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TeX
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225 KiB
TeX
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%% AUTHOR: Raj Dahya
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%% CREATED: November 2020
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%% EDITED: —
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%% TYPE: Notizen
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%% TITLE: Lösungen zu diversen Aufgaben im Kurs
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%% DOI: —
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%% DEPARTMENT: Fakultät for Mathematik und Informatik
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%% INSTITUTE: Universität Leipzig
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%% DOCUMENT STRUCTURE:
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%% ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
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%% — root.tex;
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%% |
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%% — parameters.tex;
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%% |
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%% — src/index.tex;
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%% |
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%% — ########;
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%% |
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%% — src/setup-type.tex;
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%% |
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%% — src/setup-packages.tex;
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%% |
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%% — src/setup-parameters.tex;
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%% |
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%% — src/setup-macros.tex;
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%% |
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%% — src/setup-environments.tex;
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%% |
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%% — src/setup-layout.tex;
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%% |
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%% — src/setup-localmacros.tex;
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%% |
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%% — front/index.tex;
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%% |
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%% — front/title.tex;
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%% |
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%% — front/foreword.tex;
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%% |
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%% — front/contents.tex;
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%% |
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%% — body/index.tex;
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%% |
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%% — body/uebung/ueb1.tex;
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%% |
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%% — body/uebung/ueb2.tex;
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%% |
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%% — body/uebung/ueb3.tex;
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%% |
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%% — body/uebung/ueb4.tex;
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%% |
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%% — body/uebung/ueb5.tex;
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%% |
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%% — body/ska/ska1.tex;
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%% |
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%% — body/ska/ska2.tex;
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%% — body/ska/ska3.tex;
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%% |
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%% — body/ska/ska4.tex;
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%% |
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%% — body/ska/ska5.tex;
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%% |
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%% — body/quizzes/quiz1.tex;
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%% |
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%% — body/quizzes/quiz2.tex;
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%% |
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%% — body/quizzes/quiz3.tex;
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%% |
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%% — body/quizzes/quiz4.tex;
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%% |
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%% — body/quizzes/quiz5.tex;
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%% |
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||
%% — back/index.tex;
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%% |
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%% — ./back/quelle.bib;
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%%
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%% DOCUMENT-RANDOM-SEED: 5637845
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%% ********************************************************************************
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%% ********************************************************************************
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%% FILE: root.tex
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%% ********************************************************************************
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%% FILE: parameters.tex
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%% ********************************************************************************
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%% ********************************************************************************
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%% FILE: src/index.tex
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%% ********************************************************************************
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%% FILE: ########
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%% ********************************************************************************
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\makeatletter
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%% ********************************************************************************
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%% FILE: src/setup-type.tex
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%% ********************************************************************************
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\documentclass[
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12pt,
|
||
a4paper,
|
||
oneside,
|
||
openright,
|
||
center,
|
||
chapterbib,
|
||
crosshair,
|
||
fleqn,
|
||
headcount,
|
||
headline,
|
||
indent,
|
||
indentfirst=false,
|
||
portrait,
|
||
phonetic,
|
||
oldernstyle,
|
||
onecolumn,
|
||
sfbold,
|
||
upper,
|
||
]{scrbook}
|
||
|
||
%% ********************************************************************************
|
||
%% FILE: src/setup-packages.tex
|
||
%% ********************************************************************************
|
||
|
||
\PassOptionsToPackage{T2A,OT1}{fontenc} % T1,OT1,T2A,OT2
|
||
\PassOptionsToPackage{utf8}{inputenc} % utf8
|
||
\PassOptionsToPackage{british,english,ngerman,russian}{babel}
|
||
\PassOptionsToPackage{
|
||
english,
|
||
ngerman,
|
||
russian,
|
||
capitalise,
|
||
}{cleveref}
|
||
\PassOptionsToPackage{
|
||
bookmarks=true,
|
||
bookmarksopen=false,
|
||
bookmarksopenlevel=0,
|
||
bookmarkstype=toc,
|
||
colorlinks=false,
|
||
raiselinks=true,
|
||
hyperfigures=true,
|
||
}{hyperref}
|
||
\PassOptionsToPackage{
|
||
reset,
|
||
left=1in,
|
||
right=1in,
|
||
top=20mm,
|
||
bottom=20mm,
|
||
heightrounded,
|
||
}{geometry}
|
||
\PassOptionsToPackage{
|
||
framemethod=TikZ,
|
||
}{mdframed}
|
||
\PassOptionsToPackage{normalem}{ulem}
|
||
\PassOptionsToPackage{
|
||
amsmath,
|
||
thmmarks,
|
||
}{ntheorem}
|
||
\PassOptionsToPackage{table}{xcolor}
|
||
\PassOptionsToPackage{
|
||
all,
|
||
color,
|
||
curve,
|
||
frame,
|
||
import,
|
||
knot,
|
||
line,
|
||
movie,
|
||
rotate,
|
||
textures,
|
||
tile,
|
||
tips,
|
||
web,
|
||
xdvi,
|
||
}{xy}
|
||
|
||
\usepackage{amsfonts}
|
||
\usepackage{amsmath}
|
||
\usepackage{amssymb}
|
||
\usepackage{ntheorem} % <— muss nach den ams* Packages vorkommen!!
|
||
\usepackage{array}
|
||
\usepackage{babel}
|
||
\usepackage{bbding}
|
||
\usepackage{bbm}
|
||
\usepackage{calc}
|
||
\usepackage{sectsty}
|
||
\usepackage{titlesec}
|
||
\usepackage{fancyhdr}
|
||
\usepackage{footmisc}
|
||
\usepackage{geometry}
|
||
\usepackage{graphicx}
|
||
\usepackage{ifpdf}
|
||
\usepackage{ifthen}
|
||
\usepackage{ifnextok}
|
||
\usepackage{longtable}
|
||
\usepackage{multicol}
|
||
\usepackage{multirow}
|
||
\usepackage{nameref}
|
||
\usepackage{nowtoaux}
|
||
\usepackage{paralist}
|
||
\usepackage{enumerate} %% nach [paralist]
|
||
\usepackage{pgf}
|
||
\usepackage{pgfplots}
|
||
\usepackage{proof}
|
||
\usepackage{refcount}
|
||
\usepackage{relsize}
|
||
\usepackage{savesym}
|
||
\usepackage{stmaryrd}
|
||
\usepackage{subfigure}
|
||
\usepackage{yfonts} %% <— Altgotische Fonts
|
||
\usepackage{tikz}
|
||
\usepackage{xy}
|
||
\usepackage{undertilde}
|
||
\usepackage{ulem} %% <– f\"ur besseren \underline-Befehl (\ul)
|
||
\usepackage{xcolor}
|
||
\usepackage{xspace}
|
||
\usepackage{xstring}
|
||
\usepackage{hyperref}
|
||
\usepackage{cleveref} % must vor hyperref geladen werden.
|
||
|
||
\pgfplotsset{compat=newest}
|
||
|
||
\usetikzlibrary{
|
||
angles,
|
||
arrows,
|
||
automata,
|
||
calc,
|
||
decorations,
|
||
decorations.pathmorphing,
|
||
decorations.pathreplacing,
|
||
math,
|
||
positioning,
|
||
patterns,
|
||
quotes,
|
||
snakes,
|
||
}
|
||
|
||
%% \var ≈ alter Befehl
|
||
%% \xvar ≈ wie das neue Package \var interpretieren soll.
|
||
\savesymbol{Diamond}
|
||
\savesymbol{emptyset}
|
||
\savesymbol{ggg}
|
||
\savesymbol{int}
|
||
\savesymbol{lll}
|
||
\savesymbol{RectangleBold}
|
||
\savesymbol{langle}
|
||
\savesymbol{rangle}
|
||
\savesymbol{hookrightarrow}
|
||
\savesymbol{hookleftarrow}
|
||
\savesymbol{Asterisk}
|
||
\usepackage{mathabx}
|
||
\usepackage{wasysym}
|
||
\let\varemptyset=\emptyset
|
||
\restoresymbol{x}{Diamond}
|
||
\restoresymbol{x}{emptyset}
|
||
\restoresymbol{x}{ggg}
|
||
\restoresymbol{x}{int}
|
||
\restoresymbol{x}{lll}
|
||
\restoresymbol{x}{RectangleBold}
|
||
\restoresymbol{x}{langle}
|
||
\restoresymbol{x}{rangle}
|
||
\restoresymbol{x}{hookrightarrow}
|
||
\restoresymbol{x}{hookleftarrow}
|
||
\restoresymbol{x}{Asterisk}
|
||
|
||
\ifpdf
|
||
\usepackage{pdfcolmk}
|
||
\fi
|
||
|
||
\usepackage{mdframed}
|
||
|
||
%% Force-Import aus MnSymbol
|
||
\DeclareFontFamily{U}{MnSymbolA}{}
|
||
\DeclareFontShape{U}{MnSymbolA}{m}{n}{
|
||
<-6> MnSymbolA5
|
||
<6-7> MnSymbolA6
|
||
<7-8> MnSymbolA7
|
||
<8-9> MnSymbolA8
|
||
<9-10> MnSymbolA9
|
||
<10-12> MnSymbolA10
|
||
<12-> MnSymbolA12
|
||
}{}
|
||
\DeclareFontShape{U}{MnSymbolA}{b}{n}{
|
||
<-6> MnSymbolA-Bold5
|
||
<6-7> MnSymbolA-Bold6
|
||
<7-8> MnSymbolA-Bold7
|
||
<8-9> MnSymbolA-Bold8
|
||
<9-10> MnSymbolA-Bold9
|
||
<10-12> MnSymbolA-Bold10
|
||
<12-> MnSymbolA-Bold12
|
||
}{}
|
||
\DeclareSymbolFont{MnSyA}{U}{MnSymbolA}{m}{n}
|
||
\DeclareMathSymbol{\lcirclearrowright}{\mathrel}{MnSyA}{252}
|
||
\DeclareMathSymbol{\lcirclearrowdown}{\mathrel}{MnSyA}{255}
|
||
\DeclareMathSymbol{\rcirclearrowleft}{\mathrel}{MnSyA}{250}
|
||
\DeclareMathSymbol{\rcirclearrowdown}{\mathrel}{MnSyA}{251}
|
||
|
||
\DeclareFontFamily{U}{MnSymbolC}{}
|
||
\DeclareSymbolFont{MnSyC}{U}{MnSymbolC}{m}{n}
|
||
\DeclareFontShape{U}{MnSymbolC}{m}{n}{
|
||
<-6> MnSymbolC5
|
||
<6-7> MnSymbolC6
|
||
<7-8> MnSymbolC7
|
||
<8-9> MnSymbolC8
|
||
<9-10> MnSymbolC9
|
||
<10-12> MnSymbolC10
|
||
<12-> MnSymbolC12%
|
||
}{}
|
||
\DeclareMathSymbol{\powerset}{\mathord}{MnSyC}{180}
|
||
|
||
%% ********************************************************************************
|
||
%% FILE: src/setup-parameters.tex
|
||
%% ********************************************************************************
|
||
|
||
\def\boolwahr{true}
|
||
\def\boolfalsch{false}
|
||
\def\boolleer{}
|
||
|
||
\let\documenttwosided\boolfalsch
|
||
\let\boolinappendix\boolfalsch
|
||
\let\boolinmdframed\boolfalsch
|
||
\let\eqtagset\boolfalsch
|
||
\let\eqtaglabel\boolleer
|
||
\let\eqtagsymb\boolleer
|
||
|
||
\newcount\bufferctr
|
||
\newcount\bufferreplace
|
||
|
||
\newlength\rtab
|
||
\newlength\gesamtlinkerRand
|
||
\newlength\gesamtrechterRand
|
||
\newlength\ownspaceabovethm
|
||
\newlength\ownspacebelowthm
|
||
\setlength{\rtab}{0.025\textwidth}
|
||
\setlength{\ownspaceabovethm}{0.5\baselineskip}
|
||
\setlength{\ownspacebelowthm}{0.5\baselineskip}
|
||
\setlength{\gesamtlinkerRand}{0pt}
|
||
\setlength{\gesamtrechterRand}{0pt}
|
||
|
||
\def\secnumberingpt{$\cdot$}
|
||
\def\secnumberingseppt{.}
|
||
\def\subsecnumberingseppt{}
|
||
\def\thmnumberingpt{$\cdot$}
|
||
\def\thmnumberingseppt{}
|
||
\def\thmForceSepPt{.}
|
||
|
||
\definecolor{leer}{gray}{1}
|
||
\definecolor{hellgrau}{gray}{0.85}
|
||
\definecolor{dunkelgrau}{gray}{0.5}
|
||
\definecolor{maroon}{rgb}{0.6901961,0.1882353,0.3764706}
|
||
\definecolor{dunkelgruen}{rgb}{0.015625,0.363281,0.109375}
|
||
\definecolor{dunkelrot}{rgb}{0.5450980392,0,0}
|
||
\definecolor{dunkelblau}{rgb}{0,0,0.5450980392}
|
||
\definecolor{blau}{rgb}{0,0,1}
|
||
\definecolor{newresult}{rgb}{0.6,0.6,0.6}
|
||
\definecolor{improvedresult}{rgb}{0.9,0.9,0.9}
|
||
\definecolor{hervorheben}{rgb}{0,0.9,0.7}
|
||
\definecolor{starkesblau}{rgb}{0.1019607843,0.3176470588,0.8156862745}
|
||
\definecolor{achtung}{rgb}{1,0.5,0.5}
|
||
\definecolor{frage}{rgb}{0.5,1,0.5}
|
||
\definecolor{schreibweise}{rgb}{0,0.7,0.9}
|
||
\definecolor{axiom}{rgb}{0,0.3,0.3}
|
||
|
||
%% ********************************************************************************
|
||
%% FILE: src/setup-macros.tex
|
||
%% ********************************************************************************
|
||
|
||
%% ****************************************************************
|
||
%% TEX:
|
||
%% ****************************************************************
|
||
|
||
\def\let@name#1#2{\expandafter\let\csname #1\expandafter\endcsname\csname #2\endcsname\relax}
|
||
\DeclareRobustCommand\crfamily{\fontfamily{ccr}\selectfont}
|
||
\DeclareTextFontCommand{\textcr}{\crfamily}
|
||
|
||
\def\nichtzeigen#1{\phantom{#1}}
|
||
|
||
%% ****************************************************************
|
||
%% SPACING:
|
||
%% ****************************************************************
|
||
|
||
\def\ifthenelseleer#1#2#3{\ifthenelse{\equal{#1}{}}{#2}{#1#3}}
|
||
\def\bedingtesspaceexpand#1#2#3{\ifthenelseleer{\csname #1\endcsname}{#3}{#2#3}}
|
||
\def\voritemise{\leavevmode\nvraum{1}}
|
||
\def\hraum{\null\hfill\null}
|
||
\def\vraum{\null\vfill\null}
|
||
\def\nvraum{\@ifnextchar\bgroup{\nvraum@c}{\nvraum@bes}}
|
||
\def\nvraum@c#1{\vspace*{-#1\baselineskip}}
|
||
\def\nvraum@bes{\vspace*{-\baselineskip}}
|
||
\def\erlaubeplatz{\relax\ifmmode\else\@\xspace\fi}
|
||
\def\entferneplatz{\relax\ifmmode\else\expandafter\@gobble\fi}
|
||
|
||
%% ****************************************************************
|
||
%% TAGS / BEZEICHNUNGEN / LABELLING:
|
||
%% ****************************************************************
|
||
|
||
\def\send@toaux#1{\@bsphack\protected@write\@auxout{}{\string#1}\@esphack}
|
||
|
||
%% \rlabel{LABEL}[CTR]{CREF-SHORT}{CREF-LONG}{DISPLAYTEXT}
|
||
\def\rlabel#1[#2]#3#4#5{#5\rlabel@aux{#1}[#2]{#3}{#4}{#5}}
|
||
\def\rlabel@aux#1[#2]#3#4#5{%
|
||
\send@toaux{\newlabel{#1}{{\@currentlabel}{\thepage}{{\unexpanded{#5}}}{#2.\csname the#2\endcsname}{}}}\relax%
|
||
}
|
||
|
||
%% \tag@rawscheme{CREF-SHORT}{CREF-LONG}[CTR]{LEFT-BRKT}{RIGHT-BRKT} [LABEL]{DISPLAYTEXT}
|
||
\def\tag@rawscheme#1#2[#3]#4#5{\@ifnextchar[{\tag@rawscheme@{#1}{#2}[#3]{#4}{#5}}{\tag@rawscheme@{#1}{#2}[#3]{#4}{#5}[*]}}
|
||
\def\tag@rawscheme@#1#2[#3]#4#5[#6]{\@ifnextchar\bgroup{\tag@rawscheme@@{#1}{#2}[#3]{#4}{#5}[#6]}{\tag@rawscheme@@{#1}{#2}[#3]{#4}{#5}[#6]{}}}
|
||
\def\tag@rawscheme@@#1#2[#3]#4#5[#6]#7{%
|
||
\ifthenelse{\equal{#6}{*}}{%
|
||
\ifthenelse{\equal{#7}{\boolleer}}{\refstepcounter{#3}#4\csname the#3\endcsname#5}{#4#7#5}%
|
||
}{%
|
||
\refstepcounter{#3}#4%
|
||
\ifthenelse{\equal{#7}{\boolleer}}{\rlabel{#6}[#3]{#1}{#2}{\csname the#3\endcsname}}{\rlabel{#6}[#3]{#1}{#2}{#7}}%
|
||
#5%
|
||
}%
|
||
}
|
||
%% \tag@scheme{CREF-SHORT}{CREF-LONG}[CTR] [LABEL]{DISPLAYTEXT}
|
||
\def\tag@scheme#1#2[#3]{\tag@rawscheme{#1}{#2}[#3]{\upshape(}{\upshape)}}
|
||
|
||
%% \eqtag[LABEL]{DISPLAYTEXT}
|
||
\def\eqtag@post#1{\makebox[0pt][r]{#1}}
|
||
\def\eqtag@pre{\tag@scheme{Eq}{Equation}[Xe]}
|
||
\def\eqtag{\@ifnextchar[{\eqtag@}{\eqtag@[*]}}
|
||
\def\eqtag@[#1]{\@ifnextchar\bgroup{\eqtag@@[#1]}{\eqtag@@[#1]{}}}
|
||
\def\eqtag@@[#1]#2{\eqtag@post{\eqtag@pre[#1]{#2}}}
|
||
|
||
\def\eqcref#1{\text{(\ref{#1})}}
|
||
\def\ptcref#1{\ref{#1}}
|
||
\def\punktlabel#1{\label{it:#1:\beweislabel}}
|
||
\def\punktcref#1{\eqcref{it:#1:\beweislabel}}
|
||
\def\crefit#1#2{\cref{#1}~\eqcref{it:#2:#1}}
|
||
\def\Crefit#1#2{\Cref{#1}~\eqcref{it:#2:#1}}
|
||
|
||
%% UNDER/OVERSET BEFEHLE
|
||
\def\opfromto[#1]_#2^#3{\underset{#2}{\overset{#3}{#1}}}
|
||
\def\textoverset#1#2{\overset{\text{#1}}{#2}}
|
||
\def\textunderset#1#2{\underset{#2}{\text{#1}}}
|
||
\def\crefoverset#1#2{\textoverset{\cref{#1}}{#2}}
|
||
\def\Crefoverset#1#2{\textoverset{\Cref{#1}}{#2}}
|
||
\def\crefunderset#1#2{\textunderset{#2}{\cref{#1}}}
|
||
\def\Crefunderset#1#2{\textunderset{#2}{\Cref{#1}}}
|
||
\def\eqcrefoverset#1#2{\textoverset{\eqcref{#1}}{#2}}
|
||
\def\eqcrefunderset#1#2{\textunderset{#2}{\eqcref{#1}}}
|
||
\def\mathclap#1{#1}
|
||
\def\oberunterset#1{\@ifnextchar^{\oberunterset@oben{#1}}{\oberunterset@unten{#1}}}
|
||
\def\oberunterset@oben#1^#2_#3{\underset{\mathclap{#3}}{\overset{\mathclap{#2}}{#1}}}
|
||
\def\oberunterset@unten#1_#2^#3{\underset{\mathclap{#2}}{\overset{\mathclap{#3}}{#1}}}
|
||
\def\breitunderbrace#1_#2{\underbrace{#1}_{\mathclap{#2}}}
|
||
\def\breitoverbrace#1^#2{\overbrace{#1}^{\mathclap{#2}}}
|
||
\def\breitunderbracket#1_#2{\underbracket{#1}_{\mathclap{#2}}}
|
||
\def\breitoverbracket#1^#2{\overbracket{#1}^{\mathclap{#2}}}
|
||
|
||
\def\generatenestedsecnumbering#1#2#3{%
|
||
\expandafter\gdef\csname thelong#3\endcsname{%
|
||
\expandafter\csname the#2\endcsname%
|
||
\secnumberingpt%
|
||
\expandafter\csname #1\endcsname{#3}%
|
||
}%
|
||
\expandafter\gdef\csname theshort#3\endcsname{%
|
||
\expandafter\csname #1\endcsname{#3}%
|
||
}%
|
||
}
|
||
\def\generatenestedthmnumbering#1#2#3{%
|
||
\expandafter\gdef\csname the#3\endcsname{%
|
||
\expandafter\csname the#2\endcsname%
|
||
\thmnumberingpt%
|
||
\expandafter\csname #1\endcsname{#3}%
|
||
}%
|
||
\expandafter\gdef\csname theshort#3\endcsname{%
|
||
\expandafter\csname #1\endcsname{#3}%
|
||
}%
|
||
}
|
||
|
||
%% ****************************************************************
|
||
%% ALLG. MACROS:
|
||
%% ****************************************************************
|
||
|
||
\def\+#1{\addtocounter{#1}{1}}
|
||
\def\setcounternach#1#2{\setcounter{#1}{#2}\addtocounter{#1}{-1}}
|
||
\def\textsubscript#1{${}_{\textup{#1}}$}
|
||
\def\rome#1{\overline{\underline{#1}}}
|
||
\def\textTODO{\text{[{\large\textcolor{red}{More work needed!}}]}}
|
||
\def\hlineEIGENpt{\hdashline[0.5pt/5pt]}
|
||
\def\clineEIGENpt#1{\cdashline{#1}[0.5pt/5pt]}
|
||
|
||
\def\forcepunkt#1{#1\IfEndWith{#1}{.}{}{.}}
|
||
\def\lateinabkuerzung#1#2{%
|
||
\expandafter\gdef\csname #1\endcsname{\emph{#2}\@ifnextchar.{\entferneplatz}{\erlaubeplatz}}
|
||
}
|
||
\def\deutscheabkuerzung#1#2{%
|
||
\expandafter\gdef\csname #1\endcsname{{#2}\@ifnextchar.{\entferneplatz}{\erlaubeplatz}}
|
||
}
|
||
|
||
%% ****************************************************************
|
||
%% MATHE
|
||
%% ****************************************************************
|
||
|
||
\def\matrix#1{\left(\begin{array}{#1}}
|
||
\def\endmatrix{\end{array}\right)}
|
||
\def\smatrix{\left(\begin{smallmatrix}}
|
||
\def\endsmatrix{\end{smallmatrix}\right)}
|
||
|
||
\def\multiargrekursiverbefehl#1#2#3#4#5#6#7#8{%
|
||
\expandafter\gdef\csname#1\endcsname #2##1#4{\csname #1@anfang\endcsname##1#3\egroup}
|
||
\expandafter\def\csname #1@anfang\endcsname##1#3{#5##1\@ifnextchar\egroup{\csname #1@ende\endcsname}{#7\csname #1@mitte\endcsname}}
|
||
\expandafter\def\csname #1@mitte\endcsname##1#3{#6##1\@ifnextchar\egroup{\csname #1@ende\endcsname}{#7\csname #1@mitte\endcsname}}
|
||
\expandafter\def\csname #1@ende\endcsname##1{#8}
|
||
}
|
||
\multiargrekursiverbefehl{svektor}{[}{;}{]}{\begin{smatrix}}{}{\\}{\\\end{smatrix}}
|
||
\multiargrekursiverbefehl{vektor}{[}{;}{]}{\begin{matrix}{c}}{}{\\}{\\\end{matrix}}
|
||
\multiargrekursiverbefehl{vektorzeile}{}{,}{;}{}{&}{}{}
|
||
\multiargrekursiverbefehl{matlabmatrix}{[}{;}{]}{\begin{smatrix}\vektorzeile}{\vektorzeile}{;\\}{;\end{smatrix}}
|
||
|
||
\def\cases[#1]#2{\left\{\begin{array}[#1]{#2}}
|
||
\def\endcases{\end{array}\right.}
|
||
|
||
\def\BeweisRichtung[#1]{\@ifnextchar\bgroup{\@BeweisRichtung@c[#1]}{\@BeweisRichtung@bes[#1]}}
|
||
\def\@BeweisRichtung@bes[#1]{{\bfseries(#1).~}}
|
||
\def\@BeweisRichtung@c[#1]#2#3{{\bfseries(#2#1#3).~}}
|
||
\def\erzeugeBeweisRichtungBefehle#1#2{
|
||
\expandafter\gdef\csname #1text\endcsname##1##2{\BeweisRichtung[#2]{##1}{##2}}
|
||
\expandafter\gdef\csname #1\endcsname{%
|
||
\@ifnextchar\bgroup{\csname #1@\endcsname}{\csname #1text\endcsname{}{}}%
|
||
}
|
||
\expandafter\gdef\csname #1@\endcsname##1##2{%
|
||
\csname #1text\endcsname{\punktcref{##1}}{\punktcref{##2}}%
|
||
}
|
||
}
|
||
\erzeugeBeweisRichtungBefehle{hinRichtung}{$\Longrightarrow$}
|
||
\erzeugeBeweisRichtungBefehle{herRichtung}{$\Longleftarrow$}
|
||
\erzeugeBeweisRichtungBefehle{hinherRichtung}{$\Longleftrightarrow$}
|
||
|
||
\def\cal#1{\mathcal{#1}}
|
||
\def\brkt#1{\langle{}#1{}\rangle}
|
||
\def\mathfrak#1{\mbox{\usefont{U}{euf}{m}{n}#1}}
|
||
\def\kurs#1{\textit{#1}}
|
||
\def\rectangleblack{\text{\RectangleBold}}
|
||
\def\rectanglewhite{\text{\Rectangle}}
|
||
\def\squareblack{\blacksquare}
|
||
\def\squarewhite{\Box}
|
||
|
||
%% ********************************************************************************
|
||
%% FILE: src/setup-environments.tex
|
||
%% ********************************************************************************
|
||
|
||
%% **********************************************************************
|
||
%% CLEVEREF: ************************************************************
|
||
|
||
\def\crefname@full#1#2#3{\crefname{#1}{#2}{#3}\Crefname{#1}{#2}{#3}}
|
||
\crefname@full{chapter}{Kapitel}{Kapitel}
|
||
\crefname@full{section}{Abschnitt}{Abschnitte}
|
||
\crefname@full{figure}{Fig.}{Fig.}
|
||
\crefname@full{subfigure}{Fig.}{Fig.}
|
||
|
||
\crefname@full{proof}{Beweis}{Beweise}
|
||
\crefname@full{thm}{Theorem}{Theoreme}
|
||
\crefname@full{satz}{Satz}{Sätze}
|
||
\crefname@full{claim}{Behauptung}{Behauptungen}
|
||
\crefname@full{lemm}{Lemma}{Lemmata}
|
||
\crefname@full{cor}{Korollar}{Korollarien}
|
||
\crefname@full{folg}{Folgerung}{Folgerungen}
|
||
\crefname@full{prop}{Proposition}{Propositionen}
|
||
\crefname@full{defn}{Definition}{Definitionen}
|
||
\crefname@full{conv}{Konvention}{Konventionen}
|
||
\crefname@full{fact}{Fakt}{Fakten}
|
||
\crefname@full{rem}{Bemerkung}{Bemerkungen}
|
||
\crefname@full{qstn}{Frage}{Fragen}
|
||
\crefname@full{e.g.}{Beipsiel}{Beipsiele}
|
||
|
||
%% ****************************************************************
|
||
%% THEOREME:
|
||
%% ****************************************************************
|
||
|
||
\def\qedEIGEN#1{\@ifnextchar[{\qedEIGEN@c{#1}}{\qedEIGEN@bes{#1}}}%]
|
||
\def\qedEIGEN@bes#1{%
|
||
\parfillskip=0pt% % so \par doesnt push \square to left
|
||
\widowpenalty=10000% % so we dont break the page before \square
|
||
\displaywidowpenalty=10000% % ditto
|
||
\finalhyphendemerits=0% % TeXbook exercise 14.32
|
||
\leavevmode% % \nobreak means lines not pages
|
||
\unskip% % remove previous space or glue
|
||
\nobreak% % don’t break lines
|
||
\hfil% % ragged right if we spill over
|
||
\penalty50% % discouragement to do so
|
||
\hskip.2em% % ensure some space
|
||
\null% % anchor following \hfill
|
||
\hfill% % push \square to right
|
||
#1% % the end-of-proof mark
|
||
\par%
|
||
}
|
||
\def\qedEIGEN@c#1[#2]{%
|
||
\parfillskip=0pt% % so \par doesnt push \square to left
|
||
\widowpenalty=10000% % so we dont break the page before \square
|
||
\displaywidowpenalty=10000% % ditto
|
||
\finalhyphendemerits=0% % TeXbook exercise 14.32
|
||
\leavevmode% % \nobreak means lines not pages
|
||
\unskip% % remove previous space or glue
|
||
\nobreak% % don’t break lines
|
||
\hfil% % ragged right if we spill over
|
||
\penalty50% % discouragement to do so
|
||
\hskip.2em% % ensure some space
|
||
\null% % anchor following \hfill
|
||
\hfill% % push \square to right
|
||
{#1~{\smaller\bfseries\upshape (#2)}}%
|
||
\par%
|
||
}
|
||
\def\qedVARIANT#1#2{
|
||
\expandafter\def\csname ennde#1Sign\endcsname{#2}
|
||
\expandafter\def\csname ennde#1\endcsname{\@ifnextchar[{\qedEIGEN@c{#2}}{\qedEIGEN@bes{#2}}} %]
|
||
}
|
||
\qedVARIANT{OfProof}{$\squareblack$}
|
||
\qedVARIANT{OfWork}{\rectangleblack}
|
||
\qedVARIANT{OfSomething}{$\dashv$}
|
||
\qedVARIANT{OnNeutral}{$\lozenge$} % \lozenge \bigcirc \blacklozenge
|
||
\def\qedsymbol{\enndeOfProofSign}
|
||
\def\proofSymbol{\enndeOfProofSign}
|
||
|
||
\def\ra@pretheoremwork{
|
||
\setlength{\theorempreskipamount}{\ownspaceabovethm}
|
||
}
|
||
\def\rathmtransfer#1#2{
|
||
\expandafter\def\csname #2\endcsname{\csname #1\endcsname}
|
||
\expandafter\def\csname end#2\endcsname{\csname end#1\endcsname}
|
||
}
|
||
|
||
\def\ranewthm#1#2#3[#4]{
|
||
%% FOR \BEGIN{THM}
|
||
\theoremstyle{\current@theoremstyle}
|
||
\theoremseparator{\current@theoremseparator}
|
||
\theoremprework{\ra@pretheoremwork}
|
||
\@ifundefined{#1@basic}{\newtheorem{#1@basic}[#4]{#2}}{\renewtheorem{#1@basic}[#4]{#2}}
|
||
%% FOR \BEGIN{THM}[...]
|
||
\theoremstyle{\current@theoremstyle}
|
||
\theoremseparator{\thmForceSepPt}
|
||
\theoremprework{\ra@pretheoremwork}
|
||
\@ifundefined{#1@withName}{\newtheorem{#1@withName}[#4]{#2}}{\renewtheorem{#1@withName}[#4]{#2}}
|
||
%% FOR \BEGIN{THM*}
|
||
\theoremstyle{nonumberplain}
|
||
\theoremseparator{\thmForceSepPt}
|
||
\theoremprework{\ra@pretheoremwork}
|
||
\@ifundefined{#1@star@basic}{\newtheorem{#1@star@basic}[#4]{#2}}{\renewtheorem{#1@star@basic}[#4]{#2}}
|
||
%% FOR \BEGIN{THM*}[...]
|
||
\theoremstyle{nonumberplain}
|
||
\theoremseparator{\thmForceSepPt}
|
||
\theoremprework{\ra@pretheoremwork}
|
||
\@ifundefined{#1@star@withName}{\newtheorem{#1@star@withName}[#4]{#2}}{\renewtheorem{#1@star@withName}[#4]{#2}}
|
||
%% GENERATE ENVIRONMENTS:
|
||
\umbauenenv{#1}{#3}[#4]
|
||
\umbauenenv{#1@star}{#3}[#4]
|
||
%% TRANSFER *-DEFINITION
|
||
\rathmtransfer{#1@star}{#1*}
|
||
}
|
||
|
||
\def\umbauenenv#1#2[#3]{%
|
||
%% \BEGIN{THM}...
|
||
\expandafter\def\csname #1\endcsname{\relax%
|
||
\@ifnextchar[{\csname #1@\endcsname}{\csname #1@\endcsname[*]}%
|
||
}
|
||
%% \BEGIN{THM}[ANFANG]...
|
||
\expandafter\def\csname #1@\endcsname[##1]{\relax%
|
||
\@ifnextchar[{\csname #1@@\endcsname[##1]}{\csname #1@@\endcsname[##1][*]}%
|
||
}
|
||
%% \BEGIN{THM}[ANFANG][SCHLUSS]
|
||
\expandafter\def\csname #1@@\endcsname[##1][##2]{%
|
||
\ifx*##1%
|
||
\def\enndeOfBlock{\csname end#1@basic\endcsname}
|
||
\csname #1@basic\endcsname%
|
||
\else%
|
||
\def\enndeOfBlock{\csname end#1@withName\endcsname}
|
||
\csname #1@withName\endcsname[##1]%
|
||
\fi%
|
||
\def\makelabel####1{%
|
||
\gdef\beweislabel{####1}%
|
||
\label{\beweislabel}%
|
||
}%
|
||
\ifx*##2%
|
||
\def\enndeSymbol{\qedEIGEN{#2}}
|
||
\else%
|
||
\def\enndeSymbol{\qedEIGEN{#2}[##2]}
|
||
\fi
|
||
}
|
||
%% \END{THM}
|
||
\expandafter\gdef\csname end#1\endcsname{\enndeSymbol\enndeOfBlock}
|
||
}
|
||
|
||
%% NEWTHEOREM EINSTELLUNGSOPTIONEN:
|
||
%% F\"UR \theoremstyle
|
||
%% plain Emulates original LATEX defin, except uses param \theorem...skipamount.
|
||
%% break Header followed by line break.
|
||
%% change Header, Number and Text are interchanged, without a line break.
|
||
%% changebreak =change, but with a line break after Header.
|
||
%% margin Number in left margin, without a line break.
|
||
%% marginbreak =margin, but with a line break after the header.
|
||
%% nonumberplain =plain, without number.
|
||
%% nonumberbreak =break, without number.
|
||
%% empty No number, no name. Only the optional argument is typeset.
|
||
%% \theoremclass \theoremnumbering
|
||
%% \theorempreskip \theorempostkip \theoremindent
|
||
%% \theoremprework \theorempostwork
|
||
|
||
\def\current@theoremstyle{plain}
|
||
\def\current@theoremseparator{\thmnumberingseppt}
|
||
\theoremstyle{\current@theoremstyle}
|
||
\theoremseparator{\current@theoremseparator}
|
||
\theoremsymbol{}
|
||
|
||
\newtheorem{X}{X}[chapter] % for most theorems
|
||
\newtheorem{Xe}{Xe}[chapter] % for equations
|
||
\newtheorem*{Xdisplaynone}{Xdisplaynone}[chapter] % a dummy counter, that will never be displayed.
