157 lines
6.7 KiB
Markdown
157 lines
6.7 KiB
Markdown
# Kurs #
|
||
|
||
Die URL vom Kurs findet man hier: <http://www.math.uni-leipzig.de/~sinn/lehre/LA1.html>.
|
||
|
||
## Notizen aus jeder Woche ##
|
||
|
||
Jede Woche werden Anmerkungen in Markdown-Dateien hier festgehalten:
|
||
|
||
- Woche 1: ---
|
||
- Woche 2: ---
|
||
- Woche 3: [/protocol/woche3/README.md](./woche3).
|
||
- Woche 4: [/protocol/woche4/README.md](./woche4).
|
||
- Woche 5: [/protocol/woche5/README.md](./woche5).
|
||
- Woche 6: [/protocol/woche6/README.md](./woche6).
|
||
- Woche 7: [/protocol/woche7/README.md](./woche7).
|
||
- Woche 8: [/protocol/woche8/README.md](./woche8).
|
||
- Woche 9: [/protocol/woche9/README.md](./woche9).
|
||
- Woche 10: [/protocol/woche10/README.md](./woche10).
|
||
- Woche 11: [/protocol/woche11/README.md](./woche11).
|
||
|
||
## Übungsgruppen ###
|
||
|
||
Die Übungsgruppen sind Pflichtveranstaltungen.
|
||
|
||
Jede Woche besteht der Ablauf grob aus folgenden Teilen:
|
||
|
||
- allgemeine Ankündigungen
|
||
- Präsentation von SKA von jeder Gruppe (sofern anstehend)
|
||
- Besprechung von ÜB aus vorheriger Woche (sofern korrigiert)
|
||
- Besprechung vom Stoff aus VL
|
||
- Quiz 10min
|
||
- Breakout-Rooms für SKA
|
||
|
||
Je nach Zeit und Nachfrage fallen manche Dinge aus, damit wir uns den wichtigeren Dingen widmen können.
|
||
|
||
## Leistungen ##
|
||
|
||
Klausurzulassung, wenn
|
||
|
||
- ~~?/? Quizzes~~ ⟶ keine Voraussetzung mehr. Die Quizzes sind freiwillig!
|
||
- ≥ 50% der Punkte von 11 Übungsblättern (82,5 Punkte).
|
||
- **ACHTUNG:** Es gibt zwar ggf. ein 12. ÜB und mehr Punkte auf einigen der Blätter, aber der Schwellwert bleibt bei 82,5 Pkt, so der Professor.
|
||
|
||
## Klausur ##
|
||
|
||
Allgemeine Aspekte:
|
||
|
||
- voraussichtlich am **12.02.2021**
|
||
- Geplante Schreibdauer: **90 min**.
|
||
- Zugeordnete Zeit: **12:00–14:00** (Pufferzeit eingebaut, damit man Dateien herunter und hochladen kann).
|
||
- 6 Aufgaben
|
||
|
||
Im folgenden Abschnitt werden empfohlenes Material zur Vorbereitung stichpunktartig aufgelist.
|
||
|
||
**ACHTUNG:** Dies ist als Hinweis zu verstehen.
|
||
Generell für eine Klausur muss man den ganzen in der VL behandelten Stoff gemeistert haben.
|
||
Diese sind als minimalistische Listen von Aspekten gedacht,
|
||
die auf jeden Fall für die Klausur wichtig sind.
|
||
Sie sind nicht unbedingt vollständig.
|
||
|
||
### Themen / VL-Materialien ###
|
||
|
||
- Kapitel 1: Müsst ihr allgemein kennen.
|
||
- Konkrete Dinge wie Strecken, Ebenen, usw. kommen eher in Geometrie und hier nicht vor.
|
||
- Eliminationsverfahren und Lösbarkeit von LGS:
|
||
- Lösung des homogenen Systems Ax = 0
|
||
- Lösung des inhomogenen Systems Ax = b
|
||
- Die Äquivalenzen in §6.4 fassen einiges hier viel kürzer zusammen.
|
||
- Kapitel 2: Müsst ihr generell können. Insbesondere Umgang mit
|
||
- Axiomen von (partiellen/totalen) Ordnungsrelationen
|
||
- Axiomen von Äquivalenzrelationen
|
||
- Für Funktionen, f : X ⟶ Y
|
||
- der Graph von f
|
||
- Umkehrabbild f¯¹ (wenn f bijektiv ist).
|
||
- f¯¹(B) für B ⊆ Y, d. h. Urbildmengen von B unter f
|
||
(!! und dass dies NICHT dasselbe wie das Inverse f¯¹ : Y ⟶ X ist !!)
|
||
- f(A) für A ⊆ X, d. h. Bild von A unter f
|
||
- Konzepte von Injektivität/Surjektivität/Bijektivität
|
||
(!! und dass sich diese NICHT gegenseitig ausschließen!!)
