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236
notebooks/week-10.ipynb
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236
notebooks/week-10.ipynb
Normal file
@ -0,0 +1,236 @@
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{
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"cells": [
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||||||
|
{
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"attachments": {},
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"cell_type": "markdown",
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||||||
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"metadata": {},
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"source": [
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"# Woche 10 #\n",
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"\n",
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"Diese Wochen beschäftigen wir uns mit Matrizen und Vektoren.\n",
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"In diesem Notebook rechnen wir ein paar (Teil)aufgaben aus dem ÜB."
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]
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},
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{
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"cell_type": "code",
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"execution_count": null,
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"metadata": {},
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"outputs": [],
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"source": [
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"'''IMPORTS'''\n",
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"import os;\n",
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"import sys; \n",
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"\n",
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"# NOTE: need this to force jupyter to reload imports:\n",
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"for key in list(sys.modules.keys()):\n",
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" if key.startswith('src.'):\n",
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||||||
|
" del sys.modules[key];\n",
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||||||
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"\n",
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|
"os.chdir(os.path.dirname(_dh[0]));\n",
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||||||
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"sys.path.insert(0, os.getcwd());\n",
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||||||
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"\n",
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||||||
|
"from src.thirdparty.maths import *;\n",
|
||||||
|
"from src.thirdparty.misc import *;\n",
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||||||
|
"from src.thirdparty.render import *;\n",
|
||||||
|
"from src.maths.diagrams import *;\n",
|
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"\n",
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||||||
|
"np.random.seed(8007253); # zur Wiederholbarkeit"
|
||||||
|
]
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||||||
|
},
|
||||||
|
{
|
||||||
|
"cell_type": "code",
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||||||
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"execution_count": null,
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||||||
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"metadata": {},
|
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"outputs": [],
|
||||||
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"source": [
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||||||
|
