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# Fragen zur Selbstkontrolle #
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Hier eine zufällige Stichprobe von Fragen für die Klausurvorbereitung.
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## Verschiedene Fragen über Dimension ##
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1. Sei V ein Vektorraum und 0 ∈ V der Nullvektor. Was ist dim({0}) ?
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2. Sei V ein Vektorraum und u₁, u₂, u₃, u₄ ∈ V. Was sind mögliche Werte von dim(lin{u₁, u₂, u₃, u₄}) ?
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3. Sei W ein Vektorraum über einem Körper K und U, V ⊆ W lineare Unterräume.
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- Wie wird der lineare Unterraum U + V definiert?
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- Wie verhalten sich dim(U) und dim(U+V)?
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- Wie verhalten sich dim(V) und dim(U+V)?
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- Wie verhalten sich dim(U+V) und dim(W)?
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4. Gib die **Dimensionsformel für Vektorräume** an.
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5. Seien W ein Vektorraum und U, V ⊆ W lineare Unterräume.
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Angenommen, dim(W) = 10 und dim(U) = 6 und dim(V) = 8.
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Was sind die möglichen Werte von dim(U ∩ V)?
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6. Gib die **Dimensionsformel für lineare Abbildungen** an.
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7. ρ : U ⟶ V sei eine injektive lineare Abbildung. Was können wir über dim(U) und dim(V) sagen?
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8. Wie wird der Rang einer linearen Abbildung, ψ : U ⟶ V definiert?
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## Verschiedene Fragen über lineare Unterräume ##
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1. Was sind die Axiome eines linearen Unterraums?
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2. Seien U, V Vektorräume über einem Körper, K. Wie wird der Vektorraum U × V definiert?
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3. Sei R ⊆ U × V eine Relation. Wie prüft man, ob R ein linearer Unterraum ist?
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(D. h. packe die Aussagen noch genauer aus, was in diesem Kontext zu zeigen wäre.)
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## Verschiedene Fragen über Basis ##
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1. Gib eine Basis für den Vektorraum alle Polynome ≤ 4. Grades über ℝ an.
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2. Gib eine Basis für den Vektorraum alle 3 x 4 Matrizen an. Was ist die Dimension dieses Vektorraums?
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3. Was ist die Dimension des Vektorraums aller m x n Matrizen?
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4. Wie bestimmt man die Basis des Lösungsraums einer Matrix?
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5. Wie bestimmt man die Basis des Spaltenraums einer Matrix?
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## Verschiedene Fragen über axiomatische Relationstypen ##
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1. Was sind die Axiome einer partiellen Ordnungsrelation?
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2. Was muss zusätzlich gelten, damit eine partielle Ordnungsrelation eine lineare Ordnungsrelation (auch »total« genannt) ist?
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3. Was sind die Axiome einer Äquivalenzrelation?
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## Verschiedene Aspekte von Beweisen ##
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In jedem der Aufgaben (ohne sie die Beweise komplett auszuführen), bestimme,
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(1) **was _zu zeigen_ ist** und (2) **wie man einen Beweis strukturieren kann**.
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### Aufgabe 1. ###
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Sei W ein Vektorraum über einem Körper, K.
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Seien U, V lineare Unterräume von W.
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Zeige, dass U ∩ V ein lineare Unterraum von W ist.
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### Aufgabe 2. ###
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Sei ψ : U ⟶ U eine lineare Abbildung, wobei U ein Vektorraum über Körper K ist.
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Sei λ ∈ K.
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Ein Vektor, x, heißt Eigenvektor mit Eigenwert λ, wenn ψ(x) = λx.
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Zeige, dass ρ genau dann einen Eigenvektor mit Eigenwert λ besitzt, wenn dim(Kern(ψ - λ)) > 0.
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(_Hier bezeichnet ψ - λ die lineare Abbildung U ⟶ U, x ⟼ ψ(x) - λx._)
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# Lösungen #
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## Verschiedene Fragen über Dimension ##
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1. 0
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2. 0, 1, 2, 3, 4
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3. .
