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## §1. Linear oder nicht? ##
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In folgenden Aufgaben wird eine Funktion φ : ℝ³ ⟶ ℝ² definiert.
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Bestimme in jedem Falle, ob φ linear ist.
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a)
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φ(x1, x2, x3) = ( 4·x1·x3 )
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( 10·x2 )
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Wenn φ linear wäre, dann müsste φ(2, 0, 2) = 2·φ(1, 0, 1) gelten.
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Aber:
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φ(2, 0, 2) = (16, 0)ᵀ
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2·φ(1, 0, 1) = 2·(4, 0)ᵀ = (8, 0)ᵀ ≠ φ(2, 0, 2)
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Also ist φ nicht linear, weil Homogenität verletzt wird.
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b)
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φ(x1, x2, x3) = ( x3² )
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( 0 )
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Wenn φ linear wäre, dann müsste φ(0, 0, 8) = 8·φ(0, 0, 1) gelten.
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Aber:
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φ(0, 0, 8) = (64, 0)ᵀ
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8·φ(0, 0, 1) = 8·(1, 0)ᵀ = (8, 0)ᵀ ≠ φ(0, 0, 8)
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Also ist φ nicht linear, weil Homogenität verletzt wird.
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c)
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φ(x1, x2, x3) = ( x3 )
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( 0 )
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--> linear
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d)
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φ(x1, x2, x3) = ( 0 )
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( 0 )
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--> linear
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e)
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φ(x1, x2, x3) = ( 4 )
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( 0 )
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Wenn φ linear wäre, dann müsste φ(0) = 0 gelten. [Siehe Lemma 6.1.2]
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Aber φ ist hier niemals der Nullvektor!
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Also ist φ nicht linear.
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f)
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φ(x1, x2, x3) = ( 10·x3 )
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( -x2 + x1 )
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linear!
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g)
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φ(x1, x2, x3) = ( 1 - 10·x3 )
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( -x2 + x1 )
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Wenn φ linear wäre, dann müsste φ(0) = 0 gelten. [Siehe Lemma 6.1.2]
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Aber φ(0) = (1, 0)ᵀ.
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Also ist φ nicht linear.
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h)
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φ(x1, x2, x3) = ( exp(-(7·x2 + 8·x1)) )
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( 0 )
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Wenn φ linear wäre, dann müsste φ(0) = 0 gelten. [Siehe Lemma 6.1.2]
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Aber φ(0) = (exp(0), 0)ᵀ = (1, 0)ᵀ.
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Also ist φ nicht linear.
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## §2. Aufgaben ähnlich zu ÜB 10-2 ##
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Seien A = (u1, u2, u3) und B = (v1, v2),
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wobei
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u1 = (3, 0, 1)ᵀ
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u2 = (0, -1, 0)ᵀ
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u3 = (4, 0, 0)ᵀ
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v1 = (4, 5)ᵀ
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v2 = (0, 1)ᵀ
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Beachte:
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- A bildet eine Basis für ℝ³
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- B bildet eine Basis für ℝ²
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Sei nun φ : ℝ³ ⟶ ℝ² definiert durch
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φ(x1, x2, x3) = ( 4·x1 - x3 )
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( 10·x2 + x1 )
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### Zur Linearität ###
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Seien
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(x1,x2,x3), (x1',x2',x3') ∈ ℝ³
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c, c' ∈ ℝ
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**Zu zeigen:**
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φ(c(x1, x2, x3) +c'(x1',x2',x3')) = c·φ(x1, x2, x3) +c'·φ(x1',x2',x3')
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Es gilt
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l. S. = φ(c(x1, x2, x3) +c'(x1',x2',x3'))
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= φ(c(x1·e1 + x2·e2 + x3·e3) +c'(x1'·e1 + x2'·e2 + x3'·e3))
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= φ((c·x1 + c'·x1)·e1 + (c·x2 + c'·x2)·e2 + (c·x3 + c'·x3)·e3)
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= φ(c·x1 + c'·x1', c·x2 + c'·x2', c·x3 + c'·x3')
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= ( 4·(c·x1 + c'·x1') - (c·x3 + c'·x3') )
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( 10·(c·x2 + c'·x2') + (c·x1 + c'·x1') )
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= ( c·(4·x1 - x3) + c'·(4·x1' - x3') )
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( c·(10·x2 + x1) + c'·(10·x2' + x1') )
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= c·( 4·x1 - x3 ) + c'·( 4·x1' - x3' )
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( 10·x2 + x1 ) ( 10·x2' + x1' )
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= r. S.
