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# Woche 13 #
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## Bestimmung von invertierbaren Elementen und ihren Inversen ##
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Wir benutzen das Ergebnis
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k invertierbar in ℤ/n
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⟺ ggT(k, n) = 1
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⟺ k, n teilerfremd
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### Beispiel 1. ###
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In ℤ/10:
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k | 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
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k invertierbar? | x √ x √ x x x √ x √
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invertierbare Elemente: {1, 3, 7, 9}.
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### Beispiel 2. ###
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In ℤ/p sind alle Elemente außer 0 invertierbar. Wir berechnen die Inversen durch Ausprobieren
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und wir beachten
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- 0 hat kein Inverses
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- 1 invertiert sich selbst
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- für jedes x ≠ 0
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- x invertiert sich selbst, oder
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- ∃y ≠ x, so dass x, y einander invertieren.
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ℤ/2
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k | 0 1
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k¯¹ | - 1
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ℤ/3
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k | 0 1 2
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k¯¹ | - 1 2
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ℤ/5
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k | 0 1 2 3 4
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k¯¹ | - 1 3 2 4
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ℤ/7
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k | 0 1 2 3 4 5 6
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k¯¹ | - 1 4 5 2 3 6
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Den Vorgang des Ausprobieren können wir für
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ℤ/n verwenden, auch wenn n keine Primzahl ist.
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Es gibt nur 3 statt 2 Möglichkeiten:
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- x nicht invertierbar
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- x invertiert sich selbst
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- x invertiert durch ein y (und y invertiert durch x).
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ℤ/4
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k | 0 1 2 3
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k¯¹ | - 1 - 3
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ℤ/6
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k | 0 1 2 3 4 5
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k¯¹ | - 1 - - - 5
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