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master > master: Woche 8 + Krizelei

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  1. 149
      notes/berechnungen_wk8.md
  2. 15
      protocol/woche8/README.md

149
notes/berechnungen_wk8.md

@ -1 +1,150 @@
# Woche 8 #
## Hinweise zu ÜB 8-1 ##
Als Beispiel nehme ich die linearen Unterräume:
U₁ = {x ∈ ℝ⁴ | x₁ + 3·x₂ = 4·x₃ + x₄},
U₂ = {x ∈ ℝ⁴ | x₁ = 5·x₂ + 2·x₃ + x₄}.
Sei x ∈ ℝ⁴. Dann gelten offensichtlich
- x ∈ U₁ ⟺ A₁x = 0,
- x ∈ U₂ ⟺ A₂x = 0,
- x ∈ U₁∩U₂ ⟺ A₃x = (0, 0)ᵀ,
wobei
- A₁ = die 1 x 4 Matrix
(1 3 -4 -1),
- A₂ = die 1 x 4 Matrix
(1 -5 -2 1),
- A₃ = die 2 x 4 Matrix
(1 3 -4 -1)
(1 -5 -2 1).
1) Für U₁ haben wir also x ∈ U₁ ⟺ A₁x = 0.
Nun ist A₁ bereits in Zeilenstufenform.
Und hier sind x₂, x₃, x₄ frei.
Das liefert uns erzeugende Elemente, indem wir diese jeweils auf 0 od. 1 setzen.
u₁ = (-3, 1, 0, 0)ᵀ [hier setze man x₂=1, x₃, x₄=0]
u₂ = ( 4, 0, 1, 0)ᵀ [hier setze man x₃=1, x₂, x₄=0]
u₃ = ( 1, 0, 0, 1)ᵀ [hier setze man x₄=1, x₂, x₃=0]
Diese sind offensichtlich linear unabhängig (wegen der disjunkten Ein und Ausschaltung von freien Variablen),
und da nur x₂, x₃, x₄ in der allgemeinen Lösung frei sind, sind diese Vektoren erzeugend für U₁.
Also ist {u₁, u₂, u₃} eine Basis für U₁.
2) analog für eine Basisberechnung für U₂. Man bekommt als Basis
{v₁, v₂, v₃}, wobei
v₁ = ( 5, 1, 0, 0)ᵀ
v₂ = ( 2, 0, 1, 0)ᵀ
v₃ = (-1, 0, 0, 1)ᵀ.
3) Für U₁∩U₂ gilt x ∈ U₁∩U₂ ⟺ A₃x = 0.
In Zeilenstufenform wird A₃ zu
A₃ ~~> (1 3 -4 -1)
(0 8 -2 -2)
Also sind x₃ und x₄ frei.
Die Auflösung des LGS liefert uns erzeugende Elemente,
indem wir die freien Variablen jeweils auf 0 od. 1 setzen:
w₁ = (13/4, 1/4, 1, 0)ᵀ [hier setze man x₃=1, x₄=0]
w₂ = ( 1/4, 1/4, 0, 1)ᵀ [hier setze man x₄=1, x₃=0]
Wir können diese Vektoren beliebig skalieren.
Es ist sinnvoll alles mit 4 zu multiplizieren und man erhält stattdessen:
w₁ = (13, 1, 4, 0)ᵀ
w₂ = ( 1, 1, 0, 4)ᵀ
Diese sind offensichtlich linear unabhängig (wegen der disjunkten Ein und Ausschaltung von freien Variablen),
und da nur x₃, x₄ in der allgemeinen Lösung frei sind, sind diese Vektoren erzeugend für U₁∩U₂.
Also ist {w₁, w₂} eine Basis für U₁∩U₂.
4) Für U₁ + U₂ erhält man mithilfe der oben berechneten Basen
U₁ + U₂ = Lin{u₁, u₂, u₃} + Lin{v₁, v₂, v₃}
= Lin{u₁, u₂, u₃, v₁, v₂, v₃}
Darum ist {u₁, u₂, u₃, v₁, v₂, v₃} erzeugend für U₁ + U₂.
Diese Vektoren sind aber nicht unbedingt linear unabhängig,
also längst keine Basis. Wir führen das Gaußverfahren darauf,
um auf eine maximale linear unabhängige Teilmenge davon zu kommen:
(u₁ | u₂ | u₃ | v₁ | v₂ | v₃)
( -3 4 1 5 2 -1 )
= ( 1 0 0 1 0 0 ) ·3, + Z1
( 0 1 0 0 1 0 )
( 0 0 1 0 0 1 )
( -3 4 1 5 2 -1 )
~> ( 0 4 1 8 2 -1 )
( 0 1 0 0 1 0 ) · -4, + Z2
( 0 0 1 0 0 1 )
( -3 4 1 5 2 -1 )
~> ( 0 4 1 8 2 -1 )
( 0 0 1 8 -2 -1 )
( 0 0 1 0 0 1 ) · -1 + Z3
( -3 4 1 5 2 -1 )
~> ( 0 4 1 8 2 -1 )
( 0 0 1 8 -2 -1 )
( 0 0 0 8 -2 -2 )
Die Stellen der Stufen weisen auf die linear unabhängigen Vektoren hin:
{u₁, u₂, u₃, v₁} sind linear unabhängig und {v₂, v₃} hängen davon ab.
Darum gilt
U₁ + U₂ = Lin{u₁, u₂, u₃, v₁},
sodass wegen linearer Unabhängigkeit {u₁, u₂, u₃, v₁} eine Basis ist.
Da aber dim(V) = 4 = Anzahl der Basiselemente von U₁ + U₂,
erhalten wir
U₁ + U₂ = V.
## Alternativ I für Teilaufgabe 8-1 (4) ##
Man braucht nach dem Gaußverfahren keine Basiselemente aufzulisten.
Es reicht sich den Zeilenrang anzuschauen, was gleich 4 ist,
und da dim(V) = 4, erkennt man sofort, dass
U₁ + U₂ = V.
## Alternativ II für Teilaufgabe 8-1 (4) ##
Man braucht die Aufstellung der Basiselemente und das Gaußverfahren eigentlich nicht. Laut Aufgabenstellung gelten
U₁ = {x ∈ ℝ⁴ | x₁ + 3·x₂ = 4·x₃ + x₄}
= {a₁}^⊥, wobei a₁ = (1,3,-4,-1)ᵀ
U₂ = {x ∈ ℝ⁴ | x₁ = 5·x₂ + 2·x₃ + x₄}
= {a₂}^⊥, wobei a₂ = (1,-5,-2,-1)ᵀ
und damit gilt
U₁ + U₂ = ((U₁ + U₂)^⊥)^⊥
[hierfür braucht man ein Lemma (1)]
= (U₁^⊥ ∩ U₂^⊥)^⊥
[hierfür braucht man ein Lemma (2)]
= (({a₁}^⊥)^⊥ ∩ ({a₂}^⊥)^⊥)^⊥
= (Lin{a₁} ∩ Lin{a₂})^⊥
[hier wird etwa Lemma 1 wieder verwendet]
= ({0})^⊥,
da {a₁, a₂} offensichtlich lin unabh. sind,
und damit gibt es kein gemeinsames Element
in Lin{a₁} ∩ Lin{a₂} außer den Nullvektor
= V, da alles in V zu 0 senkrecht steht.
Dafür aber brauchen wir einiges über Skalarprodukte zu wissen.

