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Woche 8
Hinweise zu ÜB 8-1
Als Beispiel nehme ich die linearen Unterräume:
U₁ = {x ∈ ℝ⁴ | x₁ + 3·x₂ = 4·x₃ + x₄},
U₂ = {x ∈ ℝ⁴ | x₁ = 5·x₂ + 2·x₃ + x₄}.
Sei x ∈ ℝ⁴. Dann gelten offensichtlich
- x ∈ U₁ ⟺ x₁ + 3·x₂ - 4·x₃ - x₄ = 0 ⟺ A₁x = 0,
- x ∈ U₂ ⟺ x₁ - 5·x₂ - 2·x₃ - x₄ = 0 ⟺ A₂x = 0,
- x ∈ U₁∩U₂ ⟺ (x₁ + 3·x₂ - 4·x₃ - x₄ = 0 und x₁ - 5·x₂ - 2·x₃ - x₄ = 0) ⟺ A₃x = (0, 0)ᵀ,
wobei
-
A₁ = die 1 x 4 Matrix
(1 3 -4 -1), -
A₂ = die 1 x 4 Matrix
(1 -5 -2 1), -
A₃ = die 2 x 4 Matrix
(1 3 -4 -1) (1 -5 -2 1).
-
Für U₁ haben wir also x ∈ U₁ ⟺ A₁x = 0. Nun ist A₁ bereits in Zeilenstufenform. Und hier sind x₂, x₃, x₄ frei. Das liefert uns erzeugende Elemente, indem wir diese jeweils auf 0 od. 1 setzen.
u₁ = (-3, 1, 0, 0)ᵀ [hier setze man x₂=1, x₃, x₄=0] u₂ = ( 4, 0, 1, 0)ᵀ [hier setze man x₃=1, x₂, x₄=0] u₃ = ( 1, 0, 0, 1)ᵀ [hier setze man x₄=1, x₂, x₃=0]Diese sind offensichtlich linear unabhängig (wegen der disjunkten Ein und Ausschaltung von freien Variablen), und da nur x₂, x₃, x₄ in der allgemeinen Lösung frei sind, sind diese Vektoren erzeugend für U₁. Also ist {u₁, u₂, u₃} eine Basis für U₁.
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analog für eine Basisberechnung für U₂. Man bekommt als Basis {v₁, v₂, v₃}, wobei
v₁ = ( 5, 1, 0, 0)ᵀ v₂ = ( 2, 0, 1, 0)ᵀ v₃ = (-1, 0, 0, 1)ᵀ. -
Für U₁∩U₂ gilt x ∈ U₁∩U₂ ⟺ A₃x = 0. In Zeilenstufenform wird A₃ zu
A₃ ~~> (1 3 -4 -1) (0 8 -2 -2)Also sind x₃ und x₄ frei. Die Auflösung des LGS liefert uns erzeugende Elemente, indem wir die freien Variablen jeweils auf 0 od. 1 setzen:
w₁ = (13/4, 1/4, 1, 0)ᵀ [hier setze man x₃=1, x₄=0] w₂ = ( 1/4, 1/4, 0, 1)ᵀ [hier setze man x₄=1, x₃=0]Wir können diese Vektoren beliebig skalieren. Es ist sinnvoll alles mit 4 zu multiplizieren und man erhält stattdessen:
w₁ = (13, 1, 4, 0)ᵀ w₂ = ( 1, 1, 0, 4)ᵀDiese sind offensichtlich linear unabhängig (wegen der disjunkten Ein und Ausschaltung von freien Variablen), und da nur x₃, x₄ in der allgemeinen Lösung frei sind, sind diese Vektoren erzeugend für U₁∩U₂. Also ist {w₁, w₂} eine Basis für U₁∩U₂.