|
||
\newtheorem{Xsp}{Xsp}[chapter] % for special theorems
|
||
\generatenestedthmnumbering{arabic}{chapter}{X}
|
||
\generatenestedthmnumbering{arabic}{chapter}{Xe}
|
||
\generatenestedthmnumbering{Roman}{chapter}{Xsp}
|
||
\let\theXsp\theshortXsp
|
||
|
||
\theoremheaderfont{\upshape\bfseries}
|
||
\theorembodyfont{\slshape}
|
||
|
||
\ranewthm{thm}{Theorem}{\enndeOnNeutralSign}[X]
|
||
\ranewthm{satz}{Satz}{\enndeOnNeutralSign}[X]
|
||
\ranewthm{claim}{Behauptung}{\enndeOnNeutralSign}[X]
|
||
\ranewthm{lemm}{Lemma}{\enndeOnNeutralSign}[X]
|
||
\ranewthm{cor}{Korollar}{\enndeOnNeutralSign}[X]
|
||
\ranewthm{folg}{Folgerung}{\enndeOnNeutralSign}[X]
|
||
\ranewthm{prop}{Proposition}{\enndeOnNeutralSign}[X]
|
||
|
||
\theorembodyfont{\upshape}
|
||
|
||
\ranewthm{defn}{Definition}{\enndeOnNeutralSign}[X]
|
||
\ranewthm{conv}{Konvention}{\enndeOnNeutralSign}[X]
|
||
\ranewthm{e.g.}{Beipsiel}{\enndeOnNeutralSign}[X]
|
||
\ranewthm{fact}{Fakt}{\enndeOnNeutralSign}[X]
|
||
\ranewthm{rem}{Bemerkung}{\enndeOnNeutralSign}[X]
|
||
\ranewthm{qstn}{Frage}{\enndeOnNeutralSign}[X]
|
||
|
||
\theoremheaderfont{\itshape\bfseries}
|
||
\theorembodyfont{\upshape}
|
||
|
||
\ranewthm{proof@tmp}{Beweis}{\enndeOfProofSign}[Xdisplaynone]
|
||
\rathmtransfer{proof@tmp*}{proof}
|
||
|
||
\def\behauptungbeleg@claim{%
|
||
\iflanguage{british}{Claim}{%
|
||
\iflanguage{english}{Claim}{%
|
||
\iflanguage{ngerman}{Behauptung}{%
|
||
\iflanguage{russian}{Утверждение}{%
|
||
Claim%
|
||
}}}}%
|
||
}
|
||
\def\behauptungbeleg@pf@kurz{%
|
||
\iflanguage{british}{Pf}{%
|
||
\iflanguage{english}{Pf}{%
|
||
\iflanguage{ngerman}{Bew}{%
|
||
\iflanguage{russian}{Доказательство}{%
|
||
Pf%
|
||
}}}}%
|
||
}
|
||
\def\behauptungbeleg{\@ifnextchar\bgroup{\behauptungbeleg@c}{\behauptungbeleg@bes}}
|
||
\def\behauptungbeleg@c#1{\item[{\bfseries \behauptungbeleg@claim\erlaubeplatz #1.}]}
|
||
\def\behauptungbeleg@bes{\item[{\bfseries \behauptungbeleg@claim.}]}
|
||
\def\belegbehauptung{\item[{\bfseries\itshape\behauptungbeleg@pf@kurz.}]}
|
||
|
||
%% ****************************************************************
|
||
%% ALTE UMGEBUNGEN:
|
||
%% ****************************************************************
|
||
|
||
\newcolumntype{\RECHTS}[1]{>{\raggedleft}p{#1}}
|
||
\newcolumntype{\LINKS}[1]{>{\raggedright}p{#1}}
|
||
\newcolumntype{m}{>{$}l<{$}}
|
||
\newcolumntype{C}{>{$}c<{$}}
|
||
\newcolumntype{L}{>{$}l<{$}}
|
||
\newcolumntype{R}{>{$}r<{$}}
|
||
\newcolumntype{0}{@{\hspace{0pt}}}
|
||
\newcolumntype{\LINKSRAND}{@{\hspace{\@totalleftmargin}}}
|
||
\newcolumntype{h}{@{\extracolsep{\fill}}}
|
||
\newcolumntype{i}{>{\itshape}}
|
||
\newcolumntype{t}{@{\hspace{\tabcolsep}}}
|
||
\newcolumntype{q}{@{\hspace{1em}}}
|
||
\newcolumntype{n}{@{\hspace{-\tabcolsep}}}
|
||
\newcolumntype{M}[2]{%
|
||
>{\begin{minipage}{#2}\begin{math}}%
|
||
{#1}%
|
||
<{\end{math}\end{minipage}}%
|
||
}
|
||
\newcolumntype{T}[2]{%
|
||
>{\begin{minipage}{#2}}%
|
||
{#1}%
|
||
<{\end{minipage}}%
|
||
}
|
||
\setlength{\LTpre}{\baselineskip}
|
||
\setlength{\LTpost}{0pt}
|
||
\def\center{\centering}
|
||
\def\endcenter{}
|
||
|
||
\def\punkteumgebung@genbefehl#1#2#3{
|
||
\punkteumgebung@genbefehl@{#1}{#2}{#3}{}{}
|
||
\punkteumgebung@genbefehl@{multi#1}{#2}{#3}{
|
||
\setlength{\columnsep}{10pt}%
|
||
\setlength{\columnseprule}{0pt}%
|
||
\begin{multicols}{\thecolumnanzahl}%
|
||
}{\end{multicols}\nvraum{1}}
|
||
}
|
||
\def\punkteumgebung@genbefehl@#1#2#3#4#5{
|
||
\expandafter\gdef\csname #1\endcsname{
|
||
\@ifnextchar\bgroup{\csname #1@c\endcsname}{\csname #1@bes\endcsname}
|
||
}%]
|
||
\expandafter\def\csname #1@c\endcsname##1{
|
||
\@ifnextchar[{\csname #1@c@\endcsname{##1}}{\csname #1@c@\endcsname{##1}[\z@]}
|
||
}%]
|
||
\expandafter\def\csname #1@c@\endcsname##1[##2]{
|
||
\@ifnextchar[{\csname #1@c@@\endcsname{##1}[##2]}{\csname #1@c@@\endcsname{##1}[##2][\z@]}
|
||
}%]
|
||
\expandafter\def\csname #1@c@@\endcsname##1[##2][##3]{
|
||
\let\alterlinkerRand\gesamtlinkerRand
|
||
\let\alterrechterRand\gesamtrechterRand
|
||
\addtolength{\gesamtlinkerRand}{##2}
|
||
\addtolength{\gesamtrechterRand}{##3}
|
||
\advance\linewidth -##2%
|
||
\advance\linewidth -##3%
|
||
\advance\@totalleftmargin ##2%
|
||
\parshape\@ne \@totalleftmargin\linewidth%
|
||
#4
|
||
\begin{#2}[\upshape ##1]%
|
||
\setlength{\parskip}{0.5\baselineskip}\relax%
|
||
\setlength{\topsep}{\z@}\relax%
|
||
\setlength{\partopsep}{\z@}\relax%
|
||
\setlength{\parsep}{\parskip}\relax%
|
||
\setlength{\itemsep}{#3}\relax%
|
||
\setlength{\listparindent}{\z@}\relax%
|
||
\setlength{\itemindent}{\z@}\relax%
|
||
}
|
||
\expandafter\def\csname #1@bes\endcsname{
|
||
\@ifnextchar[{\csname #1@bes@\endcsname}{\csname #1@bes@\endcsname[\z@]}
|
||
}%]
|
||
\expandafter\def\csname #1@bes@\endcsname[##1]{
|
||
\@ifnextchar[{\csname #1@bes@@\endcsname[##1]}{\csname #1@bes@@\endcsname[##1][\z@]}
|
||
}%]
|
||
\expandafter\def\csname #1@bes@@\endcsname[##1][##2]{
|
||
\let\alterlinkerRand\gesamtlinkerRand
|
||
\let\alterrechterRand\gesamtrechterRand
|
||
\addtolength{\gesamtlinkerRand}{##1}
|
||
\addtolength{\gesamtrechterRand}{##2}
|
||
\advance\linewidth -##1%
|
||
\advance\linewidth -##2%
|
||
\advance\@totalleftmargin ##1%
|
||
\parshape\@ne \@totalleftmargin\linewidth%
|
||
#4
|
||
\begin{#2}%
|
||
\setlength{\parskip}{0.5\baselineskip}\relax%
|
||
\setlength{\topsep}{\z@}\relax%
|
||
\setlength{\partopsep}{\z@}\relax%
|
||
\setlength{\parsep}{\parskip}\relax%
|
||
\setlength{\itemsep}{#3}\relax%
|
||
\setlength{\listparindent}{\z@}\relax%
|
||
\setlength{\itemindent}{\z@}\relax%
|
||
}
|
||
\expandafter\gdef\csname end#1\endcsname{%
|
||
\end{#2}#5
|
||
\setlength{\gesamtlinkerRand}{\alterlinkerRand}
|
||
\setlength{\gesamtlinkerRand}{\alterrechterRand}
|
||
}
|
||
}
|
||
|
||
\def\ritempunkt{{\Large\textbullet}} % \textbullet, $\sqbullet$, $\blacktriangleright$
|
||
\setdefaultitem{\ritempunkt}{\ritempunkt}{\ritempunkt}{\ritempunkt}
|
||
\punkteumgebung@genbefehl{itemise}{compactitem}{\parskip}{}{}
|
||
\punkteumgebung@genbefehl{kompaktitem}{compactitem}{\z@}{}{}
|
||
\punkteumgebung@genbefehl{enumerate}{compactenum}{\parskip}{}{}
|
||
\punkteumgebung@genbefehl{kompaktenum}{compactenum}{\z@}{}{}
|
||
|
||
\let\ALTthebibliography\thebibliography
|
||
\renewenvironment{thebibliography}[1]{%
|
||
\begin{ALTthebibliography}{#1}
|
||
\addcontentsline{toc}{part}{\bibname}
|
||
}{%
|
||
\end{ALTthebibliography}
|
||
}
|
||
|
||
%% ****************************************************************
|
||
%% NEUE UMGEBUNGEN:
|
||
%% ****************************************************************
|
||
|
||
\def\matrix#1{\left(\begin{array}[mc]{#1}}
|
||
\def\endmatrix{\end{array}\right)}
|
||
\def\smatrix{\left(\begin{smallmatrix}}
|
||
\def\endsmatrix{\end{smallmatrix}\right)}
|
||
\def\vector{\begin{matrix}{c}}
|
||
\def\endvector{\end{matrix}}
|
||
\def\svector{\begin{smatrix}}
|
||
\def\endsvector{\end{smatrix}}
|
||
|
||
\def\multiargrekursiverbefehl#1#2#3#4#5#6#7#8{%
|
||
\expandafter\gdef\csname#1\endcsname #2##1#4{\csname #1@anfang\endcsname##1#3\egroup}
|
||
\expandafter\def\csname #1@anfang\endcsname##1#3{#5##1\@ifnextchar\egroup{\csname #1@ende\endcsname}{#7\csname #1@mitte\endcsname}}
|
||
\expandafter\def\csname #1@mitte\endcsname##1#3{#6##1\@ifnextchar\egroup{\csname #1@ende\endcsname}{#7\csname #1@mitte\endcsname}}
|
||
\expandafter\def\csname #1@ende\endcsname##1{#8}
|
||
}
|
||
\multiargrekursiverbefehl{svektor}{[}{;}{]}{\begin{smatrix}}{}{\\}{\\\end{smatrix}}
|
||
\multiargrekursiverbefehl{vektor}{[}{;}{]}{\begin{matrix}{c}}{}{\\}{\\\end{matrix}}
|
||
\multiargrekursiverbefehl{vektorzeile}{}{,}{;}{}{&}{}{}
|
||
\multiargrekursiverbefehl{matlabmatrix}{[}{;}{]}{\begin{smatrix}\vektorzeile}{\vektorzeile}{;\\}{;\end{smatrix}}
|
||
|
||
\def\underbracenodisplay#1{%
|
||
\mathop{\vtop{\m@th\ialign{##\crcr
|
||
$\hfil\displaystyle{#1}\hfil$\crcr
|
||
\noalign{\kern3\p@\nointerlineskip}%
|
||
\upbracefill\crcr\noalign{\kern3\p@}}}}\limits%
|
||
}
|
||
|
||
\def\mathe[#1]#2{%
|
||
\ifthenelse{\equal{\boolinmdframed}{\boolwahr}}{}{\begin{escapeeinzug}}
|
||
\noindent%
|
||
\let\eqtagset\boolfalsch
|
||
\let\eqtaglabel\boolleer
|
||
\let\eqtagsymb\boolleer
|
||
\let\alteqtag\eqtag
|
||
\def\eqtag{\@ifnextchar[{\eqtag@loc@}{\eqtag@loc@[*]}}%
|
||
\def\eqtag@loc@[##1]{\@ifnextchar\bgroup{\eqtag@loc@@[##1]}{\eqtag@loc@@[##1]{}}}%
|
||
\def\eqtag@loc@@[##1]##2{%
|
||
\gdef\eqtagset{\boolwahr}
|
||
\gdef\eqtaglabel{##1}
|
||
\gdef\eqtagsymb{##2}
|
||
}%
|
||
\def\verticalalign{}%
|
||
\IfBeginWith{#1}{t}{\def\verticalalign{t}}{}%
|
||
\IfBeginWith{#1}{m}{\def\verticalalign{c}}{}%
|
||
\IfBeginWith{#1}{b}{\def\verticalalign{b}}{}%
|
||
\def\horizontalalign{\null\hfill\null}%
|
||
\IfEndWith{#1}{l}{}{\null\hfill\null}%
|
||
\IfEndWith{#1}{r}{\def\horizontalalign{}}{}%
|
||
\begin{math}
|
||
\begin{array}[\verticalalign]{0#2}%
|
||
}
|
||
\def\endmathe{%
|
||
\end{array}
|
||
\end{math}\horizontalalign%
|
||
\let\eqtag\alteqtag
|
||
\ifthenelse{\equal{\eqtagset}{\boolwahr}}{\eqtag[\eqtaglabel]{\eqtagsymb}}{}
|
||
\ifthenelse{\equal{\boolinmdframed}{\boolwahr}}{}{\end{escapeeinzug}}%
|
||
}
|
||
|
||
\def\longmathe[#1]#2{\relax
|
||
\let\altarraystretch\arraystretch
|
||
\renewcommand\arraystretch{1.2}\relax
|
||
\begin{longtable}[#1]{\LINKSRAND #2}
|
||
}
|
||
\def\endlongmathe{
|
||
\end{longtable}
|
||
\renewcommand\arraystretch{\altarraystretch}
|
||
}
|
||
|
||
\def\einzug{\@ifnextchar[{\indents@}{\indents@[\z@]}}%]
|
||
\def\indents@[#1]{\@ifnextchar[{\indents@@[#1]}{\indents@@[#1][\z@]}}%]
|
||
\def\indents@@[#1][#2]{%
|
||
\begin{list}{}{\relax
|
||
\setlength{\topsep}{\z@}\relax
|
||
\setlength{\partopsep}{\z@}\relax
|
||
\setlength{\parsep}{\parskip}\relax
|
||
\setlength{\listparindent}{\z@}\relax
|
||
\setlength{\itemindent}{\z@}\relax
|
||
\setlength{\leftmargin}{#1}\relax
|
||
\setlength{\rightmargin}{#2}\relax
|
||
\let\alterlinkerRand\gesamtlinkerRand
|
||
\let\alterrechterRand\gesamtrechterRand
|
||
\addtolength{\gesamtlinkerRand}{#1}
|
||
\addtolength{\gesamtrechterRand}{#2}
|
||
}\relax
|
||
\item[]\relax
|
||
}
|
||
\def\endeinzug{%
|
||
\setlength{\gesamtlinkerRand}{\alterlinkerRand}
|
||
\setlength{\gesamtlinkerRand}{\alterrechterRand}
|
||
\end{list}%
|
||
}
|
||
|
||
\def\escapeeinzug{\begin{einzug}[-\gesamtlinkerRand][-\gesamtrechterRand]}
|
||
\def\endescapeeinzug{\end{einzug}}
|
||
|
||
\def\programmiercode{
|
||
\modulolinenumbers[1]
|
||
\begin{einzug}[\rtab][\rtab]%
|
||
\begin{linenumbers}%
|
||
\fontfamily{cmtt}\fontseries{m}\fontshape{u}\selectfont%
|
||
\setlength{\parskip}{1\baselineskip}%
|
||
\setlength{\parindent}{0pt}%
|
||
}
|
||
\def\endprogrammiercode{
|
||
\end{linenumbers}
|
||
\end{einzug}
|
||
}
|
||
|
||
\def\schattiertebox@genbefehl#1#2#3{
|
||
\expandafter\gdef\csname #1\endcsname{%
|
||
\@ifnextchar[{\csname #1@args\endcsname}{\csname #1@args\endcsname[#3]}%]%
|
||
}
|
||
\expandafter\def\csname #1@args\endcsname[##1]{%
|
||
\@ifnextchar[{\csname #1@args@l\endcsname[##1]}{\csname #1@args@n\endcsname[##1]}%]%
|
||
}
|
||
\expandafter\def\csname #1@args@l\endcsname[##1][##2]{%
|
||
\@ifnextchar[{\csname #1@args@l@r\endcsname[##1][##2]}{\csname #1@args@l@n\endcsname[##1][##2]}%]%
|
||
}
|
||
\expandafter\def\csname #1@args@n\endcsname[##1]{%
|
||
\let\boolinmdframed\boolwahr
|
||
\begin{mdframed}[#2leftmargin=0,rightmargin=0,outermargin=0,innermargin=0,##1]
|
||
}
|
||
\expandafter\def\csname #1@args@l@n\endcsname[##1][##2]{%
|
||
\let\boolinmdframed\boolwahr
|
||
\begin{mdframed}[#2leftmargin=##2/2,rightmargin=##2/2,outermargin=##2/2,innermargin=##2/2,##1]
|
||
}
|
||
\expandafter\def\csname #1@args@l@r\endcsname[##1][##2][##3]{%
|
||
\let\boolinmdframed\boolwahr
|
||
\begin{mdframed}[#2leftmargin=##2,rightmargin=##3,outermargin=##2,innermargin=##3,##1]
|
||
}
|
||
\expandafter\gdef\csname end#1\endcsname{%
|
||
\end{mdframed}
|
||
\let\boolinmdframed\boolfalsch
|
||
}
|
||
}
|
||
\schattiertebox@genbefehl{schattiertebox}{
|
||
splittopskip=0,%
|
||
splitbottomskip=0,%
|
||
frametitleaboveskip=0,%
|
||
frametitlebelowskip=0,%
|
||
skipabove=1\baselineskip,%
|
||
skipbelow=1\baselineskip,%
|
||
linewidth=2pt,%
|
||
linecolor=black,%
|
||
roundcorner=4pt,%
|
||
}{
|
||
backgroundcolor=leer,%
|
||
nobreak=true,%
|
||
}
|
||
|
||
\schattiertebox@genbefehl{schattierteboxdunn}{
|
||
splittopskip=0,%
|
||
splitbottomskip=0,%
|
||
frametitleaboveskip=0,%
|
||
frametitlebelowskip=0,%
|
||
skipabove=1\baselineskip,%
|
||
skipbelow=1\baselineskip,%
|
||
linewidth=1pt,%
|
||
linecolor=black,%
|
||
roundcorner=2pt,%
|
||
}{
|
||
backgroundcolor=leer,%
|
||
nobreak=true,%
|
||
}
|
||
|
||
\def\algorithm{\schattiertebox[backgroundcolor=hellgrau,nobreak=false]}
|
||
\def\endalgorithm{\endschattiertebox}
|
||
|
||
\def\tikzsetzenode#1{%
|
||
\tikz[remember picture,baseline,overlay]{\node #1;}%
|
||
}
|
||
\def\tikzsetzepfeil#1{%
|
||
\begin{tikzpicture}[remember picture,overlay,>=latex]%
|
||
\draw #1;%
|
||
\end{tikzpicture}%
|
||
}
|
||
\def\tikzsetzeoverlay#1{%
|
||
\begin{tikzpicture}[remember picture,overlay,>=latex]%
|
||
#1%
|
||
\end{tikzpicture}%
|
||
}
|
||
\def\tikzsetzekreise[#1]#2#3{%
|
||
\tikzsetzepfeil{%
|
||
[rounded corners,#1]%
|
||
([shift={(-\tabcolsep,0.75\baselineskip)}]#2)%
|
||
rectangle%
|
||
([shift={(\tabcolsep,-0.5\baselineskip)}]#3)
|
||
}%
|
||
}
|
||
|
||
\tikzset{
|
||
>=stealth,
|
||
auto,
|
||
thick,
|
||
main node/.style={
|
||
circle,draw,font=\sffamily\Large\bfseries,minimum size=0pt
|
||
},
|
||
}
|
||
|
||
%% ********************************************************************************
|
||
%% FILE: src/setup-layout.tex
|
||
%% ********************************************************************************
|
||
|
||
\pagestyle{fancyplain}
|
||
|
||
\@ifundefined{setcitestyle}{%
|
||
%% do nothing
|
||
}{%
|
||
\setcitestyle{numeric-comp,open={[},close={]}}
|
||
}
|
||
\def\crefpairconjunction{ und }
|
||
\def\crefmiddleconjunction{, }
|
||
\def\creflastconjunction{, und }
|
||
|
||
\raggedbottom %% <- pushes footers up
|
||
\sloppy
|
||
\def\headrulewidth{0pt}
|
||
\def\footrulewidth{0pt}
|
||
\setlength{\columnsep}{20pt}
|
||
\setlength{\columnseprule}{1pt}
|
||
\setlength{\headheight}{11pt}
|
||
\setlength{\partopsep}{0pt}
|
||
\setlength{\topsep}{\baselineskip}
|
||
\setlength{\topskip}{0.5\baselineskip}
|
||
\setlength{\footskip}{-1\baselineskip}
|
||
\setlength{\maxdepth}{0pt}
|
||
\renewcommand{\baselinestretch}{1}
|
||
\renewcommand{\arraystretch}{1}
|
||
\setcounter{LTchunksize}{\infty}
|
||
\setlength{\abovedisplayskip}{0pt}
|
||
\setlength{\parskip}{1\baselineskip}
|
||
\def\firstparagraph{\noindent}
|
||
\def\continueparagraph{\noindent}
|
||
|
||
\hypersetup{
|
||
hidelinks=true,
|
||
}
|
||
|
||
\@addtoreset{chapter}{part} %% nötig für Hyperref.
|
||
|
||
\def\partfont{\documentfont\fontseries{bx}\Huge\selectfont}
|
||
\def\chapterfont{\documentfont\fontseries{bx}\huge\selectfont}
|
||
\def\sectionfont{\documentfont\fontseries{bx}\Large\selectfont}
|
||
\def\subsectionfont{\documentfont\fontseries{bx}\large\selectfont}
|
||
|
||
\def\thepart{\Roman{part}}
|
||
\generatenestedsecnumbering{arabic}{part}{chapter}
|
||
\generatenestedsecnumbering{arabic}{chapter}{section}
|
||
\generatenestedsecnumbering{arabic}{section}{subsection}
|
||
\generatenestedsecnumbering{arabic}{subsection}{subsubsection}
|
||
\def\theunitnamepart{\thepart}
|
||
\def\theunitnamechapter{\theshortchapter}
|
||
\def\theunitnamesection{\thelongsection}
|
||
\def\theunitnamesubsection{\thelongsubsection}
|
||
\def\theunitnamesubsubsection{\thelongsubsubsection}
|
||
|
||
\def\partname{Teil\erlaubeplatz}
|
||
\def\chaptername{Kapitel\erlaubeplatz}
|
||
\def\sectionname{\S\erlaubeplatz}
|
||
\def\subsectionname{}
|
||
\def\subsubsectionname{}
|
||
|
||
\let\appendix@orig\appendix
|
||
\def\appendix{%
|
||
\appendix@orig%
|
||
\let\boolinappendix\boolwahr
|
||
\addcontentsline{toc}{part}{\appendixname}%
|
||
\addtocontents{toc}{\protect\setcounter{tocdepth}{0}}
|
||
\def\sectionname{Appendix}%
|
||
\def\theunitnamesection{\Alph{section}}%
|
||
}
|
||
\def\notappendix{%
|
||
\let\boolinappendix\boolfalse
|
||
\addtocontents{toc}{\protect\setcounter{tocdepth}{1 }}
|
||
\def\sectionname{}%
|
||
\def\theunitnamesection{\arabic{section}}%
|
||
}
|
||
|
||
%% \titlespacing{<sectionclassname>}
|
||
%% {linker einzug}{platz oberhalb}{platz unterhalb}[rechter einzug]
|
||
|
||
\titlespacing{\section}{0pt}{\baselineskip}{\baselineskip}
|
||
\titlespacing{\subsection}{0pt}{\baselineskip}{\baselineskip}
|
||
\titlespacing{\subsubsection}{0pt}{\baselineskip}{\baselineskip}
|
||
\titlespacing{\paragraph}{0pt}{0pt}{1em}
|
||
|
||
\titleformat{\part}[display]
|
||
{\normalfont\headingfont\bfseries\Huge\centering}
|
||
{%
|
||
\ifthenelse{\equal{\partname}{}}{%
|
||
\theunitnamepart%
|
||
}{%
|
||
\MakeUppercase{\partname}~\theunitnamepart%
|
||
}%
|
||
}{0pt}{%
|
||
}[\thispagestyle{empty}]
|
||
\titleformat{\chapter}[frame]
|
||
{\normalfont\headingfont\bfseries\Large}
|
||
{%
|
||
\bedingtesspaceexpand{chaptername}{~}{\theunitnamechapter}%
|
||
}{0.5em}{%
|
||
}[\thispagestyle{empty}]%\titlerule%[2pt]%
|
||
\titleformat{\section}[hang]
|
||
{\normalfont\headingfont\bfseries\flushleft\large}
|
||
{%
|
||
\bedingtesspaceexpand{sectionname}{~}{\theunitnamesection}%
|
||
}{0.5em}
|
||
{%
|
||
}
|
||
[%
|
||
\nvraum{0.25}%
|
||
]
|
||
\titleformat{\subsection}[hang]
|
||
{\normalfont\headingfont\bfseries\flushleft\large}
|
||
{%
|
||
\bedingtesspaceexpand{subsectionname}{~}{\theunitnamesubsection}%
|
||
}{0.5em}
|
||
{%
|
||
}
|
||
[%
|
||
\nvraum{0.25}%
|
||
]
|
||
\titleformat{\subsubsection}[hang]
|
||
{\normalfont\headingfont\bfseries\flushleft\large}
|
||
{%
|
||
\bedingtesspaceexpand{subsubsectionname}{~}{\theunitnamesubsubsection}%
|
||
}{0.5em}
|
||
{%
|
||
}
|
||
[%
|
||
\nvraum{0.25}%
|
||
]
|
||
|
||
\def\rafootnotectr{20}
|
||
\def\incrftnotectr#1{%
|
||
\addtocounter{#1}{1}%
|
||
\ifnum\value{#1}>\rafootnotectr\relax
|
||
\setcounter{#1}{0}%
|
||
\fi%
|
||
}
|
||
\def\footnoteref[#1]{\protected@xdef\@thefnmark{\ref{#1}}\@footnotemark}
|
||
\let\altfootnotetext\footnotetext
|
||
\def\footnotetext[#1]#2{\incrftnotectr{footnote}\altfootnotetext[\value{footnote}]{\label{#1}#2}}
|
||
\let\altfootnotemark\footnotemark
|
||
%% Undesirable solution, as the text is not hyperlinked.
|
||
\def\footnotemark[#1]{\text{\textsuperscript{\getrefnumber{#1}}}}
|
||
|
||
\DefineFNsymbols*{custom}{abcdefghijklmnopqrstuvwxyz}
|
||
\setfnsymbol{custom}
|
||
\def\footnotelayout{\documentfont\scriptsize}
|
||
\def\thefootnote{\fnsymbol{footnote}}
|
||
|
||
\def\kopfzeileleer{
|
||
\lhead[]{}
|
||
\chead[]{}
|
||
\rhead[]{}
|
||
\lfoot[]{}
|
||
\cfoot[]{}
|
||
\rfoot[]{}
|
||
}
|
||
\def\kopfzeiledefault{
|
||
\lhead[]{}
|
||
\lhead[]{}
|
||
\chead[]{}
|
||
\rhead[]{}
|
||
\lfoot[]{}
|
||
\cfoot{\footnotesize\thepage}
|
||
\rfoot[]{}
|
||
}
|
||
|
||
\DeclareRobustCommand\crfamily{\fontfamily{pcr}\selectfont}
|
||
\def\headingfont{\fontfamily{cmss}\selectfont}
|
||
\def\documentfancyfont{%
|
||
\gdef\headingfont{\crfamily}%
|
||
\fontfamily{ccr}\fontseries{m}\selectfont%
|
||
}
|
||
\def\documentfont{%
|
||
\gdef\headingfont{\fontfamily{cmss}\selectfont}%
|
||
\fontfamily{cmss}\fontseries{m}\selectfont%
|
||
\renewcommand{\sfdefault}{phv}%
|
||
\renewcommand{\ttdefault}{pcr}%
|
||
\renewcommand{\rmdefault}{cmr}% <— funktionieren nicht mit {ptm}
|
||
\renewcommand{\bfdefault}{bx}%
|
||
\renewcommand{\itdefault}{it}%
|
||
\renewcommand{\sldefault}{sl}%
|
||
\renewcommand{\scdefault}{sc}%
|
||
\renewcommand{\updefault}{n}%
|
||
}
|
||
|
||
\allowdisplaybreaks
|
||
\let\altcleardoublepage\cleardoublepage
|
||
\let\cleardoublepage\clearpage
|
||
|
||
\def\startdocumentlayoutoptions{
|
||
\selectlanguage{ngerman}
|
||
\setlength{\parskip}{0.5\baselineskip}
|
||
\setlength{\parindent}{0pt}
|
||
\kopfzeiledefault
|
||
\documentfont
|
||
\normalsize
|
||
}
|
||
|
||
\def\highlightTerm#1{\emph{#1}}
|
||
|
||
%% ********************************************************************************
|
||
%% FILE: src/setup-localmacros.tex
|
||
%% ********************************************************************************
|
||
|
||
%% ****************************************************************
|
||
%% MATHE:
|
||
%% ****************************************************************
|
||
|
||
\def\reell{\mathbb{R}}
|
||
\def\kmplx{\mathbb{C}}
|
||
\def\Torus{\mathbb{T}}
|
||
\def\rtnl{\mathbb{Q}}
|
||
\def\intgr{\mathbb{Z}}
|
||
|
||
\def\ntrl{\mathbb{N}}
|
||
\def\ntrlpos{\mathbb{N}}
|
||
\def\ntrlzero{\mathbb{N}_{0}}
|
||
\def\reellNonNeg{\reell_{+}}
|
||
|
||
\def\imageinh{\imath}
|
||
\def\ReTeil{\mathop{\mathfrak{R}\text{\upshape e}}}
|
||
\def\ImTeil{\mathop{\mathfrak{I}\text{\upshape m}}}
|
||
|
||
\def\leer{\emptyset}
|
||
\def\restr#1{\vert_{#1}}
|
||
\def\ohne{\setminus}
|
||
\def\Pot{\mathop{\mathcal{P}}}
|
||
|
||
\def\brkt#1{\langle{}#1{}\rangle}
|
||
\def\lsim{\mathop{\sim}}
|
||
\def\lneg{\mathop{\neg}}
|
||
\def\land{\mathop{\wedge}}
|
||
\def\lor{\mathop{\vee}}
|
||
|
||
\def\eps{\varepsilon}
|
||
\let\altphi\phi
|
||
\let\altvarphi\varphi
|
||
\def\phi{\altvarphi}
|
||
\def\varphi{\altphi}
|
||
|
||
\def\vectorspacespan{\mathop{\text{\upshape Lin}}}
|
||
\def\dim{\mathop{\text{\upshape dim}}}
|
||
\def\onematrix{\text{\upshape\bfseries I}}
|
||
\def\zeromatrix{\text{\upshape\bfseries 0}}
|
||
\def\zerovector{\text{\upshape\bfseries 0}}
|
||
|
||
\def\graph{\mathop{\text{\textup Gph}}}
|
||
\def\domain{\mathop{\text{\textup dom}}}
|
||
\def\range{\mathop{\text{\textup ran}}}
|
||
\def\id{\text{\textup id}}
|
||
\def\modfn{\mathop{\text{\textup mod}}}
|
||
\def\divides{\mathbin{\mid}}
|
||
\def\ndivides{\mathbin{\nmid}}
|
||
\def\ggT{\mathop{\text{\upshape ggT}}}
|
||
\makeatother
|
||
|
||
\begin{document}
|
||
\startdocumentlayoutoptions
|
||
|
||
%% FRONTMATTER:
|
||
\thispagestyle{plain}
|
||
|
||
%% ********************************************************************************
|
||
%% FILE: front/index.tex
|
||
%% ********************************************************************************
|
||
|
||
%% ********************************************************************************
|
||
%% FILE: front/title.tex
|
||
%% ********************************************************************************
|
||
|
||
\begin{titlepage}
|
||
\null
|
||
|
||
\vraum
|
||
|
||
\noindent\rule{\linewidth}{2pt}
|
||
|
||
{\hraum\LARGE Lineare Algebra I\hraum}\\
|
||
{\hraum\LARGE $\oast$\,\rule[0.175\baselineskip]{0.65\linewidth}{1pt}\,$\oast$ \hraum}\\
|
||
{\hraum\Large Lösungen zu diversen Aufgaben im Kurs\hraum}
|
||
|
||
\noindent\rule{\linewidth}{2pt}
|
||
|
||
\vraum
|
||
|
||
\noindent
|
||
\hraum{\footnotesize Raj Dahya}\hraum\\
|
||
\hraum{\small \itshape Fakultät für Mathematik und Informatik/Institut für Philosophie}\hraum\\
|
||
\hraum{\small \itshape Universität Leipzig.}\hraum\\
|
||
\hraum{\small Wintersemester 2020/2021 }\hraum
|
||
\end{titlepage}
|
||
|
||
%% ********************************************************************************
|
||
%% FILE: front/foreword.tex
|
||
%% ********************************************************************************
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\chapter*{Vorwort}
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Dieses Dokument enthält Lösungsansätze zu den Übungsserien, Selbstkontrollenaufgaben, und Quizzes.
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Diese werden natürlich \emph{nach} Abgabefristen hochgeladen
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und dienen \emph{nicht} als Musterlösungen!
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Der Zweck dieser Lösungen ist es vielmehr, Ansätze zu präsentieren,
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mit denen man seine \emph{eigenen} Versuche vergleichen kann.
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%% ********************************************************************************
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%% FILE: front/contents.tex
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%% ********************************************************************************
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\kopfzeiledefault
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\footnotesize
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\setcounter{tocdepth}{1}
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\def\contentsname{Inhaltsverzeichnis}
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\tableofcontents
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%% HAUPTTEXT:
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%% ********************************************************************************
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%% FILE: body/index.tex
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%% ********************************************************************************
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\setcounternach{part}{1}
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\part{Übungsserien}
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\def\chaptername{Übungsserie}
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%% ********************************************************************************
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%% FILE: body/uebung/ueb1.tex
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%% ********************************************************************************
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\setcounternach{chapter}{1}
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\chapter[Woche 1]{Woche 1}
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\label{ueb:1}
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||
\textbf{ACHTUNG.}
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||
Diese Lösungen dienen \emph{nicht} als Musterlösungen sondern eher als Referenz.
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Hier wird eingehender gearbeitet, als generell verlangt wird.
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||
Das Hauptziel hier ist, eine Variant anzubieten, gegen die man seine Versuche vergleichen kann.