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Darum ist φ linear.
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### Darstellung ###
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Zunächst beobachten wir:
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φ(x1, x2, x3) = ( 4 0 -1 ) ( x1 )
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( 1 10 0 ) ( x2 )
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( x3 )
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= C·x
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= φ_C(x) siehe [Skript, Bsp 6.2.2],
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wobei C die Matrix
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C = ( 4 0 -1 )
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( 1 10 0 )
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ist.
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**Bemerkung.** Den vorherigen Teil konnten wir hiermit viel einfacher machen:
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Da φ_C linear ist (siehe [Skript, Bsp 6.2.2]), ist φ = φ_C linear.
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_Zurück zur Berechnung der Darstellung..._
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Die zu berechnende Matrix M := M_A^B(φ), ist diejenige, die erfüllt:
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- ist x der Form x = ∑ α_j·u_j = (α_j) <--- als Vektor über Basis A
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- und ist M·(α_j) = (β_i) für einen Vektor (β_i) ∈ ℝ²
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- dann gilt φ(x) = y, wobei y = ∑ β_i·v_i
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Zusammengefasst ist M genau die Matrix, für die gilt:
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B·M·α = φ(A·α)
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für alle α ∈ ℝ³. Da φ = φ_C, ist die äquivalent zu
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B·M·α = C·A·α
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Kurzgesagt: M_A^B(φ) = B^-1 · C · A.
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Um dies zu bestimmen, wenden wir das Gaußverfahren
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auf folgendes augmentiertes System an
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( B | C·A )
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und reduzieren die linke Hälfte auf die Identitätsmatrix.
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Die resultierende Matrix in der rechten Hälfte wir dann M sein.
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Es gilt
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C·A = ( 4 0 -1 ) (3 0 4)
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( 1 10 0 ) (0 -1 0)
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(1 0 0)
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= ( 11 0 16 )
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( 3 -10 4 )
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Also ist das augmentiere System
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( B | C·A )
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= ( 4 0 | 11 0 16 )
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( 5 1 | 3 -10 4 )
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Zeile2 <- 4*Zeile2 - 5*Zeile1
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~> ( 4 0 | 11 0 16 )
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( 0 4 | -43 -40 -64 )
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Zeile1 <- Zeile1 : 4
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Zeile2 <- Zeile2 : 4
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~> ( 1 0 | 11/4 0 4 )
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( 0 1 | -43/4 -10 -16 )
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Darum gilt
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M_A^B(φ) = ( 11/4 0 4 )
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( -43/4 -10 -16 )
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## §3. Lineare Fortsetzung von partiell definierten Funktionen ##
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Sei φ : ℝ^5 ⟶ ℝ³
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Seien u1, u2, u3, u4, u5 eine Basis für ℝ^5.
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Definiert werden
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φ(u1) = v1, φ(u2) = v2, φ(u4) = v3
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**Aufgabe:** Gibt es eine lineare Abbildung, die die o. s. Gleichungen erfüllen?
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**Antwort:** Ja.
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**Beweis:**
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Setze
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φ(u3) := 0 (Nullvektor)
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φ(u5) := 0 (Nullvektor)
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Da u1, u2, u3, u4, u5 eine Basis ist,
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können wir für belieges x ∈ ℝ^5
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φ(x) = ∑ c_i · φ(ui)
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wobei c_1, c_2, .... die eindeutigen Werte im Körper ℝ sind,
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so dass
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x = ∑ c_i · ui
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gilt.
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Dann ist φ linear (zeige die Axiome!!).
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**QED**
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