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# Woche 12 #
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A = [1, 2, -2, -1; 2, 0, -1, 1; 4, 3, 3, 1; 1, -2, 2, 3];
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## Quiz 11 ##
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A eine m x m Matrix, m = 4:
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A = 1 2 -2 -1
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2 0 -1 1
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4 3 3 1
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1 -2 2 3
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in 𝔽₅.
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Zur Bestimmung der Invertierbarkeit: Gaußverfahren auf (A | I):
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1 2 -2 -1 | 1 0 0 0
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2 0 -1 1 | 0 1 0 0
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4 3 3 1 | 0 0 1 0
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1 -2 2 3 | 0 0 0 1
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1 2 -2 -1 | 1 0 0 0
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0 -4 3 3 | -2 1 0 0
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0 -5 11 5 | -4 0 1 0
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0 -4 4 4 | -1 0 0 1
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—> modulo 5
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1 2 3 4 | 1 0 0 0
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0 1 3 3 | 3 1 0 0
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0 0 1 0 | 1 0 1 0
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0 1 4 4 | 4 0 0 1
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1 2 3 4 | 1 0 0 0
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0 1 3 3 | 3 1 0 0
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0 0 1 0 | 1 0 1 0
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0 0 1 1 | 1 4 0 1
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(hier habe ich sofort mod 5 berechnet)
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1 2 3 4 | 1 0 0 0
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0 1 3 3 | 3 1 0 0
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0 0 1 0 | 1 0 1 0
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0 0 0 1 | 0 4 4 1
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⟹ Rang(A) = 4 = m
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⟹ A invertierbar
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1 0 2 3 | 0 3 0 0
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0 1 3 3 | 3 1 0 0
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0 0 1 0 | 1 0 1 0
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0 0 0 1 | 0 4 4 1
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1 0 0 3 | 3 3 3 0
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0 1 0 3 | 0 1 2 0
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0 0 1 0 | 1 0 1 0
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0 0 0 1 | 0 4 4 1
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Zeile 1 <- Zeile 1 - 3·Zeile 4
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1 0 0 0 | 3 1 1 2
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0 1 0 0 | 0 4 0 2
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0 0 1 0 | 1 0 1 0
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0 0 0 1 | 0 4 4 1
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⟹ A¯¹ steht in der rechten Hälfte
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A¯¹ = 3 1 1 2
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0 4 0 2
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1 0 1 0
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0 4 4 1
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## Lineare Ausdehnung ##
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**Aufgabe 1.**
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Seien
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w1 = (1, 1, 0)ᵀ
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w2 = (1, -1, 2)ᵀ
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w3 = (0, 3, -1)ᵀ
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v1 = ( 2, 1)ᵀ
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v2 = (-1, 1)ᵀ
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v3 = ( 1, 0)ᵀ
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Gibt es eine lineare Abbildung, φ : ℝ³ —> ℝ²,
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so dass
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φ(w1) = v1
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φ(w2) = v2
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φ(w3) = v3
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gilt? Ist dies injektiv/surjektiv/bijektiv?
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**Antwort.**
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{w1, w2, w3} eine Basis
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~~~> Gaußverfahren auf (w1 w2 w3) und Rang berechnen (soll gleich 3 sein)!
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==> ja! (Satz 6.1.13 aus VL)
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- Nicht injektiv, weil Rang(φ) <= 2, aber 2 ≥ 3 gilt nicht.
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- Surjektiv:
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Zz: Rang(φ) ≥ 2.
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φ = φ_A
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A = Darstellungsmatrix
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....
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- Bijektiv: nein, weil nicht injektiv.
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**Aufgabe 2.**
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Seien
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w1 = (1, 1, 0)ᵀ
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w2 = (1, -1, 2)ᵀ
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v1 = ( 2, 1)ᵀ
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v2 = (-1, 1)ᵀ
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Gibt es eine lineare Abbildung, φ : ℝ³ —> ℝ²,
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so dass
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φ(w1) = v1
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φ(w2) = v2
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gilt, und so dass φ injektiv ist? surjektiv? bijektiv?
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**Antwort.**
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- {w1, w2} sind linear unabhängig (wiederum mit Gaußverfahren und Rang zeigen).
