linalg2020/notes/berechnungen_wk10.md

Aufgabe ähnlich wie ÜB9-1

U = lin{u1, u2} V = lin{v1, v2, v3}

U ⊆ V ?

Beispiel 1

u1 = (1 1 0 0)ᵀ u2 = (-1 1 0 0)ᵀ

v1 = (4 0 0 0)ᵀ v2 = (1 4 0 0)ᵀ v3 = (1 0 1 0)ᵀ

Anmerkung: lin{u1, u2} ⊆ lin{v1, v2, v3} <===> u1, u2 ∈ lin{v1, v2, v3}

Setze A := (v1 v2 v3 u1 u2) ---> auf Zeilenstufenform reduzieren ---> zeigen, dass in homogenen LGS Ax = 0 x4 und x5 freie Unbekannte sind. ---> ja ---> lin{u1, u2} ⊆ lin{v1, v2, v3}

Beispiel 2

u1 = (1 1 0 1)ᵀ u2 = (-1 1 0 0)ᵀ

v1 = (4 0 0 0)ᵀ v2 = (1 4 0 0)ᵀ v3 = (1 0 1 0)ᵀ

Setze A := (v1 v2 v3 u1 u2) ---> auf Zeilenstufenform reduzieren ---> zeigen, dass in homogenen LGS Ax = 0 x4 und x5 freie Unbekannte sind. ---> nein ---> also lin{u1, u2} ⊈ lin{v1, v2, v3}

Basis von V/U

--> Beispiel 1.

u1 = (1 1 0 0)ᵀ u2 = (-1 1 0 0)ᵀ

v1 = (4 0 0 0)ᵀ v2 = (1 0 1 0)ᵀ v3 = (1 4 0 0)ᵀ

Schreibweise für Äquivalenzklassen: [v] = v + U --> die Elemente in V/U

Setze A := (u1 u2 v1 v2 v3) ---> auf Zeilenstufenform reduzieren ---> bestimmen, welche Variablen frei / unfrei sind ---> bestimme die Basis durch die Spalten, die den unfreien Variablen entsprechen ---> x3, x5 sind frei x1, x2, x4 nicht frei ---> v2 + U (entspricht x4) bildet eine Basis

SKA 9-5

Basis für U: u1 = (1 1 0)ᵀ u2 = (0 1 1)ᵀ Basis für V = ℝ^3: v1 = (1 0 0)ᵀ v2 = (0 1 0)ᵀ v3 = (0 0 1)ᵀ

A = (u1, u2, v1, v2, v3) ---> Zeilenstufenform: x1, x2, x3 nicht frei; x4, x5 frei ---> V / U = lin {v1 + U} = lin { e1 + U } und dim(V/U) = 1

Beachte: v2 = u1 - v1      ===> v2 + U = -(v1 + U)
         v3 = (u2-u1) + v1 ===> v3 + U = v1 + U

UB9-2 (Bsp)

Seien

v1 = (1 0 0 4 1)ᵀ v2 = (0 1 0 8 0)ᵀ v3 = (-3 0 0 0 1)ᵀ

φ : ℝ^3 ---> ℝ^5 sei linear mit φ(e_i) = v_i für alle i

1. Sei x = (x1, x2, x3) ∈ ℝ^3 φ(x1,x2,x3) = φ(x) = φ(x1·e1 + x2·e2 + x3·e3) = φ(x1·e1) + φ(x2·e2) + φ(x3·e3) = x1·φ(e1) + x2·φ(e2) + x3·φ(e3) = x1·v1 + x2·v2 + x3·v3 = Ax wobei A = (v1 v2 v3) = 1 0 -3 0 1 0 0 0 0 4 8 0 1 0 1 Also ist φ = φ_A (siehe Korollar 6.3.15 aus [Sinn2020]). Wℝ berechnen den Rang von A, um die Injektivität/Surjektivität/Bijektivität von φ zu klassifizieren: ---> A in Zeilenstufenform: 1 0 -3 0 1 0 0 0 0 0 0 12 0 0 4 Rang(A) = 3 ---> A ist eine mxn Matrix mit m=5, n=3 Rang(A) = 3 ≥ 3 = n ===> φ = φ_A ist injektiv Rang(A) = 3 < 5 = m ===> φ = φ_A ist nicht surjektiv m ≠ n ===> φ = φ_A ist nicht bijektiv

UB9-3 (wie man ansetzen kann...)

ZZ ψ◦ϕ injektiv <===> ϕ injektiv + Kern(ψ) ∩ Bild(ϕ) = {0}

(==>) Angenommen, ψ◦ϕ injektiv. Zz: ϕ injektiv + Kern(ψ) ∩ Bild(ϕ) = {0}.

...

(<==) Angenommen, ϕ injektiv + Kern(ψ) ∩ Bild(ϕ) = {0}. Zz: ψ◦ϕ injektiv

Laut Korollar 6.3.15 aus [Sinn2020] reicht es aus zu zeigen, dass Kern(ψ◦ϕ) = {0}. Sei x ∈ U beliebig. Zz: x ∈ Kern(ψ◦ϕ) <===> x = 0

    x ∈ Kern(ψ◦ϕ)
    <===> (ψ◦ϕ)(x) = 0
    ..
    .. <--- ϕ injektiv + Kern(ψ) ∩ Bild(ϕ) = {0} ausnutzen !
    ..
    <===> x = 0