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§1. Linear oder nicht?
In folgenden Aufgaben wird eine Funktion φ : ℝ³ ⟶ ℝ² definiert. Bestimme in jedem Falle, ob φ linear ist.
a)
φ(x₁, x₂, x₃) = ( 4·x₁·x₃ )
( 10·x₂ )
Wenn φ linear wäre, dann müsste φ(2, 0, 2) = 2·φ(1, 0, 1) gelten. Aber:
φ(2, 0, 2) = (16, 0)ᵀ
2·φ(1, 0, 1) = 2·(4, 0)ᵀ = (8, 0)ᵀ ≠ φ(2, 0, 2)
Also ist φ nicht linear, weil Homogenität verletzt wird.
b)
φ(x₁, x₂, x₃) = ( x₃² )
( 0 )
Wenn φ linear wäre, dann müsste φ(0, 0, 8) = 8·φ(0, 0, 1) gelten. Aber:
φ(0, 0, 8) = (64, 0)ᵀ
8·φ(0, 0, 1) = 8·(1, 0)ᵀ = (8, 0)ᵀ ≠ φ(0, 0, 8)
Also ist φ nicht linear, weil Homogenität verletzt wird.
c)
φ(x₁, x₂, x₃) = ( x₃ )
( 0 )
--> linear
d)
φ(x₁, x₂, x₃) = ( 0 )
( 0 )
--> linear
e)
φ(x₁, x₂, x₃) = ( 4 )
( 0 )
Wenn φ linear wäre, dann müsste φ(0) = 0 gelten. [Siehe Lemma 6.1.2] Aber φ ist hier niemals der Nullvektor! Also ist φ nicht linear.
f)
φ(x₁, x₂, x₃) = ( 10·x₃ )
( -x₂ + x₁ )
linear!
g)
φ(x₁, x₂, x₃) = ( 1 - 10·x₃ )
( -x₂ + x₁ )
Wenn φ linear wäre, dann müsste φ(0) = 0 gelten. [Siehe Lemma 6.1.2] Aber φ(0) = (1, 0)ᵀ. Also ist φ nicht linear.
h)
φ(x₁, x₂, x₃) = ( exp(-(7·x₂ + 8·x₁)) )
( 0 )
Wenn φ linear wäre, dann müsste φ(0) = 0 gelten. [Siehe Lemma 6.1.2] Aber φ(0) = (exp(0), 0)ᵀ = (1, 0)ᵀ. Also ist φ nicht linear.
§2. Aufgaben ähnlich zu ÜB 10-2
Seien A = (u₁, u₂, u₃) und B = (v₁, v₂), wobei
u₁ = (3, 0, 1)ᵀ
u₂ = (0, -1, 0)ᵀ
u₃ = (4, 0, 0)ᵀ
v₁ = (4, 5)ᵀ
v₂ = (0, 1)ᵀ
Beachte:
- A bildet eine Basis für ℝ³
- B bildet eine Basis für ℝ²
Sei nun φ : ℝ³ ⟶ ℝ² definiert durch
φ(x₁, x₂, x₃) = ( 4·x₁ - x₃ )
( 10·x₂ + x₁ )
Zur Linearität
Seien
(x₁,x₂,x₃), (x₁',x₂',x₃') ∈ ℝ³
c, c' ∈ ℝ
Zu zeigen: φ(c(x₁, x₂, x₃) +c'(x₁',x₂',x₃')) = c·φ(x₁, x₂, x₃) +c'·φ(x₁', x₂', x₃')
Es gilt
l. S. = φ(c(x₁, x₂, x₃) +c'(x₁',x₂',x₃'))
= φ(c(x₁·e1 + x₂·e2 + x₃·e3) +c'(x₁'·e1 + x₂'·e2 + x₃'·e3))
= φ((c·x₁ + c'·x₁)·e1 + (c·x₂ + c'·x₂)·e2 + (c·x₃ + c'·x₃)·e3)
= φ(c·x₁ + c'·x₁', c·x₂ + c'·x₂', c·x₃ + c'·x₃')
= ( 4·(c·x₁ + c'·x₁') - (c·x₃ + c'·x₃') )
( 10·(c·x₂ + c'·x₂') + (c·x₁ + c'·x₁') )
= ( c·(4·x₁ - x₃) + c'·(4·x₁' - x₃') )
( c·(10·x₂ + x₁) + c'·(10·x₂' + x₁') )
= c·( 4·x₁ - x₃ ) + c'·( 4·x₁' - x₃' )
( 10·x₂ + x₁ ) ( 10·x₂' + x₁' )
= r. S.
