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# Allgemeine Tipps #
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- Vor der Klausur gut ausschlafen, denn sonst wird deine Wahrnehmung (+ Konzentration) beeinträchtigt.
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- Vor der Klausur ein eigene Zusammenfassung als Dokument od. Checkliste o. Ä. erstellen:
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- Hauptresultate (z. B. Dimensionsformel, wichtige Lemmata wie „φ inj ⟺ Κern(φ)={0}“) aufschreiben
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- od. Stellen im Skript „verlinken“ (Seite / Referenznr, damit du schnell aufschlagen kannst, um Details nachzuschlagen).
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- Tipps bzgl. häufigster zu vermeidender (v. a. persönlicher) Fehler, usw. aufschreiben.
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- Habt ein gutes System parat, um schnell die Dokument hochzuladen, damit ihr ggf. auch die Pufferzeit ausnutzen könnt.
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- Aufgabe auf getrennten Blättern.
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- Zeit aufteilen (z. B. 15 Minuten pro Aufgabe)
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- 2 Minuten sorgfältig durchlesen
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- (+ 2–5 Min) für Beweise, auch wenn man keinen detaillierten Ansatz hat, aber mindestens die Frage genug versteht,
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fange schon an, die Textstruktur aufzuschreiben.
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- wenn man nicht weiter weiß, Blatt frei lassen, später zurückkommen.
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- Ideal: versuche, insgesamt für die Aufgabe max 10–12 Minuten zu gebrauchen, damit ein paar Minuten zur Kontrolle übrig bleibt.
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- Während der Klausur auf die Zeit achten (aber dabei nicht in Panik geraten!).
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- Bei nicht zu begründenden Aufgaben (z. B. 1. Teil) versuche zu einem Punkt zu kommen, wo du dir „genügend“ sicher bist,
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dass deine Vorgehensweise richtig ist. Lass die super ausführliche Arbeit für später.
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Da hier keine Minuspunkte verteilt werden, lieber ein Versuch, der 80% richtig ist, als kein / ein abgebrochener Versuch.
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- Wenn du etwas konstruierst, das gewisse Bedingungen erfüllen sollen,
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gib dich nicht damit zufrieden, wenn du es konstruiert hast.
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Begründe, dass die Bedingungen erfüllt sind.
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- Achte darauf: wenn man von einer Annahme (X) auf eine Konklusion (Y) schließen soll,
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- es soll eine klare Brücke von logisch-mathematischen Schlüssen von X nach Y geschrieben werden;
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- wenn man nicht überall ausführlich sein kann, dann stelle sicher, dass du mindestens bei dem **nicht trivialen Schritt** in diesem Weg
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ausführlich bist;
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- es soll auf jeden Fall _sichtbar_ sein, dass diese Kette von Schlüssen etwas mit dem Ausgangspunkt (X) zu tun haben,
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und allmählich in etwas mit dem Ziel (Y) zu tun haben.
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Z. B. in A6 in der Klausur musst man von eine Bedingung über φⁿ auf eine Bedingung über φ kommen.
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Wenn im Beweis nirgends etwas über φⁿ richtig gebraucht wurde, dann ist der Ansatz
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womöglich ungültig, unvollständig, oder schlimmer: irrelevant zur Aufgabe.
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## Beispiele über Modulararithmetik ##
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Siehe [notes/berechnungen_wk13.md](./berechnungen_wk13.md), sowie Quiz 6.
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## Gleichungssysteme ##
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Siehe Quiz 1 und ÜB 1 Aufgabe 1.
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## Beispiel mit A4 ##
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Wenn man bei einer Aufgabe wie Aufgabe 4 in Klausur1 nicht weiter weiß,
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kann man mindestens (1) sich Gedanken machen _Was soll ich hier beweisen?_;
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und (2) die grobe Struktur des Beweises aufschreiben:
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- Hauptbehauptung auf kleinere Teile reduzieren.
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- Teile auf kleine „Ziele“ reduzieren.
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Z. B.
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```
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Seien V, W VR über K.
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Sei φ : V —> W eine Abb.
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Behauptung:
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φ linear ⟺ G ein lin. Teilraum von V x W
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Beweis.
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(⟹) Angenommen, φ sei linear.
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<---- [ ... Bemerkung: ich muss diese Annahme unten gebrauchen ... ]
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ZU ZEIGEN: G ein lin. Teilraum, d. h.
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(NL) G nicht die leere Menge.
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(LK) G unter linearen Kombinationen stabil.
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Unsere neuen Ziele sind also:
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ZU ZEIGEN 1: G nicht die leere Menge.