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%% AUFGABE 1-1
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\let\altsectionname\sectionname
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\def\sectionname{Aufgabe}
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||
\section[Aufgabe 1]{}
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\label{ueb:1:ex:1}
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||
\let\sectionname\altsectionname
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Zu bestimmen ist die Lösungsmenge
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\begin{mathe}[mc]{rcl}
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L_{\alpha,\beta} &:= &\{
|
||
\mathbf{x}\in\reell^{n}
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||
\mid A_{\alpha}\mathbf{x}=\mathbf{b}_{\beta}
|
||
\}\\
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\end{mathe}
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||
für $\alpha,\beta\in\reell$,
|
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wobei $m=3$ und $n=4$, und
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$A_{\alpha}\in\reell^{m\times n}$ und $\mathbf{b}_{\beta}\in\reell^{m}$
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||
durch
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\begin{mathe}[mc]{rclqrcl}
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||
A_{\alpha} &:= &\begin{matrix}{cccc}
|
||
1 &7 &2 &-1\\
|
||
1 &8 &6 &-3\\
|
||
2 &14 &\alpha &-2\\
|
||
\end{matrix}
|
||
&\mathbf{b}_{\beta} &:= &\begin{vector}4\\0\\\beta\\\end{vector}
|
||
\end{mathe}
|
||
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||
gegeben sind.
|
||
Um die Lösungsmenge zu bestimmen führen wir das Gaußverfahren aus:
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\begin{algorithm}[\rtab][\rtab]
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||
Ursprüngliches LGS $(A_{\alpha}|b_{\beta})$:
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||
\begin{mathe}[mc]{c}
|
||
\begin{matrix}{cccc|c}
|
||
1 &7 &2 &-1 &4\\
|
||
1 &8 &6 &-3 &0\\
|
||
2 &14 &\alpha &-2 &\beta\\
|
||
\end{matrix}\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
Wende die Zeilentransformationen
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||
{\footnotesize
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||
Z_{2} &\leftsquigarrow &Z_{2}-Z_{1}\\
|
||
Z_{3} &\leftsquigarrow &Z_{3}-2\cdot Z_{1}\\
|
||
\end{mathe}}
|
||
|
||
an:
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{c}
|
||
\begin{matrix}{cccc|c}
|
||
\boxed{1} &7 &2 &-1 &4\\
|
||
0 &\boxed{1} &4 &-2 &-4\\
|
||
0 &0 &\boxed{\alpha - 4} &0 &\beta - 8\\
|
||
\end{matrix}\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
\end{algorithm}
|
||
|
||
Die eingezeichneten Einträge markieren die ersten Einträge der Stufen.
|
||
Es gibt also $2$ oder $3$ Stufen, je nachdem, ob ${\alpha - 4=0}$.
|
||
Dies führt zu einem Fallunterschied:
|
||
|
||
\begin{enumerate}{\bfseries {Fall} 1.}
|
||
%% FALL 1
|
||
\item $\alpha-4=0$. Das heißt, $\alpha=4$.
|
||
In diesem Falle hat das augmentierte System genau $2$ Stufen
|
||
und sieht wie folgt aus:
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{c}
|
||
\begin{matrix}{cccc|c}
|
||
\boxed{1} &7 &2 &-1 &4\\
|
||
0 &\boxed{1} &4 &-2 &-4\\
|
||
0 &0 &0 &0 &\beta - 8\\
|
||
\end{matrix}\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
Dies führt zu zwei weiteren Fällen, denn die $3$. Gleichung ist jetzt genau dann lösbar,
|
||
wenn $\beta-8=0$.
|
||
|
||
\begin{enumerate}{\bfseries {Fall 1}a.}
|
||
%% FALL 1a
|
||
\item $\beta-8\neq 0$. Das heißt, $\beta\neq 8$.
|
||
Dann ist die $3$. Gleichung und damit das LGS nicht lösbar.
|
||
Darum erhalten wir $\boxed{L_{\alpha,\beta}=\leer}$.
|
||
|
||
%% FALL 1b
|
||
\item $\beta-8=0$. Das heißt, $\beta=8$.
|
||
Dann ist die $3$. Gleichung trivialerweise erfüllt.
|
||
Das augmentierte System sieht wird zum
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{c}
|
||
\begin{matrix}{cccc|c}
|
||
\boxed{1} &7 &2 &-1 &4\\
|
||
0 &\boxed{1} &4 &-2 &-4\\
|
||
0 &0 &0 &0 &0\\
|
||
\end{matrix}\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
und kann jetzt aufgelöst werden.
|
||
Wir arbeiten von unten nach oben:
|
||
|
||
\begin{algorithm}[2\rtab][\rtab]
|
||
Aus der ganzen Zeilenstufenform erschließt sich
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{c}
|
||
x_{3},\, x_{4}\,\text{sind frei}\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
Aus der Stufenform von Gleichungen $2$ und $1$ erschließt sich
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||
x_{2} &= &-4 - 4x_{3} + 2x_{4}\\
|
||
x_{1} &= &4 - 7x_{2} - 2x_{3} + x_{4}\\
|
||
&= &4 - 7(-4 - 4x_{3} + 2x_{4}) - 2x_{3} + x_{4}\\
|
||
&= &32 + 26x_{3} + -13x_{4}\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
Zusammengefasst erhalten wir die allgemeine Form der Lösung:
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||
\mathbf{x} &= &\begin{svector}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\x_{4}\\\end{svector}\\
|
||
&= &\begin{svector}32 + 26x_{3} + -13x_{4}\\-4 - 4x_{3} + 2x_{4}\\x_{3}\\x_{4}\\\end{svector}\\
|
||
&= &\begin{svector}32 + 26x_{3} + -13x_{4}\\-4 - 4x_{3} + 2x_{4}\\0 + 1x_{3} + 0x_{4}\\0 + 0x_{3} + 1x_{4}\\\end{svector}\\
|
||
&= &\begin{svector}32\\-4\\0\\0\\\end{svector}
|
||
+ \begin{svector}26x_{3}\\-4x_{3}\\1x_{3}\\0x_{3}\\\end{svector}
|
||
+ \begin{svector}-13x_{4}\\2x_{4}\\1x_{4}\\1x_{4}\\\end{svector}\\
|
||
&= &\begin{svector}32\\-4\\0\\0\\\end{svector}
|
||
+ x_{3}\cdot\begin{svector}26\\-4\\1\\0\\\end{svector}
|
||
+ x_{4}\cdot\begin{svector}-13\\2\\1\\1\\\end{svector}\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
mit $x_{3}$, $x_{4}$ frei wählbar.
|
||
\end{algorithm}
|
||
|
||
Also erhalten wird in diesem Falle
|
||
$\boxed{
|
||
L_{\alpha,\beta}=\left\{
|
||
\begin{svector}32\\-4\\0\\0\\\end{svector}
|
||
+ t_{1}\cdot\begin{svector}26\\-4\\1\\0\\\end{svector}
|
||
+ t_{2}\cdot\begin{svector}-13\\2\\1\\1\\\end{svector}
|
||
\mid t_{1}, t_{2}\in\reell
|
||
\right\}
|
||
}$,
|
||
oder etwas kompakter formuliert,
|
||
${L_{\alpha,\beta}=\begin{svector}32\\-4\\0\\0\\\end{svector} + \vectorspacespan\left\{\begin{svector}26\\-4\\1\\0\\\end{svector}, \begin{svector}-13\\2\\1\\1\\\end{svector}\right\}}$.
|
||
\end{enumerate}
|
||
|
||
%% FALL 2
|
||
\item $\alpha-4\neq 0$. Das heißt, $\alpha\neq 4$.
|
||
In diesem Falle hat das augmentierte System genau $3$ Stufen und diesmal ist nur $x_{4}$ frei.
|
||
Man beachte, dass dies im Grunde genau wie Fall 1b ist, nur dass wir zusätzlich Gleichung 3 beachten und $x_{3}$ bestimmen müssen.
|
||
|
||
\begin{algorithm}[2\rtab][\rtab]
|
||
Aus der Stufenform von Gleichungen $3$ ergibt sich
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||
x_{3} &= &\frac{\beta-8}{\alpha-4}\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
Der Rest der Lösung des Gleichungssystems verhält sich genau wie im Fall 3b,
|
||
das heißt
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||
\mathbf{x} &= &\begin{svector}32\\-4\\0\\0\\\end{svector}
|
||
+ x_{3}\cdot\begin{svector}26\\-4\\1\\0\\\end{svector}
|
||
+ x_{4}\cdot\begin{svector}-13\\2\\1\\1\\\end{svector}\\
|
||
&= &\begin{svector}32\\-4\\0\\0\\\end{svector}
|
||
+ \frac{\beta-8}{\alpha-4}\cdot\begin{svector}26\\-4\\1\\0\\\end{svector}
|
||
+ x_{4}\cdot\begin{svector}-13\\2\\1\\1\\\end{svector},\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
wobei $x_{4}$ frei wählbar ist.
|
||
\end{algorithm}
|
||
|
||
Also erhalten wird in diesem Falle
|
||
$\boxed{
|
||
L_{\alpha,\beta}=\left\{
|
||
\begin{svector}32\\-4\\0\\0\\\end{svector}
|
||
+ \frac{\beta-8}{\alpha-4}\cdot\begin{svector}26\\-4\\1\\0\\\end{svector}
|
||
+ t\cdot\begin{svector}-13\\2\\1\\1\\\end{svector}
|
||
\mid t\in\reell
|
||
\right\}
|
||
}$,
|
||
oder etwas kompakter formuliert,
|
||
${L_{\alpha,\beta}=\begin{svector}32\\-4\\0\\0\\\end{svector} + \frac{\beta-8}{\alpha-4}\cdot\begin{svector}26\\-4\\1\\0\\\end{svector} + \vectorspacespan\left\{\begin{svector}-13\\2\\1\\1\\\end{svector}\right\}}$.
|
||
\end{enumerate}
|
||
|
||
Wir fassen die Lösung für alle Fälle zusammen:
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||
L_{\alpha,\beta} &= &\begin{cases}[m]{lcl}
|
||
\leer &: &\alpha=4,\,\beta\neq 8\\
|
||
\mathbf{u} + \vectorspacespan\{\mathbf{v},\mathbf{w}\} &: &\alpha=4,\,\beta=8\\
|
||
\mathbf{u} + \frac{\alpha-4}{\beta-8}\mathbf{v} + \vectorspacespan\{\mathbf{w}\} &: &\alpha\neq 4\\
|
||
\end{cases}
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
für alle $\alpha,\beta\in\reell$,
|
||
wobei
|
||
$\mathbf{u} = \begin{svector}32\\-4\\0\\0\\\end{svector}$,
|
||
$\mathbf{v} = \begin{svector}26\\-4\\1\\0\\\end{svector}$,
|
||
$\mathbf{w} = \begin{svector}-13\\2\\1\\1\\\end{svector}$.
|
||
|
||
%% AUFGABE 1-2
|
||
\let\altsectionname\sectionname
|
||
\def\sectionname{Aufgabe}
|
||
\section[Aufgabe 2]{}
|
||
\label{ueb:1:ex:2}
|
||
\let\sectionname\altsectionname
|
||
|
||
\begin{schattierteboxdunn}
|
||
\begin{satz}
|
||
\makelabel{satz:main:ueb:1:ex:2}
|
||
Angewandt auf die erweiterte Koeffizientenmatrix eines linearen Gleichungssystems
|
||
verändern
|
||
die elementaren Zeilenumformungen vom Typ (I), (II) und (III)
|
||
die Menge der Lösungen nicht.
|
||
\end{satz}
|
||
\end{schattierteboxdunn}
|
||
|
||
Wir beweisen \Cref{satz:main:ueb:1:ex:2} mithilfe der folgenden Teilergebnisse.
|
||
|
||
\begin{lemm}
|
||
\makelabel{lemm:1:ueb:1:ex:2}
|
||
Seien $m,n\in\ntrlpos$ und $A\in\reell^{m\times n}$ und $\mathbf{b}\in\reell^{m}$.
|
||
Für $i,j\in\{1,2,\ldots,m\}$ mit $i\neq j$ bezeichne mit
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||
(A|\mathbf{b}) &\overset{I;i,j}{\rightsquigarrow} &(A'|\mathbf{b}')\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
die Anwendung von Zeilentransformation (I) auf $(A|\mathbf{b})$,
|
||
wobei Zeile${}_{i}$ und Zeile${}_{j}$ umgetauscht werden,
|
||
was in $(A'|\mathbf{b}')$ resultiert.
|
||
Dann für alle ${\mathbf{x}\in\reell^{n}}$,
|
||
falls $\mathbf{x}$ eine Lösung für $(A|\mathbf{b})$ ist,
|
||
dann ist $\mathbf{x}$ eine Lösung für $(A'|\mathbf{b}')$.
|
||
\end{lemm}
|
||
|
||
\begin{einzug}[\rtab][\rtab]
|
||
\begin{proof}
|
||
Betrachte den Fall $i<j$.
|
||
Es gilt
|
||
|
||
\begin{longtable}[mc]{RL}
|
||
&\text{$\mathbf{x}$ eine Lösung für $(A|\mathbf{b})$}\\
|
||
\Longrightarrow
|
||
&{\scriptsize
|
||
\left\{
|
||
\begin{array}[m]{crccccclcl}
|
||
&(a_{1,1}x_{1} &+ &a_{1,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{1,n}x_{n} &= &b_{1})\\
|
||
\text{und} &(a_{2,1}x_{1} &+ &a_{2,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{2,n}x_{n} &= &b_{2})\\
|
||
\cdots\\
|
||
\text{und} &(a_{i,1}x_{1} &+ &a_{i,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{i,n}x_{n} &= &b_{i})\\
|
||
\cdots\\
|
||
\text{und} &(a_{j,1}x_{1} &+ &a_{j,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{j,n}x_{n} &= &b_{j})\\
|
||
\cdots\\
|
||
\text{und} &(a_{m,1}x_{1} &+ &a_{m,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{m,n}x_{n} &= &b_{m})
|
||
\end{array}
|
||
\right.}\\
|
||
\\
|
||
\Longrightarrow
|
||
&{\scriptsize
|
||
\left\{
|
||
\begin{array}[m]{crccccclcl}
|
||
&(a_{1,1}x_{1} &+ &a_{1,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{1,n}x_{n} &= &b_{1})\\
|
||
\text{und} &(a_{2,1}x_{1} &+ &a_{2,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{2,n}x_{n} &= &b_{2})\\
|
||
\cdots\\
|
||
\text{und} &(a_{j,1}x_{1} &+ &a_{j,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{j,n}x_{n} &= &b_{j})\\
|
||
\cdots\\
|
||
\text{und} &(a_{i,1}x_{1} &+ &a_{i,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{i,n}x_{n} &= &b_{i})\\
|
||
\cdots\\
|
||
\text{und} &(a_{m,1}x_{1} &+ &a_{m,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{m,n}x_{n} &= &b_{m})
|
||
\end{array}
|
||
\right.}\\
|
||
\\
|
||
&\text{da lediglich zwei Aussagen in einer Konjunktion umgetauscht werden}\\
|
||
\\
|
||
\Longrightarrow
|
||
&\text{$\mathbf{x}$ eine Lösung für $(A'|\mathbf{b})'$, da $(A|\mathbf{b})\overset{I;i,j}{\rightsquigarrow}(A'|\mathbf{b}')$.}\\
|
||
\end{longtable}
|
||
|
||
Der Fall $i>j$ lässt sich analog zeigen.
|
||
Falls $i=j$ bleibt das System unverändert, sodass die Behauptung trivialerweise gilt.
|
||
\end{proof}
|
||
\end{einzug}
|
||
|
||
\begin{lemm}
|
||
\makelabel{lemm:2:ueb:1:ex:2}
|
||
Seien $m,n\in\ntrlpos$ und $A\in\reell^{m\times n}$ und $\mathbf{b}\in\reell^{m}$.
|
||
Für ${i\in\{1,2,\ldots,m\}}$ und ${\alpha\in\reell\ohne\{0\}}$ bezeichne mit
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||
(A|\mathbf{b}) &\overset{II;i,\alpha}{\rightsquigarrow} &(A'|\mathbf{b}')\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
die Anwendung von Zeilentransformation (II) auf $(A|\mathbf{b})$,
|
||
wobei Zeile${}_{i}$ durch $\alpha\cdot$Zeile${}_{i}$ ersetzt wird,
|
||
was in $(A'|\mathbf{b}')$ resultiert.
|
||
Dann für alle ${\mathbf{x}\in\reell^{n}}$,
|
||
falls $\mathbf{x}$ eine Lösung für $(A|\mathbf{b})$ ist,
|
||
dann ist $\mathbf{x}$ eine Lösung für $(A'|\mathbf{b}')$.
|
||
\end{lemm}
|
||
|
||
\begin{einzug}[\rtab][\rtab]
|
||
\begin{proof}
|
||
Es gilt
|
||
|
||
\begin{longtable}[mc]{RL}
|
||
&\text{$\mathbf{x}$ eine Lösung für $(A|\mathbf{b})$}\\
|
||
\Longrightarrow
|
||
&{\scriptsize
|
||
\left\{
|
||
\begin{array}[m]{crccccclcl}
|
||
&(a_{1,1}x_{1} &+ &a_{1,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{1,n}x_{n} &= &b_{1})\\
|
||
\text{und} &(a_{2,1}x_{1} &+ &a_{2,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{2,n}x_{n} &= &b_{2})\\
|
||
\cdots\\
|
||
\text{und} &(a_{i,1}x_{1} &+ &a_{i,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{i,n}x_{n} &= &b_{i})\\
|
||
\cdots\\
|
||
\text{und} &(a_{m,1}x_{1} &+ &a_{m,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{m,n}x_{n} &= &b_{m})
|
||
\end{array}
|
||
\right.}\\
|
||
\\
|
||
\Longrightarrow
|
||
&{\scriptsize
|
||
\left\{
|
||
\begin{array}[m]{crccccclcl}
|
||
&(a_{1,1}x_{1} &+ &a_{1,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{1,n}x_{n} &= &b_{1})\\
|
||
\text{und} &(a_{2,1}x_{1} &+ &a_{2,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{2,n}x_{n} &= &b_{2})\\
|
||
\cdots\\
|
||
\text{und} &(\alpha\cdot (a_{i,1}x_{1} &+ &a_{i,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{i,n}x_{n}) &= &\alpha\cdot b_{i})\\
|
||
\cdots\\
|
||
\text{und} &(a_{m,1}x_{1} &+ &a_{m,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{m,n}x_{n} &= &b_{m})
|
||
\end{array}
|
||
\right.}\\
|
||
\\
|
||
\Longrightarrow
|
||
&{\scriptsize
|
||
\left\{
|
||
\begin{array}[m]{crccccclcl}
|
||
&(a_{1,1}x_{1} &+ &a_{1,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{1,n}x_{n} &= &b_{1})\\
|
||
\text{und} &(a_{2,1}x_{1} &+ &a_{2,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{2,n}x_{n} &= &b_{2})\\
|
||
\cdots\\
|
||
\text{und} &(\alpha\cdot a_{i,1}x_{1} &+ &\alpha\cdot a_{i,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &\alpha\cdot a_{i,n}x_{n} &= &\alpha\cdot b_{i})\\
|
||
\cdots\\
|
||
\text{und} &(a_{m,1}x_{1} &+ &a_{m,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{m,n}x_{n} &= &b_{m})
|
||
\end{array}
|
||
\right.}\\
|
||
\\
|
||
&\text{$\mathbf{x}$ eine Lösung für $(A'|\mathbf{b})'$, da $(A|\mathbf{b})\overset{II;i,\alpha}{\rightsquigarrow}(A'|\mathbf{b}')$.}
|
||
\end{longtable}
|
||
|
||
Also gilt die Behauptung.
|
||
\end{proof}
|
||
\end{einzug}
|
||
|
||
\begin{lemm}
|
||
\makelabel{lemm:3:ueb:1:ex:2}
|
||
Seien $m,n\in\ntrlpos$ und $A\in\reell^{m\times n}$ und $\mathbf{b}\in\reell^{m}$.
|
||
Für ${i,j\in\{1,2,\ldots,m\}}$ mit $i\neq j$ und $\alpha\in\reell$ bezeichne mit
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||
(A|\mathbf{b}) &\overset{III;i,j,\alpha}{\rightsquigarrow} &(A'|\mathbf{b}')\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
die Anwendung von Zeilentransformation (III) auf $(A|\mathbf{b})$,
|
||
wobei Zeile${}_{i}$ durch die Addition von Zeile${}_{i}$ mit $\alpha\cdot$Zeile${}_{j}$ ersetzt wird,
|
||
was in $(A'|\mathbf{b}')$ resultiert.
|
||
Dann für alle ${\mathbf{x}\in\reell^{n}}$,
|
||
falls $\mathbf{x}$ eine Lösung für $(A|\mathbf{b})$ ist,
|
||
dann ist $\mathbf{x}$ eine Lösung für $(A'|\mathbf{b}')$.
|
||
\end{lemm}
|
||
|
||
\begin{einzug}[\rtab][\rtab]
|
||
\begin{proof}
|
||
Es gilt
|
||
|
||
\begin{longtable}[mc]{RL}
|
||
&\text{$\mathbf{x}$ eine Lösung für $(A|\mathbf{b})$}\\
|
||
\Longrightarrow
|
||
&{\scriptsize
|
||
\left\{
|
||
\begin{array}[m]{crccccclcl}
|
||
&(a_{1,1}x_{1} &+ &a_{1,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{1,n}x_{n} &= &b_{1})\\
|
||
\text{und} &(a_{2,1}x_{1} &+ &a_{2,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{2,n}x_{n} &= &b_{2})\\
|
||
\cdots\\
|
||
\text{und} &(a_{i,1}x_{1} &+ &a_{i,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{i,n}x_{n} &= &b_{i})\\
|
||
\cdots\\
|
||
\text{und} &(a_{m,1}x_{1} &+ &a_{m,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{m,n}x_{n} &= &b_{m})
|
||
\end{array}
|
||
\right.}\\
|
||
\\
|
||
\Longrightarrow
|
||
&{\scriptsize
|
||
\left\{
|
||
\begin{array}[m]{crccccclcl}
|
||
&(a_{1,1}x_{1} &+ &a_{1,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{1,n}x_{n} &= &b_{1})\\
|
||
\text{und} &(a_{2,1}x_{1} &+ &a_{2,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{2,n}x_{n} &= &b_{2})\\
|
||
\cdots\\
|
||
\text{und} &(a_{i,1}x_{1} &+ &a_{i,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{i,n}x_{n} + \alpha\cdot b_{j} &= &b_{i} + \alpha\cdot b_{j})\\
|
||
\cdots\\
|
||
\text{und} &(a_{m,1}x_{1} &+ &a_{m,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{m,n}x_{n} &= &b_{m})
|
||
\end{array}
|
||
\right.}\\
|
||
\\
|
||
\Longrightarrow
|
||
&{\scriptsize
|
||
\left\{
|
||
\begin{array}[m]{crccccclcl}
|
||
&(a_{1,1}x_{1} &+ &a_{1,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{1,n}x_{n} &= &b_{1})\\
|
||
\text{und} &(a_{2,1}x_{1} &+ &a_{2,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{2,n}x_{n} &= &b_{2})\\
|
||
\cdots\\
|
||
\text{und} &(a_{i,1}x_{1} &+ &a_{i,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{i,n}x_{n}\\
|
||
&+\alpha\cdot a_{j,1}x_{1} &+ &\alpha\cdot a_{j,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &\alpha\cdot a_{j,n}x_{n} &= &b_{i} + \alpha\cdot b_{j})\\
|
||
\cdots\\
|
||
\text{und} &(a_{m,1}x_{1} &+ &a_{m,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{m,n}x_{n} &= &b_{m})
|
||
\end{array}
|
||
\right.}\\
|
||
\\
|
||
&\text{da laut der $j$-ten Gleichung gilt ${b_{j}=\sum_{k=1}^{m}a_{j,k}x_{k}}$}\\
|
||
\\
|
||
\Longrightarrow
|
||
&{\scriptsize
|
||
\left\{
|
||
\begin{array}[m]{crccccclcl}
|
||
&(a_{1,1}x_{1} &+ &a_{1,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{1,n}x_{n} &= &b_{1})\\
|
||
\text{und} &(a_{2,1}x_{1} &+ &a_{2,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{2,n}x_{n} &= &b_{2})\\
|
||
\cdots\\
|
||
\text{und} &(a'_{i,1}x_{1} &+ &a'_{i,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a'_{i,n}x_{n} &= &b'_{i})\\
|
||
\cdots\\
|
||
\text{und} &(a_{m,1}x_{1} &+ &a_{m,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{m,n}x_{n} &= &b_{m}),
|
||
\end{array}
|
||
\right.}\\
|
||
\\
|
||
&\text{wobei $a'_{i,k}=a_{i,k}+\alpha\cdot a_{j,k}$ für alle $k$ und $b'_{i}=b_{i}+\alpha\cdot b_{j}$}\\
|
||
\\
|
||
\Longrightarrow
|
||
&\text{$\mathbf{x}$ eine Lösung für $(A'|\mathbf{b})'$, da $(A|\mathbf{b})\overset{III;i,j,\alpha}{\rightsquigarrow}(A'|\mathbf{b}')$.}
|
||
\end{longtable}
|
||
|
||
Also gilt die Behauptung.
|
||
\end{proof}
|
||
\end{einzug}
|
||
|
||
Endlich können wir \Cref{satz:main:ueb:1:ex:2} beweisen:
|
||
|
||
\begin{proof}[von \Cref{satz:main:ueb:1:ex:2}]
|
||
Seien $m,n\in\ntrlpos$ und $A\in\reell^{m\times n}$ und $\mathbf{b}\in\reell^{m}$.
|
||
Seien $A'\in\reell^{m\times n}$ und $\mathbf{b}'\in\reell^{m}$,
|
||
so dass $(A|\mathbf{b})$ durch eine Transformation der Art (I), (II) oder (III)
|
||
aus $(A|\mathbf{b})$ entsteht.
|
||
Das heißt, entweder
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{lrcl}
|
||
\eqtag[eq:0:\beweislabel]
|
||
&(A|\mathbf{b}) &\overset{I;i,j}{\rightsquigarrow} &(A'|\mathbf{b}')\\
|
||
\text{oder} &(A|\mathbf{b}) &\overset{I;i,\alpha}{\rightsquigarrow} &(A'|\mathbf{b}')\\
|
||
\text{oder} &(A|\mathbf{b}) &\overset{III;i,j,\alpha}{\rightsquigarrow} &(A'|\mathbf{b}')\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
gilt, für ein $i,j\in\{1,2,\ldots,m\}$ mit $i\neq j$ und $\alpha\in\reell\ohne\{0\}$.\\
|
||
\textbf{Zu zeigen:}
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||
\eqtag[eq:1:\beweislabel]
|
||
\{\mathbf{x}\in\reell^{n}\mid\mathbf{x}\text{ eine Lösung für }(A|\mathbf{b})\}
|
||
&= &\{\mathbf{x}\in\reell^{n}\mid\mathbf{x}\text{ eine Lösung für }(A|\mathbf{b})\}.\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
Wir zeigen dies in zwei Teile:
|
||
|
||
\uline{\bfseries ($\subseteq$.)}\\
|
||
Sei $\mathbf{x}\in\reell^{n}$ ein beliebiges Element aus der linken Menge,
|
||
d.\,h. $\mathbf{x}$ ist eine Lösung zu $(A|\mathbf{b})$.
|
||
Laut \Cref{lemm:1:ueb:1:ex:2} + \Cref{lemm:2:ueb:1:ex:2} + \Cref{lemm:3:ueb:1:ex:2}
|
||
und wegen \eqcref{eq:0:\beweislabel}
|
||
erhalten wir, dass $\mathbf{x}$ eine Lösung zu $(A'|\mathbf{b}')$ ist,
|
||
d.\,h. $\mathbf{x}$ liegt in der rechten Menge.
|
||
Also ist die linke Menge in der rechten enthalten.
|
||
|
||
\uline{\bfseries ($\supseteq$.)}\\
|
||
Man beachte zuerst, dass sich die Transformation in \eqcref{eq:0:\beweislabel} umkehren lässt---\text{und zwar durch Elementartransformationen}.
|
||
Es ist einfach zu sehen, dass entweder
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{lrcl}
|
||
&(A'|\mathbf{b}') &\overset{I;i,j}{\rightsquigarrow} &(A|\mathbf{b})\\
|
||
\text{oder} &(A'|\mathbf{b}') &\overset{I;i,\alpha^{-1}}{\rightsquigarrow} &(A|\mathbf{b})\\
|
||
\text{oder} &(A'|\mathbf{b}') &\overset{III;i,j,-\alpha}{\rightsquigarrow} &(A|\mathbf{b}).\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
Die Situation ist also analog zum $\subseteq$-Teil.
|
||
Darum gilt die $\supseteq$-Inklusion in \eqcref{eq:1:\beweislabel}.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\clearpage
|
||
%% AUFGABE 1-3
|
||
\let\altsectionname\sectionname
|
||
\def\sectionname{Aufgabe}
|
||
\section[Aufgabe 3]{}
|
||
\label{ueb:1:ex:3}
|
||
\let\sectionname\altsectionname
|
||
|
||
Für diese Aufgabe wird das Konzept der \emph{linearen Unabhängigkeit} aus Kapitel 5 angewandt.
|
||
|
||
\begin{defn}
|
||
Seien $m,n\in\ntrlpos$ mit $m>n$
|
||
und seien $A\in\reell^{m\times n}$, $\mathbf{b}\in\reell^{m}$,
|
||
und $I\subseteq\{1,2,\ldots,m\}$.
|
||
Bezeichne mit $(A|\mathbf{b})_{I}$ die erweiterte Koeffizientenmatrix $(A|\mathbf{b})$,
|
||
die auf die Zeilen mit Indexes aus $I$ (in bspw. aufsteigender Reihenfolge) reduziert ist.
|
||
\end{defn}
|
||
|
||
\begin{e.g.}
|
||
Für $(A|\mathbf{b})$ gleich
|
||
|
||
{\scriptsize
|
||
\begin{mathe}[mc]{c}
|
||
\begin{matrix}{ccc|c}
|
||
-5 &0 &0 &-7\\
|
||
4 &-6 &-10 &6\\
|
||
-2 &-6 &-6 &9\\
|
||
-7 &4 &-1 &-5\\
|
||
4 &-5 &2 &-9\\
|
||
-5 &8 &-7 &-5\\
|
||
\end{matrix}
|
||
\end{mathe}}
|
||
|
||
und $I=\{2,5,6\}$ ist $(A|\mathbf{b})_{I}$ gleich
|
||
|
||
{\scriptsize
|
||
\begin{mathe}[bc]{c}
|
||
\begin{matrix}{ccc|c}
|
||
4 &-6 &-10 &6\\
|
||
4 &-5 &2 &-9\\
|
||
-5 &8 &-7 &-5\\
|
||
\end{matrix}.
|
||
\end{mathe}}
|
||
|
||
\nvraum{1}
|
||
|
||
\end{e.g.}
|
||
|
||
Mit diesem Mittel können wir nun die Hauptaussage in der Aufgabe formulieren:
|
||
|
||
\begin{schattierteboxdunn}
|
||
\begin{satz}
|
||
\makelabel{satz:main:ueb:1:ex:3}
|
||
Seien $m,n\in\ntrlpos$ mit $m>n$
|
||
und seien $A\in\reell^{m\times n}$ und $\mathbf{b}\in\reell^{m}$.
|
||
Falls $(A|\mathbf{b})$ unlösbar ist,
|
||
dann existiert $I\subseteq\{1,2,\ldots,m\}$ mit $|I|=n+1$,
|
||
so dass $(A|\mathbf{b})_{I}$ unlösbar ist.
|
||
\end{satz}
|
||
\end{schattierteboxdunn}
|
||
|
||
\begin{einzug}[\rtab][\rtab]
|
||
\begin{proof}[*][\Cref{\beweislabel}]
|
||
Es stehen nun die \emph{Zeilen} der Matrix $A$ im Fokus.
|
||
Wir verwandeln diese in Vektoren, d.\,h. setze
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{c}
|
||
\mathbf{z}^{(i)}\in\reell^{n}\,\text{die $i$-te Zeile von $A$ als Vektor geschrieben}
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
für $i\in\{1,2,\ldots,m\}$.
|
||
Da ${\mathbf{z}^{(1)},\mathbf{z}^{(2)},\ldots,\mathbf{z}^{(m)}\in\reell^{n}}$,
|
||
können wir eine \emph{maximale Menge} ${I_{0}\subseteq\{1,2,\ldots,m\}}$ finden,
|
||
so dass $(\mathbf{z}^{(i)})_{i\in I_{0}}$ aus linear unabhängigen Vektoren besteht.
|
||
Wegen der Dimension von $\reell^{n}$ gilt ${|I|\leq\min\{m,n\}=n}$.
|
||
Sei ${k\in\{1,2,\ldots,m\}\ohne I_{0}}$ beliebig.
|
||
Wegen Maximalität muss $(\mathbf{z}^{(i)})_{i\in I_{0}\cup\{k\}}$ \emph{linear abhängig} sein.
|
||
Und wegen der linearen Unabhängigkeit von $(\mathbf{z}^{(i)})_{i\in I_{0}}$
|
||
existieren (eindeutige) Koeffizienten $c_{k,i}\in\reell$ für $i\in I_{0}$ so dass
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||
\eqtag[eq:1:\beweislabel]
|
||
\mathbf{z}^{(k)} &= &\sum_{i\in I_{0}:~}c_{k,i}\mathbf{z}^{(i)}\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
gilt.
|
||
|
||
Um nun die Hauptaussage zu zeigen, nehmen wir an, dass $(A|\mathbf{b})$ unlösbar ist.
|
||
\textbf{Zu zeigen:} Es gibt eine Teilmenge ${I\subseteq\{1,2,\ldots,m\}}$ mit ${|I|=n+1}$,
|
||
so dass $(A|\mathbf{b})_{I}$ unlösbar ist.
|
||
\fbox{Angenommen, dies sei nicht der Fall.}
|
||
Aus dieser Annahme leiten wir folgende Behauptungen ab:
|
||
|
||
\begin{kompaktitem}[\rtab][\rtab]
|
||
\behauptungbeleg{1}
|
||
Die Verhältnisse zwischen den Zeilenvektoren in \eqcref{eq:1:\beweislabel} gelten auch für die Einträge aus $\mathbf{b}$.
|
||
Das heißt
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||
\eqtag[eq:2:\beweislabel]
|
||
b_{k} &= &\sum_{i\in I_{0}:~}c_{k,i}b_{i}\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
für alle ${k\in\{1,2,\ldots,m+1\}\ohne I_{0}}$.\\
|
||
\voritemise
|
||
\belegbehauptung
|
||
Sei $k\in\{1,2,\ldots,m+1\}\ohne I_{0}$ beliebig.
|
||
Da $|I_{0}|\leq n<n+1$ lässt sich eine Teilmenge $I\subseteq\{1,2,\ldots,m\}$ wählen,
|
||
mit $I\supseteq I_{0}\cup\{k\}$ und $|I|=n+1$.
|
||
Dann per \emph{Annahme} ist $(A|\mathbf{b})_{I}$ lösbar.
|
||
Das heißt, $\mathbf{x}\in\reell^{n}$ existiert, so dass
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||
\eqtag[eq:3:\beweislabel]
|
||
b_{i} &= &\sum_{j=1}^{n}a_{i,j}x_{j}\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
für alle $i\in I$ gilt.
|
||
Da $k\in I$ und $I_{0}\subseteq I$ und wegen \eqcref{eq:1:\beweislabel} erhalten wir
|
||
nun das Verhältnis
|
||
|
||
\begin{longmathe}[mc]{RCL}
|
||
b_{k} &= &\sum_{j=1}^{n}a_{k,j}x_{j}\\
|
||
&= &\sum_{j=1}^{n}(\mathbf{z}^{(k)})_{j}x_{j}\\
|
||
&&\quad\text{da die Einträge der $k$-ten Zeile den Einträgen von $\mathbf{z}^{(k)}$ entsprechen}\\
|
||
&\eqcrefoverset{eq:1:\beweislabel}{=}
|
||
&\sum_{j=1}^{n}(\sum_{i\in I_{0}}c_{k,i}\mathbf{z}^{(i)})_{j}x_{j}\\
|
||
&= &\sum_{j=1}^{n}\sum_{i\in I_{0}}c_{k,i}z^{(i)}_{j}x_{j}\\
|
||
&= &\sum_{i\in I_{0}}c_{k,i}\sum_{j=1}^{n}z^{(i)}_{j}x_{j}\\
|
||
&= &\sum_{i\in I_{0}}c_{k,i}\sum_{j=1}^{n}a_{i,j}x_{j}\\
|
||
&&\quad\text{da die Einträge der $i$-ten Zeile den Einträgen von $\mathbf{z}^{(i)}$ entsprechen}\\
|
||
&\eqcrefoverset{eq:3:\beweislabel}{=} &\sum_{i\in I_{0}}c_{k,i}b_{i}.\\
|
||
\end{longmathe}
|
||
|
||
Darum gilt die Behauptung.
|
||
\enndeOfSomething[Beh. 1]
|
||
\behauptungbeleg{2}
|
||
Es gibt eine Lösung zu $(A|\mathbf{b})$.\\
|
||
\voritemise
|
||
\belegbehauptung
|
||
Da $|I_{0}|\leq n<n+1$ lässt sich eine Teilmenge $I\subseteq\{1,2,\ldots,m\}$ wählen,
|
||
so dass $I\supseteq I_{0}$ und $|I|=n+1$.
|
||
Dann per \emph{Annahme} ist $(A|\mathbf{b})_{I}$ lösbar.
|
||
Das heißt, ein $\mathbf{x}\in\reell^{n}$ existiert, so dass
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||
\eqtag[eq:3b:\beweislabel]
|
||
b_{i} &= &\sum_{j=1}^{n}a_{i,j}x_{j}\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
für alle $i\in I$ gilt.
|
||
Da $I\supseteq I_{0}$ können wir \textbf{Behauptung 1} und die Verhältnisse in \eqcref{eq:1:\beweislabel} anwenden.
|
||
Für jedes ${k\in\{1,2,\ldots,m\}\ohne I}$ gilt
|
||
|
||
\begin{longmathe}[mc]{RCL}
|
||
\sum_{j=1}^{n}a_{k,j}x_{j}
|
||
&= &\sum_{j=1}^{n}(\mathbf{z}^{(k)})_{j}x_{j}\\
|
||
&&\quad\text{da die Einträge der $k$-ten Zeile den Einträgen von $\mathbf{z}^{(k)}$ entsprechen}\\
|
||
&\eqcrefoverset{eq:1:\beweislabel}{=}
|
||
&\sum_{j=1}^{n}(\sum_{i\in I_{0}}c_{k,i}\mathbf{z}^{(i)})_{j}x_{j}\\
|
||
&= &\sum_{j=1}^{n}\sum_{i\in I_{0}}c_{k,i}z^{(i)}_{j}x_{j}\\
|
||
&= &\sum_{i\in I_{0}}c_{k,i}\sum_{j=1}^{n}z^{(i)}_{j}x_{j}\\
|
||
&= &\sum_{i\in I_{0}}c_{k,i}\sum_{j=1}^{n}a_{i,j}x_{j}\\
|
||
&&\quad\text{da die Einträge der $i$-ten Zeile den Einträgen von $\mathbf{z}^{(i)}$ entsprechen}\\
|
||
&\eqcrefoverset{eq:3b:\beweislabel}{=} &\sum_{i\in I_{0}}c_{k,i}b_{i}\\
|
||
&\textoverset{Beh. 1}{=} &b_{k}\\
|
||
\end{longmathe}
|
||
|
||
Also ist $\mathbf{x}\in\reell^{n}$ nicht nur eine Lösung zu Zeile $i$ des LGS, $(A|\mathbf{b})$, für jedes $i\in I$,
|
||
sondern auch für jedes ${i\in\{1,2,\ldots,m\}\ohne I}$.
|
||
Das heißt, $\mathbf{x}$ ist eine Lösung des LGS $(A|\mathbf{b})$.
|
||
Also ist $(A|\mathbf{b})$ lösbar.
|
||
\enndeOfSomething[Beh. 2]
|
||
\end{kompaktitem}
|
||
|
||
Laut \textbf{Behauptung 2} ist also $(A|\mathbf{b})$ lösbar.
|
||
Dies ist aber ein Widerspruch!
|
||
Darum stimmt die \emph{Annahme} oben nicht.
|
||
Also gibt es \emph{doch} eine Teilmenge ${I\subseteq\{1,2,\ldots,m\}}$ mit ${|I|=n+1}$, so dass $(A|\mathbf{b})_{I}$ unlösbar ist.
|
||
Damit wurde die zu zeigende Implikation bewiesen.
|
||
\end{proof}
|
||
\end{einzug}
|
||
|
||
\begin{rem}
|
||
Falls man sich aber auf rudimentäre Mitteln beschränken will, kann man alternativ wie folgt vorgehen.
|
||
Man wende zuerst das Gaußverfahren an und erhalte somit eine Folge
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcccccccl}
|
||
(A^{(0)}|\mathbf{b}^{(0)})
|
||
&\rightsquigarrow
|
||
&(A^{(1)}|\mathbf{b}^{(1)})
|
||
&\rightsquigarrow
|
||
&(A^{(2)}|\mathbf{b}^{(2)})
|
||
&\rightsquigarrow
|
||
&\cdots
|
||
&\rightsquigarrow
|
||
&(A^{(N)}|\mathbf{b}^{(N)})
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
wobei $N\in\ntrl$, ${A^{(0)}=A}$, ${\mathbf{b}^{(0)}=\mathbf{b}}$,
|
||
$(A^{(N)}|\mathbf{b}^{(N)})$ eine erweiterte Koeffizientenmatrix in Zeilenstufenform ist,
|
||
und jede der »$\rightsquigarrow$« Übergänge jeweils eine Transformation der Art (I), (II), oder (III) bezeichnet.
|
||
Da $m>n$ sieht nun die Zeilenstufenform, also $(A^{(N)}|\mathbf{b}^{(N)})$, folgendermaßen aus:
|
||
|
||
{\scriptsize
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||
\begin{matrix}{cccccccc|c}
|
||
\underbrace{0\,0\,\ldots\,0}_{\ell_{1}} &\gamma_{1} &\cdots\cdots &\ast &\cdots\cdots &\cdots\cdots &\ast &\cdots\cdots &b^{(N)}_{1}\\
|
||
0\,0\,\ldots\,0 &0 &\underbrace{0\,0\,\ldots\,0}_{\ell_{2}} &\gamma_{2} &\cdots\cdots &\cdots\cdots &\ast &\cdots\cdots &b^{(N)}_{2}\\
|
||
\vdots & & & & & & &\vdots\\
|
||
0\,0\,\ldots\,0 &0 &0\,0\,\ldots\,0 &0 &\cdots\cdots &\underbrace{0\,0\,\ldots\,0}_{\ell_{r}} &\gamma_{r} &\cdots\cdots &b^{(N)}_{r}\\
|
||
0\,0\,\ldots\,0 &0 &0\,0\,\ldots\,0 &0 &\cdots\cdots &0\,0\,\ldots\,0 &0 &\cdots\cdots &b^{(N)}_{r+1}\\
|
||
\vdots & & & & & & &\vdots\\
|
||
0\,0\,\ldots\,0 &0 &0\,0\,\ldots\,0 &0 &\cdots\cdots &0\,0\,\ldots\,0 &0 &\cdots\cdots &b^{(N)}_{m}\\
|
||
\end{matrix}
|
||
\end{mathe}}
|
||
|
||
wobei $r\in\ntrlzero$ die Anzahl der Stufen ist,
|
||
${\ell_{1},\ell_{2},\ldots,\ell_{r}\in\ntrlzero}$,
|
||
und $\gamma_{1},\gamma_{2},\ldots,\gamma_{r}\in\reell\ohne\{0\}$ die Hauptkoeffizienten der Stufen sind.
