Woche 8

Hinweise zu ÜB 8-1

Als Beispiel nehme ich die linearen Unterräume:

U₁ = {x ∈ ℝ⁴ | x₁ + 3·x₂ = 4·x₃ + x₄},
U₂ = {x ∈ ℝ⁴ | x₁ = 5·x₂ + 2·x₃ + x₄}.

Sei x ∈ ℝ⁴. Dann gelten offensichtlich

x ∈ U₁ ⟺ x₁ + 3·x₂ - 4·x₃ - x₄ = 0 ⟺ A₁x = 0,
x ∈ U₂ ⟺ x₁ - 5·x₂ - 2·x₃ - x₄ = 0 ⟺ A₂x = 0,
x ∈ U₁∩U₂ ⟺ (x₁ + 3·x₂ - 4·x₃ - x₄ = 0 und x₁ - 5·x₂ - 2·x₃ - x₄ = 0) ⟺ A₃x = (0, 0)ᵀ,

wobei

A₁ = die 1 x 4 Matrix
```
  (1 3 -4 -1),
```
A₂ = die 1 x 4 Matrix
```
  (1 -5 -2 1),
```
A₃ = die 2 x 4 Matrix
```
  (1  3 -4 -1)
  (1 -5 -2  1).
```

Für U₁ haben wir also x ∈ U₁ ⟺ A₁x = 0. Nun ist A₁ bereits in Zeilenstufenform. Und hier sind x₂, x₃, x₄ frei. Das liefert uns erzeugende Elemente, indem wir diese jeweils auf 0 od. 1 setzen.
```
 u₁ = (-3, 1, 0, 0)ᵀ [hier setze man x₂=1, x₃=x₄=0]
 u₂ = ( 4, 0, 1, 0)ᵀ [hier setze man x₃=1, x₂=x₄=0]
 u₃ = ( 1, 0, 0, 1)ᵀ [hier setze man x₄=1, x₂=x₃=0]
```
Diese sind offensichtlich linear unabhängig (wegen der disjunkten Ein und Ausschaltung von freien Variablen), und da nur x₂, x₃, x₄ in der allgemeinen Lösung frei sind, sind diese Vektoren erzeugend für U₁. Also ist {u₁, u₂, u₃} eine Basis für U₁.
analog für eine Basisberechnung für U₂. Man bekommt als Basis {v₁, v₂, v₃}, wobei
```
 v₁ = ( 5, 1, 0, 0)ᵀ
 v₂ = ( 2, 0, 1, 0)ᵀ
 v₃ = (-1, 0, 0, 1)ᵀ.
```
Für U₁∩U₂ gilt x ∈ U₁∩U₂ ⟺ A₃x = 0. In Zeilenstufenform wird A₃ zu
```
 A₃ ~~> (1 3 -4 -1)
        (0 8 -2 -2)
```
Also sind x₃ und x₄ frei. Die Auflösung des LGS liefert uns erzeugende Elemente, indem wir die freien Variablen jeweils auf 0 od. 1 setzen:
```
 w₁ = (13/4, 1/4, 1, 0)ᵀ [hier setze man x₃=1, x₄=0]
 w₂ = ( 1/4, 1/4, 0, 1)ᵀ [hier setze man x₄=1, x₃=0]
```
Wir können diese Vektoren beliebig skalieren. Es ist sinnvoll alles mit 4 zu multiplizieren und man erhält stattdessen:
```
 w₁ = (13, 1, 4, 0)ᵀ
 w₂ = ( 1, 1, 0, 4)ᵀ
```
Diese sind offensichtlich linear unabhängig (wegen der disjunkten Ein und Ausschaltung von freien Variablen), und da nur x₃, x₄ in der allgemeinen Lösung frei sind, sind diese Vektoren erzeugend für U₁∩U₂. Also ist {w₁, w₂} eine Basis für U₁∩U₂.

