Woche 9

(Für die Berechnungen haben wir Octave benutzt.)

Aufgabe ähnlich wie ÜB9-1

U = lin{u1, u2} V = lin{v1, v2, v3}

U ⊆ V ?

Beispiel 1

u1 = (1 1 0 0)ᵀ
u2 = (-1 1 0 0)ᵀ

v1 = (4 0 0 0)ᵀ
v2 = (1 4 0 0)ᵀ
v3 = (1 0 1 0)ᵀ

Anmerkung: lin{u1, u2} ⊆ lin{v1, v2, v3} <===> u1, u2 ∈ lin{v1, v2, v3}

Setze A := (v1 v2 v3 u1 u2)
---> auf Zeilenstufenform reduzieren
---> zeigen, dass in homogenen LGS Ax = 0 x4 und x5 freie Unbekannte sind.
---> ja
---> lin{u1, u2} ⊆ lin{v1, v2, v3}

Beispiel 2

u1 = (1 1 0 1)ᵀ
u2 = (-1 1 0 0)ᵀ

v1 = (4 0 0 0)ᵀ
v2 = (1 4 0 0)ᵀ
v3 = (1 0 1 0)ᵀ

Setze A := (v1 v2 v3 u1 u2)
---> auf Zeilenstufenform reduzieren
---> zeigen, dass in homogenen LGS Ax = 0 x4 und x5 freie Unbekannte sind.
---> nein
---> also lin{u1, u2} ⊈ lin{v1, v2, v3}

Basis von V/U

--> Beispiel 1.

u1 = (1 1 0 0)ᵀ
u2 = (-1 1 0 0)ᵀ

v1 = (4 0 0 0)ᵀ
v2 = (1 0 1 0)ᵀ
v3 = (1 4 0 0)ᵀ

Schreibweise für Äquivalenzklassen:
    [v] = v + U
--> die Elemente in V/U

Setze A := (u1 u2 v1 v2 v3)
---> auf Zeilenstufenform reduzieren
---> bestimmen, welche Variablen frei / unfrei sind
    ---> bestimme die Basis durch die Spalten, die den unfreien Variablen entsprechen
--->
    x3, x5 sind frei
    x1, x2, x4 nicht frei
---> v2 + U (entspricht x4) bildet eine Basis

SKA 9-5

Basis für U:
u1 = (1 1 0)ᵀ
u2 = (0 1 1)ᵀ
Basis für V = ℝ^3:
v1 = (1 0 0)ᵀ
v2 = (0 1 0)ᵀ
v3 = (0 0 1)ᵀ

A = (u1, u2, v1, v2, v3)
---> Zeilenstufenform: x1, x2, x3 nicht frei; x4, x5 frei
---> V / U = lin {v1 + U} = lin { e1 + U }
    und dim(V/U) = 1

    Beachte: v2 = u1 - v1      ===> v2 + U = -(v1 + U)
            v3 = (u2-u1) + v1 ===> v3 + U = v1 + U

UB9-2 (Bsp)

Seien

v1 = (1 0 0 4 1)ᵀ
v2 = (0 1 0 8 0)ᵀ
v3 = (-3 0 0 0 1)ᵀ

φ : ℝ^3 ---> ℝ^5
sei linear mit
    φ(e_i) = v_i für alle i

1. Sei x = (x1, x2, x3) ∈ ℝ^3
    φ(x1,x2,x3)
    = φ(x)
    = φ(x1·e1 + x2·e2 + x3·e3)
    = φ(x1·e1) + φ(x2·e2) + φ(x3·e3)
    = x1·φ(e1) + x2·φ(e2) + x3·φ(e3)
    = x1·v1 + x2·v2 + x3·v3
    = Ax
wobei A = (v1 v2 v3)
    =   1   0  -3
        0   1   0
        0   0   0
        4   8   0
        1   0   1
Also ist φ = φ_A (siehe Korollar 6.3.15 aus [Sinn2020]).
Wℝ berechnen den Rang von A, um die Injektivität/Surjektivität/Bijektivität
von φ zu klassifizieren:
---> A in Zeilenstufenform:
        1    0   -3
        0    1    0
        0    0    0
        0    0   12
        0    0    4
    Rang(A) = 3
---> A ist eine mxn Matrix mit m=5, n=3
        Rang(A) = 3 ≥ 3 = n ===> φ = φ_A ist injektiv
        Rang(A) = 3 < 5 = m ===> φ = φ_A ist nicht surjektiv
        m ≠ n ===> φ = φ_A ist nicht bijektiv

UB9-3 (wie man ansetzen kann...)

Zz: ψ◦ϕ injektiv <===> ϕ injektiv + Kern(ψ) ∩ Bild(ϕ) = {0}

(==>) Angenommen, ψ◦ϕ injektiv. Zz: ϕ injektiv + Kern(ψ) ∩ Bild(ϕ) = {0}.

...

(<==) Angenommen, ϕ injektiv + Kern(ψ) ∩ Bild(ϕ) = {0}. Zz: ψ◦ϕ injektiv

Laut Korollar 6.3.15 aus [Sinn2020] reicht es aus zu zeigen, dass Kern(ψ◦ϕ) = {0}.

Sei x ∈ U beliebig.

Zz: x ∈ Kern(ψ◦ϕ) <===> x = 0

    x ∈ Kern(ψ◦ϕ)
    <===> (ψ◦ϕ)(x) = 0
    ..
    .. <--- ϕ injektiv + Kern(ψ) ∩ Bild(ϕ) = {0} ausnutzen !
    ..
    <===> x = 0

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