|
||
Es muss nun $0\leq r\leq \min\{m,n\}=n$ gelten.
|
||
|
||
Jetzt kann man leicht dafür argumentiere, dass (1) die Zeilenstufenform, $(A^{(N)}|\mathbf{b}^{(N)})$, die Implikation erfüllt.
|
||
Dann aufgrund der Umkehrbarkeit der Elementartransformationen, reicht es aus zu zeigen, dass (2):
|
||
wenn ${(A',\mathbf{b}')\rightsquigarrow(A'',\mathbf{b}'')}$ und wenn $(A',\mathbf{b}')$ die Implikation erfüllt,
|
||
dann erfüllt $(A'',\mathbf{b}'')$ die Implikation.
|
||
Dies ist nur etwas mühseliger und die Argumentation von (2) führt letzten Endes zu ähnlichen Ideen, die im Beweis oben vorkommen.
|
||
\end{rem}
|
||
|
||
%% ********************************************************************************
|
||
%% FILE: body/uebung/ueb2.tex
|
||
%% ********************************************************************************
|
||
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||
\setcounternach{chapter}{2}
|
||
\chapter[Woche 2]{Woche 2}
|
||
\label{ueb:2}
|
||
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||
\textbf{ACHTUNG.}
|
||
Diese Lösungen dienen \emph{nicht} als Musterlösungen sondern eher als Referenz.
|
||
Hier wird eingehender gearbeitet, als generell verlangt wird.
|
||
Das Hauptziel hier ist, eine Variant anzubieten, gegen die man seine Versuche vergleichen kann.
|
||
|
||
%% AUFGABE 2-1
|
||
\let\altsectionname\sectionname
|
||
\def\sectionname{Aufgabe}
|
||
\section[Aufgabe 1]{}
|
||
\label{ueb:2:ex:1}
|
||
\let\sectionname\altsectionname
|
||
|
||
\begin{schattierteboxdunn}
|
||
\begin{satz}[vgl. {\cite[Korollar 1.3.3]{sinn2020}}]
|
||
\makelabel{satz:main:ueb:2:ex:1}
|
||
Sei $V$ ein Vektorraum über $\reell$ wie $\reell^{n}$ für ein $n\in\ntrlpos$.
|
||
Seien $\mathbf{v},\mathbf{w}\in V$ mit $\mathbf{v}\neq \mathbf{w}$ und $\mathbf{w}\neq\zerovector$
|
||
und sei
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||
L &:= &\{s\mathbf{v} + (1-s)\mathbf{w}\mid s\in\reell\}\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
die Verbindungsgerade zw. $\mathbf{v}$ und $\mathbf{w}$.
|
||
Dann gilt $\zerovector\in L$ $\Leftrightarrow$ $\exists{c\in\reell:~}\mathbf{v}=c\mathbf{w}$.
|
||
\end{satz}
|
||
\end{schattierteboxdunn}
|
||
|
||
\begin{proof}
|
||
Der Beweis wird in zwei Teilen gezeigt.
|
||
|
||
\hinRichtung Angenommen, $\zerovector\in L$.
|
||
\textbf{Zu zeigen:} $\exists{c\in\reell:~}\mathbf{v}=c\mathbf{w}$.\\
|
||
Per Definition von $L$ existiert ein $s\in\reell$, so dass sich $\zerovector$
|
||
als $\zerovector=s\mathbf{v} + (1-s)\mathbf{w}$
|
||
darstellen lässt.
|
||
Daraus lässt sich ableiten:
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||
\zerovector=s\mathbf{v} + (1-s)\mathbf{w}
|
||
&\Longleftrightarrow
|
||
&s\mathbf{v} = (s-1)\mathbf{w}\\
|
||
&\Longleftrightarrow
|
||
&\underbrace{%
|
||
(s=0\,\text{und}\,\mathbf{w}=s(\mathbf{w}-\mathbf{v})=\zerovector)
|
||
}_{%
|
||
\text{unmöglich, da $\mathbf{w}\neq\zerovector$ per Voraussetzung}
|
||
}
|
||
\,\text{oder}\,(s\neq 0\,\text{und}\,\mathbf{v} = ((s-1)/s)\mathbf{w})\\
|
||
&\Longleftrightarrow
|
||
&s\neq 0\,\text{und}\,\mathbf{v} = ((s-1)/s)\mathbf{w}\\
|
||
&\Longrightarrow
|
||
&\exists{c\in\reell:~}\mathbf{v} = c\mathbf{w}.\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
\herRichtung Angenommen, $\mathbf{v} = c\mathbf{w}$ für ein $c\in\reell$.
|
||
\textbf{Zu zeigen:} $\zerovector\in L$.\\
|
||
Per Voraussetzung gilt nun $\mathbf{v}\neq\mathbf{w}$, sodass $c=1$ direkt ausgeschlossen ist.\\
|
||
Setze nun \fbox{$s:=\frac{1}{1-c}\in\reell$}, was wohldefiniert ist, da $c\neq 1$.\\
|
||
Man berechnet nun
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcccccccl}
|
||
\overbrace{s\mathbf{v}+(1-s)\mathbf{w}}^{\in L,\,\text{per Definition}}
|
||
&= &\frac{1}{1-c}c\mathbf{w}+(1-\frac{1}{1-c})\mathbf{w}
|
||
&= &(\underbrace{\frac{c}{1-c}+1-\frac{1}{1-c}}_{=\frac{c-1}{1-c}+1=0})\mathbf{w}
|
||
&= &0\mathbf{w}
|
||
&= &\zerovector.\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
Darum gilt $\zerovector\in L$.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
%% AUFGABE 2-2
|
||
\clearpage
|
||
\let\altsectionname\sectionname
|
||
\def\sectionname{Aufgabe}
|
||
\section[Aufgabe 2]{}
|
||
\label{ueb:2:ex:2}
|
||
\let\sectionname\altsectionname
|
||
|
||
\begin{enumerate}{\bfseries (a)}
|
||
%% AUFGABE 2-2a
|
||
\item
|
||
\begin{schattierteboxdunn}
|
||
\begin{satz}
|
||
\makelabel{satz:main:ueb:2:ex:2a}
|
||
Seien $\mathbf{v},\mathbf{v}^{\prime},\mathbf{w},\mathbf{w}^{\prime}\in\reell^{2}$
|
||
mit $\mathbf{w},\mathbf{w}^{\prime}\neq\zerovector$.
|
||
Seien
|
||
$L:=\{\mathbf{v}+t\mathbf{w}\mid t\in\reell\}$
|
||
und
|
||
$L^{\prime}:=\{\mathbf{v}^{\prime}+s\mathbf{w}^{\prime}\mid s\in\reell\}$.
|
||
Angenommen, $L\neq L^{\prime}$.
|
||
Dann sind folgende Aussagen äquivalent:
|
||
|
||
\begin{kompaktenum}{(i)}
|
||
\item\punktlabel{1}
|
||
$L\cap L^{\prime}=\leer$;
|
||
\item\punktlabel{2}
|
||
$\mathbf{w},\mathbf{w}^{\prime}$ sind kolinear,
|
||
d.\,h.
|
||
$\exists{c\in\reell:~}\mathbf{w}=c\mathbf{w}^{\prime}$.
|
||
\end{kompaktenum}
|
||
|
||
\nvraum{1}
|
||
\end{satz}
|
||
\end{schattierteboxdunn}
|
||
|
||
\begin{proof}
|
||
Der Beweis wird in zwei Teilen gezeigt.
|
||
|
||
\hinRichtung{1}{2} Angenommen, $L\cap L^{\prime}=\leer$.
|
||
\textbf{Zu zeigen:} $\exists{c\in\reell:~}\mathbf{w}=c\mathbf{w}^{\prime}$.\\
|
||
\fbox{Angenommen, dies sei nicht der Fall.}\\
|
||
Da $\mathbf{w},\mathbf{w}^{\prime}\neq\zerovector$ bedeutet dies,
|
||
dass $\mathbf{w},\mathbf{w}^{\prime}$ \emph{linear unabhängig} sind. ($\to$ Warum??)\\
|
||
Also gilt für den Untervektorraum
|
||
$U:=\vectorspacespan\{\mathbf{w},\mathbf{w}^{\prime}\}$,
|
||
dass $\dim(U)=2$.\\
|
||
Da $U\subseteq\reell^{2}$ Vektorräume sind und $\dim(U)=2=\dim(\reell^{2})$,
|
||
folgt hieraus, dass $U=\reell^{2}$. ($\to$ Warum??)\\
|
||
Betrachte bspw. den Vektor
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||
\eqtag[eq:1-2:1:\beweislabel]
|
||
\mathbf{\xi} &:= &\mathbf{v}^{\prime}-\mathbf{v}\in\reell^{2}.\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
Dann $\mathbf{\xi}\in U=\vectorspacespan\{\mathbf{w},\mathbf{w}^{\prime}\}$.
|
||
Folglich existieren Skalare $\alpha,\beta\in\reell$,
|
||
so dass $\alpha\mathbf{w}+\beta\mathbf{w}^{\prime}=\mathbf{\xi}$
|
||
gilt.\\
|
||
Setze nun \fbox{$t:=\alpha$} und \fbox{$s:=-\beta$}.
|
||
Dann gilt
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rclcl}
|
||
\overbrace{%
|
||
\mathbf{v}+t\mathbf{w}
|
||
}^{\in L}
|
||
&= &(\mathbf{v}+t\mathbf{w})-(\mathbf{v}^{\prime}+s\mathbf{w}^{\prime})
|
||
+\mathbf{v}^{\prime}+s\mathbf{w}^{\prime}\\
|
||
&= &(\mathbf{v}-\mathbf{v}^{\prime})+(t\mathbf{w}-s\mathbf{w}^{\prime})
|
||
+\mathbf{v}^{\prime}+s\mathbf{w}^{\prime}\\
|
||
&= &(\mathbf{v}-\mathbf{v}^{\prime})+(\alpha\mathbf{w}+\beta\mathbf{w}^{\prime})
|
||
+\mathbf{v}^{\prime}+s\mathbf{w}^{\prime}\\
|
||
&\eqcrefoverset{eq:1-2:1:\beweislabel}{=}
|
||
&-\mathbf{\xi}+\mathbf{\xi}
|
||
+\mathbf{v}^{\prime}+s\mathbf{w}^{\prime}
|
||
&= &\underbrace{%
|
||
\mathbf{v}^{\prime}+s\mathbf{w}^{\prime}%
|
||
}_{\in L^{\prime}}.\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
Darum gilt $L\cap L^{\prime}\neq\leer$,
|
||
was ein Widerspruch ist.\\
|
||
Darum stimmt die o.\,s. Annahme nicht.
|
||
Also sind $\mathbf{w},\mathbf{w}^{\prime}$ kolinear.
|
||
|
||
\hinRichtung{2}{1} Angenommen, $\mathbf{w}=c\mathbf{w}^{\prime}$ für ein $c\in\reell$.
|
||
\textbf{Zu zeigen:} $L\cap L^{\prime}=\leer$.\\
|
||
\fbox{Angenommen, dies sei nicht der Fall.}
|
||
Dann existiert ein Vektor, $\mathbf{u}\in L\cap L^{\prime}$.\\
|
||
Per Konstruktion existieren dann $s_{0},t_{0}\in\reell$,
|
||
so dass
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcccl}
|
||
\mathbf{v}+t_{0}\mathbf{w} &= &\mathbf{u} &= &\mathbf{v}^{\prime}+s_{0}\mathbf{w}^{\prime}.\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
Aus der Voraussetzung für diese Richtung folgt
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||
\eqtag[eq:2-1:1:\beweislabel]
|
||
\mathbf{v}^{\prime} &= &\mathbf{v}+(t_{0}-s_{0}c)\mathbf{w}\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
Beachte, dass \fbox{$c\neq 0$}, denn sonst würde $\mathbf{w}=c\mathbf{w}^{\prime}=\zerovector$ gelten,
|
||
was ein Widerspruch ist. Wir berechnen
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||
\eqtag[eq:2-1:2:\beweislabel]
|
||
L^{\prime} &= &\{\mathbf{v}^{\prime}+s\mathbf{w}^{\prime}\mid s\in\reell\}\\
|
||
&\eqcrefoverset{eq:2-1:1:\beweislabel}{=}
|
||
&\{\mathbf{v}+(t_{0}-s_{0}c)\mathbf{w}+sc\mathbf{w}\mid s\in\reell\}\\
|
||
&= &\{\mathbf{v}+(t_{0}+(s-s_{0})c)\mathbf{w}\mid s\in\reell\}\\
|
||
&= &\{\mathbf{v}+t\mathbf{w}\mid t\in R\},\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
wobei $R=\{t_{0}+(s-s_{0})c\mid s\in\reell\}=f(\reell)$.
|
||
Also $R=f(\reell)$, wobei ${f:\reell\to\reell}$ eine durch ${f(s)=t_{0}+(s-s_{0})c}$ definierte Funktion ist.
|
||
Da $c\neq 0$, ist es einfach zu sehen, dass $f$ surjektiv ist (in der Tat bijektiv).
|
||
Darum gilt $R=f(\reell)=\reell$.\\
|
||
Aus \eqcref{eq:2-1:2:\beweislabel} folgt also
|
||
${L^{\prime}=\{\mathbf{v}+t\mathbf{w}\mid t\in\reell\}=L}$,
|
||
was ein Widerspruch ist.\\
|
||
Darum stimmt die o.\,s. Annahme nicht.
|
||
Also gilt $L\cap L^{\prime}=\leer$.
|
||
\end{proof}
|
||
%% AUFGABE 2-2b
|
||
\item
|
||
Wir zeigen nun ein minimales Beispiel dafür, dass \Cref{satz:main:ueb:2:ex:2a}
|
||
im allgemeinen für andere Vektorräume nicht gilt.
|
||
Betrachte den Vektorraum $\reell^{3}$.
|
||
Betrachte die folgenden Vektoren in $\reell^{3}$:
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rclqrclqrclqrcl}
|
||
\mathbf{v} &= &\begin{svector}0\\0\\0\\\end{svector},
|
||
&\mathbf{v}^{\prime} &= &\begin{svector}1\\0\\0\\\end{svector},
|
||
&\mathbf{w} &= &\begin{svector}0\\1\\0\\\end{svector},
|
||
&\mathbf{w}^{\prime} &= &\begin{svector}0\\1\\1\\\end{svector}.\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
Bis auf 2-Dimensionalität erfüllen diese die Voraussetzungen in \Cref{satz:main:ueb:2:ex:2a}.
|
||
Einerseits wurden $\mathbf{w}$, $\mathbf{w}^{\prime}$ so gewählt, dass sie \emph{nicht} kolinear sind.
|
||
Dennoch schneiden sich die beiden Geraden, $L$, $L^{\prime}$, nicht,
|
||
da
|
||
${L\subseteq \{\mathbf{x}\in\reell^{3}\mid x_{1}=0\}=:E}$
|
||
und
|
||
${L^{\prime}\subseteq \{\mathbf{x}\in\reell^{3}\mid x_{1}=1\}=:E^{\prime}}$
|
||
und offensichtlich $E\cap E'=\leer$.
|
||
\end{enumerate}
|
||
|
||
%% AUFGABE 2-3
|
||
\clearpage
|
||
\let\altsectionname\sectionname
|
||
\def\sectionname{Aufgabe}
|
||
\section[Aufgabe 3]{}
|
||
\label{ueb:2:ex:3}
|
||
\let\sectionname\altsectionname
|
||
|
||
\begin{enumerate}{\bfseries (a)}
|
||
%% AUFGABE 2-3a
|
||
\item
|
||
Für jedes $\gamma\in\reell$ sei die Gerade $L_{\gamma}\subseteq\reell^{2}$ gegeben durch
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||
L_{\gamma} &= &\{(x,y)\in\reell^{2}\mid 2x+y=\gamma\cdot(x-3y-7)\}.\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
\begin{schattierteboxdunn}
|
||
\begin{satz}
|
||
\makelabel{satz:main:ueb:2:ex:3a}
|
||
Es gibt exakt einen Punkt in dem Schnitt aus den Geraden, $L_{\gamma}$, $\gamma\in\reell$.
|
||
Es gilt nämlich ${\displaystyle\bigcap_{\gamma\in\reell}L_{\gamma}=\{\mathbf{\xi}\}}$,
|
||
wobei $\mathbf{\xi}=(1,-2)$.
|
||
\end{satz}
|
||
\end{schattierteboxdunn}
|
||
|
||
\begin{proof}
|
||
Wir teilen diesen Beweis in zwei Teilen auf:
|
||
|
||
\BeweisRichtung[$\supseteq$]
|
||
Es reicht aus, für alle $\gamma\in\reell$ \textbf{zu zeigen}, dass $\mathbf{\xi}\in L_{\gamma}$.\\
|
||
Fixiere also ein beliebiges $\gamma\in\reell$. Dann
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rclclcll}
|
||
2\xi_{1}+\xi_{2}
|
||
&= &2\cdot 1+(-2)
|
||
&= &0,
|
||
&&&\text{und}\\
|
||
\gamma\cdot(\xi_{1}-3\xi_{2}-7)
|
||
&= &\gamma\cdot(1-3(-2)-7)
|
||
&= &\gamma\cdot 0
|
||
&= &0.\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
Also ${2\xi_{1}+\xi_{2}=\gamma\cdot(\xi_{1}-3\xi_{2}-7)}$.
|
||
Folglich gilt $\mathbf{\xi}\in L_{\gamma}$ per Konstruktion.
|
||
|
||
\BeweisRichtung[$\subseteq$]
|
||
Sei ${\mathbf{\eta}:=(x,y)\in\bigcap_{\gamma\in\reell}L_{\gamma}}$ beliebig.
|
||
\textbf{Zu zeigen:} $\mathbf{\eta}=\mathbf{\xi}$.\\
|
||
Zu diesem Zwecke seien $\gamma_{1},\gamma_{2}\in\reell$ irgendwelche Werte mit $\gamma_{1}\neq\gamma_{2}$.
|
||
Per Wahl gilt $\mathbf{\eta}\in L_{\gamma_{1}}\cap L_{\gamma_{2}}$.
|
||
Also
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||
2x+y &= &\gamma_{1}\cdot(x-3x-7),\,\text{und}\\
|
||
2x+y &= &\gamma_{2}\cdot(x-3x-7).\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
Wir können ganz naiv arbeiten und die Gleichungen subtrahieren.
|
||
Dies liefert
|
||
$(\gamma_{1}-\gamma_{2})\cdot(x-3x-7)=0$,
|
||
woraus sich ergibt, dass
|
||
$x-3y-7=0$
|
||
gelten muss, da $\gamma_{1}\neq\gamma_{2}$.
|
||
Eingesetzt in die erste Gleichung oben liefert
|
||
$2x+y=\gamma\cdot 0=0$.
|
||
Darum muss $\begin{svector}x\\y\\\end{svector}$
|
||
das LGS $(A|\mathbf{b})$ lösen, wobei
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rclqrcl}
|
||
A &= &\begin{smatrix}
|
||
1&-3\\
|
||
2&1\\
|
||
\end{smatrix},
|
||
&\mathbf{b} &= &\begin{svector}7\\0\\\end{svector}
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
\begin{algorithm}[\rtab][\rtab]
|
||
Gaußverfahren angewandt auf $(A|\mathbf{b})$:
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{c}
|
||
\begin{matrix}{cc|c}
|
||
1 &-3 &7\\
|
||
2 &1 &0\\
|
||
\end{matrix}\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
Wende die Zeilentransformation
|
||
${Z_{2}\leftsquigarrow Z_{2}-2\cdot Z_{1}}$
|
||
an:
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{c}
|
||
\begin{matrix}{cc|c}
|
||
1 &-3 &7\\
|
||
0 &7 &-14\\
|
||
\end{matrix}\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
Aus der Stufenform erschließt sich
|
||
|
||
\begin{mathe}[bc]{rclcl}
|
||
y &= &\frac{-14}{7} &= &-2\\
|
||
x &= &7 + 3\cdot y &= &1.\\
|
||
\end{mathe}
|
||
\end{algorithm}
|
||
|
||
Also
|
||
${\mathbf{\eta}=(x, y)=(1, -2)=\mathbf{\xi}}$
|
||
für alle $\mathbf{\eta}\in\bigcap_{\gamma\in\reell}L_{\gamma}$.
|
||
Das heißt $\bigcap_{\gamma\in\reell}L_{\gamma}\subseteq\{\mathbf{\xi}\}$.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\clearpage
|
||
%% AUFGABE 2-3b
|
||
\item
|
||
|
||
\begin{enumerate}{\bfseries (i)}
|
||
%% AUFGABE 2-3b-i
|
||
\item
|
||
Sei $\gamma\in\reell$. Dann gilt
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||
(-3,2)\in L_{\gamma}
|
||
&\Longleftrightarrow
|
||
&2(-3)+(2)=\gamma\cdot((-3)-3(2)-7)\\
|
||
&\Longleftrightarrow
|
||
&\gamma=\frac{-4}{-16}=\frac{1}{4}.\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
Also ist \fbox{$\gamma=\frac{1}{4}$} der eindeutige Parameter,
|
||
für den $(-3,2)\in L_{\gamma}$ gilt.
|
||
|
||
%% AUFGABE 2-3b-ii
|
||
\item
|
||
Sei $\gamma\in\reell$. Man beobachte, dass
|
||
|
||
\begin{longmathe}[mc]{RCL}
|
||
L_{\gamma}
|
||
&= &\{(x,y)\in\reell^{2}\mid (2-\gamma)x+(1+3\gamma)y=-7\gamma\}\\
|
||
&= &\begin{cases}[m]{lcl}
|
||
\{(x,y)\in\reell^{2}\mid 0x + (1+3\cdot 2)y=-7\cdot 2\}
|
||
&: &\gamma=2\\
|
||
\{(x,y)\in\reell^{2}\mid (2-\frac{-1}{3})x + 0y=-7\cdot\frac{-1}{3}\}
|
||
&: &\gamma=-\frac{1}{3}\\
|
||
\{(x,y)\in\reell^{2}\mid (2-\gamma)x+(1+3\gamma)y=-7\gamma\}
|
||
&: &\text{sonst}
|
||
\end{cases}\\
|
||
&= &\begin{cases}[m]{lcl}
|
||
\{(x,y)\in\reell^{2}\mid y=-2\}
|
||
&: &\gamma=2\\
|
||
\{(x,y)\in\reell^{2}\mid x=1\}
|
||
&: &\gamma=-\frac{1}{3}\\
|
||
\{(x,y)\in\reell^{2}\mid y=\frac{\gamma-2}{1+3\gamma}x - \frac{7\gamma}{1+3\gamma}\}
|
||
&: &\text{sonst}
|
||
\end{cases}.\\
|
||
\end{longmathe}
|
||
|
||
Daraus folgt, dass $L_{\gamma}$
|
||
|
||
\begin{kompaktitem}
|
||
\item
|
||
parallel zur $x$-Achse für $\gamma=2$ ist,
|
||
\item
|
||
parallel zur $y$-Achse für $\gamma=-\frac{1}{3}$ ist,
|
||
\item
|
||
und ansonsten weder zur $x$- noch $y$-Achse parallel ist,
|
||
da in diesem Falle $L_{\gamma}$ die Gerade »${y=ax+b}$« ist, wobei $a\neq 0$.
|
||
\end{kompaktitem}
|
||
|
||
Also ist der gesuchte Parameterwert eindeutig \fbox{$\gamma=-\frac{1}{3}$}.
|
||
|
||
%% AUFGABE 2-3b-iii
|
||
\item
|
||
Die Gerade »$x-2y=-1$« lässt sich äquivalent
|
||
als »$y=\frac{1}{2}x+1$
|
||
darstellen.
|
||
Darum wird ein Wert $\gamma\in\reell$ gesucht,
|
||
so dass die Gerade $L_{\gamma}$ weder zur $x$- noch $y$-Achse parallel ist,
|
||
und die die $y$-$x$-Steigung $\frac{1}{2}$ hat.
|
||
Nach der o.\,s. Berechnung in (ii) kommt dies nur für den 3. Fall in Frage.
|
||
Darum gilt
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||
L_{\gamma}\,\text{parallel zur Gerade »$x-2y=-1$«}
|
||
&\Longleftrightarrow
|
||
&\gamma\notin\{2,-\frac{1}{3}\}
|
||
\,\text{und}\,
|
||
\frac{\gamma-2}{1+3\gamma}=\frac{1}{2}\\
|
||
&\Longleftrightarrow
|
||
&\gamma\notin\{2,-\frac{1}{3}\}
|
||
\,\text{und}\,
|
||
(\gamma-2)=\frac{1}{2}(1+3\gamma)\\
|
||
&\Longleftrightarrow
|
||
&\gamma\notin\{2,-\frac{1}{3}\}
|
||
\,\text{und}\,
|
||
\gamma=-5\\
|
||
&\Longleftrightarrow
|
||
&\gamma=-5.\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
Also ist der gesuchte Parameterwert eindeutig \fbox{$\gamma=-5$}.
|
||
\end{enumerate}
|
||
\end{enumerate}
|
||
|
||
%% ********************************************************************************
|
||
%% FILE: body/uebung/ueb3.tex
|
||
%% ********************************************************************************
|
||
|
||
\setcounternach{chapter}{3}
|
||
\chapter[Woche 3]{Woche 3}
|
||
\label{ueb:2}
|
||
|
||
\textbf{ACHTUNG.}
|
||
Diese Lösungen dienen \emph{nicht} als Musterlösungen sondern eher als Referenz.
|
||
Hier wird eingehender gearbeitet, als generell verlangt wird.
|
||
Das Hauptziel hier ist, eine Variant anzubieten, gegen die man seine Versuche vergleichen kann.
|
||
|
||
%% AUFGABE 3-1
|
||
\let\altsectionname\sectionname
|
||
\def\sectionname{Aufgabe}
|
||
\section[Aufgabe 1]{}
|
||
\label{ueb:3:ex:1}
|
||
\let\sectionname\altsectionname
|
||
|
||
Wir arbeiten im Vektorraum $\reell^{3}$ und betrachten die Vektoren
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rclqrclqrclqrcl}
|
||
\mathbf{v}_{1} &= &\begin{svector}1\\3\\1\\\end{svector}
|
||
&\mathbf{v}_{2} &= &\begin{svector}-2\\5\\-2\\\end{svector}
|
||
&\mathbf{w}_{1} &= &\begin{svector}4\\-3\\-3\\\end{svector}
|
||
&\mathbf{w}_{2} &= &\begin{svector}0\\1\\1\\\end{svector}\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
\textbf{Zu berechnen:}
|
||
$U:=\vectorspacespan\{\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2}\}
|
||
\cap\vectorspacespan\{\mathbf{w}_{1},\mathbf{w}_{2}\}$
|
||
als Untervektorraum von $\reell^{3}$.\\
|
||
Zu diesem Zwecke betrachte einen beliebigen Vektor, $\mathbf{\xi}\in\reell^{3}$.
|
||
Es gilt
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||
\eqtag[eq:0:ueb:3:ex:1]
|
||
\mathbf{\xi}\in U
|
||
&\Longleftrightarrow
|
||
&\exists{t_{1},t_{2},t_{3},t_{4}\in\reell:~}
|
||
\mathbf{\xi}=t_{1}\mathbf{v}_{1}+t_{2}\mathbf{v}_{2}
|
||
\,\text{und}\,
|
||
\mathbf{\xi}=t_{3}\mathbf{w}_{1}+t_{4}\mathbf{w}_{2}\\
|
||
&\Longleftrightarrow
|
||
&\exists{\mathbf{t}\in\reell^{4}:~}
|
||
\mathbf{\xi}=t_{1}\mathbf{v}_{1}+t_{2}\mathbf{v}_{2}
|
||
\,\text{und}\,
|
||
t_{1}\mathbf{v}_{1}+t_{2}\mathbf{v}_{2}
|
||
=t_{3}\mathbf{w}_{1}+t_{4}\mathbf{w}_{2}\\
|
||
&\Longleftrightarrow
|
||
&\exists{\mathbf{t}\in\reell^{4}:~}
|
||
\mathbf{\xi}=t_{1}\mathbf{v}_{1}+t_{2}\mathbf{v}_{2}
|
||
\,\text{und}\,
|
||
t_{1}\mathbf{v}_{1}+t_{2}\mathbf{v}_{2}
|
||
-t_{3}\mathbf{w}_{1}-t_{4}\mathbf{w}_{2}
|
||
=\zerovector\\
|
||
&\Longleftrightarrow
|
||
&\exists{\mathbf{t}\in\reell^{4}:~}
|
||
\mathbf{\xi}=t_{1}\mathbf{v}_{1}+t_{2}\mathbf{v}_{2}
|
||
\,\text{und}\,
|
||
t_{1}\mathbf{v}_{1}+t_{2}\mathbf{v}_{2}
|
||
+t_{3}\mathbf{w}_{1}+t_{4}\mathbf{w}_{2}
|
||
=\zerovector\\
|
||
&\Longleftrightarrow
|
||
&\exists{\mathbf{t}\in\reell^{4}:~}
|
||
\mathbf{\xi}=t_{1}\mathbf{v}_{1}+t_{2}\mathbf{v}_{2}
|
||
\,\text{und}\,
|
||
A\mathbf{t}=\zerovector,\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
wobei
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcccl}
|
||
A &:= &\left(
|
||
\mathbf{v}_{1}~
|
||
\mathbf{v}_{2}~
|
||
\mathbf{w}_{1}~
|
||
\mathbf{w}_{2}
|
||
\right)
|
||
&= &\begin{smatrix}
|
||
1&-2&4&0\\
|
||
3&5&-3&1\\
|
||
1&-2&-3&1\\
|
||
\end{smatrix}\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
Darum ist es notwendig und hinreichend,
|
||
die \emph{homogenen Lösungen} für $A$ zu finden,
|
||
und daraus die Parameter abzulesen.
|
||
|
||
\begin{algorithm}[\rtab][\rtab]
|
||
Homogenes Problem für $A$:\\
|
||
Zeilentransformationen
|
||
${Z_{2}\leftsquigarrow Z_{2}-3\cdot Z_{1}}$,
|
||
${Z_{3}\leftsquigarrow Z_{3}-Z_{1}}$
|
||
anwenden:
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{c}
|
||
\begin{smatrix}
|
||
1&-2&4&0\\
|
||
0&11&-15&1\\
|
||
0&0&-7&1\\
|
||
\end{smatrix}\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
Wende die Zeilentransformation
|
||
${Z_{2}\leftsquigarrow Z_{2}-Z_{3}}$
|
||
an:
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{c}
|
||
\begin{smatrix}
|
||
1&-2&4&0\\
|
||
0&11&-8&0\\
|
||
0&0&-7&1\\
|
||
\end{smatrix}\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
Aus der Zeilenstufenform erschließt sich, dass $t_{4}$ frei ist.
|
||
Also $t_{4}=\alpha$ für ein frei wählbares $\alpha\in\reell$.
|
||
Aus der Stufenform von Gleichungen $3,2,1$ erschließt sich
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||
t_{3} &= &\frac{1}{7}t_{4} = \frac{1}{7}\alpha\\
|
||
t_{2} &= &\frac{8}{11}t_{3} = \frac{8}{77}\alpha\\
|
||
t_{1} &= &2t_{2} - 4t_{3}
|
||
= \frac{16}{77}\alpha - \frac{4}{7}\alpha
|
||
= -\frac{28}{77}\alpha\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
Man kann o.\,E. $\alpha$ durch $\beta:=-77\alpha$ ersetzen.
|
||
Also ist die homogene Lösung gegeben durch
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||
\mathbf{t} &= &\beta\begin{svector}28\\-8\\-11\\-77\\\end{svector},
|
||
\quad\text{mit $\beta\in\reell$ frei wählbar}.
|
||
\end{mathe}
|
||
\end{algorithm}
|
||
|
||
Wir können nun \eqcref{eq:0:ueb:3:ex:1} fortsetzen und erhalten
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||
\eqtag[eq:1:ueb:3:ex:1]
|
||
\mathbf{\xi}\in U
|
||
&\Longleftrightarrow
|
||
&\exists{\mathbf{t}\in\reell^{4}:~}
|
||
\mathbf{\xi}=t_{1}\mathbf{v}_{1}+t_{2}\mathbf{v}_{2}
|
||
\,\text{und}\,
|
||
A\mathbf{t}=\zerovector\\
|
||
&\Longleftrightarrow
|
||
&\exists{\mathbf{t}\in\reell^{4}:~}
|
||
\mathbf{\xi}=t_{1}\mathbf{v}_{1}+t_{2}\mathbf{v}_{2}
|
||
\,\text{und}\,
|
||
\exists{\beta\in\reell:~}
|
||
\mathbf{t}=\beta\begin{svector}28\\-8\\-11\\-77\\\end{svector}\\
|
||
&\Longleftrightarrow
|
||
&\exists{\beta\in\reell:~}
|
||
\mathbf{\xi}=\beta\cdot(
|
||
\underbrace{
|
||
28\mathbf{v}_{1}+-8\mathbf{v}_{2}
|
||
}_{=:\mathbf{u}}
|
||
)\\
|
||
&\Longleftrightarrow &\mathbf{\xi}\in\vectorspacespan\{\mathbf{u}\}\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
für alle $\mathbf{\xi}\in\reell^{3}$.\\
|
||
Es gilt
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcccccl}
|
||
\mathbf{u}
|
||
&= &28\begin{svector}1\\3\\1\\\end{svector}
|
||
-8\begin{svector}-2\\5\\-2\\\end{svector}
|
||
&= &\begin{svector}44\\44\\44\\\end{svector}
|
||
&= &44\begin{svector}1\\1\\1\\\end{svector}.\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
Aus \eqcref{eq:1:ueb:3:ex:1} ergibt sich der zu berechnende Untervektorraum
|
||
als
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcccccccl}
|
||
\vectorspacespan\{\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2}\}
|
||
\cap\vectorspacespan\{\mathbf{w}_{1},\mathbf{w}_{2}\}
|
||
&= &U
|
||
&= &\vectorspacespan\{\mathbf{u}\}
|
||
&= &\vectorspacespan\{44\begin{svector}1\\1\\1\\\end{svector}\}
|
||
&= &\vectorspacespan\{\begin{svector}1\\1\\1\\\end{svector}\}.\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
%% AUFGABE 3-2
|
||
\clearpage
|
||
\let\altsectionname\sectionname
|
||
\def\sectionname{Aufgabe}
|
||
\section[Aufgabe 2]{}
|
||
\label{ueb:3:ex:2}
|
||
\let\sectionname\altsectionname
|
||
|
||
Seien $X$, $Y$ nicht leere Mengen und ${f:X\to Y}$ eine Funktion.
|
||
|
||
\begin{enumerate}{\bfseries (a)}
|
||
%% AUFGABE 3-2a
|
||
\item
|
||
\begin{claim*}
|
||
Die Aussage $\forall{A,B\subseteq X:~}f(A\cap B)=f(A)\cap f(B)$
|
||
ist \fbox{\uline{nicht} allgemein gültig}.
|
||
\end{claim*}
|
||
|
||
\begin{proof}
|
||
Betrachte das Beispiel $X=\{0,1\}$, $Y=\{2\}$, und ${f:X\to Y}$ mit $f(x)=2$ für alle $x\in X$.
|
||
Für $A=\{0\}$ und $B=\{1\}$
|
||
gilt $f(A\cap B)=f(\leer)=\leer$,
|
||
während $f(A)\cap f(B)=\{2\}\cap\{2\}=\{2\}$.
|
||
Also $f(A\cap B)\neq f(A)\cap f(B)$.
|
||
Darum ist dies ein Gegenbeispiel zur Aussage.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\text{Bemerkung.} Die Aussage ist eigentlich genau dann wahr, wenn $f$ injektiv ist.
|
||
|
||
%% AUFGABE 3-2b
|
||
\item
|
||
\begin{claim*}
|
||
Die Aussage $\forall{A,B\subseteq X:~}f(A\cup B)=f(A)\cup f(B)$
|
||
ist \fbox{allgemein gültig}.
|
||
\end{claim*}
|
||
|
||
Für manche (doppelte) Implikationen hier, nämlich für den Umgang mit Existenzquantoren,
|
||
braucht man Grundkenntnisse in Prädikatenlogik 1. Stufe.
|
||
Hierfüg gibt es zahlreiche Einführungswerke in die mathematische Logik,
|
||
bspw. \cite{ebbinghaus2018}.
|
||
|
||
\begin{proof}
|
||
Seien $A,B\subseteq X$ beliebige Teilmengen.
|
||
Es reicht aus \textbf{zu zeigen},
|
||
dass $y\in f(A\cup B)\Leftrightarrow y\in f(A)\cup f(B)$
|
||
für alle $y\in Y$ gilt.\\
|
||
Sei also $y\in Y$ beliebig. Es gilt
|
||
|
||
\begin{longmathe}[mc]{RCL}
|
||
y\in f(A\cup B)
|
||
&\Longleftrightarrow
|
||
&\exists{x\in A\cup B:~}y=f(x)\\
|
||
&\Longleftrightarrow
|
||
&\exists{x\in X:~}x\in A\cup B\,\text{und}\,y=f(x)\\
|
||
&\Longleftrightarrow
|
||
&\exists{x\in X:~}
|
||
(x\in A\,\text{oder}\,x\in B)
|
||
\,\text{und}\,y=f(x)\\
|
||
&\Longleftrightarrow
|
||
&\exists{x\in X:~}
|
||
\big(
|
||
(x\in A\,\text{und}\,y=f(x))
|
||
\,\text{oder}\,
|
||
(x\in B\,\text{und}\,y=f(x))
|
||
\big)\\
|
||
&\Longleftrightarrow
|
||
&\exists{x\in X:~}(x\in A\,\text{und}\,y=f(x))
|
||
\,\text{oder}\,
|
||
\exists{x\in X:~}(x\in B\,\text{und}\,y=f(x))\\
|
||
&\Longleftrightarrow
|
||
&\exists{x\in A:~}y=f(x)
|
||
\,\text{oder}\,
|
||
\exists{x\in B:~}y=f(x)\\
|
||
&\Longleftrightarrow
|
||
&y\in f(A)\,\text{oder}\,y\in f(B)\\
|
||
&\Longleftrightarrow
|
||
&y\in f(A)\cup f(B).\\
|
||
\end{longmathe}
|
||
|
||
Darum gilt $f(A\cup B)=f(A)\cup f(B)$ für alle $A,B\subseteq X$.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
%% AUFGABE 3-2c
|
||
\item
|
||
\begin{claim*}
|
||
Die Aussage $\forall{A\subseteq X:~}f(X\ohne A)=Y\ohne f(A)$
|
||
ist \fbox{\uline{nicht} allgemein gültig}.