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Da φ(0) = 0, gilt (0, 0) ∈ G. Also G nicht leer.
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[ ... Bemerkung: jetzt machen, weil einfach ist ... ]
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ZU ZEIGEN 2: G unter linearen Kombinationen stabil.
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Seien (v₁,w₁), (v₂,w₂) ∈ G und α₁, α₂ ∈ K.
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Wir müssen zeigen α₁·(v₁,w₁) + α₂·(v₂,w₂) ∈ G.
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[ ... Bemerkung: komme ggf. später auf Aufgabe zurück ... ]
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[ ... man sollte auch aufschreib, was (v₁,w₁) ∈ G überhaupt bedeutet in Bezug auf φ ... ]
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(⟸) Angenommen, G ein lin. Teilraum.
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ZU ZEIGEN: φ linear, d. h.
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(LIN) für alle v₁, v₂ ∈ V und c₁, c₂ ∈ K
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φ(c₁v₁ + c₂v₂) = c₁φ(v₁) + c₂φ(v₂)
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Seien also v₁, v₂ ∈ V und c₁, c₂ ∈ K.
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Setze
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w1 = φ(v₁) }
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w2 = φ(v₂) } <--- [ diese Aussagen können wir bzgl. G schreiben ]
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w3 = φ(c₁v₁ + c₂v₂) }
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Wir müssen zeigen: w3 = c₁·w1 + c₂·w2.
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[ ... Bemerkung: komme ggf. später auf Aufgabe zurück ... ]
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[ ... da G in der Annahme ist, sollte man die Aussage auf eine Aussage in Bezug auf G transformieren ... ]
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QED
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```
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## Aufgabe 5a ##
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Input / Outputvektoren:
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v1 = (-1 1)ᵀ w1=(2 3)ᵀ
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v2 = (-1 2)ᵀ w2=(2 -2)ᵀ
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v3 = (0 -1)ᵀ w3=(0 5)ᵀ
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BEDINGUNGEN:
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1) φ(v1) = w1
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2) φ(v2) = w2
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3) φ(v3) = w3
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```
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Lösung
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EXISTENZ
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~~~~~~~~
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{v1, v2} ist eine Basis, weil lin. unabh. und dim(R^2)=2
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(—> schnelles Argument mit Gaußverf.)
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Laut Satz über lin. Ausd. im Skript (6.1.13) ex. eine (eindeutige) lin. Abb, die φ(v1)=w1 und φ(v2)=w2 erfüllt.
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(—> wegen der Eindeutigkeit im Satz gibt es insbes. maximal eine lineare Abbildung, die alle 3 Bedingungen erfüllt)
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Wir müssen prüfen, dass φ(v3) = w3 (automatisch) mit erfüllt ist.
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Beobachten: v3 = v1 – v2 also wegen Linearität
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φ(v3) = φ(v1) – φ(v2) = w1 – w2 = (0 5)ᵀ = w3
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Darum ex. ein lin. Abb, φ, die alle 3 Bedingungen erfüllt,
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nämlich die eben konstruirte Abbildung.
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```
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```
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EINDEUTIGKEIT
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~~~~~~~~~~~~~
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Angenommen, ψ sei eine lin. Abb., die Bedingungen 1)–3), erfüllt.
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Dann laut des oben zitierten Satzes müssen ψ und φ übereinstimmen,
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weil ψ, φ beide die ersten Bedingungen 1)+2) erfüllen
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und der Satz eine eindeutige lineare Abbildung liefert.
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```
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```
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ISOMORPHISMUS
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~~~~~~~~~~~~~
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Beobachte: φ ist eine lin. Abb. zw. V und V.
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Also gilt
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φ Isomorphismus
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⟺ φ lineare Abbildung + φ inj + φ surj
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per Definition von „Iso“
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⟺ φ surj
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weil φ linear und
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laut Korollar 6.1.11: φ inj ⟺ φ surjektiv
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⟺ Bild(φ) = V [wegen Lemma 6.1.4]
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⟺ dim(Bild(φ)) = dim(V)
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⟺ dim(Bild(φ)) ≥ dim(V) (**)
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Darum reicht es aus, (**) ZU ZEIGEN.
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Dafür müssen wir dim(Bild(φ)) berechnen (---> NEUES ZIEL)
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Wir wissen, dass
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Bild(φ) ⊇ lin{w1, w2, w3}
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Nun ist {w1, w3} linear unabhängig Darum
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dim(Bild(φ)) ≥ dim(lin{w1, w2, w3}) ≥ dim(lin{w1, w3}) = 2 wegen lin. Unabhängigkeit
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Also haben wir (**) gezeigt.