Darum ist φ linear.
Darstellung
Zunächst beobachten wir:
φ(x₁, x₂, x₃) = ( 4 0 -1 ) ( x₁ )
( 1 10 0 ) ( x₂ )
( x₃ )
= C·x
= φ_C(x) siehe [Skript, Bsp 6.2.2],
wobei C die Matrix
C = ( 4 0 -1 )
( 1 10 0 )
ist.
Bemerkung. Den vorherigen Teil konnten wir hiermit viel einfacher machen: Da φ_C linear ist (siehe [Skript, Bsp 6.2.2]), ist φ = φ_C linear.
Zurück zur Berechnung der Darstellung...
Die zu berechnende Matrix M := M_A^B(φ), ist diejenige, die erfüllt:
- ist x der Form x = ∑ α_j·u_j = (α_j) <--- als Vektor über Basis A
- und ist M·(α_j) = (β_i) für einen Vektor (β_i) ∈ ℝ²
- dann gilt φ(x) = y, wobei y = ∑ β_i·v_i
Zusammengefasst ist M genau die Matrix, für die gilt:
B·M·α = φ(A·α)
für alle α ∈ ℝ³. Da φ = φ_C, ist die äquivalent zu
B·M·α = C·A·α
Kurzgesagt: M_A^B(φ) = B^-1 · C · A. Um dies zu bestimmen, wenden wir das Gaußverfahren auf folgendes augmentiertes System an
( B | C·A )
und reduzieren die linke Hälfte auf die Identitätsmatrix. Die resultierende Matrix in der rechten Hälfte wir dann M sein. Es gilt
C·A = ( 4 0 -1 ) (3 0 4)
( 1 10 0 ) (0 -1 0)
(1 0 0)
= ( 11 0 16 )
( 3 -10 4 )
Also ist das augmentiere System
( B | C·A )
= ( 4 0 | 11 0 16 )
( 5 1 | 3 -10 4 )
Zeile2 <- 4*Zeile2 - 5*Zeile1
~> ( 4 0 | 11 0 16 )
( 0 4 | -43 -40 -64 )
Zeile1 <- Zeile1 : 4
Zeile2 <- Zeile2 : 4
~> ( 1 0 | 11/4 0 4 )
( 0 1 | -43/4 -10 -16 )
Darum gilt
M_A^B(φ) = ( 11/4 0 4 )
( -43/4 -10 -16 )
§3. Lineare Fortsetzung von partiell definierten Funktionen
Sei φ : ℝ⁵ ⟶ ℝ³
Seien u₁, u₂, u₃, u₄, u₅ eine Basis für ℝ⁵. Seien v₁, v₂, v₃ Vektoren in ℝ³. Definiert werden
φ(u₁) = v₁, φ(u₂) = v₂, φ(u₄) = v₃
Aufgabe: Gibt es eine lineare Abbildung, die die o. s. Gleichungen erfüllen?
Antwort: Ja.
Beweis: Setze φ(u₃) := 0 (Nullvektor) φ(u₅) := 0 (Nullvektor)
Da u₁, u₂, u₃, u₄, u₅ eine Basis ist, können wir für beliebiges x ∈ ℝ⁵
φ(x) = ∑ c_i · φ(ui)
wobei c_1, c_2, .... die eindeutigen Werte im Körper ℝ sind, so dass
x = ∑ c_i · ui
gilt. Dann ist φ linear (zeige die Axiome!!). QED