|
||
\end{claim*}
|
||
|
||
\begin{proof}
|
||
Betrachte das Beispiel $X=\{0,1\}$, $Y=\{2\}$, und ${f:X\to Y}$ mit $f(x)=2$ für alle $x\in X$.
|
||
Für $A=\{0\}$
|
||
gilt $f(X\ohne A)=f(\{1\})=\{2\}$,
|
||
während $Y\cap f(A)=\{2\}\ohne\{2\}=\leer$.
|
||
Also $f(X\ohne A)\neq Y\cap f(A)$.
|
||
Darum ist dies ein Gegenbeispiel zur Aussage.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\text{Bemerkung.} Die Aussage ist eigentlich genau dann wahr, wenn $f$ bijektiv ist.
|
||
Und eine leicht modifizierte Aussage,
|
||
$\forall{A\subseteq X:~}f(X\ohne A)=f(X)\cap f(A)$,
|
||
ist genau dann wahr, wenn $f$ injektiv ist.
|
||
|
||
%% AUFGABE 3-2d
|
||
\item
|
||
\begin{claim*}
|
||
Die Aussage $\forall{A,B\subseteq Y:~}f^{-1}(A\cap B)=f^{-1}(A)\cap f^{-1}(B)$
|
||
ist \fbox{allgemein gültig}.
|
||
\end{claim*}
|
||
|
||
\begin{proof}
|
||
Seien $A,B\subseteq Y$ beliebige Teilmengen.
|
||
Es reicht aus \textbf{zu zeigen},
|
||
dass $x\in f^{-1}(A\cap B)\Leftrightarrow x\in f^{-1}(A)\cap f^{-1}(B)$
|
||
für alle $x\in X$ gilt.\\
|
||
Sei also $x\in X$ beliebig. Es gilt
|
||
|
||
\begin{longmathe}[mc]{RCL}
|
||
x\in f^{-1}(A\cap B)
|
||
&\Longleftrightarrow
|
||
&f(x)\in A\cap B\\
|
||
&\Longleftrightarrow
|
||
&f(x)\in A\,\text{und}\,f(x)\in B\\
|
||
&\Longleftrightarrow
|
||
&x\in f^{-1}(A)\,\text{und}\,x\in f^{-1}(B)\\
|
||
&\Longleftrightarrow
|
||
&x\in f^{-1}(A)\cap f^{-1}(B).\\
|
||
\end{longmathe}
|
||
|
||
Darum gilt $f^{-1}(A\cap B)=f^{-1}(A)\cap f^{-1}(B)$ für alle $A,B\subseteq Y$.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
%% AUFGABE 3-2e
|
||
\item
|
||
\begin{claim*}
|
||
Die Aussage $\forall{A,B\subseteq Y:~}f^{-1}(A\cup B)=f^{-1}(A)\cup f^{-1}(B)$
|
||
ist \fbox{allgemein gültig}.
|
||
\end{claim*}
|
||
|
||
\begin{proof}
|
||
Seien $A,B\subseteq Y$ beliebige Teilmengen.
|
||
Es reicht aus \textbf{zu zeigen},
|
||
dass $x\in f^{-1}(A\cup B)\Leftrightarrow x\in f^{-1}(A)\cup f^{-1}(B)$
|
||
für alle $x\in X$ gilt.\\
|
||
Sei also $x\in X$ beliebig. Es gilt
|
||
|
||
\begin{longmathe}[mc]{RCL}
|
||
x\in f^{-1}(A\cup B)
|
||
&\Longleftrightarrow
|
||
&f(x)\in A\cup B\\
|
||
&\Longleftrightarrow
|
||
&f(x)\in A\,\text{oder}\,f(x)\in B\\
|
||
&\Longleftrightarrow
|
||
&x\in f^{-1}(A)\,\text{oder}\,x\in f^{-1}(B)\\
|
||
&\Longleftrightarrow
|
||
&x\in f^{-1}(A)\cup f^{-1}(B).\\
|
||
\end{longmathe}
|
||
|
||
Darum gilt $f^{-1}(A\cup B)=f^{-1}(A)\cup f^{-1}(B)$ für alle $A,B\subseteq Y$.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\end{enumerate}
|
||
|
||
%% AUFGABE 3-3
|
||
\clearpage
|
||
\let\altsectionname\sectionname
|
||
\def\sectionname{Aufgabe}
|
||
\section[Aufgabe 3]{}
|
||
\label{ueb:3:ex:3}
|
||
\let\sectionname\altsectionname
|
||
|
||
\begin{enumerate}{\bfseries (a)}
|
||
%% AUFGABE 3-3a
|
||
\item
|
||
Seien $n\in\ntrlpos$ und $v\in\reell^{n}$.
|
||
Sei ${f:\reell^{n}\to\reell^{n}}$ durch $f(x)=x+v$ definiert.
|
||
|
||
\begin{claim*}
|
||
$f$ ist \fbox{bijektiv}.
|
||
\end{claim*}
|
||
|
||
\begin{proof}
|
||
Sei ${g:\reell^{n}\to\reell^{n}}$ durch $g(x)=x-v$ definiert.
|
||
Es ist einfach zu sehen,
|
||
dass $f\circ g=\id_{\reell^{n}}$
|
||
und $g\circ f=\id_{\reell^{n}}$.
|
||
Per Definition ist als $f$ eine Bijektion mit Inversem $g$.
|
||
\end{proof}
|
||
%% AUFGABE 3-3b
|
||
\item
|
||
Seien $n\in\ntrlpos$ und $X=\reell^{n}\times(\reell^{n}\ohne\{\zerovector\})$.
|
||
Sei $Y$ die Menge aller Geraden im $\reell^{n}$.
|
||
Sei ${f:X\to Y}$ durch $f(v,w)=\{v+t\cdot w\mid t\in\reell\}$ definiert.
|
||
|
||
\begin{claim*}
|
||
$f$ ist \fbox{surjektiv} aber \fbox{nicht injektiv}.
|
||
\end{claim*}
|
||
|
||
\begin{proof}
|
||
\uwave{{\bfseries Surjektivität}}\\
|
||
\textbf{Idee:} Folgt aus der Definition von Geraden durch Parameter.\\
|
||
Sei $L\subseteq\reell^{n}$ eine beliebige Gerade. \textbf{Zu zeigen:} $L\in f(X)$.\\
|
||
Nun, \emph{per Definition} einer Geraden existieren
|
||
$u,v\in\reell^{n}$ mit $w\neq\zerovector$
|
||
und so dass $L=\{u+t\cdot w\mid t\in\reell\}$.
|
||
Offensichtlicht gilt $(v,w)\in X$.
|
||
Darum gilt $L=f((v,w))\in f(X)$.
|
||
|
||
\uwave{{\bfseries Nichtinjektivität}}\\
|
||
\textbf{Idee:} Wir wissen, dass verschiedene aber parallele Vektoren dieselbe Gerade definieren.\\
|
||
Fixiere beliebiges $v,w\in\reell^{n}$
|
||
und wähle ein $c\in\reell\ohne\{0,1\}$.\\
|
||
Dann sind $w,cw\neq\zerovector$ verschiedene aber parallele Vektoren.\\
|
||
Darum gilt $f((v,w))=\{v+t\cdot w\mid t\in\reell\}=\{v+tc\cdot w\mid t\in\reell\}=f((v,cw))$.\\
|
||
Da $(v,w)\neq(v,cw)$, ist $f$ somit nicht injektiv.
|
||
\end{proof}
|
||
%% AUFGABE 3-3c
|
||
\item
|
||
Es sei $X$ die Menge aller Bücher in einem fixierten Kontext.
|
||
Sei $Y$ die Menge alle Autor(inn)en von Büchern.
|
||
Sei ${f:X\to\Pot(Y)}$ definiert durch
|
||
$f(x)=\{y\mid \text{$y$ ein(e) Autor(in) vom Buch $x$}\}$
|
||
für alle $x\in X$.
|
||
|
||
\begin{claim*}
|
||
$f$ ist \fbox{nicht im Allgemeinen injektiv} und \fbox{niemals surjektiv}.
|
||
\end{claim*}
|
||
|
||
\begin{proof}
|
||
\uwave{{\bfseries Nichtsurjektivität}}\\
|
||
\textbf{Zu zeigen:} Es gibt konstellationen von Autor(inn)en, die kein gemeinsames Buch verfasst haben.\\
|
||
Es gibt \emph{immer} eine(n) Autor(in) eines Buchs,
|
||
sodass $\leer\notin f(X)$ in allen Kontexten.
|
||
Darum ist $f$ niemals surjektiv.
|
||
|
||
\uwave{{\bfseries Nichtinjektivität}}\\
|
||
\textbf{Zu zeigen:} Es gibt zwei verschiedene Bücher,
|
||
die von der gleichen Konstellation an Autor(inn)en
|
||
verfasst wurden.
|
||
In unserem Kontext hat bspw. $a=\text{{\itshape JK~Rowling}}$ alleine die Bücher
|
||
${b_{1}:=\text{{\itshape »HP~and~the~Philosopher's~Stone«}}}$
|
||
und
|
||
${b_{2}:=\text{{\itshape »HP~and~the~Goblet~of~Fire«}}}$
|
||
geschrieben.
|
||
Darum $b_{1}\neq b_{2}$ und $f(b_{1})=\{a\}=f(b_{2})$.
|
||
Also ist $f$ in unserem Kontext nicht injektiv.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\textbf{Anmerkung.}
|
||
Falls wir $\leer$ von der Bildmenge $\Pot(Y)$ exludieren,
|
||
dann können wir mindestens dafür argumentieren,
|
||
dass $f$ \fbox{nicht im Allgemeinen surjektiv} ist:
|
||
In unserem konkreten Kontext haben bspw. {\itshape JK~Rowling} und {\itshape Oscar~Wilde} nie am selben Buch gearbeitet,
|
||
also gilt $\{\text{JK Rowling},\,\text{Oscar Wilde}\}\notin f(X)$.
|
||
In der Tat ist ein Kontext kaum vorstellbar,
|
||
in dem sich \emph{alle} Autor(inn)en an einem gemeinsamen Buch beteiligt haben,
|
||
d.\,h. $Y\in f(X)$ sowie alle „große“ Teilmengen sind fast immer ausgeschlossen.
|
||
|
||
%% AUFGABE 3-3d
|
||
\item
|
||
Seien $X$ die Menge aller in Deutschland zugelassener Kfz und
|
||
$Y$ die Menge aller amtlicher Kennzeichen.
|
||
Sei ${f:X\to Y}$ die Abbildung, die jedem Kfz sein Kennzeichen zuordnet.
|
||
|
||
\begin{claim*}
|
||
$f$ ist \fbox{injektiv} aber \fbox{nicht im Allgemeinen surjektiv}.
|
||
\end{claim*}
|
||
|
||
\begin{proof}
|
||
\uwave{{\bfseries Injektivität:}}
|
||
Jedes Kennzeichen darf per Gesetz nur einem Kfz zugehören.
|
||
\uwave{{\bfseries Nichtsurjektivität:}}
|
||
Es besteht zwar die Chance, dass irgendwann alle Kennzeichen aufgebraucht werden,
|
||
aber in der Praxis ist die Menge $Y$ sehr groß,
|
||
dass dies aktuell und für eine lange Zeit nicht vorkommt.
|
||
\end{proof}
|
||
\end{enumerate}
|
||
|
||
%% ********************************************************************************
|
||
%% FILE: body/uebung/ueb4.tex
|
||
%% ********************************************************************************
|
||
|
||
\setcounternach{chapter}{4}
|
||
\chapter[Woche 4]{Woche 4}
|
||
\label{ueb:4}
|
||
|
||
\textbf{ACHTUNG.}
|
||
Diese Lösungen dienen \emph{nicht} als Musterlösungen sondern eher als Referenz.
|
||
Hier wird eingehender gearbeitet, als generell verlangt wird.
|
||
Das Hauptziel hier ist, eine Variant anzubieten, gegen die man seine Versuche vergleichen kann.
|
||
|
||
%% AUFGABE 4-1
|
||
\let\altsectionname\sectionname
|
||
\def\sectionname{Aufgabe}
|
||
\section[Aufgabe 1]{}
|
||
\label{ueb:4:ex:1}
|
||
\let\sectionname\altsectionname
|
||
|
||
\begin{enumerate}{\bfseries (a)}
|
||
%% AUFGABE 4-1a
|
||
\item
|
||
Betrachte die Menge $X:=\intgr\times\ntrlpos$
|
||
und die binäre Relation, $\sim\subseteq X\times X$,
|
||
die durch
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||
(a,b)\sim (a',b') &\Longleftrightarrow &ab'=a'b
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
für $(a,b),(a',b')\in X$ definiert wird.
|
||
|
||
\begin{claim*}
|
||
$(X,\sim)$ ist eine Äquivalenzrelation.
|
||
\end{claim*}
|
||
|
||
\begin{proof}
|
||
Wir gehen die Axiome durch:
|
||
|
||
\begin{kompaktenum}[\rtab][\rtab]
|
||
\item[\uwave{{\itshape Reflexivität:}}]
|
||
Sei $(a,b)\in X$ beliebig.
|
||
\textbf{Zu zeigen:} $(a,b)\sim(a,b)$.\\
|
||
Offensichtlich gilt $ab=ab$.\\
|
||
Per Konstruktion gilt also $(a,b)\sim(a,b)$.
|
||
|
||
\item[\uwave{{\itshape Symmetrie:}}]
|
||
Seien $(a,b),(a',b')\in X$ beliebig.
|
||
\textbf{Zu zeigen:} ${(a,b)\sim(a',b')\Rightarrow(a',b')\sim(a,b)}$.\\
|
||
Es gilt
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rclql}
|
||
(a,b)\sim (a',b')
|
||
&\Longleftrightarrow
|
||
&ab'=a'b
|
||
&\text{(per Konstruktion)}\\
|
||
&\Longrightarrow
|
||
&a'b=ab'\\
|
||
&\Longleftrightarrow
|
||
&(a',b')\sim(a,b)
|
||
&\text{(per Konstruktion).}\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
\item[\uwave{{\itshape Transitivität:}}]
|
||
Seien $(a,b),(a',b'),(a'',b'')\in X$ beliebig.\\
|
||
\textbf{Zu zeigen:}
|
||
$(a,b)\sim(a',b')$
|
||
und
|
||
$(a',b')\sim(a'',b'')$
|
||
$\Rightarrow$
|
||
$(a,b)\sim(a'',b'')$.\\
|
||
Es gilt
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||
\begin{array}[b]{0l0}
|
||
(a,b)\sim (a',b')\\
|
||
\,\text{und}\,(a',b')\sim(a'',b'')\\
|
||
\end{array}
|
||
&\Longleftrightarrow
|
||
&ab'=a'b\,\text{und}\,a'b''=a''b'\\
|
||
&&\quad\text{(per Konstruktion)}\\
|
||
&\Longrightarrow
|
||
&(ab'')b'=(ab')b''=(a'b)b''=(a'b'')b=(a''b')b=(a''b)b'\\
|
||
&\Longrightarrow
|
||
&ab''=a''b,\\
|
||
&&\quad\text{da $b'\neq 0$}\\
|
||
&\Longleftrightarrow
|
||
&(a,b)\sim(a'',b'')\\
|
||
&&\quad\text{(per Konstruktion).}\\
|
||
\end{mathe}
|
||
\end{kompaktenum}
|
||
|
||
Darum erfüllt $(X,\sim)$ die Axiome einer Äquivalenzrelation.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\textbf{Bemerkung.}
|
||
Man kann zeigen, dass ${f:X/\lsim\to\rtnl}$
|
||
definiert durch $f([(a,b)])=a/b$
|
||
wohldefiniert und bijektiv ist.
|
||
In der Tat realisieren manche Werke die rationalen Zahlen, $\rtnl$,
|
||
als genau diesen Quotientenraum,
|
||
d.\,h. man kann die Äquivalenzklassen hier als rationale Zahlen deuten.
|
||
|
||
%% AUFGABE 4-1b
|
||
\item
|
||
Betrachte die Menge $X:=\intgr\times\intgr$
|
||
und die binäre Relation, $\leq\subseteq X\times X$,
|
||
die durch
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||
(a,b)\leq(a',b') &\Longleftrightarrow &a\leq a'\,\text{und}\,b\leq b'\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
für $(a,b),(a',b')\in X$ definiert wird.
|
||
|
||
\begin{claim*}
|
||
$(X,\leq)$ ist ist eine Halbordnung aber \fbox{nicht total}.
|
||
\end{claim*}
|
||
|
||
\begin{proof}
|
||
Wir gehen die Axiome durch:
|
||
|
||
\begin{kompaktenum}[\rtab][\rtab]
|
||
\item[\uwave{{\itshape Reflexivität:}}]
|
||
Sei $(a,b)\in X$ beliebig.
|
||
\textbf{Zu zeigen:} $(a,b)\leq(a,b)$.\\
|
||
Offensichtlich gilt $a\leq a$ und $b\leq b$.\\
|
||
Per Konstruktion gilt also $(a,b)\leq(a,b)$.
|
||
|
||
\item[\uwave{{\itshape Antisymmetrie:}}]
|
||
Seien $(a,b),(a',b')\in X$ beliebig.\\
|
||
\textbf{Zu zeigen:}
|
||
$(a,b)\leq(a',b')$
|
||
und
|
||
$(a',b')\leq(a,b)$
|
||
$\Rightarrow$
|
||
$(a,b)=(a',b')$.\\
|
||
Es gilt
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||
\begin{array}[b]{0l0}
|
||
(a,b)\leq (a',b')\\
|
||
\,\text{und}\,(a',b')\leq(a,b)\\
|
||
\end{array}
|
||
&\Longleftrightarrow
|
||
&a\leq a'\,\text{und}\,b\leq b'
|
||
\text{und}\,
|
||
a'\leq a\,\text{und}\,b'\leq b\\
|
||
&&\text{(per Konstruktion)}\\
|
||
&\Longrightarrow
|
||
&a=a\,\text{und}\,b=b',\\
|
||
&&\text{da $(\intgr,\leq)$ antisymmetrisch ist}\\
|
||
&\Longleftrightarrow
|
||
&(a,b)=(a',b').\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
\item[\uwave{{\itshape Transitivität:}}]
|
||
Seien $(a,b),(a',b'),(a'',b'')\in X$ beliebig.\\
|
||
\textbf{Zu zeigen:}
|
||
$(a,b)\leq(a',b')$
|
||
und
|
||
$(a',b')\leq(a'',b'')$
|
||
$\Rightarrow$
|
||
$(a,b)\leq(a'',b'')$.\\
|
||
Es gilt
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||
\begin{array}[b]{0l0}
|
||
(a,b)\leq (a',b')\\
|
||
\,\text{und}\,(a',b')\leq(a'',b'')\\
|
||
\end{array}
|
||
&\Longleftrightarrow
|
||
&a\leq a'\,\text{und}\,b\leq b'
|
||
\text{und}\,
|
||
a'\leq a''\,\text{und}\,b'\leq b''\\
|
||
&&\text{(per Konstruktion)}\\
|
||
&\Longrightarrow
|
||
&a\leq a''\,\text{und}\,b\leq b'',\\
|
||
&&\text{da $(\intgr,\leq)$ transitiv ist}\\
|
||
&\Longleftrightarrow
|
||
&(a,b)\leq(a'',b'')\\
|
||
&&\text{(per Konstruktion).}\\
|
||
\end{mathe}
|
||
\end{kompaktenum}
|
||
|
||
Darum erfüllt $(X,\leq)$ die Axiome einer Halbordnung.\\
|
||
Zum Schluss, beachte, dass $(0,1)$ und $(1,0)$ bzgl. $\leq$ unvergleichbar sind.
|
||
Darum ist $(X,\leq)$ nicht total.
|
||
\end{proof}
|
||
\end{enumerate}
|
||
|
||
%% AUFGABE 4-2
|
||
\clearpage
|
||
\let\altsectionname\sectionname
|
||
\def\sectionname{Aufgabe}
|
||
\section[Aufgabe 2]{}
|
||
\label{ueb:4:ex:2}
|
||
\let\sectionname\altsectionname
|
||
|
||
Fixiere $n\in\ntrlpos$. Wir definieren die binäre Relation ${\sim\subseteq\intgr\times\intgr}$
|
||
mittels
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||
a \sim b &:\Longleftrightarrow &\modfn(a,n)=\modfn(b,n)\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
für $a,b\in\intgr$.
|
||
|
||
\begin{enumerate}{\bfseries (a)}
|
||
%% AUFGABE 4-2a
|
||
\item
|
||
\begin{claim*}
|
||
$(\intgr,\sim)$ ist eine Äquivalenzrelation.
|
||
\end{claim*}
|
||
|
||
\begin{proof}
|
||
Wir gehen die Axiome durch:
|
||
|
||
\begin{kompaktenum}[\rtab][\rtab]
|
||
\item[\uwave{{\itshape Reflexivität:}}]
|
||
Sei $a\in \intgr$ beliebig.
|
||
\textbf{Zu zeigen:} $a\sim a$.\\
|
||
Offensichtlich gilt $\modfn(a,n)=\modfn(a,n)$.\\
|
||
Per Konstruktion gilt also $(a,b)\sim(a,b)$.
|
||
|
||
\item[\uwave{{\itshape Symmetrie:}}]
|
||
Seien $a, a'\in \intgr$ beliebig.
|
||
\textbf{Zu zeigen:} ${a\sim a'\Rightarrow a'\sim a}$.\\
|
||
Es gilt
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rclql}
|
||
a\sim a'
|
||
&\Longleftrightarrow
|
||
&\modfn(a,n)=\modfn(a',n)
|
||
&\text{(per Konstruktion)}\\
|
||
&\Longrightarrow
|
||
&\modfn(a',n)=\modfn(a,n)\\
|
||
&\Longleftrightarrow
|
||
& a'\sim a
|
||
&\text{(per Konstruktion).}\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
\item[\uwave{{\itshape Transitivität:}}]
|
||
Seien $ a, a', a''\in \intgr$ beliebig.
|
||
\textbf{Zu zeigen:}
|
||
$a\sim a'$
|
||
und
|
||
$a'\sim a''$
|
||
$\Rightarrow$
|
||
$a\sim a''$.\\
|
||
Es gilt
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rclql}
|
||
a\sim a'\,\text{und}\, a'\sim a''
|
||
&\Longleftrightarrow
|
||
&\modfn(a,n)=\modfn(a',n)
|
||
\,\text{und}\,
|
||
\modfn(a',n)=\modfn(a'',n)\\
|
||
&&\text{(per Konstruktion)}\\
|
||
&\Longrightarrow
|
||
&\modfn(a,n)=\modfn(a'',n)\\
|
||
&\Longleftrightarrow
|
||
&a\sim a''
|
||
\quad\text{(per Konstruktion).}\\
|
||
\end{mathe}
|
||
\end{kompaktenum}
|
||
|
||
Darum erfüllt $(\intgr,\sim)$ die Axiome einer Äquivalenzrelation.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\textbf{Bemerkung.} Es gibt einen einfacheren Ansatz.
|
||
Zunächst beweist man das allgemeine Lemma:
|
||
Für jede Äquivalenzrelation $(Y,\approx)$ und jede Relation $(X,R)$,
|
||
falls eine Funktion ${f:X\to Y}$ existiert,
|
||
so dass ${\forall{x,x'\in X:~}(x,x')\in R\Leftrightarrow f(x)\approx f(x')}$,
|
||
so gilt dass $(X,R)$ eine Äquivalenzrelation ist.
|
||
Und jetzt wendet man dies auf unseren Kontext an:
|
||
Wir die Äquivalenzrelation $(\{0,1,2\ldots,n-1\},=)$
|
||
und die Relation $(\intgr,\sim)$
|
||
und eine Abbildung ${f:a\in\intgr\mapsto\modfn(a,n)}$,
|
||
für die
|
||
${\forall{a,a'\in\intgr:~}(a,a')\in\sim\Leftrightarrow f(a)\approx f(a')}$
|
||
\emph{per Konstruktion} gilt.
|
||
Darum ist $(\intgr,\sim)$ eine Äquivalenzrelation.
|
||
|
||
%% AUFGABE 4-2b
|
||
\item
|
||
\begin{claim*}
|
||
Es gibt $n$ Äquivalenzklassen.
|
||
\end{claim*}
|
||
|
||
\begin{proof}
|
||
Betrachte die Abbildung
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcccl}
|
||
\rho &: &\intgr/\lsim &\to &\{0,1,\ldots,n-1\}\\
|
||
&: &[a] &\mapsto &\modfn(a,n)\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
Es reicht aus \textbf{zu zeigen}, dass $\rho$ eine wohldefinierte Bijektion ist.
|
||
|
||
\begin{kompaktenum}[\rtab][\rtab]
|
||
\item[\uwave{{\itshape Wohldefiniertheit:}}]
|
||
Sei $C\in\intgr/\sim$ beliebig.
|
||
Seien $a,a'\in\intgr$ mit $[a]=C$ und $[a']=C$.\\
|
||
\textbf{Zu zeigen:} $\modfn(a,n)=\modfn(a',n)$.\\
|
||
Aus $[a]=C=[a']$
|
||
folgt $a\sim a'$
|
||
und damit per Konstruktion
|
||
$\modfn(a,n)=\modfn(a',n)$.
|
||
Darum ordnet $\rho$ einen eindeutig Wert $[a]$ zu.
|
||
|
||
\item[\uwave{{\itshape Injektivität:}}]
|
||
Seien $C,C'\in\intgr/\lsim$ beliebig.
|
||
\textbf{Zu zeigen:} ${\rho(C)=\rho(C')\Rightarrow C=C'}$.\\
|
||
Wähle zunächst $a,a'\in\intgr$, so dass $C=[a]$ und $C=[a']$.
|
||
Dann gilt
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||
\rho(C)=\rho(C')
|
||
&\Longrightarrow
|
||
&\modfn(a,n)=\modfn(a',n)\\
|
||
&\Longrightarrow
|
||
&a\sim a'\\
|
||
&\Longrightarrow
|
||
&C=[a]=[a']=C'.\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
\item[\uwave{{\itshape Surjektivität:}}]
|
||
Sei $k\in\{0,1,\ldots,n-1\}$ beliebig.
|
||
\textbf{Zu zeigen:} $k\in\rho(\intgr/\lsim)$.\\
|
||
Setze $C=[k]\in\intgr/\lsim$.
|
||
Dann $\rho(C)=\modfn(k,n)=k$.\footnote{
|
||
Seien $q\in\intgr$ und $r\in\{0,1,\ldots,n-1\}$ mit $qn+r=k$.
|
||
Da $k,r\in\{0,1,\ldots,n-1\}$,
|
||
gilt $qn=k-r\in\intgr\cap(-n,n)$.
|
||
Also muss $q=0$ gelten.
|
||
Also $r=k$.
|
||
Also $\modfn(k,n)=r=k$.
|
||
}
|
||
Also gilt $k\in\rho(\intgr/\lsim)$.
|
||
\end{kompaktenum}
|
||
|
||
Darum ist $\rho$ eine Bijektion.
|
||
Also gilt $|\intgr/\lsim|=|\{0,1,\ldots,n-1\}|=n$.
|
||
\end{proof}
|
||
%% AUFGABE 4-2c
|
||
\item
|
||
Laut der Berechnung in Aufgabe 2(b) gilt
|
||
${\intgr/\lsim=\{[0],[1],\ldots,[n-1]\}}$.
|
||
Für jedes ${k\in\{0,1,\ldots,n-1\}}$
|
||
lässt sich die Äquivalenzklasse $[k]$
|
||
wie folgt als Teilmenge beschreiben
|
||
|
||
\begin{mathe}[bc]{rcl}
|
||
[k] &= &\{a\in\intgr \mid a\sim k\}
|
||
\,\text{per Definition}\\
|
||
&= &\{a\in\intgr \mid \modfn(a,n)=\modfn(k,n)\}\\
|
||
&= &\{a\in\intgr \mid \modfn(a,n)=k\}\\
|
||
&= &\{a\in\intgr \mid \exists{q\in\intgr:~}a=qn+r\}\\
|
||
&= &\{qn+r \mid q\in\intgr\}\\
|
||
&= &\intgr\cdot n + r.\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
Also lassen sich die Äquivalenzklassen durch die Teilmengen
|
||
${\{\intgr\cdot n+r\mid r\in\{0,1,\ldots,n-1\}\}}$
|
||
darstellen.
|
||
\end{enumerate}
|
||
|
||
%% AUFGABE 4-3
|
||
\let\altsectionname\sectionname
|
||
\def\sectionname{Aufgabe}
|
||
\section[Aufgabe 3]{}
|
||
\label{ueb:4:ex:3}
|
||
\let\sectionname\altsectionname
|
||
|
||
\begin{claim*}
|
||
\makelabel{claim:main:ueb:4:ex:3}
|
||
Für $n\in\ntrlpos$ bezeichne mit $\Phi(n)$ die Aussage,
|
||
dass für alle Mengen $X$, $Y$ mit $|X|=|Y|=n$
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||
\eqtag[eq:1:\beweislabel]
|
||
|\{f\mid f\,\text{eine Bijektion zw. $X$ und $Y$}\}| &= &n!.\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
Dann gilt $\forall{n\in\ntrlpos:~}\Phi(n)$.
|
||
\end{claim*}
|
||
|
||
\begin{proof}[Ansatz I][Ansatz I]
|
||
Sei $n\in\ntrlpos$ und seien $X$, $Y$ $n$-elementige Mengen.
|
||
Sei $(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n})$ eine Auflistung der Elemente in $X$.
|
||
Um eine Injektion zw. $X$ und $Y$ zu definieren,
|
||
wählt man zuerst ein Element $y_{1}\in Y$ für $x_{1}$ (dafür gibt es $n$ Möglichkeiten),
|
||
dann ein Element $y_{2}\in Y$ for $x_{2}$ (dafür bleiben $n-1$ Möglichkeiten übrig),
|
||
usw.
|
||
Darum gibt es insgesamt $n\cdot (n-1)\cdot\cdots 1=n!$
|
||
Injektionen zwischen $X$ und $Y$.
|
||
Da $X$ und $Y$ endlich und gleichmächtig sind,
|
||
ist jede Injektion zwischen diesen Mengen automatisch surjektiv und damit bijektiv.
|
||
Darum gibt es $n!$ Bijektionen zwischen $X$ und $Y$.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\begin{proof}[Ansatz II][Ansatz II]
|
||
Wir beweisen die Behauptung per Induktion über $n$.
|
||
|
||
\begin{kompaktenum}[\rtab][\rtab]
|
||
\item[\uwave{{\bfseries Induktionsanfang:}}]
|
||
Sei $n=1$. Für $1$-elementigen Mengen $X$, $Y$,
|
||
gibt es offensichtlich exakt eine Funktion zwischen $X$ und $Y$,
|
||
und dies ist eine Bijektion.
|
||
Darum gilt \eqcref{eq:1:\beweislabel}.
|
||
|
||
\item[\uwave{{\bfseries Induktionsvoraussetzung:}}]
|
||
Sei $n>1$.
|
||
Angenommen, $\Phi(n-1)$ gilt.
|
||
|
||
\item[\uwave{{\bfseries Induktionsschritt:}}]
|
||
Seien $X$, $Y$ beliebige $n$-elementige Mengen.
|
||
\textbf{Zu zeigen:} \eqcref{eq:1:\beweislabel} gilt.\\
|
||
Fixiere $x_{0}\in X$.
|
||
Beobachte, dass für alle $y_{0}\in Y$
|
||
die Mengen
|
||
$X':=X\ohne\{x_{0}\}$
|
||
und
|
||
$Y':=Y\ohne\{y_{0}\}$
|
||
beide $n-1$-elementig sind.
|
||
Betrachte nun die Abbildung
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcccl}
|
||
F &: &\{g\mid g\,\text{Bij. zw. $X\ohne\{x_{0}\}$ und $Y\ohne\{x_{0}\}$}\}
|
||
&\to
|
||
&\{f\mid f\,\text{Bij. zw. $X$ und $Y$},\,f(x_{0})=y_{0}\}\\
|
||
&: &g &\mapsto &g\cup\{(x_{0},y_{0})\}.\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
Das heißt, jede Bijektion ${g:X\ohne\{x_{0}\}\to Y\ohne\{y_{0}\}}$
|
||
wird durch $F$ zu einer Funktion von $X$ nach $Y$ fortgesetzt,
|
||
indem das zusätzliche Element, $x_{0}$, auf $y_{0}$ abgebildet wird.
|
||
Es ist einfach zu sehen, dass $F$ wohldefiniert ist,
|
||
d.\,h. für jede Bijektion ${g:X\ohne\{x_{0}\}\to Y\ohne\{y_{0}\}}$,
|
||
es gilt, dass $F(g)$ eine wohldefinierte Funktion zwischen $X$ und $Y$ ist
|
||
und weiterhin ist dies eine Bijektion.
|
||
Außerdem ist es klar, dass die Abbildung
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcccl}
|
||
G &: &\{f\mid f\,\text{Bij. zw. $X$ und $Y$},\,f(x_{0})=y_{0}\}
|
||
&\to
|
||
&\{g\mid g\,\text{Bij. zw. $X\ohne\{x_{0}\}$ und $Y\ohne\{x_{0}\}$}\}\\
|
||
&: &f &\mapsto &f\restr{X\ohne\{x_{0}\}\times Y\ohne\{x_{0}\}}\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
die Abbildung $F$ nach rechts und links invertiert.
|
||
Also ist $G$ eine Bijektion.
|
||
Daraus folgt per Definition von Kardinalität
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||
\eqtag[eq:2:\beweislabel]
|
||
|\{f\mid f\,\text{Bij. zw. $X$ und $Y$},\,f(x_{0})=y_{0}\}|
|
||
&= &|\{g\mid g\,\text{Bij. zw. $X\ohne\{x_{0}\}$ und $Y\ohne\{x_{0}\}$}\}|\\
|
||
&= &(n-1)!\,\text{laut IV}.\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
Anderseits ist
|
||
${(\{f\mid f\,\text{Bij. zw. $X$ und $Y$},\,f(x_{0})=y_{0}\})_{y_{0}\in Y}}$
|
||
eine Partition von
|
||
${\{f\mid f\,\text{Bij. zw. $X$ und $Y$}\}}$.
|
||
Darum gilt
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||
|\{f\mid f\,\text{Bij. zw. $X$ und $Y$}\}|
|
||
&= &|\bigcup_{y_{0}\in Y}\{f\mid f\,\text{Bij. zw. $X$ und $Y$},\,f(x_{0})=y_{0}\}|\\
|
||
&= &\sum_{y_{0}\in Y}|\{f\mid f\,\text{Bij. zw. $X$ und $Y$},\,f(x_{0})=y_{0}\}|\\
|
||
&&\text{wegen paarweise Disjunktheit}\\
|
||
&\eqcrefoverset{eq:2:\beweislabel}{=}
|
||
&\sum_{y_{0}\in Y}(n-1)!
|
||
= |Y|\cdot (n-1)!
|
||
= n\cdot (n-1)!
|
||
= n!.\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
Also gilt \eqcref{eq:1:\beweislabel}.
|
||
\end{kompaktenum}
|
||
|
||
Darum gilt $\Phi(n)$ per Induktion für alle $n\in\ntrl$.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
%% ********************************************************************************
|
||
%% FILE: body/uebung/ueb5.tex
|
||
%% ********************************************************************************
|
||
|
||
\setcounternach{chapter}{5}
|
||
\chapter[Woche 5]{Woche 5}
|
||
\label{ueb:5}
|
||
|
||
\textbf{ACHTUNG.}
|
||
Diese Lösungen dienen \emph{nicht} als Musterlösungen sondern eher als Referenz.
|
||
Hier wird eingehender gearbeitet, als generell verlangt wird.
|
||
Das Hauptziel hier ist, eine Variant anzubieten, gegen die man seine Versuche vergleichen kann.
|
||
|
||
%% AUFGABE 5-1
|
||
\let\altsectionname\sectionname
|
||
\def\sectionname{Aufgabe}
|
||
\section[Aufgabe 1]{}
|
||
\label{ueb:5:ex:1}
|
||
\let\sectionname\altsectionname
|
||
|
||
Fixiere eine natürliche Zahl $n\in\ntrlzero$.
|
||
Sei $a_{i}\in\{0,1,\ldots,10-1\}$ die eindeutige Zahlen,
|
||
so dass
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||
n &= &\sum_{i\in\ntrlzero}a_{i}10^{i}\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
gilt.
|
||
|
||
\begin{enumerate}{\bfseries (a)}
|
||
%% AUFGABE 5-1a
|
||
\item
|
||
\begin{claim*}
|
||
$3\divides n$ $\Leftrightarrow$ $3\mid\sum_{i\in\ntrlzero}a_{i}$.
|
||
\end{claim*}
|
||
|
||
\begin{proof}
|
||
Beachte zunächst, dass $10\equiv 1\mod 3$.
|
||
Also gilt modulo $3$
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcccl}
|
||
n &\equiv &\sum_{i\in\ntrlzero}a_{i}1^{i} &\equiv &\sum_{i\in\ntrlzero}a_{i}.\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
Folglich gilt
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcccccl}
|
||
3\mid n
|
||
&\Longleftrightarrow
|
||
&n\equiv 0\mod 3
|
||
&\Longleftrightarrow
|
||
&\sum_{i\in\ntrlzero}a_{i}\equiv 0\mod 3
|
||
&\Longleftrightarrow
|
||
&3\mid\sum_{i\in\ntrlzero}a_{i}
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
wie behauptet.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
%% AUFGABE 5-1b
|
||
\item
|
||
\begin{claim*}
|
||
$11\divides n$ $\Leftrightarrow$ $1\mid\sum_{i\in\ntrlzero}(-1)^{i}a_{i}$.
|
||
\end{claim*}
|
||
|
||
\begin{proof}
|
||
Beachte zunächst, dass $10=-1\mod 11$.