Für U₁ + U₂ erhält man mithilfe der oben berechneten Basen

 U₁ + U₂ = Lin{u₁, u₂, u₃} + Lin{v₁, v₂, v₃}
         = Lin{u₁, u₂, u₃, v₁, v₂, v₃}

Darum ist {u₁, u₂, u₃, v₁, v₂, v₃} erzeugend für U₁ + U₂. Diese Vektoren sind aber nicht unbedingt linear unabhängig, also längst keine Basis. Wir führen das Gaußverfahren darauf, um auf eine maximale linear unabhängige Teilmenge davon zu kommen:

 (u₁ | u₂ | u₃ | v₁ | v₂ | v₃)

    ( -3   4   1   5   2  -1 )
 =  (  1   0   0   1   0   0 ) · 3, + Z1
    (  0   1   0   0   1   0 )
    (  0   0   1   0   0   1 )

    ( -3   4   1   5   2  -1 )
 ~> (  0   4   1   8   2  -1 )
    (  0   1   0   0   1   0 ) · -4, + Z2
    (  0   0   1   0   0   1 )

    ( -3   4   1   5   2  -1 )
 ~> (  0   4   1   8   2  -1 )
    (  0   0   1   8  -2  -1 )
    (  0   0   1   0   0   1 ) · -1, + Z3

    ( -3   4   1   5   2  -1 )
 ~> (  0   4   1   8   2  -1 )
    (  0   0   1   8  -2  -1 )
    (  0   0   0   8  -2  -2 )

Die Stellen der Stufen weisen auf die linear unabhängigen Vektoren hin: {u₁, u₂, u₃, v₁} sind linear unabhängig und {v₂, v₃} hängen davon ab. Darum gilt

     U₁ + U₂ = Lin{u₁, u₂, u₃, v₁},

sodass wegen linearer Unabhängigkeit {u₁, u₂, u₃, v₁} eine Basis ist. Da aber dim(V) = 4 = Anzahl der Basiselemente von U₁ + U₂, erhalten wir

     U₁ + U₂ = V.

Alternativ I für Teilaufgabe 8-1 (4)

Man braucht nach dem Gaußverfahren keine Basiselemente aufzulisten. Es reicht sich den Zeilenrang anzuschauen, was gleich 4 ist, und da dim(V) = 4, erkennt man sofort, dass

U₁ + U₂ = V.

Alternativ II für Teilaufgabe 8-1 (4)

Man braucht die Aufstellung der Basiselemente und das Gaußverfahren eigentlich nicht. Laut Aufgabenstellung gelten

U₁ = {x ∈ ℝ⁴ | x₁ + 3·x₂ - 4·x₃ - x₄ = 0} = {a₁}^⊥ = (Lin{a₁})^⊥,
U₂ = {x ∈ ℝ⁴ | x₁ - 5·x₂ - 2·x₃ - x₄ = 0} = {a₂}^⊥ = (Lin{a₂})^⊥,
wobei a₁ = (1,3,-4,-1)ᵀ und a₂ = (1,-5,-2,-1)ᵀ

und damit gilt

U₁ + U₂ = ((U₁ + U₂)^⊥)^⊥
          [hierfür braucht man ein Lemma (1)]
        = (U₁^⊥ ∩ U₂^⊥)^⊥
          [hierfür braucht man ein Lemma (2)]
        = (((Lin{a₁})^⊥)^⊥ ∩ ((Lin{a₂})^⊥)^⊥)^⊥
        = (Lin{a₁} ∩ Lin{a₂})^⊥
          [hier wird Lemma 1 wieder verwendet]
        = ({0})^⊥,
          da {a₁, a₂} offensichtlich lin unabh. sind,
          und damit gibt es kein gemeinsames Element
          in Lin{a₁} ∩ Lin{a₂} außer den Nullvektor
        = V, da alles in V zu 0 senkrecht steht.

Dafür aber brauchen wir einiges über Skalarprodukte zu wissen. Man braucht folgende Definition und wie angedeutet zwei Lemmata:

Definition. Sei V ein Vektorraum mit Skalarprodukt. Für jede Teilmenge, A ⊆ V, setze man A^⊥ := {x ∈ V | ∀y∈A: ⟨x, y⟩=0}.

Lemma 1. Sei V ein endlich dimensionaler Vektorraum mit Skalarpodukt. Dann (U^⊥)^⊥ = U für alle Untervektorräume, U ⊆ V. (Für unendlich dimensionale Vektorräume brauchen wir den Begriff eines abgeschlossenen Untervektorraums.)

Lemma 2. Sei V ein Vektorraum mit Skalarpodukt. Dann (U₁ + U₂)^⊥ = U₁^⊥ ∩ U₂^⊥ für alle Untervektorräume, U₁, U₂ ⊆ V.

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Woche 8

Hinweise zu ÜB 8-1

Alternativ I für Teilaufgabe 8-1 (4)

Alternativ II für Teilaufgabe 8-1 (4)

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