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# Woche 9 #
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(Für die Berechnungen haben wir Octave benutzt.)
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## Aufgabe ähnlich wie ÜB9-1 ##
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U = lin{u1, u2}
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V = lin{v1, v2, v3}
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### U ⊆ V ? ###
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#### Beispiel 1 ####
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u1 = (1 1 0 0)ᵀ
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u2 = (-1 1 0 0)ᵀ
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v1 = (4 0 0 0)ᵀ
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v2 = (1 4 0 0)ᵀ
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v3 = (1 0 1 0)ᵀ
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Anmerkung: lin{u1, u2} ⊆ lin{v1, v2, v3} <===> u1, u2 ∈ lin{v1, v2, v3}
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Setze A := (v1 v2 v3 u1 u2)
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---> auf Zeilenstufenform reduzieren
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---> zeigen, dass in homogenen LGS Ax = 0 x4 und x5 freie Unbekannte sind.
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---> ja
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---> lin{u1, u2} ⊆ lin{v1, v2, v3}
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#### Beispiel 2 ####
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u1 = (1 1 0 1)ᵀ
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u2 = (-1 1 0 0)ᵀ
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v1 = (4 0 0 0)ᵀ
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v2 = (1 4 0 0)ᵀ
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v3 = (1 0 1 0)ᵀ
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Setze A := (v1 v2 v3 u1 u2)
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---> auf Zeilenstufenform reduzieren
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---> zeigen, dass in homogenen LGS Ax = 0 x4 und x5 freie Unbekannte sind.
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---> nein
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---> also lin{u1, u2} ⊈ lin{v1, v2, v3}
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### Basis von V/U ###
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--> Beispiel 1.
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u1 = (1 1 0 0)ᵀ
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u2 = (-1 1 0 0)ᵀ
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v1 = (4 0 0 0)ᵀ
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v2 = (1 0 1 0)ᵀ
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v3 = (1 4 0 0)ᵀ
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Schreibweise für Äquivalenzklassen:
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[v] = v + U
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--> die Elemente in V/U
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Setze A := (u1 u2 v1 v2 v3)
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---> auf Zeilenstufenform reduzieren
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---> bestimmen, welche Variablen frei / unfrei sind
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---> bestimme die Basis durch die Spalten, die den unfreien Variablen entsprechen
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--->
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x3, x5 sind frei
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x1, x2, x4 nicht frei
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---> v2 + U (entspricht x4) bildet eine Basis
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## SKA 9-5 ##
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Basis für U:
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u1 = (1 1 0)ᵀ
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u2 = (0 1 1)ᵀ
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Basis für V = ℝ^3:
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v1 = (1 0 0)ᵀ
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v2 = (0 1 0)ᵀ
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v3 = (0 0 1)ᵀ
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A = (u1, u2, v1, v2, v3)
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---> Zeilenstufenform: x1, x2, x3 nicht frei; x4, x5 frei
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---> V / U = lin {v1 + U} = lin { e1 + U }
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und dim(V/U) = 1
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Beachte: v2 = u1 - v1 ===> v2 + U = -(v1 + U)
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v3 = (u2-u1) + v1 ===> v3 + U = v1 + U
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## UB9-2 (Bsp) ##
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Seien
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v1 = (1 0 0 4 1)ᵀ
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v2 = (0 1 0 8 0)ᵀ
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v3 = (-3 0 0 0 1)ᵀ
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φ : ℝ^3 ---> ℝ^5
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sei linear mit
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φ(e_i) = v_i für alle i
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1. Sei x = (x1, x2, x3) ∈ ℝ^3
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φ(x1,x2,x3)
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= φ(x)
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= φ(x1·e1 + x2·e2 + x3·e3)
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= φ(x1·e1) + φ(x2·e2) + φ(x3·e3)
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= x1·φ(e1) + x2·φ(e2) + x3·φ(e3)
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= x1·v1 + x2·v2 + x3·v3
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= Ax
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wobei A = (v1 v2 v3)
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= 1 0 -3
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0 1 0
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0 0 0
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4 8 0
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1 0 1
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Also ist φ = φ_A (siehe Korollar 6.3.15 aus [Sinn2020]).
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Wℝ berechnen den Rang von A, um die Injektivität/Surjektivität/Bijektivität
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von φ zu klassifizieren:
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---> A in Zeilenstufenform:
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1 0 -3
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0 1 0
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0 0 0
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0 0 12
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0 0 4
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Rang(A) = 3
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---> A ist eine mxn Matrix mit m=5, n=3
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Rang(A) = 3 ≥ 3 = n ===> φ = φ_A ist injektiv
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Rang(A) = 3 < 5 = m ===> φ = φ_A ist nicht surjektiv
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m ≠ n ===> φ = φ_A ist nicht bijektiv
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## UB9-3 (wie man ansetzen kann...) ##
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**Zz:** ψ◦ϕ injektiv <===> ϕ injektiv + Kern(ψ) ∩ Bild(ϕ) = {0}
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(==>) Angenommen, ψ◦ϕ injektiv.
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**Zz:** ϕ injektiv + Kern(ψ) ∩ Bild(ϕ) = {0}.
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...
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(<==) Angenommen, ϕ injektiv + Kern(ψ) ∩ Bild(ϕ) = {0}.
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**Zz:** ψ◦ϕ injektiv
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Laut Korollar 6.3.15 aus [Sinn2020] reicht es aus zu zeigen, dass Kern(ψ◦ϕ) = {0}.
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Sei x ∈ U beliebig.
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**Zz:** x ∈ Kern(ψ◦ϕ) <===> x = 0
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x ∈ Kern(ψ◦ϕ)
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<===> (ψ◦ϕ)(x) = 0
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..
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.. <--- ϕ injektiv + Kern(ψ) ∩ Bild(ϕ) = {0} ausnutzen !
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..
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<===> x = 0
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