|
||
Also gilt modulo $11$
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcccl}
|
||
n &\equiv &\sum_{i\in\ntrlzero}a_{i}(-1)^{i}.\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
Folglich gilt
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcccccl}
|
||
11\mid n
|
||
&\Longleftrightarrow
|
||
&n\equiv 0\mod 11
|
||
&\Longleftrightarrow
|
||
&\sum_{i\in\ntrlzero}a_{i}\equiv 0\mod 11
|
||
&\Longleftrightarrow
|
||
&11\mid\sum_{i\in\ntrlzero}(-1)^{i}a_{i}
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
wie behauptet.
|
||
\end{proof}
|
||
\end{enumerate}
|
||
|
||
%% AUFGABE 5-2
|
||
\let\altsectionname\sectionname
|
||
\def\sectionname{Aufgabe}
|
||
\section[Aufgabe 2]{}
|
||
\label{ueb:5:ex:2}
|
||
\let\sectionname\altsectionname
|
||
|
||
\begin{enumerate}{\bfseries (a)}
|
||
%% AUFGABE 5-2a
|
||
\item
|
||
|
||
Seien $a=142$ und $b=84$.
|
||
Wir berechnen $\ggT(a,b)$ mittels des Euklidischen Algorithmus
|
||
(siehe \cite[Satz 3.4.7]{sinn2020}).
|
||
|
||
\begin{longtable}[mc]{|c|c|}
|
||
\hline
|
||
\hline
|
||
Restberechnung (symbolisch) &Restberechnung (Werte)\\
|
||
\hline
|
||
\endhead
|
||
$a = b\cdot q_{1} + r_{1}$ &$142 = 84\cdot 1 + 58$\\
|
||
$b = r_{1}\cdot q_{2} + r_{2}$ &$84 = 58\cdot 1 + 26$\\
|
||
$r_{1} = r_{2}\cdot q_{3} + r_{3}$ &$58 = 26\cdot 2 + 6$\\
|
||
$r_{2} = r_{3}\cdot q_{4} + r_{4}$ &$26 = 6\cdot 4 + \boxed{\mathbf{2}}$\\
|
||
$r_{3} = r_{4}\cdot q_{5} + r_{5}$ &$6 = 2\cdot 3 + 0$\\
|
||
\hline
|
||
\hline
|
||
\end{longtable}
|
||
|
||
Darum gilt $\ggT(a,b)=r_{2}=2$.
|
||
|
||
%% AUFGABE 5-2b
|
||
\item
|
||
|
||
\begin{claim}
|
||
\makelabel{claim:main:ueb:5:ex:2b}
|
||
Seien $a,b,c\in\intgr$ mit $a,b\neq 0$.
|
||
Die folgenden Aussagen sind äquivalent:
|
||
|
||
\begin{kompaktenum}{\bfseries (i)}[\rtab][\rtab]
|
||
\item\punktlabel{1}
|
||
$\exists{x,y\in\intgr:~}ax+by=c$
|
||
\item\punktlabel{2}
|
||
$\ggT(a,b)\divides c$
|
||
\end{kompaktenum}
|
||
|
||
\end{claim}
|
||
|
||
\begin{proof}
|
||
Fixiere zunächst $d:=\ggT(a,b)$.
|
||
Da $a,b\in\intgr\ohne\{0\}$, ist $d\in\ntrl$ eine wohldefinierte positive Zahl.
|
||
|
||
\hinRichtung{1}{2}
|
||
Angenommen, $ax+by=c$ für ein $x,y\in\intgr$.\\
|
||
Da $x,y\in\intgr$,
|
||
erhalten wir $c=ax+by\equiv 0x+0z\equiv 0$ modulo $d$.\\
|
||
Also $\ggT(a,b)=d\divides c$.
|
||
|
||
\hinRichtung{2}{1}
|
||
Angenommen, $\ggT(a,b)\divides c$.\\
|
||
Dann existiert ein $k\in\intgr$, so dass $c=k\cdot\ggT(a,b)$.\\
|
||
Laut des Lemmas von B\'ezout (siehe \cite[Lemma 3.4.8]{sinn2020})
|
||
existiere nun $u,v\in\intgr$, so dass $\ggT(a,b)=au+bv$.\\
|
||
Daraus folgt ${c=k\cdot\ggT(a,b)=aku+bkv}$.\\
|
||
Da $ku,kv\in\intgr$, haben wir \punktcref{1} bewiesen.
|
||
\end{proof}
|
||
\end{enumerate}
|
||
|
||
%% AUFGABE 5-3
|
||
\let\altsectionname\sectionname
|
||
\def\sectionname{Aufgabe}
|
||
\section[Aufgabe 3]{}
|
||
\label{ueb:5:ex:3}
|
||
\let\sectionname\altsectionname
|
||
|
||
\begin{enumerate}{\bfseries (a)}
|
||
%% AUFGABE 5-3a
|
||
\item
|
||
|
||
Sei $H:=\intgr/2\intgr$ die (abelsche) Gruppe von Restklassen modulo $2$ unter Addition.\\
|
||
Sei $G:=H\times H$ mit Neutralelement $e=([0],[0])$ und versehen mit der Produktstruktur.\\
|
||
Als Produkt von (abelschen) Gruppen ist $G$ automatisch eine (abelsche) Gruppe.
|
||
Und offensichtlich hat $G$ genau $|G|=|H\times H|=|H|\cdot|H|=2\cdot 2=4$ Elemente.\\
|
||
Es bleibt \textbf{zu zeigen}, dass $\forall{a\in G:~}a\ast a=e$.\\
|
||
Sei also $a=([k],[j])\in H\times H=G$ ein beliebiges Element.
|
||
Es gilt
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||
a\ast a
|
||
&= &([k],[j])\ast([k],[j])\\
|
||
&= &([k]+[k],[j]+[j])\\
|
||
&= &([k+k],[j+j])\\
|
||
&= &([2k],[2j])
|
||
=([0],[0])
|
||
=e,
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
da $2\equiv 0\mod 2$.\\
|
||
Also ist unsere Konstruktion von $G$ ein passendes Beispiel.
|
||
|
||
%% AUFGABE 5-3b
|
||
\item
|
||
\begin{claim*}
|
||
Sei $(G,\ast,e)$ eine Gruppe.
|
||
Angenommen, $\forall{a\in G:~}a\ast a=e$.
|
||
Dann ist $G$ kommutativ.
|
||
\end{claim*}
|
||
|
||
\begin{proof}
|
||
Beachte zunächst, dass wegen Eindeutigkeit des Inverses
|
||
die Annahme zu
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{c}
|
||
\eqtag[eq:1:ueb:5:ex:3]
|
||
\forall{a\in G:~}a^{-1}=a
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
äquivalent ist.\\
|
||
\textbf{Zu zeigen:} Für alle $a,b\in G$ gilt $a\ast b=b\ast a$.\\
|
||
Seien also $a,b\in G$ beliebige Elemente.
|
||
Es gilt
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcccccl}
|
||
a\ast b
|
||
&\eqcrefoverset{eq:1:ueb:5:ex:3}{=}
|
||
&a^{-1}\ast b^{-1}
|
||
&= &(b\ast a)^{-1}
|
||
&\eqcrefoverset{eq:1:ueb:5:ex:3}{=}
|
||
&b\ast a.\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
Also ist $G$ eine kommutative Gruppe.
|
||
\end{proof}
|
||
\end{enumerate}
|
||
|
||
\setcounternach{part}{2}
|
||
\part{Selbstkontrollenaufgaben}
|
||
|
||
\def\chaptername{SKA Blatt}
|
||
|
||
%% ********************************************************************************
|
||
%% FILE: body/ska/ska1.tex
|
||
%% ********************************************************************************
|
||
|
||
%% ********************************************************************************
|
||
%% FILE: body/ska/ska2.tex
|
||
%% ********************************************************************************
|
||
|
||
%% ********************************************************************************
|
||
%% FILE: body/ska/ska3.tex
|
||
%% ********************************************************************************
|
||
|
||
%% ********************************************************************************
|
||
%% FILE: body/ska/ska4.tex
|
||
%% ********************************************************************************
|
||
|
||
\setcounternach{chapter}{4}
|
||
\chapter[Woche 4]{Woche 4}
|
||
\label{ska:4}
|
||
|
||
%% SKA 4-1
|
||
\let\altsectionname\sectionname
|
||
\def\sectionname{SKA}
|
||
\section[Aufgabe 1]{}
|
||
\label{ska:4:ex:1}
|
||
\let\sectionname\altsectionname
|
||
|
||
Seien $X$, $Y$ nicht leere Mengen.
|
||
Einer Abbildung, $f:X\to Y$,
|
||
können wir eindeutig die Relation
|
||
$\graph(f):=\{(x,y)\in X\times Y\mid f(x)=y\}$
|
||
zuordnen. Dies nennt sich der \textbf{Graph von $f$}
|
||
(siehe \cite[\S{}2.3]{sinn2020}---dort wird dies mit $\Gamma_{f}$ bezeichnet).
|
||
Hier ist $\graph(f)$ also eine Relation auf $X\times Y$.
|
||
In der Tat \emph{setzen} manche Werke Funktionen mit ihrem Graphen gleich
|
||
(siehe bspw. \cite[S.11]{jech1997}),
|
||
aber dies ist streng genommen nicht die ganze Wahrheit.
|
||
|
||
%% SKA 4-2
|
||
\let\altsectionname\sectionname
|
||
\def\sectionname{SKA}
|
||
\section[Aufgabe 2]{}
|
||
\label{ska:4:ex:2}
|
||
\let\sectionname\altsectionname
|
||
|
||
\textbf{Hinweis:} Hier scheint im Punkt (ii) etwas verwechselt worden zu sein.
|
||
|
||
Seien $M$, $N$ Mengen und $R\subseteq M\times N$.
|
||
|
||
\begin{claim}
|
||
\makelabel{claim:main:ska:4:ex:2}
|
||
Angenommen, $R$ erfülle folgende Eigenschaften:
|
||
|
||
\begin{kompaktenum}{\bfseries (i)}[\rtab][\rtab]
|
||
\item\punktlabel{1}
|
||
$\forall{x\in M:~}\exists{y\in N:~}(x,y)\in R$
|
||
\item\punktlabel{2}
|
||
$\forall{x\in M:~}\forall{y,y'\in N:~}
|
||
(x,y),(x,y')\in R
|
||
\Rightarrow y=y'$
|
||
\end{kompaktenum}
|
||
|
||
Dann existiert eine (notwendigerweise eindeutige) Funktion,
|
||
${f:M\to N}$,
|
||
so dass $\graph(f)=R$.
|
||
\end{claim}
|
||
|
||
\begin{einzug}[\rtab][\rtab]
|
||
\begin{proof}
|
||
Wir definieren ${f:M\to N}$ durch
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||
f(x) &= &y\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
für $(x,y)\in R$.
|
||
Offensichtlich gilt
|
||
$\graph(f)
|
||
=\{(x,y)\in M\times N\mid f(x)=y\}
|
||
=\{(x,y)\in M\times N\mid (x,y)\in R\}
|
||
=R$.
|
||
|
||
\textbf{Zu zeigen:}
|
||
(1) $f$ ist überall definiert;
|
||
(2) $f$ ist wohldefiniert.
|
||
|
||
\begin{kompaktenum}[\rtab][\rtab]
|
||
\item[\uwave{{\bfseries Überall definiert:}}]
|
||
Sei $x\in M$.
|
||
\textbf{Zu zeigen:} $f(x)=y$ für ein $y\in N$.\\
|
||
Eigenschaft \punktlabel{1} besagt, dass ein $y\in M$ existiert,
|
||
so dass $(x,y)\in R$.
|
||
Per Konstruktion erhalten wir, dass $f(x)=y$ gilt.
|
||
\item[\uwave{{\bfseries Wohldefiniertheit:}}]
|
||
Seien $x\in M$ und $y,y'\in N$.
|
||
Angenommen, $f(x)=y$ und $f(x)=y'$.\\
|
||
\textbf{Zu zeigen:} $y=y'$.\\
|
||
Aus $f(x)=y$ und $f(x)=y'$
|
||
folgt $(x,y),(x,y')\in R$ per Konstruktion von $f$.\\
|
||
Eigenschaft \punktlabel{2} besagt, dass $y=y'$.
|
||
\end{kompaktenum}
|
||
|
||
Darum ist $f$ eine Abbildung zwischen $M$ und $N$
|
||
und $\graph(f)=R$.
|
||
\end{proof}
|
||
\end{einzug}
|
||
|
||
%% SKA 4-3
|
||
\let\altsectionname\sectionname
|
||
\def\sectionname{SKA}
|
||
\section[Aufgabe 3]{}
|
||
\label{ska:4:ex:3}
|
||
\let\sectionname\altsectionname
|
||
|
||
Sei $X=\{a,b,c\}$ und betrachte die binäre Relation,
|
||
$(\Pot(X),\leq)$, definiert durch
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||
A\leq B &\Longleftrightarrow &X\ohne A\subseteq X\ohne B\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
für $A,B\in\Pot(X)$.
|
||
|
||
\begin{claim*}
|
||
$(\Pot(X),\leq)$ ist eine partielle Ordnung (auch »Halbordnung« genannt).
|
||
\end{claim*}
|
||
|
||
Es gibt nun 3 Ansätze, um dies zu zeigen.
|
||
|
||
\begin{proof}[Ansatz I][Ansatz I]
|
||
Beobachte, dass für $A,B\in\Pot(X)$
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||
A\leq B
|
||
&\textoverset{Defn}{\Longleftrightarrow}
|
||
&X\ohne A\subseteq X\ohne B\\
|
||
&\Longrightarrow
|
||
&X\ohne (X\ohne A)\supseteq X\ohne (X\ohne B)\\
|
||
&\Longrightarrow
|
||
&A\supseteq B,
|
||
\,\text{da $A,B\subseteq X$}\\
|
||
&\Longrightarrow
|
||
&X\ohne A\subseteq X\ohne B\\
|
||
&\textoverset{Defn}{\Longleftrightarrow}
|
||
&A\leq B,\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
also $A\leq B\Leftrightarrow A\supseteq B$.
|
||
Darum kann $(\Pot(X),\leq)$ mit $(\Pot(X),\supseteq)$
|
||
identifiziert werden.
|
||
Letzteres ist bekanntermaßen eine Halbordnung.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\begin{proof}[Ansatz II][Ansatz II]
|
||
Im konkreten Falle von $X=\{a,b,c\}$ können wir die Relation
|
||
durch ein \emph{Hasse-Diagramm} skizzieren:
|
||
|
||
\hraum
|
||
{\footnotesize
|
||
\begin{tikzpicture}[node distance=1cm, thick]
|
||
\pgfmathsetmacro\habst{1.5}
|
||
\pgfmathsetmacro\vabst{1}
|
||
|
||
\node (Set1) at (0*\habst,0*\vabst) {$X$};
|
||
\node (SetAB) at (-1*\habst,1*\vabst) {$\{a,b\}$};
|
||
\node (SetAC) at (0*\habst,1*\vabst) {$\{a,c\}$};
|
||
\node (SetBC) at (1*\habst,1*\vabst) {$\{b,c\}$};
|
||
\node (SetA) at (-1*\habst,2*\vabst) {$\{a\}$};
|
||
\node (SetB) at (0*\habst,2*\vabst) {$\{b\}$};
|
||
\node (SetC) at (1*\habst,2*\vabst) {$\{c\}$};
|
||
\node (Set0) at (0*\habst,3*\vabst) {$\leer$};
|
||
|
||
\draw (Set1) edge [->] (SetAB);
|
||
\draw (Set1) edge [->] (SetAC);
|
||
\draw (Set1) edge [->] (SetBC);
|
||
\draw (SetAB) edge [->] (SetA);
|
||
\draw (SetAB) edge [->] (SetB);
|
||
\draw (SetAC) edge [->] (SetA);
|
||
\draw (SetAC) edge [->] (SetC);
|
||
\draw (SetBC) edge [->] (SetB);
|
||
\draw (SetBC) edge [->] (SetC);
|
||
\draw (SetA) edge [->] (Set0);
|
||
\draw (SetB) edge [->] (Set0);
|
||
\draw (SetC) edge [->] (Set0);
|
||
\end{tikzpicture}}
|
||
\hraum
|
||
|
||
Man sieht, dass dies einen \emph{Verband} und damit insbesondere eine Halbordnung bildet.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\begin{proof}[Ansatz III][Ansatz III]
|
||
Wir gehen die Axiome einer Halbordnung durch:
|
||
|
||
\begin{kompaktenum}[\rtab][\rtab]
|
||
\item[\uwave{{\itshape Reflexivität:}}]
|
||
Sei $A\in\Pot(X)$ beliebig.
|
||
\textbf{Zu zeigen:} $A\leq A$.\\
|
||
Offensichtlich gilt $X\ohne A\subseteq X\ohne A$.\\
|
||
Per Konstruktion gilt also $A\leq A$.
|
||
|
||
\item[\uwave{{\itshape Antisymmetrie:}}]
|
||
Seien $ A, A'\in\Pot(X)$ beliebig.\\
|
||
\textbf{Zu zeigen:} $A\leq A'$ und $A'\leq A$ $\Rightarrow$ $A=A'$.\\
|
||
Es gilt
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rclql}
|
||
A\leq A'\,\text{und}\, A'\leq A
|
||
&\Longleftrightarrow
|
||
&X\ohne A\subseteq X\ohne A'
|
||
\,\text{und}\,
|
||
X\ohne A'\subseteq X\ohne A
|
||
&\text{(per Konstruktion)}\\
|
||
&\Longrightarrow
|
||
&X\ohne A=X\ohne A'
|
||
&\text{(per Definition von Mengengleichheit)}\\
|
||
&\Longrightarrow
|
||
&A=A',
|
||
&\text{da $A,A'\subseteq X$}.\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
\item[\uwave{{\itshape Transitivität:}}]
|
||
Seien $A, A',(a'',b'')\in\Pot(X)$ beliebig.\\
|
||
\textbf{Zu zeigen:} $A\leq A'$ und $A'\leq A''$ $\Rightarrow$ $A\leq A''$.\\
|
||
Es gilt
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||
A\leq A'\,\text{und}\, A'\leq A''
|
||
&\Longleftrightarrow
|
||
&X\ohne A\subseteq X\ohne A'
|
||
\,\text{und}\,
|
||
X\ohne A'\subseteq X\ohne A''
|
||
\,\text{(per Konstruktion)}\\
|
||
&\Longrightarrow
|
||
&X\ohne A\subseteq X\ohne A''\\
|
||
&\Longleftrightarrow
|
||
&A\leq A''
|
||
\,\text{(per Konstruktion)}.\\
|
||
\end{mathe}
|
||
\end{kompaktenum}
|
||
|
||
Darum erfüllt $(\Pot(X),\leq)$ die Axiome einer Halbordnung.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
%% SKA 4-4
|
||
\let\altsectionname\sectionname
|
||
\def\sectionname{SKA}
|
||
\section[Aufgabe 4]{}
|
||
\label{ska:4:ex:4}
|
||
\let\sectionname\altsectionname
|
||
|
||
Betrachten wir die Halbordnung aus \cite[Beispiel 2.4.2(2)]{sinn2020}.
|
||
Es sei also $C=\{a,b,c\}$ und
|
||
die durch folgendes \emph{Hasse-Diagramm} dargestellte Ordnungsrelation auf $\Pot(C)$:
|
||
|
||
\hraum
|
||
{\footnotesize
|
||
\begin{tikzpicture}[node distance=1cm, thick]
|
||
\pgfmathsetmacro\habst{1.5}
|
||
\pgfmathsetmacro\vabst{1}
|
||
|
||
\node (Set1) at (0*\habst,3*\vabst) {$C$};
|
||
\node (SetAB) at (-1*\habst,2*\vabst) {$\{a,b\}$};
|
||
\node (SetAC) at (0*\habst,2*\vabst) {$\{a,c\}$};
|
||
\node (SetBC) at (1*\habst,2*\vabst) {$\{b,c\}$};
|
||
\node (SetA) at (-1*\habst,1*\vabst) {$\{a\}$};
|
||
\node (SetB) at (0*\habst,1*\vabst) {$\{b\}$};
|
||
\node (SetC) at (1*\habst,1*\vabst) {$\{c\}$};
|
||
\node (Set0) at (0*\habst,0*\vabst) {$\leer$};
|
||
|
||
\draw (Set0) edge [->] (SetA);
|
||
\draw (Set0) edge [->] (SetB);
|
||
\draw (Set0) edge [->] (SetC);
|
||
\draw (SetA) edge [->] (SetAB);
|
||
\draw (SetA) edge [->] (SetAC);
|
||
\draw (SetB) edge [->] (SetAB);
|
||
\draw (SetB) edge [->] (SetBC);
|
||
\draw (SetC) edge [->] (SetAC);
|
||
\draw (SetC) edge [->] (SetBC);
|
||
\draw (SetAB) edge [->] (Set1);
|
||
\draw (SetAC) edge [->] (Set1);
|
||
\draw (SetBC) edge [->] (Set1);
|
||
\end{tikzpicture}}
|
||
\hraum
|
||
|
||
Wenn wir das Element $\leer$ von $\Pot(C)$ entfernen sieht die Struktur folgendermaßen aus
|
||
|
||
\hraum
|
||
{\footnotesize
|
||
\begin{tikzpicture}[node distance=1cm, thick]
|
||
\pgfmathsetmacro\habst{1.5}
|
||
\pgfmathsetmacro\vabst{1}
|
||
|
||
\node (Set1) at (0*\habst,3*\vabst) {$C$};
|
||
\node (SetAB) at (-1*\habst,2*\vabst) {$\{a,b\}$};
|
||
\node (SetAC) at (0*\habst,2*\vabst) {$\{a,c\}$};
|
||
\node (SetBC) at (1*\habst,2*\vabst) {$\{b,c\}$};
|
||
\node (SetA) at (-1*\habst,1*\vabst) {$\{a\}$};
|
||
\node (SetB) at (0*\habst,1*\vabst) {$\{b\}$};
|
||
\node (SetC) at (1*\habst,1*\vabst) {$\{c\}$};
|
||
|
||
\draw (SetA) edge [->] (SetAB);
|
||
\draw (SetA) edge [->] (SetAC);
|
||
\draw (SetB) edge [->] (SetAB);
|
||
\draw (SetB) edge [->] (SetBC);
|
||
\draw (SetC) edge [->] (SetAC);
|
||
\draw (SetC) edge [->] (SetBC);
|
||
\draw (SetAB) edge [->] (Set1);
|
||
\draw (SetAC) edge [->] (Set1);
|
||
\draw (SetBC) edge [->] (Set1);
|
||
\end{tikzpicture}}
|
||
\hraum
|
||
|
||
Offensichtlich hat $(\Pot(C)\ohne\{\leer\},\subseteq)$ kein kleinstes Element.
|
||
Die Menge der minimalen Elementen ist durch $\{\{a\},\{b\},\{c\}\}$ gegeben.
|
||
Also gibt es $3$ minimale Elemente.
|
||
|
||
%% SKA 4-5
|
||
\let\altsectionname\sectionname
|
||
\def\sectionname{SKA}
|
||
\section[Aufgabe 5]{}
|
||
\label{ska:4:ex:5}
|
||
\let\sectionname\altsectionname
|
||
|
||
Sei $W$ die Menge aller Wörter und $\Sigma$ die Menge aller Buchstaben.
|
||
O.\,E. können wir annehmen, dass jedes Wort $w\in W$ der Länge $|w|\geq 2$ ist.
|
||
(In Sprachen wie Englisch, Russisch, usw. ist dies nicht der Fall,
|
||
aber wir könnten diese trivialen Wörter einfach ausschließen.)
|
||
|
||
Betrachten wir die Relation $(W,\sim)$ gegeben durch
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||
\eqtag[eq:1:ska:4:ex:5]
|
||
w\sim w' &:\Longleftrightarrow &f(w)=f(w),
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
wobei $f:W\to\Sigma$ die Abbildung mit
|
||
$f(w)=\text{1. Buchstabe in $w$}$
|
||
für alle $w\in W$ ist.
|
||
|
||
Dann per Konstruktion \uline{reduziert} $f$
|
||
die Relation $(W,\sim)$ auf $(\Sigma,=)$.
|
||
Aufgrund dessen und da $(\Sigma,=)$ eine Äquivalenzrelation ist,
|
||
ist $(W,\sim)$ automatisch eine Äquivalenzrelation auch.
|
||
|
||
Eigentlich spielt est keine Rolle, wie die Funktion, $f$, aussieht.
|
||
Solange die Reduktion \eqcref{eq:1:ska:4:ex:5} gilt,
|
||
bleibt $(W,\sim)$ eine Äquivalenzrelation.
|
||
Dies gilt also insbesondere ebenfalls,
|
||
wenn $f$ den zweitletzten Buchstaben von Wörtern berechnet.
|
||
|
||
%% SKA 4-6
|
||
\let\altsectionname\sectionname
|
||
\def\sectionname{SKA}
|
||
\section[Aufgabe 6]{}
|
||
\label{ska:4:ex:6}
|
||
\let\sectionname\altsectionname
|
||
|
||
\begin{enumerate}{\bfseries (a)}
|
||
%% SKA 4-6a
|
||
\item
|
||
|
||
\begin{mathe}[tc]{rcl}
|
||
\sum_{i=2}^{6}(-1)^{i}i^{2}
|
||
&= &(-1)^{2}\cdot 2^{2}
|
||
+(-1)^{3}\cdot 3^{2}
|
||
+(-1)^{4}\cdot 4^{2}
|
||
+(-1)^{5}\cdot 5^{2}
|
||
+(-1)^{6}\cdot 6^{2}\\
|
||
&= &4-9+16-25+36
|
||
= 22\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
%% SKA 4-6b
|
||
\item
|
||
|
||
\begin{mathe}[tc]{rcl}
|
||
\prod_{j=1}^{4}(2j-1)
|
||
&= &(2\cdot 1 - 1)
|
||
+(2\cdot 2 - 1)
|
||
+(2\cdot 3 - 1)
|
||
+(2\cdot 4 - 1)\\
|
||
&= &1-3+5-7
|
||
= -4\\
|
||
\end{mathe}
|
||
\end{enumerate}
|
||
|
||
%% SKA 4-7
|
||
\let\altsectionname\sectionname
|
||
\def\sectionname{SKA}
|
||
\section[Aufgabe 7]{}
|
||
\label{ska:4:ex:7}
|
||
\let\sectionname\altsectionname
|
||
|
||
\begin{claim}
|
||
\makelabel{claim:main:ska:4:ex:7}
|
||
Bezeichne mit $\Phi(n)$ die Aussage
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||
\eqtag[eq:1:\beweislabel]
|
||
\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i}i^{2} &= &(-1)^{n}\frac{1}{2}n(n+1).\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
Dann gilt $\forall{n\in\ntrlpos:~}\Phi(n)$.
|
||
\end{claim}
|
||
|
||
\begin{einzug}[\rtab][\rtab]
|
||
\begin{proof}
|
||
Wir zeigen \Cref{\beweislabel} stumpf per Induktion.
|
||
|
||
\begin{kompaktenum}[\rtab][\rtab]
|
||
\item[\uwave{{\bfseries Induktionsanfang:}}]
|
||
Sei $n=1$. Dann
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||
\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i}i^{2}
|
||
&= &(-1)^{1}1^{2} = -1\\
|
||
(-1)^{n}\frac{1}{2}n(n+1)
|
||
&= &(-1)^{1}\frac{1}{2}\cdot 1\cdot (1+1) = -1\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
Also gilt \eqcref{eq:1:\beweislabel}.
|
||
Also gilt $\Phi(1)$.
|
||
|
||
\item[\uwave{{\bfseries Induktionsvoraussetzung:}}]
|
||
Sei $n>1$.
|
||
Angenommen, $\Phi(n-1)$ gilt.
|
||
|
||
\item[\uwave{{\bfseries Induktionsschritt:}}]
|
||
\textbf{Zu zeigen:} $\Phi(n)$ gilt, d.\,h.
|
||
Gleichung \eqcref{eq:1:\beweislabel} gilt.\\
|
||
Es gilt
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||
\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i}i^{2}
|
||
&= &\sum_{i=1}^{n-1}(-1)^{i}i^{2} + (-1)^{n}n^{2}\\
|
||
&= &(-1)^{n-1}\frac{1}{2}(n-1)(n-1+1) + (-1)^{n}n^{2}\\
|
||
&&\text{wegen der IV}\\
|
||
&= &(-1)^{n}\cdot(-\frac{1}{2}n(n-1) + n^{2})\\
|
||
&= &(-1)^{n}\cdot(-\frac{1}{2}n^{2} + \frac{1}{2}n + n^{2})\\
|
||
&= &(-1)^{n}\cdot(\frac{1}{2}n^{2} + \frac{1}{2}n)\\
|
||
&= &(-1)^{n}\frac{1}{2}n(n+1).\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
Also gilt \eqcref{eq:1:\beweislabel}.
|
||
Also gilt $\Phi(n)$.
|
||
\end{kompaktenum}
|
||
|
||
Also gilt $\forall{n\in\ntrlpos:~}\Phi(n)$.
|
||
\end{proof}
|
||
\end{einzug}
|
||
|
||
Für die Summe $\sum_{i=3}^{n}(-1)^{i}i^{2}$
|
||
ist der Ausdruck lediglich
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||
\sum_{i=3}^{n}(-1)^{i}i^{2}
|
||
&= &\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i}i^{2}-(-1)^{1}\cdot 1-(-1)^{2}2^{2}\\
|
||
&= &(-1)^{n}\frac{1}{2}n(n+1)-3\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
für alle $n\geq 3$.
|
||
Sollten wir dies per Induktion beweisen wollen,
|
||
brauchen wir lediglich im o.\,s. Beweis
|
||
den \textbf{Induktionsanfang} auf $n=3$ zu ändern.
|
||
Der Rest bleibt erhalten.
|
||
|
||
\begin{rem}
|
||
Man merkt, dass Induktion mit Deduzieren (»Ableiten«) nichts zu tun hat.
|
||
Induktion ist schließlich nur ein Werkzeug,
|
||
um Behauptungen zu \emph{verifizieren}.
|
||
Sie verschafft uns aber keine Mittel,
|
||
um \emph{auf die Behauptungen zu kommen}.
|
||
In diesem konkreten Falle wurde Vorarbeit geleistet
|
||
und \emph{direkt} argumentiert,
|
||
um auf den Ausdruck in \eqcref{eq:1:\beweislabel} zu kommen.
|
||
Ohne diese Arbeit wären wir auf diesen Ausdruck gar nicht gekommen.
|
||
In dieser Vorarbeit steckt also die eigentliche mathematische Arbeit
|
||
und dies bedarf etwas Kreativität, Intuition, usw.
|
||
Häufig reicht diese Vorarbeit aber nur,
|
||
um auf eine sinnvolle Behauptung zu kommen,
|
||
und zum Schluss runden wir dies mit Induktion ab,
|
||
um formal die behauptete Aussage zu bestätigen.
|
||
Das ist die eigentliche Rolle von Induktion als Beweismittel.
|
||
\end{rem}
|
||
|
||
%% SKA 4-8
|
||
\let\altsectionname\sectionname
|
||
\def\sectionname{SKA}
|
||
\section[Aufgabe 8]{}
|
||
\label{ska:4:ex:8}
|
||
\let\sectionname\altsectionname
|
||
|
||
\uwave{{\bfseries Kurzes Argument:}}\\
|
||
Wenn jede Farbe jeweils auf maximal $1$ Karte vorkommt,
|
||
gibt es $\leq 4\cdot 1$ Karten.
|
||
Aber $5$ Karten werden gewählt.
|
||
|
||
\uwave{{\bfseries Ausführliches Argument:}}\\
|
||
Seien
|
||
${X:=\{\clubsuit, \diamondsuit, \heartsuit, \spadesuit\}}$
|
||
die Menge der Farben und
|
||
${Y:=\{1,2,3,4,5\}}$
|
||
die Indizes der Karten.
|
||
Sei ${f:X\to\Pot(Y)}$ die Funktion,
|
||
die der Wahl entspricht, d.\,h.
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||
f(x) &= &\{y\in Y\mid\text{Karte $y$ hat Farbe $x$}\}\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
für alle Farben $x\in X$.
|
||
|
||
Nun, jede Karte, $y\in Y$, hat eine Farbe, sodass $y\in f(x)$ für ein $x\in X$.
|
||
Also $Y\subseteq\bigcup_{x\in X}f(x)$.
|
||
Und per Definition $f(x)\subseteq Y$ für alle $x\in X$.
|
||
Darum $\bigcup_{x\in X}f(x)\subseteq Y$.
|
||
Also
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||
Y &= &\bigcup_{x\in X}f(x)\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
Andererseits sind die Mengen $(f(x))_{x\in X}$ paarweise disjunkt,
|
||
da jede Karte höchstens eine Farbe hat.
|
||
Also ist $(f(x))_{x\in X}$ eine \emph{Partition} von $Y$.
|
||
Darum
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{ll}
|
||
&|Y| = |\bigcup_{x\in X}f(x)|
|
||
= \sum_{x\in X}|f(x)|
|
||
\leq |X|\cdot\max_{x\in X}|f(x)|\\
|
||
\Longrightarrow
|
||
&\max_{x\in X}|f(x)| \geq |Y|/|X| = 5/4 > 1\\
|
||
\Longrightarrow
|
||
&\exists{x\in X:~}|f(x)|>1\\
|
||
\Longrightarrow
|
||
&\exists{x\in X:~}|f(x)|\geq 2\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
Nach der Definition von $f$ heißt dies,
|
||
es gibt eine Farbe, $x\in\{\clubsuit, \diamondsuit, \heartsuit, \spadesuit\}$,
|
||
so dass $\geq 2$ der gezogenen Karten der Farbe $x$ sind.
|
||
|
||
%% SKA 4-9
|
||
\let\altsectionname\sectionname
|
||
\def\sectionname{SKA}
|
||
\section[Aufgabe 9]{}
|
||
\label{ska:4:ex:9}
|
||
\let\sectionname\altsectionname
|
||
|
||
\uwave{{\bfseries Kurzes Argument:}}\\
|
||
Wenn jeder Kalendartag jeweils von maximal $17$ Studierenden gefeiert wird,
|
||
gibt es $\leq 366\cdot 17=6222$ Studierende.
|
||
Aber es gibt $\geq 7000$ Studierende.
|
||
|
||
\uwave{{\bfseries Ausführliches Argument:}}\\
|
||
Seien
|
||
${X=\{\text{1.~Jan},\,\text{2.~Jan},\,\ldots,\,\text{31.~Dez}\}}$
|
||
die Menge der Kalendartage
|
||
und
|
||
${Y=\{x\mid x\,\text{ein/e Studierende/r an der Uni Leipzig}\}}$.
|
||
Sei ${f:X\to\Pot(Y)}$ die Funktion,
|
||
die der Wahl entspricht, d.\,h.