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- U + V = { u+v | u ∈ U, v ∈ V }
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- U ⊆ U + V, ⟹ dim(U) ≤ dim(U + V)
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{u1, u2, ..., u_n} eine Basis für U
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{v1, v2, ..., v_m} eine Basis für V
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{u1, u2, ..., u_n, v_i1, ..., v_ir} eine Basis für U + V
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- V ⊆ U + V, ⟹ dim(V) ≤ dim(U + V)
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- U + V ⊆ W, ⟹ dim(U + V) ≤ dim(W)
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max{dim(U), dim(V)} ≤ dim(U + V) ≤ dim(W)
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4. dim(U + V) = dim(U) + dim(V) – dim(U ∩ V)
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5. 4,5,6. Dimensionsformel anwenden:
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dim(U ∩ V) = dim(U) + dim(V) - dim(U + V) = 6 + 8 - dim(U + V)
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max{dim(U), dim(V)} ≤ dim(U + V) ≤ dim(W)
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⟹ 8 ≤ dim(U + V) ≤ 10
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⟹ 6 + 8 - 10 ≤ 6 + 8 - dim(U + V) ≤ 6 + 8 - 8
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⟹ 4 ≤ dim(U ∩ V) ≤ 6
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6. für ϕ : U ⟶ V linear gilt dim(U) = dim(Kern(ϕ)) + dim(Bild(ϕ))
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7. für ρ : U ⟶ V linear, injektiv dim(U) ≤ dim(V)
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8. für ψ : U ⟶ V linear, definiert man Rang(ψ) = dim(Bild(ψ))
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## Verschiedene Fragen über lineare Unterräume ##
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1. W sei ein Vektorraum über einem Körper K. Sei U ⊆ W eine Teilmenge
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- NL: U ≠ Ø
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- ADD: U unter Addition stabil
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- SKM: U unter Skalarmultiplikation stabil
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oder
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- NL + LK: U unter linearen Kombinationen stabil:
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Seien u1, u2 ∈ U, und seien α1, α2 ∈ K.
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ZU ZEIGEN: α1·u1 + α2·u2 ∈ U.
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...
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...
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Also gilt α1·u1 + α2·u2 ∈ U.
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2. U × V:
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- Elemente: (u,v), u ∈ U, v ∈ V
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- Vektoraddition: (u,v) + (u',v') = (u+u', v+v')
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- Skalarmultiplikation: α·(u, v) = (α·u, α·v)
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3. Sei R ⊆ U × V. Dann R linearer Untervektorraum ⟺
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- NL: R ≠ Ø
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- LK:
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Seien (u1,v1), (u2,v2) ∈ R, und seien α1, α2 ∈ K.
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ZU ZEIGEN: α1·(u1,v1) + α2·(u2,v2) ∈ R,
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m. a. W. (α1·u1 + α2·u2, α1·v1 + α2·v2) ∈ R ist zu zeigen.
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...
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...
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Also gilt (α1·u1 + α2·u2, α1·v1 + α2·v2) ∈ R.
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## Verschiedene Fragen über Basis ##
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1. dim(·) = 5, eine Basis ist: 1, x, x^2, x^3, x^4
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2. eine Basis bilden bspw. { E_ij : 1≤i≤4, 1≤j≤3 }, also die 12 Matrizen
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( 1 0 0 0 ) ( 0 1 0 0 ) ( 0 0 0 0 )
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( 0 0 0 0 ), ( 0 0 0 0 ), ... ( 0 0 0 0 ).
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( 0 0 0 0 ) ( 0 0 0 0 ) ( 0 0 0 1 )
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3. m·n
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4. A sei die Matrix.
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- A —> Zeilenstufenform (am besten normalisiert, aber muss nicht sein)
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- anhand Zeilenstufenform Bestimme freie Unbekannten und schreibe Lösung für unfreie Unbekannten in Bezug auf freie auf.
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- 0-1 Trick (setze alle freie auf 0 und jeweils eine auf 1 (oder ≠ 0) ==> bestimme Lösung)
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- ---> diese bilden eine Basis des Lösungsraums, das heißt von {x | Ax=0}
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- **Zur Kontrolle:** prüfen, dass Ae = 0 für alle e in Basis
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- **Beachte:** dim(Kern(A)) = Größe dieser Basis.
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5. A sei die Matrix.
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- A —> Zeilenstufenform
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- merke die Stellen wo Treppen sind ---> entsprechende Spalten in A bilden eine Basis
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- **Beachte:** dim(Bild(A)) = Größe dieser Basis
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- **Zur Kontrolle:** prüfen, dass die Dimensformel für lineare Abbildungen gilt,
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d. h. dim(Kern(A)) + dim(Bild(A)) = dim(Inputvektorraum) = Anzahl der Spalten von A insgesamt
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## Verschiedene Fragen über axiomatische Relationstypen ##
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Testet selbst, dass ihr die Axiome kennt (oder wisst, wo im Skript sie zu finden sind)
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und wie ihr im Beweis mit ihnen umgeht / wie ihr die für eine gegeben konkrete Relation zeigt! 🙂
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## Verschiedene Aspekte von Beweisen ##
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### Aufgabe 1. ###
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Zu zeigen: (1) U ∩ V ≠ Ø,
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und (2) für u1, u2 ∈ U ∩ V und a, b ∈ K
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gilt a·u1 + b·u2 ∈ U ∩ V
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Zu (1):
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...
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...
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...
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also ist .... in U ∩ V
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also ist U ∩ V nicht leer.
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Zu (2): seien u1, u2 ∈ U ∩ V und a, b ∈ K.
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Dann
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...
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...
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...
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a·u1 + b·u2 ∈ U ∩ V.
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### Aufgabe 2. ###
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(⟹) Sei angenommen, .... [1. Aussage]. Zu zeigen: .... [2. Aussage].
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Also gilt [2. Aussage].
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(⟹) Sei angenommen, .... [2. Aussage]. Zu zeigen: .... [1. Aussage].
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...
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Also gilt [1. Aussage].
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