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Wie oben durch die doppelte Implikation erklärt wird,
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haben wir gezeigt, dass φ ein Isomorphismus ist.
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```
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## Aufgabe 6 ##
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A6a)
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Behauptung:
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φ erfüllt [Bedingung] ⟺ φ nicht inv.
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Beweis.
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Fixiere ein n ≥ 1, s. d. φ^n = 0 gilt.
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ZU ZEIGEN: φ hat kein Inverses (d. h. es gibt lin Abb ψ, so dass ψ ￮ φ = φ ￮ ψ = id).
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Angenommen, nicht. D. h. φ hat ein Inverses (d. h. ist bijektiv).
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Weil die Komposition zweier Bijektionen wiederum eine Bijektion ist,
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ist φ^2 = φ ￮ φ bijektiv,
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und φ^3 = φ^2 ￮ φ ebenfalls,
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und φ^4 = φ^3 ￮ φ ebenfalls,
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...
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Also per Induktion ist φ^n bijektiv.
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Aber φ^n = 0, was nicht bijektiv ist.
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Widerspruch!
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Darum gilt die Annahme nicht.
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Also ist φ nicht invertierbar.
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QED
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A6b)
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Behauptung:
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Angenommen, φ erfüllt [Bedingung]
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+ für ein v ∈ V gilt v ≠ 0 und φ(v) ≠ 0.
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Dann Kern(φ) ∩ Bild(φ) ≠ {0}.
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```
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```
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BEOBACHTUNG: {0} immer ⊆ Kern(φ) und Bild(φ).
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Also hier muss gezeigt werden:
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dass {0} ⊂ .... strikt,#
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d. h. dass es ein w ∈ V, w ≠ 0,
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so dass w im SCHNITT liegt, d. h.
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1) w ≠ 0,
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2) φ(w) = 0, <— „w im Kern“
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3) w = φ(u), u ∈ V <— „w im Bild“
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```
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Beweis (von Behauptung):
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Wir betrachten die Folge:
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0 ≠ v, 0 ≠ φ(v), φ(φ(v)), φ(φ(φ(v))), …, φ^n(v) = 0,
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Darum gibt es eine Übergangsstelle k, so dass
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φᵏ¯¹(v) ≠ 0 und φᵏ(v) = 0.
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Insbesondere gilt 2 ≤ k ≤ n, wegen der Voraussetzungen auf φ und v.
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Wir wählen nun w := φᵏ¯¹(v).
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Per Konstruktion gelten
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w = φᵏ¯¹(v) ≠ 0
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φ(w) = φ(φᵏ¯¹(v)) = φᵏ(v) = 0
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Das sind 1) + 2) oben. Es bleibt noch 3) zu zeigen.
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Da k ≥ 2, ist φᵏ¯²(v) ein wohldefiniertes Element in V
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und
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w = φᵏ¯¹(v) = φ(φᵏ¯²(v)).
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Also sind 1) + 2) + 3) erfüllt,
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und wir haben ein Element, w, im Kern(φ) und Bild(φ) gefunden,
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das ungleich 0 ist.
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Also Kern(φ) ∩ Bild(φ) ≠ {0}.
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QED
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```
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A6c)
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Finde φ so, dass φ [Bedingung] und φ ≠ 0 gellten.
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Arbeite mit Matrizendarstellung.
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A = ( 0 1 )
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( 0 0 ) [ ... geschicktes Ausprobieren: siehe Aufnahme ... ]
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- Es gilt A ≠ 0
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- Es gilt A² = 0, sodass A stark kontrahierend ist.
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Wir haben durch diese Matrizendarstellung
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somit eine lineare Abbildung konstruiert,
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die beide Bedingungen erfüllt (und diese begründet).
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A6d)
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Finde φ so, dass φ nicht [Bedingung] und φ nicht inv.
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BEOBACHTUNG: Wir zeigen damit dass der Umkehrschluss zu (a), also
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φ nicht inv ⟹ φ erfüllt [Bedingung],
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nicht gültig sei.
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Arbeite mit Matrizendarstellung (weil lin. Abb mit Matrizen identifiert werden können).
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A = ( 1 1 )
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( 1 1 ) [ ... geschicktes Ausprobieren: siehe Aufnahme ... ]
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- A hat lin. abh. Spalten, also nicht inv.
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- A^n hat nur positive Einträge, also wird niemals A^n = 0 gelten für n ≥ 1.
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Wir haben durch diese Matrizendarstellung
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somit eine lineare Abbildung konstruiert,
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die beide Bedingungen erfüllt (und diese begründet).
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