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||
f(x) &= &\{y\in Y\mid\text{Studierende/r $y$ hat am Tag $x$ Geburtstag}\}\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
für alle Kalendartage $x\in X$.
|
||
|
||
Nun, jede/r Studierende/r, $y\in Y$, hat einen Geburtstag,
|
||
sodass $y\in f(x)$ für ein $x\in X$.
|
||
Also $Y\subseteq\bigcup_{x\in X}f(x)$.
|
||
Und per Definition $f(x)\subseteq Y$ für alle $x\in X$.
|
||
Darum $\bigcup_{x\in X}f(x)\subseteq Y$.
|
||
Also
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||
Y &= &\bigcup_{x\in X}f(x)\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
Andererseits sind die Mengen $(f(x))_{x\in X}$ paarweise disjunkt,
|
||
da jede/r Studierende/r höchstens einen Geburtstag hat.
|
||
Also ist $(f(x))_{x\in X}$ eine \emph{Partition} von $Y$.
|
||
Darum
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{ll}
|
||
&|Y| = |\bigcup_{x\in X}f(x)|
|
||
= \sum_{x\in X}|f(x)|
|
||
\leq |X|\cdot\max_{x\in X}|f(x)|\\
|
||
\Longrightarrow
|
||
&\max_{x\in X}|f(x)| \geq |Y|/|X| \geq 7000/366 > 19\\
|
||
\Longrightarrow
|
||
&\exists{x\in X:~}|f(x)|>19\\
|
||
\Longrightarrow
|
||
&\exists{x\in X:~}|f(x)|\geq 20\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
Nach der Definition von $f$ heißt dies,
|
||
es gibt einen Kalendartag, ${x\in\{\text{1.~Jan},\,\text{2.~Jan},\,\ldots,\,\text{31.~Dez}\}}$,
|
||
so dass mindestens $20$ Studierende $x$ als Geburtstag feiern.
|
||
Insbesondere gibt es $18$ Menschen, die den gleichen Geburtstag feiern.
|
||
|
||
%% SKA 4-10
|
||
\let\altsectionname\sectionname
|
||
\def\sectionname{SKA}
|
||
\section[Aufgabe 10]{}
|
||
\label{ska:4:ex:10}
|
||
\let\sectionname\altsectionname
|
||
|
||
\begin{claim}
|
||
\makelabel{claim:main:ska:4:ex:10}
|
||
Bezeichne mit $\Phi(n)$ die Aussage
|
||
|
||
\begin{kompaktitem}[\rtab][\rtab]
|
||
\item
|
||
Für alle endlichen Mengen, $E_{1},E_{2},\ldots,E_{n}$,
|
||
gilt $|\prod_{i=1}^{n}E_{i}|=\prod_{i=1}^{n}|E_{i}|$.
|
||
\end{kompaktitem}
|
||
Dann gilt $\forall{n\in\ntrlpos:~}\Phi(n)$.
|
||
\end{claim}
|
||
|
||
\begin{einzug}[\rtab][\rtab]
|
||
\begin{proof}
|
||
Wir zeigen dies per Induktion mit den Fällen $n\leq 2$ als Induktionsanfang.
|
||
|
||
\begin{kompaktenum}[\rtab][\rtab]
|
||
\item[\uwave{{\bfseries Induktionsanfang:}}]
|
||
Sei $n=1$. Dann für alle Mengen, $E_{1}$
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcccl}
|
||
|\prod_{i=1}^{1}E_{i}|
|
||
&= &|E_{1}|
|
||
&= &\prod_{i=1}^{1}|E_{i}|\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
Also gilt $\Phi(1)$.
|
||
\item[]
|
||
Sei $n=2$.
|
||
Laut \Cref{lemm:1:ska:4:ex:10} (siehe unten)
|
||
gilt für alle endlichen Mengen $E_{1},E_{2}$
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcccccl}
|
||
|\prod_{i=1}^{2}E_{i}|
|
||
&= &|E_{1}\times E_{2}|
|
||
&= &|E_{1}|\cdot|E_{2}|
|
||
&= &\prod_{i=1}^{2}|E_{i}|.\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
Also gilt $\Phi(2)$.
|
||
|
||
\item[\uwave{{\bfseries Induktionsvoraussetzung:}}]
|
||
Sei $n>2$.
|
||
Angenommen, $\Phi(n-1)$ gilt.
|
||
|
||
\item[\uwave{{\bfseries Induktionsschritt:}}]
|
||
Seien $E_{1},E_{2},\ldots,E_{n}$ beliebige endliche Mengen.\\
|
||
\textbf{Zu zeigen:} $|\prod_{i=1}^{n}E_{i}|=\prod_{i=1}^{n}|E_{i}|$ gilt.\\
|
||
Es gilt
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rclql}
|
||
|\prod_{i=1}^{n}E_{i}|
|
||
&= &|\prod_{i=1}^{n-1}E_{i}\times E_{n}|\\
|
||
&= &|\prod_{i=1}^{n-1}E_{i}|\cdot|E_{n}|,
|
||
&\text{da $\Phi(2)$ gilt}\\
|
||
&= &\prod_{i=1}^{n-1}|E_{i}|\cdot|E_{n}|
|
||
&\text{wegen der IV}\\
|
||
&= &\prod_{i=1}^{n}|E_{i}|.\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
Also gilt $\Phi(n)$.
|
||
\end{kompaktenum}
|
||
|
||
Also gilt $\forall{n\in\ntrlpos:~}\Phi(n)$.
|
||
\end{proof}
|
||
\end{einzug}
|
||
|
||
Wir müssen noch den Fall für $2$ Mengen beweisen.
|
||
|
||
\begin{lemm}
|
||
\makelabel{lemm:1:ska:4:ex:10}
|
||
Seien $X$, $Y$ beliebige \uline{endliche} Mengen.
|
||
Dann $|X\times Y|=|X|\cdot |Y|$.
|
||
\end{lemm}
|
||
|
||
\begin{einzug}[\rtab][\rtab]
|
||
\begin{proof}
|
||
Wir zeigen dies direkt. Seien $m:=|X|$ und $n:=|Y|$.
|
||
Wegen Endlichkeit liegen $m,n$ in $\ntrlzero$.
|
||
|
||
Falls $m=0$ oder $n=0$, so gilt $X=\leer$ oder $Y=\leer$ und damit
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcccccccl}
|
||
|X\times Y|
|
||
&= &|\leer|
|
||
&= &0
|
||
&= &m\cdot n
|
||
&= &|X|\cdot|Y|.\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
Beschränken wir uns also auf den Famm $m,n>0$.
|
||
Per Definition von Kardinalität (siehe \cite[\S{}3.3, S.54]{sinn2020})
|
||
existieren also Bijektionen
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcccl}
|
||
f &: &\{0,1,\ldots,m-1\} &\to &X,\\
|
||
g &: &\{0,1,\ldots,n-1\} &\to &Y.\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
(Wir fangen aus praktischen Gründen mit $0$ statt $1$ an.)\\
|
||
Definiere nun
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcccl}
|
||
h &: &\{0,1,\ldots,mn-1\} &\mapsto &X\times Y\\
|
||
&: &k &\mapsto &(f(\modfn(k,m)), g([k/m])),\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
wobei ${[\cdot]:\reell\to\intgr}$ die Gaußklammerfunktion,
|
||
die reelle Zahlen \emph{abrundet}.\\
|
||
\textbf{Zu zeigen:} $h$ ist eine wohldefinierte Bijektion.
|
||
|
||
\begin{kompaktenum}[\rtab][\rtab]
|
||
\item[\uwave{{\bfseries Wohldefiniertheit:}}]
|
||
Für alle $k\in\{0,1,\ldots,mn-1\}$
|
||
gilt $i:=\modfn(k,m)\in\{0,1,\ldots,m-1\}=\domain(f)$
|
||
und $j:=[k/m]\in\{0,1,\ldots,n-1\}=\domain(g)$,
|
||
sodass $f(i)\in X$ und $g(j)\in Y$
|
||
und damit $h(k)=(f(i),g(j))\in X\times Y$.
|
||
|
||
\item[\uwave{{\bfseries Injektivität:}}]
|
||
Seien $k_{1},k_{2}\in\{0,1,\ldots,mn-1\}$ beliebig.
|
||
\textbf{Zu zeigen:} $h(k_{1})=h(k_{2})\Rightarrow k_{1}=k_{2}$.\\
|
||
Nach \cite[Satz 3.4.2]{sinn2020}
|
||
existieren (eindeutige) Werte
|
||
${q_{1},q_{2}\in\intgr}$ und
|
||
${r_{1},r_{2}\in\{0,1,\ldots,m-1\}}$,
|
||
so dass
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||
\eqtag[eq:1:\beweislabel]
|
||
k_{1} &= &mq_{1}+r_{1},\\
|
||
k_{2} &= &mq_{2}+r_{2}.\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
Daraus lässt sich ableiten,
|
||
dass
|
||
$\modfn(k_{1},m)=r_{1}$,
|
||
$\modfn(k_{2},m)=r_{2}$,
|
||
$[k_{1}/m]=q_{1}$,
|
||
und
|
||
$[k_{2}/m]=q_{2}$.
|
||
Darum gilt
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||
h(k_{1})=h(k_{2})
|
||
&\textoverset{Defn}{\Longleftrightarrow}
|
||
&(f(r_{1}),g(q_{1}))=(f(r_{2}),g(q_{2}))\\
|
||
&\Longrightarrow
|
||
&f(r_{1})=f(r_{2})\,\text{und}\,g(q_{1})=g(q_{2})\\
|
||
&\Longrightarrow
|
||
&r_{1}=r_{2}\,\text{und}\,q_{1}=q_{2}\\
|
||
&&\text{da $f,g$ injektiv sind}\\
|
||
&\eqcrefoverset{eq:1:\beweislabel}{\Longrightarrow}
|
||
&k_{1}=mq_{1}+r_{1}=mq_{2}+r_{2}=k_{2}.\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
\item[\uwave{{\bfseries Surjektivität:}}]
|
||
Sei $(x,y)\in X\times Y$.
|
||
\textbf{Zu zeigen:} $(x,y)\in\range(h)$.\\
|
||
Wegen der Surjektivität von $f,g$ existieren nun
|
||
$i\in\{0,1,\ldots,m-1\}$ und
|
||
$j\in\{0,1,\ldots,n-1\}$,
|
||
so dass $f(i)=x$ und $g(j)=y$.\\
|
||
Setze nun $k:=mj+i$.\\
|
||
Dann $\modfn(k,m)=i$ und $[k/m]=j$,
|
||
sodass $h(k)=(f(i),g(j))=(x,y)$.\\
|
||
Also gilt $(x,y)\in\range(h)$.
|
||
\end{kompaktenum}
|
||
|
||
Darum ist $h$ ist eine wohldefinierte Bijektion,
|
||
woraus sich per Definition von Kardinalität direkt ergibt,
|
||
dass $|X\times Y|=mn=|X|\cdot|Y|$.
|
||
\end{proof}
|
||
\end{einzug}
|
||
|
||
%% SKA 4-11
|
||
\let\altsectionname\sectionname
|
||
\def\sectionname{SKA}
|
||
\section[Aufgabe 11]{}
|
||
\label{ska:4:ex:11}
|
||
\let\sectionname\altsectionname
|
||
|
||
Um ein Argument zurückzuweisen, reicht es häufig aus,
|
||
das Argument einfach \emph{ausführlich} aufzuschreiben.
|
||
Wir nehmen die Ausführung und formalisieren diese:
|
||
|
||
\begin{claim*}
|
||
Bezeichne mit $G(x)$, dass $x$ ein Goldfisch ist.
|
||
Für $n\in\ntrlpos$ bezeichne mit $\Phi(n)$ folgende Aussage
|
||
|
||
\begin{kompaktitem}[\rtab][\rtab]
|
||
\item
|
||
Für alle $n$-elementigen Mengen, $X$, von Fischen,
|
||
wenn $\exists{x\in X:~}G(x)$,
|
||
dann $\forall{x\in X:~}G(x)$.
|
||
\end{kompaktitem}
|
||
|
||
Dann $\forall{n\in\ntrlpos:~}\Phi(n)$
|
||
\end{claim*}
|
||
|
||
\begin{proof}[ungültiges Argument]
|
||
Dies wird per Induktion argumentiert.
|
||
|
||
\begin{kompaktenum}[\rtab][\rtab]
|
||
\item[\uwave{{\bfseries Induktionsanfang:}}]
|
||
Betrachte eine $1$-elementige Menge, $X$, von Fischen.\\
|
||
Angenommen, ein $x_{0}\in X$ mit $G(x_{0})$ existiere.\\
|
||
Da $X$ nur dieses eine Element enthält,
|
||
gilt offensichtlich $\forall{x\in X:~}G(x)$.
|
||
|
||
\item[\uwave{{\bfseries Induktionsvoraussetzung:}}]
|
||
Sei $n\in\ntrlpos$ mit $n\geq 1$.
|
||
Angenommen, $\Phi(n)$ gilt.
|
||
|
||
\item[\uwave{{\bfseries Induktionsschritt:}}]
|
||
Sei $X$ eine $n+1$-elementige Menge von Fischen.\\
|
||
Angenommen, ein $x_{0}\in X$ mit $G(x_{0})$ existiere.
|
||
\textbf{Zu zeigen:} Für alle $x\in X$ gilt $G(x)$.\\
|
||
Fixiere einen anderen Fisch $x_{1}\in X\ohne\{x_{0}\}$, was möglich ist, weil $|X|=n+1\geq 2$.\\
|
||
Setze $X_{0}:=X\ohne\{x_{1}\}$ und $X_{1}:=X\ohne\{x_{0}\}$.\\
|
||
Da $x_{1}\neq x_{0}$, sind $X_{0},X_{1}$ verschiedene $n$-elementige Mengen:
|
||
|
||
\hraum
|
||
{\footnotesize
|
||
\begin{tikzpicture}[node distance=1cm, thick]
|
||
\pgfmathsetmacro\habst{1.5}
|
||
\pgfmathsetmacro\vabst{1.5}
|
||
\pgfmathsetmacro\rad{1.5}
|
||
|
||
\node (PtBL) at (-1.25*\habst,0*\vabst) {};
|
||
\node (PtTL) at (-1.25*\habst,2*\vabst) {};
|
||
\node (PtBR) at (+1.25*\habst,0*\vabst) {};
|
||
\node (PtTR) at (+1.25*\habst,2*\vabst) {};
|
||
\node (X0mid) at (-0.25*\habst,1*\vabst) {};
|
||
\node (X1mid) at (+0.25*\habst,1*\vabst) {};
|
||
\node[label=above:{$x_{0}$}] (x0) at (-1*\habst,1*\vabst) {$\bullet$};
|
||
\node[label=above:{$x_{1}$}] (x1) at (+1*\habst,1*\vabst) {$\bullet$};
|
||
\node[above left = 0.7*\rad and 0.7*\rad of X0mid] {$X_{0}$};
|
||
\node[above right = 0.7*\rad and 0.7*\rad of X1mid] {$X_{1}$};
|
||
|
||
\draw [thick, decoration={brace, mirror, raise=1*\vabst}, decorate] node [pos=0.5, anchor=north, yshift=-10pt] {$X$} (PtBL.south) -- (PtBR.south);
|
||
\draw[pattern=north west lines] (X0mid) circle[radius=1*\rad];
|
||
\draw (X1mid) circle[radius=1*\rad];
|
||
\end{tikzpicture}}
|
||
\hraum
|
||
|
||
Fokussieren wir uns zunächst auf $X_{0}$ (die schattierte Teilmenge).\\
|
||
Da $X_{0}$ $n$-elementig ist und $x_{0}\in X_{0}$ und $G(x_{0})$,
|
||
gilt per IV (\textdagger)~$\forall{x\in X_{0}:~}G(x)$.
|
||
|
||
Wähle nun irgendeinen der Fische, $\tilde{x}\in X_{0}$ und setze $X':=X\ohne\{\tilde{x}\}$.\\
|
||
O.\,E. können wir $\tilde{x}:=x_{0}$ wählen, sodass $X'=X_{1}$ gilt.\\
|
||
Die Teilmenge $X_{1}$ ist nun eine $n$-elementige Menge mit mindestens $n-1$ Goldfischen.\\
|
||
\fbox{Also $\exists{x\in X_{1}:~}G(x)$.}\\
|
||
Per IV gilt also $\forall{x\in X_{1}:~}G(x)$.\\
|
||
Daraus und aus (\textdagger) folgt $\forall{x\in X:~}G(x)$, da ja $X=X_{0}\cup X_{1}$.
|
||
|
||
Darum gilt $\Phi(n+1)$.
|
||
\end{kompaktenum}
|
||
|
||
Darum gilt $\forall{n\in\ntrlpos:~}\Phi(n)$.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
Das Problem mit diesem Argument steckt im Induktionsschritt an genau dieser Stelle:
|
||
|
||
\begin{quote}
|
||
\itshape
|
||
Also $\exists{x\in X':~}G(x)$.
|
||
\end{quote}
|
||
|
||
Im ursprünglichen Text ist dies die problematische Stelle:
|
||
|
||
\begin{quote}
|
||
\itshape
|
||
Jetzt können wir aber \uline{auch einen der Goldfische rausnehmen} und haben wieder ein Aquarium mit $n$ Fischen und \uline{mindestens einem Goldfisch}.
|
||
\end{quote}
|
||
|
||
Zurück aber zu unserer Formalisierung:\\
|
||
Wir haben etwas ausführlicher gezeigt, dass die Menge $X'$ mindestens $n-1$ Goldfische enthält.
|
||
Wenn wir $\tilde{x}:=x_{0}$ wählen entspricht dies der Größe des Schnitts $X_{0}\cap X_{1}$.
|
||
Das \uline{Diagramm} mag andeuten, dass dieser Schnitt nicht leer ist, aber das Diagramm täuscht.
|
||
Im Induktionsschritt setzen wir nur voraus, dass $n\geq 1$.
|
||
Darum ist $n-1>0$ nur garantiert, wenn stattdessen $n'\geq 2$ vorausgesetzt wird.
|
||
|
||
Das heißt das Induktionsargument ist faul,
|
||
weil der Schritt $1\rightsquigarrow 2$ implizit übersprungen wird.
|
||
|
||
%% ********************************************************************************
|
||
%% FILE: body/ska/ska5.tex
|
||
%% ********************************************************************************
|
||
|
||
\setcounternach{chapter}{5}
|
||
\chapter[Woche 5]{Woche 5}
|
||
\label{ska:5}
|
||
|
||
%% SKA 5-2
|
||
\let\altsectionname\sectionname
|
||
\def\sectionname{SKA}
|
||
\setcounternach{section}{2}
|
||
\section[Aufgabe 2]{}
|
||
\label{ska:5:ex:2}
|
||
\let\sectionname\altsectionname
|
||
|
||
Betrachtet sei die Teilbarkeitsrelation $(\intgr,\divides)$.
|
||
Wir prüfen, welche Axiome erfüllt sind und beurteilen aufgrund dessen,
|
||
ob es sich um eine Äquivalenzrelation, partielle Ordnung, Abbildung, usw. handelt.
|
||
|
||
\begin{kompaktenum}[\rtab][\rtab]
|
||
\item[\uwave{{\bfseries Reflexivität:}}]
|
||
Sei $a\in\intgr$ beliebig.
|
||
\textbf{Zu prüfen:} $a\divides a$?\\
|
||
Es gilt $a=1\cdot a$ und $1\in\intgr$.\\
|
||
Darum gilt $a\divides a$.\\
|
||
Also ist $(\intgr,\divides)$ \fbox{reflexiv}.
|
||
\item[\uwave{{\bfseries Symmetrie:}}]
|
||
Betrachte bspw. $2,10\in\intgr$.\\
|
||
Es gilt $2\divides 10$ aber $10\ndivides 2$.\\
|
||
Darum ist $(\intgr,\divides)$ \fbox{nicht symmetrisch}.
|
||
\item[\uwave{{\bfseries Antisymmetrie:}}]
|
||
Betrachte bspw. $2,-2\in\intgr$.\\
|
||
Es gelten $2\divides -2$ und $-2\divides 2$, aber $2\neq -2$.\\
|
||
Darum ist $(\intgr,\divides)$ \fbox{nicht antisymmetrisch}.
|
||
\item[\uwave{{\bfseries Transitivität:}}]
|
||
Seien, $a,b,c\in\intgr$.
|
||
\textbf{Zu prüfen:} ($a\divides b$ und $b\divides c$) $\Rightarrow$ $a\divides c$?\\
|
||
Es gilt:
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||
a\divides b\,\text{und}\,b\divides c
|
||
&\Longleftrightarrow
|
||
&\exists{k,j\in\intgr:~}c=kb,\,b=ja\\
|
||
&\Longrightarrow
|
||
&\exists{k,j\in\intgr:~}c=(kj)a\\
|
||
&\Longrightarrow
|
||
&\exists{m\in\intgr:~}c=ma\\
|
||
&\Longleftrightarrow
|
||
&a\divides c.\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
Also ist $(\intgr,\divides)$ \fbox{transitiv}.
|
||
\item[\uwave{{\bfseries Totalität:}}]
|
||
Betrachte bspw. $5,7\in\intgr$.\\
|
||
Dann $5\ndivides 7$, $7\ndivides 5$, und $5\neq 7$.\\
|
||
Darum ist $(\intgr,\divides)$ \fbox{nicht total}.
|
||
\item[\uwave{{\bfseries Linkstotalität:}}]
|
||
Sei $a\in\intgr$.
|
||
\textbf{Zu prüfen:} $\exists{b\in\intgr:~}a\divides b$?\\
|
||
Wegen Reflexivität gilt nun $a\divides a$.\\
|
||
Also ist $(\intgr,\divides)$ \fbox{linkstotal}.
|
||
\item[\uwave{{\bfseries Rechtseindeutigkeit:}}]
|
||
Betrachte bspw. $2,10,100\in\intgr$.\\
|
||
Es gilt $2\divides 10$ und $2\divides 100$, aber $10\neq 100$.\\
|
||
Darum ist $(\intgr,\divides)$ \fbox{nicht rechtseindeutig}.
|
||
\end{kompaktenum}
|
||
|
||
Daraus folgt, dass $(\intgr,\divides)$
|
||
weder
|
||
eine Äquivalenzrelation
|
||
noch
|
||
eine (lineare) Ordnungsrelation
|
||
noch
|
||
eine partielle Ordnungsrelation
|
||
ist.
|
||
Und es gibt keine Funktion ${f:\intgr\to\intgr}$,
|
||
so dass $\graph(f)=\divides$.
|
||
|
||
\textbf{Bemerkung:} Man kann aber zeigen, das die Beschränkungen
|
||
$(\ntrlzero,\divides)$
|
||
und $(\ntrlpos,\divides)$
|
||
zusätzlich Antisymmetrie aufweisen,
|
||
sodass diese partielle Ordnungsrelationen sind.
|
||
|
||
%% SKA 5-3
|
||
\let\altsectionname\sectionname
|
||
\def\sectionname{SKA}
|
||
\setcounternach{section}{3}
|
||
\section[Aufgabe 3]{}
|
||
\label{ska:5:ex:3}
|
||
\let\sectionname\altsectionname
|
||
|
||
Seien $a,b\in\intgr$ mit $b>0$.
|
||
Um $a$ durch $b$ (mit Rest) zu teilen,
|
||
setzt man
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||
q &:= &[a/b] \in\intgr\\
|
||
r &:= &a-b\cdot q\in\intgr.\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
wobei ${[\cdot]:\reell\to\intgr}$ die Gaußklammerfunktion ist,
|
||
die reelle Zahlen \emph{abrundet}.
|
||
Per Definition gilt
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcccl}
|
||
q &\leq &a/b &< &q+1\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
also
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcccl}
|
||
0 &\leq &a-b\cdot q &< &b\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
Darum $r\in\{0,1,\ldots,b-1\}$.
|
||
|
||
Um dies aber \emph{per Hand} bzw. im Kopf zu machen,
|
||
verwendet man iterative Algorithmen,
|
||
die aus Schritten besteht:
|
||
$a$ und $b$ durch »einfachere« Zahlen ersetzen;
|
||
mit einfacheren Zahlen teilen;
|
||
Nachjustieren.
|
||
|
||
Welche Methode auch immer man anwendet hat dies mit \fbox{dem Existenz-Teil} des Beweises zu tun.
|
||
|
||
%% SKA 5-4
|
||
\let\altsectionname\sectionname
|
||
\def\sectionname{SKA}
|
||
\setcounternach{section}{4}
|
||
\section[Aufgabe 4]{}
|
||
\label{ska:5:ex:4}
|
||
\let\sectionname\altsectionname
|
||
|
||
\begin{claim}
|
||
\makelabel{claim:main:ska:5:ex:4}
|
||
Es gilt
|
||
|
||
\begin{kompaktenum}{\bfseries (i)}[\rtab][\rtab]
|
||
\item\punktlabel{1}
|
||
$\ggT(a,b)=\ggT(b,a)$;
|
||
\item\punktlabel{2}
|
||
$\ggT(a,b)=\ggT(|a|,|b|)$;
|
||
\item\punktlabel{3}
|
||
$\ggT(a,0)=\ggT(0,a)=|a|$, solange $a\neq 0$;
|
||
\item\punktlabel{4}
|
||
$\ggT(ca,cb)=|c|\ggT(a,b)$, solange $b,c\neq 0$;
|
||
\end{kompaktenum}
|
||
|
||
für $a,b,c\in\intgr$.
|
||
\end{claim}
|
||
|
||
\begin{einzug}[\rtab][\rtab]
|
||
\begin{proof}
|
||
\uline{\bfseries \punktcref{1}:}
|
||
Es gilt
|
||
$\ggT(a,b)
|
||
=\max\{d\in\ntrlpos : d\divides a,b\}
|
||
=\max\{d\in\ntrlpos : d\divides b,a\}
|
||
=\ggT(b,a)$.
|
||
|
||
\uline{\bfseries \punktcref{2}:}
|
||
Sei $d,x\in\intgr$. Dann ist es einfach zu sehen,
|
||
dass $d\divides x\Leftrightarrow d\divides|x|$.\\
|
||
Darum gilt
|
||
$\ggT(a,b)
|
||
=\max\{d\in\ntrlpos : d\divides a,b\}
|
||
=\max\{d\in\ntrlpos : d\divides |a|,|b|\}
|
||
=\ggT(|a|,|b|)$.
|
||
|
||
\uline{\bfseries \punktcref{3}:}
|
||
Laut \punktcref{1} reicht es aus \textbf{zu zeigen} $\ggT(a,0)=|a|$.\\
|
||
Es gilt $\ggT(a,0)=\max D$, wobei $D:=\{d\in\ntrlpos : d\divides a,0\}$.\\
|
||
(I) Setze $d_{0}:=|a|>0$. Offensichtlich gilt $d_{0}\divides a,0$.\\
|
||
(II) Für alle $d\in\ntrlpos$ gilt
|
||
$d\divides a$
|
||
$\Rightarrow$ $|\frac{a}{d}|\geq 1$
|
||
(da $a,d\neq 0$)
|
||
$\Rightarrow$ $d\leq|a|=d_{0}$.\\
|
||
Daraus ergibt sich,
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcccccl}
|
||
d_{0} &\textoverset{(I)}{\in}
|
||
&D
|
||
&\subseteq
|
||
&\{d\in\ntrlpos : d\divides a\}
|
||
&\textoverset{(II)}{\subseteq}
|
||
&\{d\in\ntrlpos : d\leq d_{0}\}\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
woraus sich ergibt, dass $d_{0}\leq\max D\leq d_{0}$.
|
||
Also $\ggT(a,0)=\max D=d_{0}=|a|$.
|
||
|
||
\uline{\bfseries \punktcref{4}:}
|
||
Setze $d_{1}:=\ggT(a,b)$ und $d_{2}:=\ggT(ca,cb)$.
|
||
\textbf{Zu zeigen:} $d_{2}=|c|d_{1}$.\\
|
||
Wir zeigen dies durch zwei Ungleichungen.\\
|
||
Es gilt
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||
d_{1}\divides a,b
|
||
&\Longleftrightarrow
|
||
&\exists{k,j\in\intgr:~}a=kd_{1}\,\text{und}\,b=jd_{1}\\
|
||
&\Longleftrightarrow
|
||
&\exists{k,j\in\intgr:~}ca=kcd_{1}\,\text{und}\,cb=jcd_{1}\\
|
||
&\Longleftrightarrow
|
||
&\exists{k,j\in\intgr:~}ca=k|c|d_{1}\,\text{und}\,cb=j|c|d_{1}\\
|
||
&&\text{da man z.\,B. $k$ durch $-k$ ersetzen kann}\\
|
||
&\Longleftrightarrow
|
||
&|c|d_{1}\divides ca,cb\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
Per Maximalität von $d_{2}$ unter den positiven Teilern,
|
||
folgt \fbox{$|c|d_{1}\leq d_{2}$}.\\
|
||
Andererseits existieren nach dem \emph{Lemma von B\'ezout}
|
||
$u,v\in\intgr$, so dass
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||
d_{1}=\ggT(a,b) &= &ua+vb\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
woraus sich ergibt, dass
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||
\eqtag[eq:1:\beweislabel]
|
||
\frac{|c|d_{1}}{d_{2}} &= &\underbrace{%
|
||
\textstyle\pm u\frac{ca}{d_{2}}+\pm v\frac{cb}{d_{2}}
|
||
}_{=:w}\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
Da $d_{2}\divides ca,cb$ ist die rechte Seite von \eqcref{eq:1:\beweislabel} in $\intgr$.
|
||
Und da $|c|,d_{1},d_{2}>0$, ist die linke Seite von \eqcref{eq:1:\beweislabel} strikt positiv,
|
||
sodass $w\geq 1$ gilt.
|
||
Darum \fbox{$|c|d_{1}=w\cdot d_{2}\geq 1\cdot d_{2}$}.
|
||
\end{proof}
|
||
\end{einzug}
|
||
|
||
\textbf{Bemerkung.}
|
||
Ohne das \emph{Lemma von B\'ezout} ist ein Beweis vom Letzten Punkt praktisch unmachbar.
|
||
|
||
%% SKA 5-5
|
||
\let\altsectionname\sectionname
|
||
\def\sectionname{SKA}
|
||
\setcounternach{section}{5}
|
||
\section[Aufgabe 5]{}
|
||
\label{ska:5:ex:5}
|
||
\let\sectionname\altsectionname
|
||
|
||
Seien $a=57$ und $b=21$.
|
||
Dann gilt $a=qb+r$, wobei $q=2$ und \fbox{$r=15$}.
|
||
Es gilt
|
||
$\ggT(a,b)=3$\footnote{%
|
||
weil $r=3\cdot 5$ und $3,5\in\mathbb{P}$ und nur $3\divides 57$ gilt.
|
||
}
|
||
und
|
||
$\ggT(b,r)=3$\footnote{%
|
||
weil $r=3\cdot 5$ und $3,5\in\mathbb{P}$ und nur $3\divides 21$ gilt.
|
||
}
|
||
Also gilt $\ggT(a,b)=\ggT(b,\modfn(a,b))$,
|
||
genau wie \cite[Lemma 3.4.5]{sinn2020} allgemein besagt.
|
||
|
||
%% SKA 5-6
|
||
\let\altsectionname\sectionname
|
||
\def\sectionname{SKA}
|
||
\setcounternach{section}{6}
|
||
\section[Aufgabe 6]{}
|
||
\label{ska:5:ex:6}
|
||
\let\sectionname\altsectionname
|
||
|
||
Für jeden Fall berechnen wir $\ggT(a,b)$ mittels des Euklidischen Algorithmus
|
||
(siehe \cite[Satz 3.4.7]{sinn2020}).
|
||
|
||
\begin{longtable}[mc]{|cc|c|c|}
|
||
\hline
|
||
\hline
|
||
$a$ &$b$ &Restberechnung (symbolisch) &Restberechnung (Werte)\\
|
||
\hline
|
||
\endhead
|
||
$1529$ &$170$ &$a = b\cdot q_{1} + r_{1}$ &$1529 = 170\cdot 8 + 169$\\
|
||
&&$b = r_{1}\cdot q_{2} + r_{2}$ &$170 = 169\cdot 1 + \boxed{\mathbf{1}}$\\
|
||
&&$r_{1} = r_{2}\cdot q_{3} + r_{3}$ &$169 = 1\cdot 169 + 0$\\
|
||
\hline
|
||
$13758$ &$21$ &$a = b\cdot q_{1} + r_{1}$ &$13758 = 21\cdot 655 + \boxed{\mathbf{3}}$\\
|
||
&&$b = r_{1}\cdot q_{2} + r_{2}$ &$21 = 3\cdot 7 + 0$\\
|
||
\hline
|
||
$210$ &$45$ &$a = b\cdot q_{1} + r_{1}$ &$210 = 45\cdot 4 + 30$\\
|
||
&&$b = r_{1}\cdot q_{2} + r_{2}$ &$45 = 30\cdot 1 + \boxed{\mathbf{15}}$\\
|
||
&&$r_{1} = r_{2}\cdot q_{3} + r_{3}$ &$30 = 15\cdot 2 + 0$\\
|
||
\hline
|
||
$1209$ &$102$ &$a = b\cdot q_{1} + r_{1}$ &$1209 = 102\cdot 11 + 87$\\
|
||
&&$b = r_{1}\cdot q_{2} + r_{2}$ &$102 = 87\cdot 1 + 15$\\
|
||
&&$r_{1} = r_{2}\cdot q_{3} + r_{3}$ &$87 = 15\cdot 5 + 12$\\
|
||
&&$r_{2} = r_{3}\cdot q_{4} + r_{4}$ &$15 = 12\cdot 1 + \boxed{\mathbf{3}}$\\
|
||
&&$r_{3} = r_{4}\cdot q_{5} + r_{5}$ &$12 = 3\cdot 4 + 0$\\
|
||
\hline
|
||
\hline
|
||
\end{longtable}
|
||
|
||
%% SKA 5-7
|
||
\let\altsectionname\sectionname
|
||
\def\sectionname{SKA}
|
||
\setcounternach{section}{7}
|
||
\section[Aufgabe 7]{}
|
||
\label{ska:5:ex:7}
|
||
\let\sectionname\altsectionname
|
||
|
||
Wir verwenden die Berechnungen aus der Tabelle in SKA \ref{ska:5:ex:6}.
|
||
|
||
\begin{longtable}[mc]{|cc|c|c|}
|
||
\hline
|
||
\hline
|
||
$a$ &$b$ &Rest (symbolisch) &Rest (Werte)\\
|
||
\hline
|
||
\endhead
|
||
$1529$ &$170$ &$r_{1} = a - 8\cdot b$ &$169 = 1\cdot a + -8\cdot b$\\
|
||
&&$r_{2} = b - 1\cdot r_{1}$ &$\boxed{1 = \mathbf{-1}\cdot a + \mathbf{9}\cdot b}$\\
|
||
\hline
|
||
$13758$ &$21$ &$r_{1} = a - 655\cdot b$ &$\boxed{3 = \mathbf{1}\cdot a + \mathbf{-655}\cdot b}$\\
|
||
\hline
|
||
$210$ &$45$ &$r_{1} = a - 4\cdot b$ &$30 = 1\cdot a + -4\cdot b$\\
|
||
&&$r_{2} = b - 1\cdot r_{1}$ &$\boxed{15 = \mathbf{-1}\cdot a + \mathbf{5}\cdot b}$\\
|
||
\hline
|
||
$1209$ &$102$ &$r_{1} = a - 11\cdot b$ &$87 = 1\cdot a + -11\cdot b$\\
|
||
&&$r_{2} = b - 1\cdot r_{1}$ &$15 = -1\cdot a + 12\cdot b$\\
|
||
&&$r_{3} = r_{1} - 5\cdot r_{2}$ &$12 = 6\cdot a + -71\cdot b$\\
|
||
&&$r_{4} = r_{2} - 1\cdot r_{3}$ &$\boxed{3 = \mathbf{-7}\cdot a + \mathbf{83}\cdot b}$\\
|
||
\hline
|
||
\hline
|
||
\end{longtable}
|
||
|
||
%% SKA 5-8
|
||
\let\altsectionname\sectionname
|
||
\def\sectionname{SKA}
|
||
\setcounternach{section}{8}
|
||
\section[Aufgabe 8]{}
|
||
\label{ska:5:ex:8}
|
||
\let\sectionname\altsectionname
|
||
|
||
Das Lemma von B\'ezout wird mittels des \fbox{Euklidischen Algorithmus} bewiesen.\\
|
||
Korollar 3.4.10 baut darauf und charakterisiert, wann zwei Zahlen teilerfremd sind.\\
|
||
Lemma 3.4.12 baut darauf und zeigt $\forall{i:~}b,a_{i}\,\text{teilerfremd}\Rightarrow b,\prod_{i=1}^{n}a\,\text{teilerfremd}$.\\
|
||
Satz 3.4.14 baut darauf und zeigt $p\divides\prod_{i=1}^{n}a_{i}\Rightarrow \exists{i:~}p\divides a_{i}$ für $p$ prim.
|
||
|
||
Dieses letzte Ergebnis wird im Induktionsargument instrumentalisiert,
|
||
um Primzerlegungen der Länge $k,l$ auf Primfaktorzerlegungen der Länge $k-1,l-1$ zu reduzieren,
|
||
um das Induktionsargument voranzubringen.
|
||
|
||
\begin{rem}
|
||
In der Algebra gibt es zwei Begriffe, die bei gewöhnlichen Primzahlen, sich anwenden lassen:
|
||
\emph{Irriduzibilität} und \emph{prim}.
|
||
Die Definition in abstrakten Kontexten von \emph{prim} entspricht der Eigenschaft in \cite[Satz 3.4.14]{sinn2020},
|
||
während \emph{Irriduzibilität} eher sich auf die Teilbarkeit bezieht.
|
||
Etwas »Zufälligerweise« handelt es sich bei $\intgr$ um eine Art von Struktur,
|
||
in der diese zwei Konzepte zusammenfallen.
|
||
Wie in fast allen technischen Bereichen sollte man auf solche »Zufälligkeiten« achten:
|
||
Irgendwann befindet man sich in einer Situation,
|
||
wo man feiner unterscheiden muss und es nicht mehr selbstverständlich ist,
|
||
zwei Konzepte als identisch zu behandeln.
|
||
\end{rem}
|
||
|
||
%% SKA 5-10
|
||
\let\altsectionname\sectionname
|
||
\def\sectionname{SKA}
|
||
\setcounternach{section}{10}
|
||
\section[Aufgabe 10]{}
|
||
\label{ska:5:ex:10}
|
||
\let\sectionname\altsectionname
|
||
|
||
Siehe \cite[Satz 3.5.1]{sinn2020}.
|
||
Hier eine Alternative:\\
|
||
Für $r=0$ setze man $q_{r}:=1$ und $p_{r}:=0$.
|
||
Und für alle anderen rationalen Zahlen, $r\in\rtnl\ohne\{0\}$, wähle
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||
q_{r} &:= &\min\overbrace{%
|
||
\{n\in\ntrlpos\mid q_{r}\cdot r\in\intgr\}
|
||
}^{D(r)}\in\ntrlpos\\
|
||
p_{r} &:= &q_{r}\cdot r\in\intgr.\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
Da $r$ rational ist, ist $D(r)$ per Definition nicht leer.
|
||
Darum ist die Wahl von $q_{r}$ und $p_{r}$ wohldefiniert
|
||
und per Konstruktion gilt $p_{r}/q_{r}=r$.
|
||
(Für $r=0$ gilt ebenfalls offensichtlich $p_{r}/q_{r}=r$.)
|
||
Damit haben wir die Existenz einer kanonischen Darstellung begründet.
|
||
|
||
Stimmt dies mit der Konstruktion im \cite[Satz 3.5.1]{sinn2020} überein?
|
||
|
||
Für $r=0$ gilt offensichtlich $\ggT(p_{r},q_{r})=1$.
|
||
Für $r\in\rtnl\ohne\{0\}$ gilt $d:=\ggT(p_{r},q_{r})=1$,
|
||
denn sonst wäre $\frac{q_{r}}{d}$ eine positive natürliche Zahl in $D(r)$,
|
||
da $\frac{q_{r}}{d}\cdot r=\frac{q_{r}\cdot r}{d}=\frac{p_{r}}{d}\in\intgr$,
|
||
während $\frac{q_{r}}{d}<q_{r}$ (strikt),
|
||
was ein Widerspruch zur Minimalität ist.
|
||
Darum entspricht unserer Darstellung der im \cite[Satz 3.5.1]{sinn2020}.
|
||
|
||
%% SKA 5-12
|
||
\let\altsectionname\sectionname
|
||
\def\sectionname{SKA}
|
||
\setcounternach{section}{12}
|
||
\section[Aufgabe 12]{}
|
||
\label{ska:5:ex:12}
|
||
\let\sectionname\altsectionname
|
||
|
||
\begin{claim*}[vgl. {\cite[Satz 3.5.3]{sinn2020}}]
|
||
Sei $p\in\mathbb{P}$ eine Primzahl.
|
||
Dann $\nexists{x\in\rtnl:~}x^{2}=p$.
|
||
\end{claim*}
|
||
|
||
\begin{einzug}[\rtab][\rtab]
|
||
\begin{proof}
|
||
Angenommen, dies sei nicht der Fall.
|
||
Dann existieren $a\in\intgr$ und $b\in\ntrlpos$ mit $(\frac{a}{b})^{2}=p$.
|
||
Wir konstruieren nun per Rekursion eine Folge
|
||
$((a_{n},b_{n}))_{n\in\ntrlpos}\subseteq\intgr\times\ntrlpos$
|
||
mit der Eigenschaft,
|
||
dass
|
||
$(\frac{a_{n}}{b_{n}})^{2}=p$
|
||
und $(b_{n})_{n\in\ntrlpos}$ strikt monoton absteigend ist:
|
||
|
||
\begin{kompaktitem}
|
||
\item
|
||
Setze $a_{0}:=a$ und $b_{0}=b$.
|
||
Offensichtlich gilt per Wahl $(\frac{a_{n}}{b_{n}})^{2}=p$.
|
||
\item
|
||
Sei $n>0$.
|
||
Angenommen, wir haben bereits
|
||
$((a_{k},b_{k}))_{k=0}^{n-1}$
|
||
konstruiert.