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Für U₁ + U₂ erhält man mithilfe der oben berechneten Basen
U₁ + U₂ = Lin{u₁, u₂, u₃} + Lin{v₁, v₂, v₃} = Lin{u₁, u₂, u₃, v₁, v₂, v₃}Darum ist {u₁, u₂, u₃, v₁, v₂, v₃} erzeugend für U₁ + U₂. Diese Vektoren sind aber nicht unbedingt linear unabhängig, also längst keine Basis. Wir führen das Gaußverfahren darauf, um auf eine maximale linear unabhängige Teilmenge davon zu kommen:
(u₁ | u₂ | u₃ | v₁ | v₂ | v₃) ( -3 4 1 5 2 -1 ) = ( 1 0 0 1 0 0 ) ·3, + Z1 ( 0 1 0 0 1 0 ) ( 0 0 1 0 0 1 ) ( -3 4 1 5 2 -1 ) ~> ( 0 4 1 8 2 -1 ) ( 0 1 0 0 1 0 ) · -4, + Z2 ( 0 0 1 0 0 1 ) ( -3 4 1 5 2 -1 ) ~> ( 0 4 1 8 2 -1 ) ( 0 0 1 8 -2 -1 ) ( 0 0 1 0 0 1 ) · -1, + Z3 ( -3 4 1 5 2 -1 ) ~> ( 0 4 1 8 2 -1 ) ( 0 0 1 8 -2 -1 ) ( 0 0 0 8 -2 -2 )Die Stellen der Stufen weisen auf die linear unabhängigen Vektoren hin: {u₁, u₂, u₃, v₁} sind linear unabhängig und {v₂, v₃} hängen davon ab. Darum gilt
U₁ + U₂ = Lin{u₁, u₂, u₃, v₁},sodass wegen linearer Unabhängigkeit {u₁, u₂, u₃, v₁} eine Basis ist. Da aber dim(V) = 4 = Anzahl der Basiselemente von U₁ + U₂, erhalten wir
U₁ + U₂ = V.
Alternativ I für Teilaufgabe 8-1 (4)
Man braucht nach dem Gaußverfahren keine Basiselemente aufzulisten. Es reicht sich den Zeilenrang anzuschauen, was gleich 4 ist, und da dim(V) = 4, erkennt man sofort, dass
U₁ + U₂ = V.
Alternativ II für Teilaufgabe 8-1 (4)
Man braucht die Aufstellung der Basiselemente und das Gaußverfahren eigentlich nicht. Laut Aufgabenstellung gelten
U₁ = {x ∈ ℝ⁴ | x₁ + 3·x₂ = 4·x₃ + x₄}
= {a₁}^⊥, wobei a₁ = (1,3,-4,-1)ᵀ
= (Lin{a₁})^⊥,
U₂ = {x ∈ ℝ⁴ | x₁ = 5·x₂ + 2·x₃ + x₄}
= {a₂}^⊥, wobei a₂ = (1,-5,-2,-1)ᵀv
= (Lin{a₂})^⊥,
und damit gilt
U₁ + U₂ = ((U₁ + U₂)^⊥)^⊥
[hierfür braucht man ein Lemma (1)]
= (U₁^⊥ ∩ U₂^⊥)^⊥
[hierfür braucht man ein Lemma (2)]
= (((Lin{a₁})^⊥)^⊥ ∩ ((Lin{a₂})^⊥)^⊥)^⊥
= (Lin{a₁} ∩ Lin{a₂})^⊥
[hier wird Lemma 1 wieder verwendet]
= ({0})^⊥,
da {a₁, a₂} offensichtlich lin unabh. sind,
und damit gibt es kein gemeinsames Element
in Lin{a₁} ∩ Lin{a₂} außer den Nullvektor
= V, da alles in V zu 0 senkrecht steht.
Dafür aber brauchen wir einiges über Skalarprodukte zu wissen. Man braucht folgende Definition und wie angedeutet zwei Lemmata:
Definition. Sei V ein Vektorraum mit Skalarprodukt. Für jede Teilmenge, A ⊆ V, setze man A^⊥ := {x ∈ V | ∀y∈A: ⟨x, y⟩=0}.
Lemma 1. Sei V ein endlich dimensionaler Vektorraum mit Skalarpodukt. Dann (U^⊥)^⊥ = U für alle Untervektorräume, U ⊆ V. (Für unendlich dimensionale Vektorräume brauchen wir den Begriff eines abgeschlossenen Untervektorraums.)
Lemma 2. Sei V ein Vektorraum mit Skalarpodukt. Dann (U₁ + U₂)^⊥ = U₁^⊥ ∩ U₂^⊥ für alle Untervektorräume, U₁, U₂ ⊆ V.