"'''BEISPIEL-SIGNAL'''\n",
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"n = 100;\n",
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|
"u = np.zeros((n,), dtype=complex);\n",
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||||||
|
"u[8] = -0.7\n",
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||||||
|
"u[58] = 1j * sqrt(2);\n",
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"\n",
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||||||
|
"display_signal(u, 'Beispiel eines Vektors als Signal dargestellt');"
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|
]
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||||||
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},
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||||||
|
{
|
||||||
|
"cell_type": "code",
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||||||
|
"execution_count": null,
|
||||||
|
"metadata": {},
|
||||||
|
"outputs": [],
|
||||||
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"source": [
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||||||
|
"'''SEMINARAUFGABE 10.4 a)'''\n",
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|
"n = 3;\n",
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||||||
|
"t = linspace(0, n-1, n);\n",
|
||||||
|
"i, j = np.meshgrid(t, t);\n",
|
||||||
|
"theta = 2*pi * i * j / n;\n",
|
||||||
|
"\n",
|
||||||
|
"# definiere die Matrix F_n + die Vektoren u_nk\n",
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||||||
|
"F_n = (1/sqrt(n)) * exp(-1j * theta);\n",
|
||||||
|
"u_n = [ (1/sqrt(n)) * exp(1j * theta[:, k]) for k in range(n) ];\n",
|
||||||
|
"\n",
|
||||||
|
"print(dedent(\n",
|
||||||
|
" f'''\n",
|
||||||
|
" Matrix:\n",
|
||||||
|
"\n",
|
||||||
|
" F_{n} = \\n{np.round(F_n, 3)}\n",
|
||||||
|
" '''\n",
|
||||||
|
"));\n",
|
||||||
|
"print('');\n",
|
||||||
|
"\n",
|
||||||
|
"# NOTE: Programmiersprachen können nicht exakt berechnen.\n",
|
||||||
|
"# Darum entstehen winzige Fehler, die sich durch Runden entfernen lassen.\n",
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||||||
|
"print('Matrix-Vektor-Produkte:');\n",
|
||||||
|
"for k in range(n):\n",
|
||||||
|
" result = F_n @ u_n[k];\n",
|
||||||
|
" print(dedent(\n",
|
||||||
|
" f'''\n",
|
||||||
|
"\n",
|
||||||
|
" u_{{n {k}}} = {np.round(u_n[k], 3)}\n",
|
||||||
|
" F_n · u_{{n {k}}} = {np.round(result, 3)}\n",
|
||||||
|
" '''\n",
|
||||||
|
" ));"
|
||||||
|
]
|
||||||
|
},
|
||||||
|
{
|
||||||
|
"attachments": {},
|
||||||
|
"cell_type": "markdown",
|
||||||
|
"metadata": {},
|
||||||
|
"source": [
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||||||
|
"## Seminaraufgabe 10.4 b) ##\n",
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||||||
|
"\n",
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||||||
|
"Für $i\\in\\{0,1,\\ldots,n-1\\}$ ist die $i$-te von $\\mathcal{F}_{n}\\,u_{n,k}$\n",
|
||||||
|
"\n",
|
||||||
|
"$$\n",
|
||||||
|
" (\\mathcal{F}_{n}\\,u_{n,k})_{i}\n",
|
||||||
|
" = \\sum_{j=0}^{n-1}\n",
|
||||||
|
" (\\mathcal{F}_{n})_{ij}\\,(u_{n,k})_{j}\n",
|
||||||
|
" = \\sum_{j=0}^{n-1}\n",
|
||||||
|
" \\tfrac{1}{\\sqrt{n}}\n",
|
||||||
|
" \\exp(-\\imath\\tfrac{2\\pi\\,ij}{n})\n",
|
||||||
|
" \\cdot\n",
|
||||||
|
" \\tfrac{1}{\\sqrt{n}}\n",
|
||||||
|
" \\exp(\\imath\\tfrac{2\\pi\\,kj}{n})\n",
|
||||||
|
" = \\frac{1}{n}\\sum_{j=0}^{n-1}\n",
|
||||||
|
" \\underbrace{\n",
|
||||||
|
" \\exp(\\imath\\tfrac{2\\pi\\,(k-i)j}{n})\n",
|
||||||
|
" }_{= r^{j}}\n",
|
||||||
|
"$$\n",
|
||||||
|
"\n",
|
||||||
|
"wobei $r \\colonequals \\exp(\\imath\\tfrac{2\\pi\\,(k-i)}{n})$.\n",
|
||||||
|
"Wir haben, dass\n",
|
||||||
|
" $r = 1$\n",
|
||||||
|
" $\\Leftrightarrow$\n",
|
||||||
|
" $\\tfrac{k-i}{n} \\in \\Z$\n",
|
||||||
|
" $\\Leftrightarrow$\n",
|
||||||
|
" $i = k$,\n",
|
||||||
|
"da $0\\leq i,k \\leq n-1$.\n",
