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Fragen zur Selbstkontrolle
Hier eine zufällige Stichprobe von Fragen für die Klausurvorbereitung.
Verschiedene Fragen über Dimension
- Sei V ein Vektorraum und 0 ∈ V der Nullvektor. Was ist dim({0}) ?
- Sei V ein Vektorraum und u₁, u₂, u₃, u₄ ∈ V. Was sind mögliche Werte von dim(lin{u₁, u₂, u₃, u₄}) ?
- Sei W ein Vektorraum über einem Körper K und U, V ⊆ W lineare Unterräume.
- Wie wird der lineare Unterraum U + V definiert?
- Wie verhalten sich dim(U) und dim(U+V)?
- Wie verhalten sich dim(V) und dim(U+V)?
- Wie verhalten sich dim(U+V) und dim(W)?
- Gib die Dimensionsformel für Vektorräume an.
- Seien W ein Vektorraum und U, V ⊆ W lineare Unterräume. Angenommen, dim(W) = 10 und dim(U) = 6 und dim(V) = 8. Was sind die möglichen Werte von dim(U ∩ V)?
- Gib die Dimensionsformel für lineare Abbildungen an.
- ρ : U ⟶ V sei eine injektive lineare Abbildung. Was können wir über dim(U) und dim(V) sagen?
- Wie wird der Rang einer linearen Abbildung, ψ : U ⟶ V definiert?
Verschiedene Fragen über lineare Unterräume
- Was sind die Axiome eines linearen Unterraums?
- Seien U, V Vektorräume über einem Körper, K. Wie wird der Vektorraum U × V definiert?
- Sei R ⊆ U × V eine Relation. Wie prüft man, ob R ein linearer Unterraum ist? (D. h. packe die Aussagen noch genauer aus, was in diesem Kontext zu zeigen wäre.)
Verschiedene Fragen über Basis
- Gib eine Basis für den Vektorraum alle Polynome ≤ 4. Grades über ℝ an.
- Gib eine Basis für den Vektorraum alle 3 x 4 Matrizen an. Was ist die Dimension dieses Vektorraums?
- Was ist die Dimension des Vektorraums aller m x n Matrizen?
- Wie bestimmt man die Basis des Lösungsraums einer Matrix?
- Wie bestimmt man die Basis des Spaltenraums einer Matrix?
Verschiedene Fragen über axiomatische Relationstypen
- Was sind die Axiome einer partiellen Ordnungsrelation?
- Was muss zusätzlich gelten, damit eine partielle Ordnungsrelation eine lineare Ordnungsrelation (auch »total« genannt) ist?
- Was sind die Axiome einer Äquivalenzrelation?
Verschiedene Aspekte von Beweisen
In jedem der Aufgaben (ohne sie die Beweise komplett auszuführen), bestimme, (1) was zu zeigen ist und (2) wie man einen Beweis strukturieren kann.
Aufgabe 1.
Sei W ein Vektorraum über einem Körper, K.
Seien U, V lineare Unterräume von W.
Zeige, dass U ∩ V ein lineare Unterraum von W ist.
Aufgabe 2.
Sei ψ : U ⟶ U eine lineare Abbildung, wobei U ein Vektorraum über Körper K ist.
Sei λ ∈ K.
Ein Vektor, x, heißt Eigenvektor mit Eigenwert λ, wenn ψ(x) = λx.
Zeige, dass ρ genau dann einen Eigenvektor mit Eigenwert λ besitzt, wenn dim(Kern(ψ - λ)) > 0.
(Hier bezeichnet ψ - λ die lineare Abbildung U ⟶ U, x ⟼ ψ(x) - λx.)
Lösungen
Verschiedene Fragen über Dimension
-
0
-
0, 1, 2, 3, 4
-
.