|
||
- Komposition von Funktionen
|
||
- Kapitel 3: Müsst ihr generell können. Insbesondere Umgang mit
|
||
- ℤ/_n_ für konkrete Werte von _n_,
|
||
- Berechnung von Addition, Multiplikation, und Inverses modulo _n_ (for konkrete Werte).
|
||
- Kapitel 4:
|
||
- Grundkonzepte wie Inverses in Gruppentheorie.
|
||
- Grundkonzepte von Körpern und Ringen.
|
||
- Umgang mit LGS über Vektorräume über einem Körper K (konkreter Umgang mit 𝔽ₚ für _p_ prim):
|
||
- genau wie bei ℝ-wertigen Matrizen nur mit Addition/Multiplikation/Inversen in 𝔽ₚ (d. h. ℤ/_p_).
|
||
- man muss insbesondere Division durch 0 mod p vermeiden und es hilft,
|
||
die Werte immer als Werte aus {0, 1, 2, ..., p–1} darzustellen.
|
||
Z. B. in 𝔽₅ sollte man eine Matrix
|
||
|
||
A = ( 12 -1 4 1 )
|
||
( 0 80 -17 28 )
|
||
|
||
eher darstellen als
|
||
|
||
A = ( 2 4 4 1 )
|
||
( 0 0 3 3 ),
|
||
|
||
damit man vor allem den Rang und die Zeilenstufen richtig erkennt.
|
||
- Kapitel 5: Hier müsst ihr generell alles meistern.
|
||
- dass man aus Vektorräumen andere Vektorräume konstruieren kann (z. B. durch Produkte)
|
||
- Unterräume
|
||
- Lin(A) für A ⊆ V, V ein Vektorraum
|
||
- Basis:
|
||
- lineare Unabhängigkeit, Erzeugendensysteme, Basis.
|
||
- Überprüfung von linearer Unabhängigkeit
|
||
- Berechnung von Basen:
|
||
- anhand einer Menge von Vektorren:
|
||
- Reduktion einer Menge von Vektoren auf eine (maximale) linear unabhängige Teilmenge
|
||
- Erweiterung von (ggf. nicht linear unabhängigen) Vektoren auf eine Basis
|
||
- Basis von Spaltenraums einer Matrix A:
|
||
- A ⟶ Zeilenstufenform ⟶ merke Spaltenpositionen j1, j2, ... wo Stufen sind
|
||
- Die Spalten j1, j2, ... von der Originalmatrix, A, bilden eine Basis von Bild(A)
|
||
- Konkrete Fälle:
|
||
- „kanonische Basis“ von ℝⁿ für beliebige konkrete Werte von _n_.
|
||
- „exotische“ Beispiele von Vektorräume wie der Raum der Polynomen, ℝ[x], und deren „kanonische“ Basen.
|
||
- Dimension, Dimensionsformel.
|
||
- Rang:
|
||
- Zeilenrang := #Stufen von A in Zeilenstufenform
|
||
- Spaltenrang := dim(Bild(A))
|
||
- **Lemma:** Zeilenrang = Spaltenrang
|
||
- **Definition:** Rang := Zeilenrang = Spaltenrang;
|
||
- Kapitel 6 | 6.1–6.4:
|
||
- lin. Abb
|
||
- Kern, Bild
|
||
- Injektivität, Surjektivität, Bijektivität („Isomorphismus“)
|
||
- Zusammenhang zw. Dimension von U, V und Eigenschaften von einer linearen Abbildung φ : U ⟶ V.
|
||
- !! Lineare Ausdehnung !!
|
||
- insbes. 6.1.13, nur bekommt ihr eine Situation,
|
||
wo ihr eine Definition auf einer Basis + einem zusätzlichen linear abhängigen Element bekommt
|
||
- Das Konzept von Darstellungsmatrizen (aber nicht die Berechnung von Basiswechseln)
|
||
- Invertierbare Matrizen (musst algebraisch/symbolisch damit umgehen können, aber ihr müsst keine Inversen explizit ausrechnen). Ihr müsst aber Konzepte anwenden wie (AB)¯¹ = B¯¹A¯¹,
|
||
und dass der Raum der invertierbaren Matrizen unter Multiplikation stabil sind.
|
||
- Kapitel 6 | 6.5+: nicht behandelt.
|
||
- Kapitel 7: nicht behandelt
|
||
|
||
### Empfolene Übungen ###
|
||
|
||
#### SKA ####
|
||
|
||
_(Unter Arbeit)_
|
||
#### Übungsblätter ####
|
||
|
||
_(Unter Arbeit)_
|
||
#### Quizzes ####
|
||
|
||
_(Unter Arbeit)_
|
||
|
||
### Was _anscheindend_ nicht in der Klausur vorkommt ###
|
||
|
||
- _Räume_ von linearen Operatoren, also die Vektorräume der Form L(V, W). (Aber ihr müsst natürlich mit linearen Operatoren umgehen können!)
|
||
- Basiswechseln (aber ihr müsst mit der )
|
||
- Koordinatenwecheln
|
||
- Inverse von Matrizen explizit berechnen.
|