|
||||||
|
"<br>\n",
|
||||||
|
"Es gilt außerdem $r^{n} = \\exp(\\imath 2\\pi\\,(k-i)) = 1$.\n",
|
||||||
|
"<br>\n",
|
||||||
|
"Aus der o.s. Berechnung erhält man also\n",
|
||||||
|
"\n",
|
||||||
|
"$$\n",
|
||||||
|
" (\\mathcal{F}_{n}\\,u_{n,k})_{i}\n",
|
||||||
|
" = \\tfrac{1}{n}\\displaystyle\\sum_{j=0}^{n-1}r^{j}\n",
|
||||||
|
" = \\tfrac{1}{n}\n",
|
||||||
|
" \\begin{cases}\n",
|
||||||
|
" \\displaystyle\\sum_{j=0}^{n-1}1 &: &i = k\\\\\n",
|
||||||
|
" \\frac{1 - r^{n}}{1 - r} &: &\\text{sonst}\\\\\n",
|
||||||
|
" \\end{cases}\n",
|
||||||
|
" = \\tfrac{1}{n}\n",
|
||||||
|
" \\begin{cases}\n",
|
||||||
|
" n &: &i = k\\\\\n",
|
||||||
|
" \\frac{1 - 1}{1 - r} &: &\\text{sonst}\\\\\n",
|
||||||
|
" \\end{cases}\n",
|
||||||
|
" = \\delta_{ik}.\n",
|
||||||
|
"$$\n",
|
||||||
|
"\n",
|
||||||
|
"Darum $\n",
|
||||||
|
" \\mathcal{F}_{n}\\,u_{n,k}\n",
|
||||||
|
" = \\left(\\begin{matrix}\n",
|
||||||
|
" 0\\\\\n",
|
||||||
|
" 0\\\\\n",
|
||||||
|
" \\vdots\\\\\n",
|
||||||
|
" 1\\\\\n",
|
||||||
|
" \\vdots\\\\\n",
|
||||||
|
" 0\\\\\n",
|
||||||
|
" \\end{matrix}\\right)\n",
|
||||||
|
" \\begin{matrix}\n",
|
||||||
|
" \\\\\n",
|
||||||
|
" \\\\\n",
|
||||||
|
" \\\\\n",
|
||||||
|
" \\leftarrow k\\\\\n",
|
||||||
|
" \\\\\n",
|
||||||
|
" \\\\\n",
|
||||||
|
" \\end{matrix}\n",
|
||||||
|
" = \\mathbf{e}_{k}\n",
|
||||||
|
"$.\n"
|
||||||
|
]
|
||||||
|
},
|
||||||
|
{
|
||||||
|
"cell_type": "code",
|
||||||
|
"execution_count": null,
|
||||||
|
"metadata": {},
|
||||||
|
"outputs": [],
|
||||||
|
"source": [
|
||||||
|
"'''SEMINARAUFGABE 10.4 d)'''\n",
|
||||||
|
"n = 4;\n",
|
||||||
|
"t = linspace(0, n-1, n);\n",
|
||||||
|
"i, j = np.meshgrid(t, t);\n",
|
||||||
|
"theta = 2*pi * i * j / n;\n",
|
||||||
|
"\n",
|
||||||
|
"# definiere die Matrix F_n + die Vektoren u_nk\n",
|
||||||
|
"F_n = (1/sqrt(n)) * exp(-1j * theta);\n",
|
||||||
|
"u_n = [ (1/sqrt(n)) * exp(1j * theta[:, k]) for k in range(n) ];\n",
|
||||||
|
"\n",
|
||||||
|
"# Eingabe des Vektors:\n",
|
||||||
|
"F_mal_u = np.asarray([100, -3, 0, -3]); # = F_n @ u\n",
|
||||||
|
"\n",
|
||||||
|
"'''\n",
|
||||||
|
"NOTE: Folgende Koeffizienten wurden falsch erraten.\n",
|
||||||
|
"TODO: Wie lauten die richtigen Werte? -> Aufgabe!\n",
|
||||||
|
"'''\n",
|
||||||
|
"c = [10,10,40,50];\n",
|
||||||
|
"\n",
|
||||||
|
"# Aufschreibung des Signals »bzgl. der harmonischen Basis«:\n",
|
||||||
|
"# u = c[0]u_n[0] + c[1]u_n[1] + c[2]u_n[2] + c[3]u_n[3]\n",
|
||||||
|
"u_guess = sum([ c[k] * u_n[k] for k in range(n) ]);\n",
|
||||||
|
"\n",
|
||||||
|
"# Anzeige der Lösung:\n",
|
||||||
|
"display_signal(u_guess, 'Geschätztes Signal');\n",
|
||||||
|
"\n",
|
||||||
|
"# Verifikation von Lösung:\n",
|
||||||
|
"print(dedent(\n",
|
||||||
|
" f'''\n",
|
||||||
|
" %error := ‖u_guess – u‖ / ‖u‖\n",
|
||||||
|
" = ‖F_n · (u_guess – u)‖ / ‖F_n · u‖\n",
|
||||||
|
" ... wieso?? [Stichwort: unitär]\n",
|
||||||
|
" = ‖F_n · u_guess – F_n · u‖ / ‖F_n · u‖\n",
|
||||||
|
" = {linalg.norm(F_n @ u_guess - F_mal_u)/linalg.norm(F_mal_u):.2%}\n",
|
||||||
|
" '''\n",
|
||||||
|
"));\n"
|
||||||
|
]
|
||||||
|
}
|
||||||
|
],
|
||||||
|
"metadata": {
|
||||||
|
"kernelspec": {
|
||||||
|
"display_name": "Python 3",
|
||||||
|
"language": "python",
|
||||||
|
"name": "python3"
|
||||||
|
},
|
||||||
|
"language_info": {
|
||||||
|
"codemirror_mode": {
|
||||||
|
"name": "ipython",
|
||||||
|
"version": 3
|
||||||
|
},
|
||||||
|
"file_extension": ".py",
|
||||||
|
"mimetype": "text/x-python",
|
||||||
|
"name": "python",
|
||||||
|
"nbconvert_exporter": "python",
|
||||||
|
"pygments_lexer": "ipython3",
|
||||||
|
"version": "3.10.8"
|
||||||
|
}
|
||||||
|
},
|
||||||
|
"nbformat": 4,
|
||||||
|
"nbformat_minor": 2
|
||||||
|
}
|
||||||
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