|
||
Aus $(\frac{a_{n}}{b_{n}})^{2}=p$
|
||
folgt nun $a_{n}^{2}=pb_{n}^{2}$.
|
||
Daraus folgt
|
||
${p\divides a_{n}\cdot a_{n}}$
|
||
und damit gilt (vgl. \cite[Satz 3.4.14]{sinn2020})
|
||
${p\divides a_{n}}$,
|
||
weil $p$ prim ist.
|
||
Da $b_{n}^{2}=p\cdot(\frac{a_{n}}{p})^{2}$
|
||
und da $\frac{a_{n}}{p}\in\intgr$,
|
||
erhalten wir ebenfalls
|
||
${p\divides b_{n}\cdot b_{n}}$
|
||
und wiederum ${p\divides b_{n}}$.
|
||
|
||
Setze also $a_{n+1}:=\frac{a_{n}}{p}$ und $b_{n+1}:=\frac{b_{n}}{p}$.
|
||
Dann wie oben gezeigt wurde, gilt $a_{n+1}\in\intgr$
|
||
und $b_{n+1}\in\ntrlpos$.
|
||
Offensichtlich gilt $(\frac{a_{n+1}}{b_{n+1}})^{2}=(\frac{a_{n}}{b_{n}})^{2}=p$.
|
||
Und, da $p>1$, gilt $b_{n+1}<b_{n}$.
|
||
\end{kompaktitem}
|
||
|
||
Darum funktioniert die rekursive Konstruktion.
|
||
Da nun $(b_{n})_{n\in\ntrlpos}\subseteq\ntrlpos$
|
||
eine strikt monoton absteigende Folge ist,
|
||
haben wir einen Widerspruch erreicht,
|
||
weil $(\ntrlpos,\leq)$ eine Wohlordnungsrelation ist.
|
||
\end{proof}
|
||
\end{einzug}
|
||
|
||
%% SKA 5-13
|
||
\let\altsectionname\sectionname
|
||
\def\sectionname{SKA}
|
||
\setcounternach{section}{13}
|
||
\section[Aufgabe 13]{}
|
||
\label{ska:5:ex:13}
|
||
\let\sectionname\altsectionname
|
||
|
||
\begin{claim*}[vgl. {\cite[Satz 3.5.5]{sinn2020}}]
|
||
Seien $a,b,c\in\reell$ mit $a\neq 0$.
|
||
Dann existiert eine Nullstelle von $ax^{2}+bx+c$
|
||
gdw. $\Delta\geq 0$,
|
||
wobei $\Delta:=b^{2}-4ac$.
|
||
\end{claim*}
|
||
|
||
\begin{einzug}[\rtab][\rtab]
|
||
\begin{proof}
|
||
Zunächst berechnen wir eine Umformung: Sei $x\in\reell$.
|
||
Dann
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||
\eqtag[eq:1:ska:5:ex:13]
|
||
ax^{2}+bx+c=0
|
||
&\Longleftrightarrow
|
||
&4a(ax^{2}+bx+c)=0
|
||
\quad\text{da $a\neq 0$}\\
|
||
&\Longleftrightarrow
|
||
&(2ax)^{2}+2b(2ax)+b^{2}=b^{2}-4ac\\
|
||
&\Longleftrightarrow
|
||
&(2ax+b)^{2}=\Delta.\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
Falls $\Delta\geq 0$,
|
||
so existiert ein $\sqrt{\Delta}\geq 0$ mit $\sqrt{\Delta}^{2}=\Delta$.
|
||
Darum gilt
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcccccl}
|
||
ax^{2}+bx+c=0
|
||
&\eqcrefoverset{eq:1:ska:5:ex:13}{\Longleftrightarrow}
|
||
&(2ax+b)^{2}=\Delta
|
||
&\Longleftrightarrow
|
||
&2ax+b=\pm\sqrt{\Delta}
|
||
&\Longleftrightarrow
|
||
&x=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
für alle $x\in\reell$.
|
||
Das heißt, falls $\Delta\geq 0$, hat das Polynom reellwertige Nullstellen,
|
||
und zwar sind die Nullstellen durch $\{\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\}$ gegeben.
|
||
|
||
Falls $\Delta<0$, so existieren keine Nullstellen.
|
||
Angenommen, dies sei nicht der Fall.
|
||
Fixiere eine Lösung $x\in\reell$ und setze $\alpha:=2ax+b\in\reell$.
|
||
Aus \eqcref{eq:1:ska:5:ex:13} folgt nun $\Delta=\alpha^{2}$.
|
||
Aber $\alpha^{2}\geq 0$ für alle $\alpha\in\reell$.
|
||
Dies ist ein Widerspruch.
|
||
\end{proof}
|
||
\end{einzug}
|
||
|
||
%% SKA 5-14
|
||
\let\altsectionname\sectionname
|
||
\def\sectionname{SKA}
|
||
\setcounternach{section}{14}
|
||
\section[Aufgabe 14]{}
|
||
\label{ska:5:ex:14}
|
||
\let\sectionname\altsectionname
|
||
|
||
Die Gruppe von Bijektionen von $\{1, 2\}$ auf $\{1, 2\}$ entspricht der Permutationsgruppe $S_{2}$.
|
||
Dies hat $2!=2$ Elemente, die standardgemäß mit folgenden Labels bezeichnet werden:
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\begin{longtable}{|l|l|}
|
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\hline
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\hline
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||
Label &Beschreibung des Elements\\
|
||
\hline
|
||
$e$ &Funktion, die alles fixiert\\
|
||
$(1\ 2)$ &Funktion, die 1 und 2 tauscht\\
|
||
\hline
|
||
\hline
|
||
\end{longtable}
|
||
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||
Die Gruppentafel sieht folgendermaßen aus:
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\begin{longtable}{|CL|CC|}
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||
\hline
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||
\hline
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&&\multicolumn{2}{c|}{$h$}\\
|
||
&gh &e &(1\ 2)\\
|
||
\hline
|
||
\multirow{2}{*}{$g$}
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||
&e &e &(1\ 2)\\
|
||
&(1\ 2) &(1\ 2) &e\\
|
||
\hline
|
||
\hline
|
||
\end{longtable}
|
||
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||
Die Gruppe von Bijektionen von $\{1, 2, 3\}$ auf $\{1, 2, 3\}$ entspricht der Permutationsgruppe $S_{3}$.
|
||
Dies hat $3!=6$ Elemente, die standardgemäß mit folgenden Labels bezeichnet werden:
|
||
|
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\begin{longtable}{|l|l|}
|
||
\hline
|
||
\hline
|
||
Label &Beschreibung des Elements\\
|
||
\hline
|
||
$e$ &Funktion, die alles fixiert\\
|
||
$(2\ 3)$ &Funktion, die 2 und 3 tauscht\\
|
||
$(1\ 2)$ &Funktion, die 1 und 2 tauscht\\
|
||
$(1\ 2\ 3)$ &Funktion, die $1\mapsto2\mapsto3\mapsto1$ abbildet\\
|
||
$(1\ 3\ 2)$ &Funktion, die $1\mapsto3\mapsto2\mapsto1$ abbildet\\
|
||
$(1\ 3)$ &Funktion, die 1 und 3 tauscht\\
|
||
\hline
|
||
\hline
|
||
\end{longtable}
|
||
|
||
Die Gruppentafel sieht folgendermaßen aus:
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||
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\begin{longtable}{|CL|CCCCCC|}
|
||
\hline
|
||
\hline
|
||
&&\multicolumn{6}{c|}{$h$}\\
|
||
&gh &e &(2\ 3) &(1\ 2) &(1\ 2\ 3) &(1\ 3\ 2) &(1\ 3)\\
|
||
\hline
|
||
\multirow{6}{*}{$g$}
|
||
&e &e &(2\ 3) &(1\ 2) &(1\ 2\ 3) &(1\ 3\ 2) &(1\ 3)\\
|
||
&(2\ 3) &(2\ 3) &e &(1\ 3\ 2) &(1\ 3) &(1\ 2) &(1\ 2\ 3)\\
|
||
&(1\ 2) &(1\ 2) &(1\ 2\ 3) &e &(2\ 3) &(1\ 3) &(1\ 3\ 2)\\
|
||
&(1\ 2\ 3) &(1\ 2\ 3) &(1\ 2) &(1\ 3) &(1\ 3\ 2) &e &(2\ 3)\\
|
||
&(1\ 3\ 2) &(1\ 3\ 2) &(1\ 3) &(2\ 3) &e &(1\ 2\ 3) &(1\ 2)\\
|
||
&(1\ 3) &(1\ 3) &(1\ 3\ 2) &(1\ 2\ 3) &(1\ 2) &(2\ 3) &e\\
|
||
\hline
|
||
\hline
|
||
\end{longtable}
|
||
|
||
({\itshape Achtung: Tafel wurde per Code generiert, also ist die Reihenfolge möglicherweise nicht »ästhetisch«.})
|
||
|
||
%% SKA 5-15
|
||
\let\altsectionname\sectionname
|
||
\def\sectionname{SKA}
|
||
\setcounternach{section}{15}
|
||
\section[Aufgabe 15]{}
|
||
\label{ska:5:ex:15}
|
||
\let\sectionname\altsectionname
|
||
|
||
An der Tafel lässt sich leicht erkennen, ob eine Gruppe kommutativ ist:
|
||
eine Gruppe, $G$, ist genau dann kommutativ, wenn die Gruppentafel symmetrisch ist.
|
||
Hierbei sollte man darauf achten, dass die \emph{Labels} der Elemente gar keine Rolle spielen.
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||
Um diese Urteil also leichter treffen zu können ersetzen wir die Elemente durch verschieden gefärbte Quadrate:
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\begin{figure}[h]
|
||
\footnotesize
|
||
\hraum
|
||
\subfigure[$S_{2}$]{
|
||
\begin{tikzpicture}[node distance=8mm, thick]
|
||
\pgfmathsetmacro\habst{1}
|
||
\pgfmathsetmacro\vabst{1}
|
||
\pgfmathsetmacro\rad{8mm}
|
||
|
||
\node[rectangle, label=left:{$e=:$}, line width=2pt, minimum size=0.9*\rad, fill={rgb,255:red,200;green,64;blue,200}, draw] (g_0) at (0*\habst, -1*\vabst) {};
|
||
\node[rectangle, line width=2pt, minimum size=0.9*\rad, fill={rgb,255:red,200;green,64;blue,200}, draw] (h_0) at (1*\habst, 0*\vabst) {};
|
||
\node[rectangle, label=left:{$(1\ 2)=:$}, line width=2pt, minimum size=0.9*\rad, fill={rgb,255:red,64;green,64;blue,200}, draw] (g_1) at (0*\habst, -2*\vabst) {};
|
||
\node[rectangle, line width=2pt, minimum size=0.9*\rad, fill={rgb,255:red,64;green,64;blue,200}, draw] (h_1) at (2*\habst, 0*\vabst) {};
|
||
\node[rectangle, line width=0.5pt, minimum size=0.9*\rad, fill={rgb,255:red,200;green,64;blue,200}, draw] (gh_0_0) at (1*\habst, -1*\vabst) {};
|
||
\node[rectangle, line width=0.5pt, minimum size=0.9*\rad, fill={rgb,255:red,64;green,64;blue,200}, draw] (gh_0_1) at (2*\habst, -1*\vabst) {};
|
||
\node[rectangle, line width=0.5pt, minimum size=0.9*\rad, fill={rgb,255:red,64;green,64;blue,200}, draw] (gh_1_0) at (1*\habst, -2*\vabst) {};
|
||
\node[rectangle, line width=0.5pt, minimum size=0.9*\rad, fill={rgb,255:red,200;green,64;blue,200}, draw] (gh_1_1) at (2*\habst, -2*\vabst) {};
|
||
\end{tikzpicture}
|
||
}
|
||
\hraum
|
||
\subfigure[$S_{3}$]{
|
||
\begin{tikzpicture}[node distance=8mm, thick]
|
||
\pgfmathsetmacro\habst{1}
|
||
\pgfmathsetmacro\vabst{1}
|
||
\pgfmathsetmacro\rad{8mm}
|
||
|
||
\node[rectangle, label=left:{$e=:$}, line width=2pt, minimum size=0.9*\rad, fill={rgb,255:red,200;green,64;blue,200}, draw] (g_0) at (0*\habst, -1*\vabst) {};
|
||
\node[rectangle, line width=2pt, minimum size=0.9*\rad, fill={rgb,255:red,200;green,64;blue,200}, draw] (h_0) at (1*\habst, 0*\vabst) {};
|
||
\node[rectangle, label=left:{$(2\ 3)=:$}, line width=2pt, minimum size=0.9*\rad, fill={rgb,255:red,200;green,200;blue,200}, draw] (g_1) at (0*\habst, -2*\vabst) {};
|
||
\node[rectangle, line width=2pt, minimum size=0.9*\rad, fill={rgb,255:red,200;green,200;blue,200}, draw] (h_1) at (2*\habst, 0*\vabst) {};
|
||
\node[rectangle, label=left:{$(1\ 2)=:$}, line width=2pt, minimum size=0.9*\rad, fill={rgb,255:red,64;green,64;blue,64}, draw] (g_2) at (0*\habst, -3*\vabst) {};
|
||
\node[rectangle, line width=2pt, minimum size=0.9*\rad, fill={rgb,255:red,64;green,64;blue,64}, draw] (h_2) at (3*\habst, 0*\vabst) {};
|
||
\node[rectangle, label=left:{$(1\ 2\ 3)=:$}, line width=2pt, minimum size=0.9*\rad, fill={rgb,255:red,64;green,200;blue,200}, draw] (g_3) at (0*\habst, -4*\vabst) {};
|
||
\node[rectangle, line width=2pt, minimum size=0.9*\rad, fill={rgb,255:red,64;green,200;blue,200}, draw] (h_3) at (4*\habst, 0*\vabst) {};
|
||
\node[rectangle, label=left:{$(1\ 3\ 2)=:$}, line width=2pt, minimum size=0.9*\rad, fill={rgb,255:red,64;green,64;blue,200}, draw] (g_4) at (0*\habst, -5*\vabst) {};
|
||
\node[rectangle, line width=2pt, minimum size=0.9*\rad, fill={rgb,255:red,64;green,64;blue,200}, draw] (h_4) at (5*\habst, 0*\vabst) {};
|
||
\node[rectangle, label=left:{$(1\ 3)=:$}, line width=2pt, minimum size=0.9*\rad, fill={rgb,255:red,64;green,200;blue,64}, draw] (g_5) at (0*\habst, -6*\vabst) {};
|
||
\node[rectangle, line width=2pt, minimum size=0.9*\rad, fill={rgb,255:red,64;green,200;blue,64}, draw] (h_5) at (6*\habst, 0*\vabst) {};
|
||
\node[rectangle, line width=0.5pt, minimum size=0.9*\rad, fill={rgb,255:red,200;green,64;blue,200}, draw] (gh_0_0) at (1*\habst, -1*\vabst) {};
|
||
\node[rectangle, line width=0.5pt, minimum size=0.9*\rad, fill={rgb,255:red,200;green,200;blue,200}, draw] (gh_0_1) at (2*\habst, -1*\vabst) {};
|
||
\node[rectangle, line width=0.5pt, minimum size=0.9*\rad, fill={rgb,255:red,64;green,64;blue,64}, draw] (gh_0_2) at (3*\habst, -1*\vabst) {};
|
||
\node[rectangle, line width=0.5pt, minimum size=0.9*\rad, fill={rgb,255:red,64;green,200;blue,200}, draw] (gh_0_3) at (4*\habst, -1*\vabst) {};
|
||
\node[rectangle, line width=0.5pt, minimum size=0.9*\rad, fill={rgb,255:red,64;green,64;blue,200}, draw] (gh_0_4) at (5*\habst, -1*\vabst) {};
|
||
\node[rectangle, line width=0.5pt, minimum size=0.9*\rad, fill={rgb,255:red,64;green,200;blue,64}, draw] (gh_0_5) at (6*\habst, -1*\vabst) {};
|
||
\node[rectangle, line width=0.5pt, minimum size=0.9*\rad, fill={rgb,255:red,200;green,200;blue,200}, draw] (gh_1_0) at (1*\habst, -2*\vabst) {};
|
||
\node[rectangle, line width=0.5pt, minimum size=0.9*\rad, fill={rgb,255:red,200;green,64;blue,200}, draw] (gh_1_1) at (2*\habst, -2*\vabst) {};
|
||
\node[rectangle, line width=0.5pt, minimum size=0.9*\rad, fill={rgb,255:red,64;green,64;blue,200}, draw] (gh_1_2) at (3*\habst, -2*\vabst) {};
|
||
\node[rectangle, line width=0.5pt, minimum size=0.9*\rad, fill={rgb,255:red,64;green,200;blue,64}, draw] (gh_1_3) at (4*\habst, -2*\vabst) {};
|
||
\node[rectangle, line width=0.5pt, minimum size=0.9*\rad, fill={rgb,255:red,64;green,64;blue,64}, draw] (gh_1_4) at (5*\habst, -2*\vabst) {};
|
||
\node[rectangle, line width=0.5pt, minimum size=0.9*\rad, fill={rgb,255:red,64;green,200;blue,200}, draw] (gh_1_5) at (6*\habst, -2*\vabst) {};
|
||
\node[rectangle, line width=0.5pt, minimum size=0.9*\rad, fill={rgb,255:red,64;green,64;blue,64}, draw] (gh_2_0) at (1*\habst, -3*\vabst) {};
|
||
\node[rectangle, line width=0.5pt, minimum size=0.9*\rad, fill={rgb,255:red,64;green,200;blue,200}, draw] (gh_2_1) at (2*\habst, -3*\vabst) {};
|
||
\node[rectangle, line width=0.5pt, minimum size=0.9*\rad, fill={rgb,255:red,200;green,64;blue,200}, draw] (gh_2_2) at (3*\habst, -3*\vabst) {};
|
||
\node[rectangle, line width=0.5pt, minimum size=0.9*\rad, fill={rgb,255:red,200;green,200;blue,200}, draw] (gh_2_3) at (4*\habst, -3*\vabst) {};
|
||
\node[rectangle, line width=0.5pt, minimum size=0.9*\rad, fill={rgb,255:red,64;green,200;blue,64}, draw] (gh_2_4) at (5*\habst, -3*\vabst) {};
|
||
\node[rectangle, line width=0.5pt, minimum size=0.9*\rad, fill={rgb,255:red,64;green,64;blue,200}, draw] (gh_2_5) at (6*\habst, -3*\vabst) {};
|
||
\node[rectangle, line width=0.5pt, minimum size=0.9*\rad, fill={rgb,255:red,64;green,200;blue,200}, draw] (gh_3_0) at (1*\habst, -4*\vabst) {};
|
||
\node[rectangle, line width=0.5pt, minimum size=0.9*\rad, fill={rgb,255:red,64;green,64;blue,64}, draw] (gh_3_1) at (2*\habst, -4*\vabst) {};
|
||
\node[rectangle, line width=0.5pt, minimum size=0.9*\rad, fill={rgb,255:red,64;green,200;blue,64}, draw] (gh_3_2) at (3*\habst, -4*\vabst) {};
|
||
\node[rectangle, line width=0.5pt, minimum size=0.9*\rad, fill={rgb,255:red,64;green,64;blue,200}, draw] (gh_3_3) at (4*\habst, -4*\vabst) {};
|
||
\node[rectangle, line width=0.5pt, minimum size=0.9*\rad, fill={rgb,255:red,200;green,64;blue,200}, draw] (gh_3_4) at (5*\habst, -4*\vabst) {};
|
||
\node[rectangle, line width=0.5pt, minimum size=0.9*\rad, fill={rgb,255:red,200;green,200;blue,200}, draw] (gh_3_5) at (6*\habst, -4*\vabst) {};
|
||
\node[rectangle, line width=0.5pt, minimum size=0.9*\rad, fill={rgb,255:red,64;green,64;blue,200}, draw] (gh_4_0) at (1*\habst, -5*\vabst) {};
|
||
\node[rectangle, line width=0.5pt, minimum size=0.9*\rad, fill={rgb,255:red,64;green,200;blue,64}, draw] (gh_4_1) at (2*\habst, -5*\vabst) {};
|
||
\node[rectangle, line width=0.5pt, minimum size=0.9*\rad, fill={rgb,255:red,200;green,200;blue,200}, draw] (gh_4_2) at (3*\habst, -5*\vabst) {};
|
||
\node[rectangle, line width=0.5pt, minimum size=0.9*\rad, fill={rgb,255:red,200;green,64;blue,200}, draw] (gh_4_3) at (4*\habst, -5*\vabst) {};
|
||
\node[rectangle, line width=0.5pt, minimum size=0.9*\rad, fill={rgb,255:red,64;green,200;blue,200}, draw] (gh_4_4) at (5*\habst, -5*\vabst) {};
|
||
\node[rectangle, line width=0.5pt, minimum size=0.9*\rad, fill={rgb,255:red,64;green,64;blue,64}, draw] (gh_4_5) at (6*\habst, -5*\vabst) {};
|
||
\node[rectangle, line width=0.5pt, minimum size=0.9*\rad, fill={rgb,255:red,64;green,200;blue,64}, draw] (gh_5_0) at (1*\habst, -6*\vabst) {};
|
||
\node[rectangle, line width=0.5pt, minimum size=0.9*\rad, fill={rgb,255:red,64;green,64;blue,200}, draw] (gh_5_1) at (2*\habst, -6*\vabst) {};
|
||
\node[rectangle, line width=0.5pt, minimum size=0.9*\rad, fill={rgb,255:red,64;green,200;blue,200}, draw] (gh_5_2) at (3*\habst, -6*\vabst) {};
|
||
\node[rectangle, line width=0.5pt, minimum size=0.9*\rad, fill={rgb,255:red,64;green,64;blue,64}, draw] (gh_5_3) at (4*\habst, -6*\vabst) {};
|
||
\node[rectangle, line width=0.5pt, minimum size=0.9*\rad, fill={rgb,255:red,200;green,200;blue,200}, draw] (gh_5_4) at (5*\habst, -6*\vabst) {};
|
||
\node[rectangle, line width=0.5pt, minimum size=0.9*\rad, fill={rgb,255:red,200;green,64;blue,200}, draw] (gh_5_5) at (6*\habst, -6*\vabst) {};
|
||
\end{tikzpicture}
|
||
}
|
||
\hraum
|
||
\caption{Gruppentafel mit Elementen durch Farben ersetzt}
|
||
\end{figure}
|
||
|
||
Nach den o.\,s. Tafeln ist die erste Gruppe, $S_{2}$, kommutativ und die zweite, $S_{3}$, nicht.
|
||
|
||
\setcounternach{part}{3}
|
||
\part{Quizzes}
|
||
|
||
\def\chaptername{Quiz}
|
||
|
||
%% ********************************************************************************
|
||
%% FILE: body/quizzes/quiz1.tex
|
||
%% ********************************************************************************
|
||
|
||
\setcounternach{chapter}{1}
|
||
\chapter[Woche 1]{Woche 1}
|
||
\label{quiz:1}
|
||
|
||
\begin{claim*}
|
||
Das LGS
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcrcr}
|
||
-x &+ &a\cdot y &= &3\\
|
||
a\cdot x &- &4y &= &0\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
ist genau dann lösbar, wenn $a\in\reell\ohne\{\pm 2\}$.
|
||
\end{claim*}
|
||
|
||
\begin{proof}
|
||
Sei $a\in\reell$ beliebig. Wir führen das Gaußverfahren aus:
|
||
|
||
\begin{algorithm}[\rtab][\rtab]
|
||
Ursprüngliches LGS $(A_{\alpha}|b_{\beta})$:
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{c}
|
||
\begin{matrix}{cc|c}
|
||
-1 &a &3\\
|
||
a &-4 &0\\
|
||
\end{matrix}\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
Wende die Zeilentransformationen
|
||
${Z_{2}\leftsquigarrow a\cdot Z_{1}+Z_{2}}$
|
||
an:
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{c}
|
||
\begin{matrix}{cc|c}
|
||
1 &a &3\\
|
||
0 &a^{2}-4 &3a\\
|
||
\end{matrix}\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
\end{algorithm}
|
||
|
||
Wenn $a\in\{\pm 2\}$, ist das LGS unlösbar, da in der 2. Zeile links nur $0$ Einträge stehen und rechts $\pm 6$.\\
|
||
Wenn $a\notin\{\pm 2\}$, gibt es zwei Stufen und damit ist das LGS lösbar.\\
|
||
Also gilt die Behauptung.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
%% ********************************************************************************
|
||
%% FILE: body/quizzes/quiz2.tex
|
||
%% ********************************************************************************
|
||
|
||
\setcounternach{chapter}{2}
|
||
\chapter[Woche 2]{Woche 2}
|
||
\label{quiz:2}
|
||
|
||
Sei $L$ die Gerade $\{\mathbf{v}+t\mathbf{w}\mid t\in\reell\}\subseteq\reell^{3}$,
|
||
wobei
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rclqrcl}
|
||
\mathbf{v} &= &\begin{svector}-4\\2\\5\\\end{svector},
|
||
&\mathbf{w} &= &\begin{svector}2\\-6\\12\\\end{svector}.\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
\begin{enumerate}{\bfseries (1)}
|
||
%% QUIZ 2-a
|
||
\item
|
||
|
||
\begin{claim*}
|
||
Der Punkt, $\mathbf{x}=\begin{svector}-3\\-1\\11\\\end{svector}$, liegt in der Geraden, $L$.
|
||
\end{claim*}
|
||
|
||
\begin{proof}
|
||
Es gilt
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||
\mathbf{x}\in L
|
||
&\Longleftrightarrow
|
||
&\exists{t\in\reell:~}
|
||
\mathbf{x}=\mathbf{v}+t\mathbf{w}\\
|
||
&\Longleftrightarrow
|
||
&\exists{t\in\reell:~}
|
||
\mathbf{x}-\mathbf{v}=t\mathbf{w}\\
|
||
&\Longleftrightarrow
|
||
&\exists{t\in\reell:~}
|
||
\begin{svector}1\\-3\\6\\\end{svector}=t\begin{svector}2\\-6\\12\\\end{svector}\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
Nun ist die letzte Aussage wahr,
|
||
da der Ausdruck innerhalb des Existenzquantors offensichtlich unter $t=\frac{1}{2}$ wahr ist.
|
||
Darum gilt $\mathbf{x}\in L$.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
%% QUIZ 2-b
|
||
\item
|
||
Fixiere einen Vektor, $\mathbf{w}_{\perp}\in\reell^{3}$,
|
||
der zu $\mathbf{w}$ normal ist.
|
||
Z.\,B. können wir
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||
\mathbf{w}_{\perp} &= &\begin{svector}3\\-1\\0\\\end{svector}\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
wählen. Dann gilt $\brkt{\mathbf{w},\mathbf{w}_{\perp}}=0$,
|
||
sodass die Vektoren normal zueinander stehen.
|
||
|
||
Nun, für $\mathbf{x}\in L$ setze
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||
L_{\mathbf{x}} &:= &\{\mathbf{x}+s\cdot\mathbf{w}_{\perp}\mid s\in\reell\}.\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
Dann gilt offensichtlich $\mathbf{x}\in L\cap L_{\mathbf{x}}$.\\
|
||
Andererseits, da die Richtungsvektoren in den Geraden nicht linear abhängig sind,
|
||
(da sie normal zueinander stehen),
|
||
gilt $|L\cap L_{\mathbf{x}}|\leq 1$.\\
|
||
Darum gilt $L\cap L_{\mathbf{x}}=\{\mathbf{x}\}$.
|
||
\end{enumerate}
|
||
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||
%% ********************************************************************************
|
||
%% FILE: body/quizzes/quiz3.tex
|
||
%% ********************************************************************************
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||
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||
\setcounternach{chapter}{3}
|
||
\chapter[Woche 3]{Woche 3}
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||
\label{quiz:3}
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||
\begin{enumerate}{\bfseries (a)}
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||
%% QUIZ 3-a
|
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\item
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||
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||
\begin{claim*}
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||
Seien $X$, $Y$ beliebige Mengen und $f:X\to Y$ eine Funktion.
|
||
Sei $B\subseteq Y$ beliebig.
|
||
Dann gilt $f(f^{-1}(B))=f(X)\cap B$.
|
||
Insbesondere gilt $f(f^{-1}(B))\subseteq B$
|
||
\end{claim*}
|
||
|
||
\begin{proof}
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||
Für $y\in Y$ gilt
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||
y\in f(f^{-1}(B))
|
||
&\Longleftrightarrow
|
||
&\exists{x\in f^{-1}(B):~}f(x)=y\\
|
||
&\Longleftrightarrow
|
||
&\exists{x:~}(x\in f^{-1}(B)\,\text{und}\,f(x)=y)\\
|
||
&\Longleftrightarrow
|
||
&\exists{x:~}(x\in X\,\text{und}\,f(x)\in B\,\text{und}\,f(x)=y)\\
|
||
&\Longleftrightarrow
|
||
&\exists{x\in X:~}(f(x)\in B\,\text{und}\,f(x)=y)\\
|
||
&\Longleftrightarrow
|
||
&\exists{x\in X:~}(y=f(x)\,\text{und}\,y\in B)\\
|
||
&\Longleftrightarrow
|
||
&(\exists{x\in X:~}y=f(x))\,\text{und}\,y\in B\\
|
||
&\Longleftrightarrow
|
||
&y\in f(X)\,\text{und}\,y\in B\\
|
||
&\Longleftrightarrow
|
||
&y\in f(X)\cap B.\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
Darum gilt $f(f^{-1}(B))=f(X)\cap B\subseteq B$.
|
||
\end{proof}
|
||
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||
%% QUIZ 3-b
|
||
\item
|
||
|
||
Aus (a) folgt:
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||
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||
\begin{kompaktitem}
|
||
\item
|
||
$f$ \uline{surjektiv} $\Longrightarrow$
|
||
$f(f^{-1}(B))=f(X)\cap B=Y\cap B=B$
|
||
für alle $B\subseteq Y$;
|
||
\item
|
||
$f$ \uline{nicht surjektiv} $\Longrightarrow$
|
||
$f(f^{-1}(Y))=f(X)\cap Y=f(X)\subset Y$ (strikt).
|
||
\end{kompaktitem}
|
||
|
||
Darum ist es notwendig und hinreichend, eine nicht-surjektive Funktion als Beispiel zu nehmen.
|
||
Hier ein minimales Beispiel $X=\{0\}$ und $Y=\{1,2\}$ und $B=Y$ und $f:X\to Y$ definiert durch $f(0)=1$.
|
||
Dann $f(f^{-1}(B))=f(f^{-1}(Y))=f(X)=\{1\}\subset Y$ (strikt).
|
||
\end{enumerate}
|
||
|
||
%% ********************************************************************************
|
||
%% FILE: body/quizzes/quiz4.tex
|
||
%% ********************************************************************************
|
||
|
||
\setcounternach{chapter}{4}
|
||
\chapter[Woche 4]{Woche 4}
|
||
\label{quiz:4}
|
||
|
||
Gegeben seien Mengen $X$, $Y$, $Z$,
|
||
und Funktionen $f:X\to Y$ und $g:Y\to Z$.
|
||
Wir betrachten die Komposition ${g\circ f:X\to Z}$
|
||
|
||
\hraum
|
||
\begin{tikzpicture}[node distance=0.5cm, thick]
|
||
\pgfmathsetmacro\habst{3}
|
||
\pgfmathsetmacro\vabst{1}
|
||
\node[label=below:{$X$}] (SetX) at (0*\habst,0*\vabst) {$\bullet$};
|
||
\node[label=below:{$Y$}] (SetY) at (1*\habst,0*\vabst) {$\bullet$};
|
||
\node[label=below:{$Z$}] (SetZ) at (2*\habst,0*\vabst) {$\bullet$};
|
||
\draw (SetX) edge [->] node [pos=0.5, above] {\footnotesize $f$} (SetY);
|
||
\draw (SetY) edge [->] node [pos=0.5, above] {\footnotesize $g$} (SetZ);
|
||
\end{tikzpicture}
|
||
\hraum
|
||
|
||
\begin{enumerate}{\bfseries (a)}
|
||
%% QUIZ 4-a
|
||
\item
|
||
|
||
\begin{claim*}
|
||
$g\circ f$ injektiv $\Rightarrow$ $f$ injektiv.
|
||
\end{claim*}
|
||
|
||
\begin{proof}
|
||
Angenommen, $g\circ f$ sei injektiv.
|
||
\textbf{Zu zeigen:} $f$ ist injektiv\\
|
||
\textbf{Zu zeigen:} Für alle $x_{1},x_{2}\in X$ gilt $f(x_{1})=f(x_{2})\Rightarrow x_{1}=x_{2}$.\\
|
||
Seien also $x_{1},x_{2}\in X$ beliebig.
|
||
Es gilt:
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||
f(x_{1}) = f(x_{2})
|
||
&\Longrightarrow
|
||
&g(f(x_{1})) = g(f(x_{2}))\\
|
||
&\Longrightarrow
|
||
&(g\circ f)(x_{1}) = (g\circ f)(x_{2})\\
|
||
&\Longrightarrow
|
||
&x_{1} = x_{2},
|
||
\,\text{da $g\circ f$ injektiv}.\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
Also ist $f$ injektiv.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
%% QUIZ 4-b
|
||
\item
|
||
\begin{claim*}
|
||
$f,g$ injektiv $\Rightarrow$ $g\circ f$ injektiv.
|
||
\end{claim*}
|
||
|
||
\begin{proof}
|
||
Angenommen, $f,g$ seien injektiv.
|
||
\textbf{Zu zeigen:} $g\circ f$ ist injektiv\\
|
||
\textbf{Zu zeigen:} Für alle $x_{1},x_{2}\in X$ gilt $(g\circ f)(x_{1})=(g\circ f)(x_{2})\Rightarrow x_{1}=x_{2}$.\\
|
||
Seien also $x_{1},x_{2}\in X$ beliebig.
|
||
Es gilt:
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||
(g\circ f)(x_{1}) = (g\circ f)(x_{2})
|
||
&\Longrightarrow
|
||
&g(f(x_{1})) = g(f(x_{2}))\\
|
||
&\Longrightarrow
|
||
&f(x_{1}) = f(x_{2}),
|
||
\,\text{da $g$ injektiv}\\
|
||
&\Longrightarrow
|
||
&x_{1} = x_{2},
|
||
\,\text{da $f$ injektiv}.\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
Also ist $g\circ f$ injektiv.
|
||
\end{proof}
|
||
\end{enumerate}
|
||
|
||
%% ********************************************************************************
|
||
%% FILE: body/quizzes/quiz5.tex
|
||
%% ********************************************************************************
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||
|
||
\setcounternach{chapter}{5}
|
||
\chapter[Woche 5]{Woche 5}
|
||
\label{quiz:5}
|
||
|
||
\begin{claim*}
|
||
Seien $n\in\ntrlpos$ und $p\in\mathbb{P}$ mit $n<p\leq 2n$.
|
||
Dann gilt $p\divides\begin{svector}2n\\n\\\end{svector}$.
|
||
\end{claim*}
|
||
|
||
\begin{proof}
|
||
Aus $n<p\leq 2n$, d.\,h. $p\in\{n+1,n+2,\ldots,2n\}$, folgt (i)~$p\divides\prod_{i=n+1}^{2n}i$.\\
|
||
Es gilt nun
|
||
|
||
\begin{mathe}[mc]{rcccccl}
|
||
\eqtag[eq:1:quiz:5:ex:1]
|
||
\prod_{i=n+1}^{2n}i
|
||
&= &\dfrac{\prod_{i=1}^{2n}i}{n!}
|
||
&= &n!\dfrac{(2n)!}{n!(2n-n)!}
|
||
&= &n!\begin{vector}2n\\n\\\end{vector}.\\
|
||
\end{mathe}
|
||
|
||
Aus (i) und \eqcref{eq:1:quiz:5:ex:1} folgt also
|
||
(ii)~$p\divides \begin{svector}2n\\n\\\end{svector}\cdot n!$.\\
|
||
Beachte, dass $p$ eine Primzahl ist und ${n!,\begin{svector}2n\\n\\\end{svector}\in\intgr}$.\\
|
||
Aus (ii) und \cite[Satz 3.4.14]{sinn2020} folgt also
|
||
$p\divides\begin{svector}2n\\n\\\end{svector}$ oder $p\divides n!$.\\
|
||
|
||
\fbox{Angenommen, $p\ndivides\begin{svector}2n\\n\\\end{svector}$.}\\
|
||
Dann muss laut des o.\,s. Arguments ${p\divides n!(=\prod_{i=1}^{n}i)}$ gelten.\\
|
||
Eine weitere Anwendung von \cite[Satz 3.4.14]{sinn2020} liefert,
|
||
dass ${p\divides i_{0}}$ für ein $i_{0}\in\{1,2,\ldots,n\}$.\\
|
||
Aber dann gilt $1\leq p\leq i_{0}\leq n$.
|
||
Das widerspricht der Voraussetzung, dass $n<p$.\\
|
||
Darum stimmt die Annahme nicht.
|
||
Das heißt, $p\divides\begin{svector}2n\\n\\\end{svector}$.
|
||
\end{proof}
|
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%% ********************************************************************************
|
||
%% FILE: back/index.tex
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||
%% ********************************************************************************
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\bibliographystyle{alpha}
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\def\bibname{Literaturverzeichnis}
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\nocite{*}
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||
\bgroup
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\footnotesize
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%% ********************************************************************************
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||
%% FILE: ./back/quelle.bib
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%% ********************************************************************************
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\begin{thebibliography}{EFT18}
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\bibitem[EFT18]{ebbinghaus2018}
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Heinz-Dieter Ebbinghaus, J\"org Flum, and Wolfgang Thomas.
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\newblock {\em {Einf\"uhrung in die mathematische Logik}}.
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\newblock 2018.
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\bibitem[Jec97]{jech1997}
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Thomas Jech.
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\newblock {\em {Set Theory}}.
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\newblock Springer-Verlag, 1997.
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\bibitem[Sin20]{sinn2020}
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Rainer Sinn.
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\newblock {Lineare Algebra I: Skript zur Veranstaltung Universit\"at Leipzig}.
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\newblock Vorlesungsskript, 2020.
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\bibitem[Wal16]{waldmann2016}
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Stefan Waldmann.
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\newblock {\em {Lineare Algebra 1: Die Grundlagen f\"ur Studierende der
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Mathematik und Physik}}.
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\newblock Springer Berlin Heidelberg, 2016.
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\end{thebibliography}
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\egroup
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\end{document}
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