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Lineare Ausdehnung

Aufgabe 5b aus Klausur

i)

    v1=... w1=...
    v2=... w2=... wie in Aufgabe

    Wähle v3 = (1 0 0)
    Oder sage: „es gibt“ ein v3, so dass {v1,v2,v3} eine Basis von R^3 ist

    Wähle w3 in R^3 beliebig
    ⟹ ex. lin Abb φ : R^3 ⟶ R^3 (siehe Satz 6.1.13)
    mit
        φ(v1) = w1
        φ(v2) = w2
        φ(v3) = w3

ii) Wir wissen, dass {w1, w2} lin unabh.
    - also ex. w3 ∈ R^3 s. d. {w1, w2, w3} eine Basis von R^3 ist.
    - lin Abb φ : R^3 ⟶ R^3 wie vorher erzeugen.
    - bleibt zu zeigen, dass φ ein Isomorphismus ist.

    Zz: φ ist injektiv.
        [Dann folgt: φ bijektiv (weil VR beide 3-dimensional sind), also φ ein Isomorphismus.]
    Sei also x ∈ Kern(φ).
        Dann x = c1·v1 + c2·v2 + c3·v3
        Also 0 = φ(x) = c1·w1 + c2·w2 + c3·w3
        Also c1, c2, c3 = 0, weil {w1, w2, w3} eine Basis
        Also x = c1·v1 + c2·v2 + c3·v3 = 0.
    ⟹ Damit haben wir gezeigt, dass Kern(φ) = {0}
        (beachte, dass 0 immer im Kern ist)
    ⟹ φ injektiv.

    ODER

    Aus Korollar 6.1.15 folgt φ ein Iso, weil {w1, w2, w3} eine Basis ist.

iii) setze w3 = 0. Konstruiere φ wie oben.
    Dann erfüllt φ die erwünschten Eigenschaften.
    Und φ(v3) = w3 = 0, sodass Kern(φ) ≠ {0}, weil v3 ≠ 0.
    Darum ist φ nicht injektiv und damit kein Isomorphismus.

Zum Thema Rang <~~~> Inj/Surj

Wenn dim(W) = m, m eine endliche Zahl:

1.  φ injektiv  ⟺ Kern(φ) = {0}
                ⟺ dim(Kern(φ)) = 0
                ⟺ dim(Bild(φ)) = dim(V)
                ⟺ Rang(φ) = dim(V)
                ⟺ Rang(φ) ≥ dim(V)
   

    φ surjektiv ⟺ Bild(φ) = W
                ⟺ dim(Bild(φ)) = dim(W) (=m)
                ⟺ Rang(φ) = dim(W)
                ⟺ Rang(φ) ≥ dim(W)

Der Punkt? Wir können Rang(φ) berechnen.

Anwendung: z. B. wenn Bild(φ) = lin{w1, w2, ..., w_r} und {w1, w2, ..., w_r} lin unabh, dann gilt offensichtlich dim(Bild(φ)) = r.

Und falls wir nicht wissen, ob {w1, w2, ..., w_r} lin unabh ist, dann wissen wir dennoch mindestens, dass dim(Bild(φ)) ≤ r, weil wir eine Teilmenge aus ≤r Vektoren finden können, die eine Basis für Bild(φ) bilden.

MATRIZEN

Matrizen werden mal so in Bezug auf ihre Einträge folgendermaßen formal dargestellt:

A = ( a_ij ) eine m x n Matrix
B = ( b_ij ) eine m x n Matrix

Mit dieser Darstellung kann man dann Ergebnisse von algebraischen Operationen analog darstellen, wie z. B.

A + 5B = ( a_ij + 5b_ij ).

