = (1, 1, 0)ᵀ
w2 = (1, -1, 1)ᵀ
w3 = (2, 0, 1)ᵀ
v1 = ( 2, 1, 0)ᵀ
v2 = (-2, 1, 0)ᵀ
v3 = (1, 2, 0)ᵀ
Gibt es eine lineare Abbildung, φ : IR^3 —> IR^3, so dass
φ(w1) = v1
φ(w2) = v2
φ(w3) = v3
gilt, und so dass φ injektiv ist? surjektiv? bijektiv? nicht injektiv?
Antwort.
Beachte, {w1, w2, w3} ist nicht linear unabh. Es gilt
- {w1, w2} linear unabh
- w3 ∈ lin{w1, w2}, und zwar w3 = w1 + w2
- Aber v3 = v1 + v2.
Darum ist die Frage äquivalent zu derselben Frage, nur mit nur den ersten 2 Bedingungen, weil die 3. immer mit erfüllt sein wird, weil falls φ : IR^3 —> IR^3 linear und Bed. 1+2 erfüllt, so gilt Bedingung 3, weil
φ(w3) = φ(w1 + w2) = φ(w1) + φ(w2) = v1 + v2 = v3.
Ansatz:
- füge w3' hinzu, damit {w1,w2,w3'} eine Basis von IR^3 ist.
- v3' jetzt so wählen, dass φ surjektiv/injektiv ist.
Aufgabe 3b.
Seien
w1 = (1, 1, 0)ᵀ
w2 = (1, -1, 1)ᵀ
w3 = (2, 0, 1)ᵀ
v1 = ( 2, 1, 0)ᵀ
v2 = (-1, 1, 0)ᵀ
v3 = (1, 4, 0)ᵀ
Gibt es eine lineare Abbildung, φ : IR^3 —> IR^3, so dass
φ(w1) = v1
φ(w2) = v2
φ(w3) = v3
gilt, und so dass φ injektiv ist? surjektiv? bijektiv?
Antwort.
Beachte, {w1, w2, w3} ist nicht linear unabh. Es gilt
- {w1, w2} linear unabh
- w3 ∈ lin{w1, w2}, und zwar w3 = w1 + w2
- Aber v3 ≠ v1 + v2.
Darum kann es niemals eine lineare Abb geben, die alle 3 Bedingungen erfüllt, weil falls φ : IR^3 —> IR^3 linear ist und Bed. 1+2+3 erfüllt, so gilt
φ(w3) = φ(w1 + w2) = φ(w1) + φ(w2) = v1 + v2 ≠ v3.
D. h. Bedingung 3 wäre verletzt.
TODO Die o. s. Varianten (die letzteren) ausrechnen und hochladen.