-
U + V = { u+v | u ∈ U, v ∈ V }
-
U ⊆ U + V, ⟹ dim(U) ≤ dim(U + V)
{u1, u2, ..., u_n} eine Basis für U {v1, v2, ..., v_m} eine Basis für V {u1, u2, ..., u_n, v_i1, ..., v_ir} eine Basis für U + V -
V ⊆ U + V, ⟹ dim(V) ≤ dim(U + V)
-
U + V ⊆ W, ⟹ dim(U + V) ≤ dim(W)
max{dim(U), dim(V)} ≤ dim(U + V) ≤ dim(W)
-
-
dim(U + V) = dim(U) + dim(V) – dim(U ∩ V)
-
4,5,6. Dimensionsformel anwenden:
dim(U ∩ V) = dim(U) + dim(V) - dim(U + V) = 6 + 8 - dim(U + V) max{dim(U), dim(V)} ≤ dim(U + V) ≤ dim(W) ⟹ 8 ≤ dim(U + V) ≤ 10 ⟹ 6 + 8 - 10 ≤ 6 + 8 - dim(U + V) ≤ 6 + 8 - 8 ⟹ 4 ≤ dim(U ∩ V) ≤ 6 -
für ϕ : U ⟶ V linear gilt dim(U) = dim(Kern(ϕ)) + dim(Bild(ϕ))
-
für ρ : U ⟶ V linear, injektiv dim(U) ≤ dim(V)
-
für ψ : U ⟶ V linear, definiert man Rang(ψ) = dim(Bild(ψ))
Verschiedene Fragen über lineare Unterräume
-
W sei ein Vektorraum über einem Körper K. Sei U ⊆ W eine Teilmenge
- NL: U ≠ Ø
- ADD: U unter Addition stabil
- SKM: U unter Skalarmultiplikation stabil
oder
-
NL + LK: U unter linearen Kombinationen stabil:
Seien u1, u2 ∈ U, und seien α1, α2 ∈ K. ZU ZEIGEN: α1·u1 + α2·u2 ∈ U. ... ... Also gilt α1·u1 + α2·u2 ∈ U.
-
U × V:
- Elemente: (u,v), u ∈ U, v ∈ V
- Vektoraddition: (u,v) + (u',v') = (u+u', v+v')
- Skalarmultiplikation: α·(u, v) = (α·u, α·v)
-
Sei R ⊆ U × V. Dann R linearer Untervektorraum ⟺
-
NL: R ≠ Ø
-
LK:
Seien (u1,v1), (u2,v2) ∈ R, und seien α1, α2 ∈ K. ZU ZEIGEN: α1·(u1,v1) + α2·(u2,v2) ∈ R, m. a. W. (α1·u1 + α2·u2, α1·v1 + α2·v2) ∈ R ist zu zeigen. ... ... Also gilt (α1·u1 + α2·u2, α1·v1 + α2·v2) ∈ R.
-
Verschiedene Fragen über Basis
-
dim(·) = 5, eine Basis ist: 1, x, x^2, x^3, x^4
-
eine Basis bilden bspw. { E_ij : 1≤i≤4, 1≤j≤3 }, also die 12 Matrizen
( 1 0 0 0 ) ( 0 1 0 0 ) ( 0 0 0 0 ) ( 0 0 0 0 ), ( 0 0 0 0 ), ... ( 0 0 0 0 ). ( 0 0 0 0 ) ( 0 0 0 0 ) ( 0 0 0 1 ) -
m·n
-
A sei die Matrix.
- A —> Zeilenstufenform (am besten normalisiert, aber muss nicht sein)
- anhand Zeilenstufenform Bestimme freie Unbekannten und schreibe Lösung für unfreie Unbekannten in Bezug auf freie auf.
- 0-1 Trick (setze alle freie auf 0 und jeweils eine auf 1 (oder ≠ 0) ==> bestimme Lösung)
- ---> diese bilden eine Basis des Lösungsraums, das heißt von {x | Ax=0}
- Zur Kontrolle: prüfen, dass Ae = 0 für alle e in Basis
- Beachte: dim(Kern(A)) = Größe dieser Basis.
-
A sei die Matrix.
- A —> Zeilenstufenform
- merke die Stellen wo Treppen sind ---> entsprechende Spalten in A bilden eine Basis
- Beachte: dim(Bild(A)) = Größe dieser Basis
- Zur Kontrolle: prüfen, dass die Dimensformel für lineare Abbildungen gilt, d. h. dim(Kern(A)) + dim(Bild(A)) = dim(Inputvektorraum) = Anzahl der Spalten von A insgesamt
Verschiedene Fragen über axiomatische Relationstypen
Testet selbst, dass ihr die Axiome kennt (oder wisst, wo im Skript sie zu finden sind) und wie ihr im Beweis mit ihnen umgeht / wie ihr die für eine gegeben konkrete Relation zeigt! 🙂
Verschiedene Aspekte von Beweisen
Aufgabe 1.
Zu zeigen: (1) U ∩ V ≠ Ø,
und (2) für u1, u2 ∈ U ∩ V und a, b ∈ K
gilt a·u1 + b·u2 ∈ U ∩ V
Zu (1):
...
...
...
also ist .... in U ∩ V
also ist U ∩ V nicht leer.
Zu (2): seien u1, u2 ∈ U ∩ V und a, b ∈ K.
Dann
...
...
...
a·u1 + b·u2 ∈ U ∩ V.
Aufgabe 2.
(⟹) Sei angenommen, .... [1. Aussage]. Zu zeigen: .... [2. Aussage].
...
...
...
Also gilt [2. Aussage].
(⟹) Sei angenommen, .... [2. Aussage]. Zu zeigen: .... [1. Aussage].
...
...
...
Also gilt [1. Aussage].