master > mater: protokoll - woche2

master
RD 2 years ago
parent 3fcf455fc0
commit 5ffe3a8ded

@ -9,14 +9,79 @@
- g´(a') = ƒ´(a') - ξ < 0 < ƒ´(b') - ξ = g´(b')
- g diffbar auf (a', b') und rechts- bzw. linksableitbar im Pkt a' bzw. b'
- Für solche Funktionen gilt das Lemma:
- g stetig auf [a', b'] und besitzt damit ein globales Minimum (γ,g(γ))
- γ ≠ a, weil sonst g´(a) ≥ 0 gelten muss.
- γ ≠ b, weil sonst g´(b) ≤ 0 gelten muss.
- darum ist γ ein innerer Pkt und damit auch ein lokales Minimimum
- darum muss g´(γ) = 0 gelten.
- g stetig auf [a', b'] und besitzt damit ein globales Minimum (c,g(c))
- c ≠ a', weil sonst die Rechtsableitung g´(a') ≥ 0 gelten muss.
- c ≠ b', weil sonst die Linksableitung g´(b') ≤ 0 gelten muss.
- Darum c ∈ (a', b'). Also:
```
g´(c) = Rechtsableitung g´(c)
= lim (g(x)-g(c))/(x-c) mit x ⟶ γ⁺
= lim |g(x)-g(c)|/|x-γ| da x > γ und g(x) ≥ g(c)
≥ 0
g´(c) = Linksableitung g´(c)
= lim (g(x)-g(c))/(x-c) mit x ⟶ 
= lim -|g(x)-g(c)|/|x-c| da x < c und g(x) g(c)
= - lim |g(x)-g(c)|/|x-c| mit x ⟶ 
≤ 0
⟹ g´(c) = 0.
```
- A2 übersprungen.
- A3 vorgerechnet
- A4 mit der Variante berechnet --- mit offenen Intervallen.
</br>
Hier eine Variante mit abgeschlossenen Intervallen:
```
| Sei n ≥ 1 eine beliebige Zahl.
| Setze:
| A := { x ∈ [0,1] | N(x) ≥ 1/n }
| = { x ∈ [0,1] | x ∈ ℚ \ {0} und hat Form p/q mit 1 ≤ p ≤ q und 1/q = N(x) ≥ 1/n }
| = { x ∈ [0,1] | x ∈ ℚ \ {0} und hat Form p/q mit 1 ≤ p ≤ q ≤ n }
| Also ist A endlich, da offensichtlich |A| ≤ n².
|
| | Sei Z = (x[0], x[1], ..., x[m]) eine bel. Zerlegung.
| | Wegen Überschneidungen durch die Endpunkte
| | enthalten höchstens 2·|A| Intervalle Punkte aus A.
| |
| | - Für diese „bad“ Intervalle gelten
| | sup_{x ∈ [x[k], x[k+1]]} N(x) ≤ sup_{x ∈ [0, 1]} N(x) = 1
| | inf_{x ∈ [x[k], x[k+1]]} N(x) ≥ inf_{x ∈ [0, 1]} N(x) = 0
| | - Für die m - 2·|A| anderen „good“ Intervalle gelten
| | sup_{x ∈ [x[k], x[k+1]]} N(x) ≤ 1/(n+1) < 1/n
| | inf_{x ∈ [x[k], x[k+1]]} N(x) ≥ inf_{x ∈ [0, 1]} N(x) = 0
| |
| | Darum:
| |
| | U_Z(N) = ∑_{k=0}^{m-1} inf_{x ∈ [x[k], x[k+1]]} N(x) · (x[k+1] - x[k])
| | ≥ ∑_{k=0}^{m-1} 0 · (x[k+1] - x[k])
| | = 0.
| |
| | O_Z(N) = ∑_{k=0}^{m-1} sup_{x ∈ [x[k], x[k+1]]} N(x) · (x[k+1] - x[k])
| | = ∑_{k „bad“} sup_{x ∈ [x[k], x[k+1]]} N(x) · (x[k+1] - x[k])
| | + ∑_{k „good“} sup_{x ∈ [x[k], x[k+1]]} N(x) · (x[k+1] - x[k])
| | ≤ ∑_{k „bad“} 1 · (x[k+1] - x[k])
| | + ∑_{k „good“} 1/n · (x[k+1] - x[k])
| | ≤ ∑_{k „bad“} 1 · (x[k+1] - x[k])
| | + ∑_{k=0}^{m-1} 1/n · (x[k+1] - x[k]) <--- Teleskopsumme = 1/n
| | ≤ |Z|·#bad + 1/n
| | ≤ |Z|·2|A| + 1/n
| |________________________________
| ⟹ Für fixes n, aber immer feiner werdende Zerlegungen Z:
|
| lim_Z O_Z(N) = limsup_Z O_Z(N)
| ≤ limsup_Z 2|A|·|Z| + 1/n
| = 2|A|·0 + 1/n
| = 1/n
|________________________________
 Da n beliebig gewählt werden kann, gilt somit:
inf_Z O_Z(N) = lim_Z O_Z(N)
≤ inf_n 1/n
= 0.
Also: 0 ≤ sup_Z U_Z(N) ≤ inf_Z O_Z(N) ≤ 0
Also: sup_Z U_Z(N) = inf_Z O_Z(N) = 0.
Also: N integrierbar und ∫ N dx = 0.
```
- [x] Zusatz: Fragen zu ÜB2
## Nächste Woche ##

Loading…
Cancel
Save