master > mater: protokoll - woche2

protocol/woche2.md

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     - g´(a') = ƒ´(a') - ξ < 0 < ƒ´(b') - ξ = g´(b')
     - g diffbar auf (a', b') und rechts- bzw. linksableitbar im Pkt a' bzw. b'
     - Für solche Funktionen gilt das Lemma:
-      - g stetig auf [a', b'] und besitzt damit ein globales Minimum (γ,g(γ))
-      - γ ≠ a, weil sonst g´(a) ≥ 0 gelten muss.
-      - γ ≠ b, weil sonst g´(b) ≤ 0 gelten muss.
-      - darum ist γ ein innerer Pkt und damit auch ein lokales Minimimum
-      - darum muss g´(γ) = 0 gelten.
+      - g stetig auf [a', b'] und besitzt damit ein globales Minimum (c,g(c))
+      - c ≠ a', weil sonst die Rechtsableitung g´(a') ≥ 0 gelten muss.
+      - c ≠ b', weil sonst die Linksableitung g´(b') ≤ 0 gelten muss.
+      - Darum c ∈ (a', b'). Also:
+        ```
+        g´(c) = Rechtsableitung g´(c)
+              = lim (g(x)-g(c))/(x-c) mit x ⟶ γ⁺
+              = lim |g(x)-g(c)|/|x-γ| da x > γ und g(x) ≥ g(c)
+              ≥ 0
+        g´(c) = Linksableitung g´(c)
+              = lim (g(x)-g(c))/(x-c) mit x ⟶ c¯
+              = lim -|g(x)-g(c)|/|x-c| da x < c und g(x) ≥ g(c)
+              = - lim |g(x)-g(c)|/|x-c| mit x ⟶ c¯
+              ≤ 0
+        ⟹ g´(c) = 0.
+        ```
   - A2 übersprungen.
   - A3 vorgerechnet
   - A4 mit der Variante berechnet --- mit offenen Intervallen.
+    </br>
+    Hier eine Variante mit abgeschlossenen Intervallen:
+    ```
+    | Sei n ≥ 1 eine beliebige Zahl.
+    | Setze:
+    |   A := { x ∈ [0,1] | N(x) ≥ 1/n }
+    |      = { x ∈ [0,1] | x ∈ ℚ \ {0} und hat Form p/q mit 1 ≤ p ≤ q und 1/q = N(x) ≥ 1/n }
+    |      = { x ∈ [0,1] | x ∈ ℚ \ {0} und hat Form p/q mit 1 ≤ p ≤ q ≤ n }
+    | Also ist A endlich, da offensichtlich |A| ≤ n².
+    |
+    | | Sei Z = (x[0], x[1], ..., x[m]) eine bel. Zerlegung.
+    | | Wegen Überschneidungen durch die Endpunkte
+    | | enthalten höchstens 2·|A| Intervalle Punkte aus A.
+    | |
+    | | - Für diese „bad“ Intervalle gelten
+    | |     sup_{x ∈ [x[k], x[k+1]]} N(x) ≤ sup_{x ∈ [0, 1]} N(x) = 1
+    | |     inf_{x ∈ [x[k], x[k+1]]} N(x) ≥ inf_{x ∈ [0, 1]} N(x) = 0
+    | | - Für die m - 2·|A| anderen „good“ Intervalle gelten
+    | |     sup_{x ∈ [x[k], x[k+1]]} N(x) ≤ 1/(n+1) < 1/n
+    | |     inf_{x ∈ [x[k], x[k+1]]} N(x) ≥ inf_{x ∈ [0, 1]} N(x) = 0
+    | |
+    | | Darum:
+    | |
+    | |  U_Z(N) = ∑_{k=0}^{m-1} inf_{x ∈ [x[k], x[k+1]]} N(x) · (x[k+1] - x[k])
+    | |    ≥ ∑_{k=0}^{m-1} 0 · (x[k+1] - x[k])
+    | |    = 0.
+    | |
+    | |  O_Z(N) = ∑_{k=0}^{m-1} sup_{x ∈ [x[k], x[k+1]]} N(x) · (x[k+1] - x[k])
+    | |    = ∑_{k „bad“} sup_{x ∈ [x[k], x[k+1]]} N(x) · (x[k+1] - x[k])
+    | |      + ∑_{k „good“} sup_{x ∈ [x[k], x[k+1]]} N(x) · (x[k+1] - x[k])
+    | |    ≤ ∑_{k „bad“} 1 · (x[k+1] - x[k])
+    | |      + ∑_{k „good“} 1/n · (x[k+1] - x[k])
+    | |    ≤ ∑_{k „bad“} 1 · (x[k+1] - x[k])
+    | |      + ∑_{k=0}^{m-1} 1/n · (x[k+1] - x[k]) <--- Teleskopsumme = 1/n
+    | |    ≤ |Z|·#bad + 1/n
+    | |    ≤ |Z|·2|A| + 1/n
+    | |________________________________
+    | ⟹ Für fixes n, aber immer feiner werdende Zerlegungen Z:
+    |
+    |  lim_Z O_Z(N) = limsup_Z O_Z(N)
+    |    ≤ limsup_Z 2|A|·|Z| + 1/n
+    |    = 2|A|·0 + 1/n
+    |    = 1/n
+    |________________________________
+    ⟹ Da n beliebig gewählt werden kann, gilt somit:
+
+    inf_Z O_Z(N) = lim_Z O_Z(N)
+        ≤ inf_n 1/n
+        = 0.
+
+    Also: 0 ≤ sup_Z U_Z(N) ≤ inf_Z O_Z(N) ≤ 0
+    Also: sup_Z U_Z(N) = inf_Z O_Z(N) = 0.
+    Also: N integrierbar und ∫ N dx = 0.
+    ```
 - [x] Zusatz: Fragen zu ÜB2
 
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