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Kritzelei aus Woche 3
Übungsblatt 1
Für volle Lösungen siehe Datei /docs/loesungen.pdf.
Anmerkung zu Aufgabe 2
Seien A eine m x n Matrix über IR, und b in IR^m.
Lösungsmenge vor Transformation:
Sei L_1 := { x ∈ IR^n | Ax = b }
Lösungsmenge nach Transformation:
Sei L_2 := { x ∈ IR^n | A'x = b' }, wobei (A'|b') das Resultat einer Transformation (Art I, II, III) ist.
BEHAUPTUNG. Es gilt L_1 = L_2.
BEWEIS.
-
Zu zeigen 1: L_1 ⊆ L_2
- Sei x aus L_1 beliebig. D. h. x ist eine Lösung zu (A|b)
- Zu zeigen: x in L_2, d. h. dass x eine Lösung zu (A'|b') ist.
- Fall 1. Transformation vom Typ I:
- ...
- Fall 2. Transformation vom Typ II:
- ...
- Fall 3. Transformation vom Typ III:
- ...
- Fall 1. Transformation vom Typ I:
-
Zu zeigen 2: L_2 ⊆ L_1
- Sei x aus L_2 beliebig. D. h. x ist eine Lösung zu (A'|b')
- Zu zeigen: x in L_1, d. h. dass x eine Lösung zu (A|b) ist.
- Unvollständige Argumentation: Die Transformationen sind umkehrbar. Also ist x eine Lösung von (A|b) auch.
- !! Fehlt: Warum bedeutet diese Umkehrbarkeit, dass x noch eine Lösung von (A|b) ist? !!
- Richtiger Ansatz 1:
- Gegeben ist, dass A'x = b' gilt.
- Nun gilt: A' = E·A, b' = E·b, wobei E die Zeilenumformung ist.
- Umkehrbarkeit der Transformation bedeutet: E ist umkehrbar.
- Also, aus A'x = b' (d. h. E·A·x = E·b) folgt Ax = b.
- Richtiger Ansatz 2:
- (A'|b') entsteht durch Anwendung von I, II, od. III. aus (A|b)
- die Umkehrung (von (A'|b') ---> nach (A|b)) ist selbst eine Transformation vom Typ I, II, od. III.
- Also (A|b) ist eine Transformation von (A'|b')
- Der erste Teil des Beweis hat gezeigt, dass
- x Lösung von (A'|b') ==> x Lösung von Transformation von (A'|b')
- d. h. x Lösung von (A'|b') ==> x Lösung von Transformation von (A|b).
- Unvollständige Argumentation: Die Transformationen sind umkehrbar. Also ist x eine Lösung von (A|b) auch.
QED