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RD 2021-12-01 15:18:59 +01:00
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- ÜB6 zu Ende schrieben und vor Frist abgeben.
- VL-Inhalte bes. Kapiteln 2; 4; 5 durchlesen und Stoff erlernen.
### Zusatz: ###
Um „fließender“ mit sup/inf umzugehen, empfehle ich, folgende Aussagen zu beweisen:
1. Sei `(X, <)` eine dichte^ totale Ordnungsrelation. Dann für alle `a,b ∈ X` mit `a < b` gelten:
- `sup (-∞, b) = sup (a, b) = sup [a, b) = sup (-∞, b] = sup (a, b] = sup [a, b] = b`;
- `inf (a, +∞) = inf (a, b) = inf (a, b] = inf [a, +∞) = inf [a, b) = inf [a, b] = a`.
(So etwas macht man ein Mal im Leben!!)
2. Sei `(X, <)` eine totale Ordnungsrelation und sei `M ⊆ X`. Dann gelten
- `min M` existiert ⟺ `inf M` existiert und `inf M ∈ M`.
Wenn das Minimum existiert, dann stimmen Min und Inf überein.
- `max M` existiert ⟺ `sup M` existiert und `sup M ∈ M`.
Wenn das Maximum existiert, dann stimmen Max und Sup überein.
3. Sei `(X, <)` eine totale Ordnungsrelation und sei `M ⊆ X` dicht in `X`.^^ Dann gelten:
- `sup I = sup (I ∩ M)` für alle nicht leere Intervalle `I ⊆ X`
- `inf I = inf (I ∩ M)` für alle nicht leere Intervalle `I ⊆ X`
4. Sei `(X, <)` eine totale Ordnungsrelation und sei `M ⊆ X` dicht in `X`. Seien `A ⊆ M` und `m ∈ M`. Dann gelten:
- `A` hat Supremum `m` berechnet innerhalb `(M, <)``A` hat Supremum `m` berechnet innerhalb `(X, <)`.
- `A` hat Infimum `m` berechnet innerhalb `(M, <)``A` hat Infimum `m` berechnet innerhalb `(X, <)`.
5. Finde ein Gegenbeispiel zu den Aussagen in 4, wenn die Dichtheitsannahme wegfällt.
^ Dass eine Ordnungsrelation, `(X, <)` **dicht** ist, bedeutet:
```
∀x,y ∈ X: (x < y z X: x < z < y).
```
^^ Dass eine Teilmenge, `M ⊆ X`, **dicht in** `(X, <)` ist, bedeutet:
```
∀x,y ∈ X: (x < y z M: x < z < y).
```