Seien

A = ( a_ij ) eine m x n Matrix
                    ¯
B = ( b_ij ) eine n x l Matrix
              ¯

Zur Matrixmultiplikation müssen die „innere Dimensionen“ übereinstimmen, um die Operation auszuführen (wenn die quadratisch sind, dann gilt das ohnehin). Es gilt

                         n
A·B = ( c_ij ), wobei c_ij = ∑ a_ik b_kj
                        k=1

Hingegen (solange m=l) gilt

                             l
B·A = ( d_ij ), wobei d_ij = ∑ b_ik a_kj
                            k=1

BEWEISE

d)

Behauptung. A,B ⊆ Y gilt f^-1(A∩B) = f^−1(A) ∩ f^−1(B).

Beweis.
(⊆) Sei x ∈ f^-1(A∩B) beliebig.
    Zu zeigen: x ∈ f^−1(A) ∩ f^−1(B).
    D. h. wir müssen zeigen,
    dass x ∈ f^−1(A) und x ∈ f^−1(B).

    Es gilt

        x ∈ f^-1(A∩B)
        ⟹ f(x) ∈ A ∩ B                 (per Definition von f^-1)
        ⟹ f(x) ∈ A und f(x) ∈ B
        ⟹ x ∈ f^-1(A) und x ∈ f^-1(B)  (per Definition von f^-1)

    Darum gilt x ∈ r. S.


(⊇) Sei x ∈ f^−1(A) ∩ f^−1(B).
    D. h. x ∈ f^−1(A) und x ∈ f^−1(B).
    Zu zeigen: x ∈ f^-1(A∩B).

    Es gilt

        x ∈ f^-1(A) und x ∈ f^-1(B)
        ⟹ f(x) ∈ A und f(x) ∈ B   (per Definition von f^-1)
        ⟹ f(x) ∈ A ∩ B
        ⟹ x ∈ f^-1(A∩B)           (per Definition von f^-1)

    Darum gilt x ∈ l. S.

QED.

Es seien U, V und W Vektorräume über einem Körper K. Seien φ: U → V und ψ : V → W lineare Abbildungen.

Beh. ψ ◦ φ injektiv ⟺ (φ injektiv ist + Kern(ψ) ∩ Bild(φ) = {0}).

Beweis.
    (⟹) Angenommen, ψ ◦ φ injektiv.
        Zu zeigen:
        i)  φ injektiv
        ii) Kern(ψ) ∩ Bild(φ) = {0}.

        Zu i): Zu zeigen: Kern(φ) = {0}.
        Sei also x ∈ U mit φ(x) = 0.
        Dann (ψ ◦ φ)(x) = ψ(φ(x)) = ψ(0) = 0.
        Also x ∈ Kern(ψ ◦ φ) und per ANNAHME Kern(ψ ◦ φ) = {0} (weil injektiv).
        Also x = 0.
        Darum haben wir gezeigt, dass Kern(φ) ⊆ {0}.
        Also Kern(φ) = {0} (weil 0 immer im Kern ist).

        Zu ii): Zu zeigen Kern(ψ) ∩ Bild(φ) ⊆ {0} ( ⊇  gilt immer, weil 0 immer im Kern und Bild ).
        Sei also x ∈ Kern(ψ) ∩ Bild(φ).
        Zu zeigen: x = 0.
        Also x ∈ Kern(ψ) und x ∈ Bild(φ).
        Also ψ(x) = 0 und x = φ(y) für ein y ∈ U.
        Also ψ(φ(y)) = 0.
        Also y ∈ Kern(ψ ◦ φ) und per ANNAHME Kern(ψ ◦ φ) = {0} (weil injektiv).
        Also y = 0.
        Also x = φ(y) = φ(0) = 0.

    (⟸) Angenommen,
        i)  φ injektiv
        ii) Kern(ψ) ∩ Bild(φ) = {0}
        Zu zeigen: ψ ◦ φ injektiv.

        Es reicht also aus zu zeigen, dass
            Kern(ψ ◦ φ) = {0}.
        Sei also x ∈ U mit (ψ ◦ φ)(x) = 0.
        Zu zeigen: x = 0.
            ...
            ... [Annahme i + ii iwo gebrauchen]
            ...
        Also x = 0.
QED