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- {w1, w2} können zu einer Basis von ℝ³ ergänzt werden: {w1, w2, w3}
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- Setze v3 ∈ ℝ² beliebig
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- Satz der linearen Ausdehnung (6.1.13) wieder anwenden:
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- _es gibt eine_ lineare Abb, φ, die
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φ(w1) = v1
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φ(w2) = v2
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φ(w3) = v3
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erfüllt.
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- Bild(φ) = lin{v1,v2,v3} ⊇ lin{v1, v2} = ℝ²,
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weil {v1, v2} eine Basis von ℝ².
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Also Bild(φ) = ℝ².
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- Darum ist φ surjektiv.
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- Es gibt keine injektive (und damit keine bijektive) lin. Abb. φ von ℝ³ nach ℝ²,
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weil Rang(φ) <= 2, und 2 ≥ 3 gilt nicht.
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**Aufgabe 3a.**
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Seien
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w1 = (1, 1, 0)ᵀ
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w2 = (1, -1, 1)ᵀ
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w3 = (2, 0, 1)ᵀ
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v1 = ( 2, 1, 0)ᵀ
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v2 = (-2, 1, 0)ᵀ
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v3 = (1, 2, 0)ᵀ
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Gibt es eine lineare Abbildung, φ : ℝ³ —> ℝ³,
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so dass
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φ(w1) = v1
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φ(w2) = v2
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φ(w3) = v3
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gilt, und so dass φ injektiv ist? surjektiv? bijektiv? nicht injektiv?
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**Antwort.**
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Beachte, {w1, w2, w3} ist nicht linear unabh.
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Es gilt
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- {w1, w2} linear unabh
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- w3 ∈ lin{w1, w2}, und zwar w3 = w1 + w2
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- Aber v3 = v1 + v2.
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Darum ist die Frage äquivalent zu derselben Frage, nur
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mit nur den ersten 2 Bedingungen, weil die 3. immer mit erfüllt sein wird,
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weil falls φ : ℝ³ —> ℝ³ linear und Bed. 1+2 erfüllt,
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so gilt Bedingung 3, weil
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φ(w3) = φ(w1 + w2) = φ(w1) + φ(w2) = v1 + v2 = v3.
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Ansatz:
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- füge w3' hinzu, damit {w1,w2,w3'} eine Basis von ℝ³ ist.
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- v3' jetzt so wählen, dass φ injektiv/nicht injektiv ist.
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- Beachte Korollar 6.1.11 im besonderen Falle dass φ : ℝⁿ —> ℝⁿ mit gleicher Dim für Inputraum und Outputraum!! Lin Abb. injektiv ⟺ surjektiv ⟺ bijektiv (≡ „Isomorphismus“).
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**Aufgabe 3b.**
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Seien
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w1 = (1, 1, 0)ᵀ
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w2 = (1, -1, 1)ᵀ
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w3 = (2, 0, 1)ᵀ
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v1 = ( 2, 1, 0)ᵀ
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v2 = (-1, 1, 0)ᵀ
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v3 = (1, 4, 0)ᵀ
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Gibt es eine lineare Abbildung, φ : ℝ³ —> ℝ³,
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so dass
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φ(w1) = v1
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φ(w2) = v2
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φ(w3) = v3
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gilt, und so dass φ injektiv ist? surjektiv? bijektiv?
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**Antwort.**
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Beachte, {w1, w2, w3} ist nicht linear unabh.
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Es gilt
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- {w1, w2} linear unabh
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- w3 ∈ lin{w1, w2}, und zwar w3 = w1 + w2
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- Aber v3 ≠ v1 + v2.
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Darum kann es niemals eine lineare Abb geben, die alle 3 Bedingungen erfüllt,
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weil falls φ : ℝ³ —> ℝ³ linear ist und Bed. 1+2+3 erfüllt,
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so gilt
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φ(w3) = φ(w1 + w2) = φ(w1) + φ(w2) = v1 + v2 ≠ v3.
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D. h. Bedingung 3 wäre verletzt.
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**TODO** Die o. s. Varianten (die letzteren) ausrechnen und hochladen.
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