add example for calculation

notebooks/two-dimensional-calculation-example.qmd

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+title: "Two-dimensional-example"
+format: html
+editor: visual
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+
+# Zwei dimensionales Rechenbeispiel für die Matrix $Q_a$.
+
+Mit den Eingabedaten:
+
+- $a = 2.0$
+- $X = (-0.6264, 0.1836)^\top$
+- $n = K = 2$
+und $v \sim \mathcal{N}(0, 1)$
+
+Daraus ergibt sich eine Matrix $Q_a$ mit
+
+$$
+Q_a = \begin{pmatrix} 0.7911 & 0.2089 \\
+ 0.2089 & 0.7911 \\
+ \end{pmatrix}
+$$
+
+
+Anscheinend ist es so, dass für verschiedene Eingabewerte der Matrix $X$, es immer
+wieder zu verschiedenen, aber immer noch diagonaldominanten Einträgen kommt. 
+Wieso passiert dies?
+
+Falls allerdings $X = (0.2167549 -0.5424926)^\top$, dann ist 
+$$
+Q_a = \begin{pmatrix}
+0.2239 & 0.7761 \\
+0.7761 & 0.2239 \\
+\end{pmatrix}
+$$
+wo jetzt die Nebendiagonale dominant ist. Wenn man verschiedene Seeds ausprobiert,
+so sieht man ein Muster. Doch es gibt auch das Beispiel mit $X = (0.7667960 -0.8164583)^\top$
+und dann erhalten wir:
+$$
+Q_a = \begin{pmatrix}
+0.4802 & 0.5198 \\
+0.5198 & 0.4802 \\
+\end{pmatrix}
+$$
+
+Diese Matrix hat immer noch eine dominante Nebendiagonale, aber nicht so stark wie
+alle anderen bekannten Beispiele. Bei den anderen Berechnungen zeigte sich meistens
+ein Unterschied von $| a_{11} - a_{12}| > 0.5$.