15
protocol/woche8/README.md

@ -10,22 +10,11 @@
- ( ) ÜB7
- evtl. A7-2 kurz zeigen (Gaußverfahren --> wie man Rang und lin. unabh. Vektoren aus Resultat abliest).
- ( ) ÜB8 / Hinweise
- Aufgabe 8-1.
- Beachte: U₁ = {u₁}^⊥ für eine passende Wahl von u₁ ∈ ℝ⁴.
- Berechne Basisergänzungen {u₁}
---> reicht aus, auf (u₁ | e₁ | e₂ | e₃ | e₄) das Gaußverfahren anzuwenden,
um die linear unabhängigen Vektoren zu bestimmen.
- Wende Gram-Schmidt an, um jeweils eine ONB (Orthonomalbasis), {u₁, q₁, q₂, q₃} daraus zu bestimmen.
- Dann ist {q₁, q₂, q₃} eine Basis für U₁
- Gleicher Vorgang für U₂ --> führt zu einer Basis {r₁, r₂, r₃}.
- U₁∩U₂ = {u₁}^⊥∩{u₂}^⊥ = {u₁,u₂}^⊥ ---> wiederhole das o. s. aber mit (u₁ | u₂ | e₁ | e₂ | e₃ | e₄).
- U₁+U₂ = Lin{q₁, q₂, q₃} + Lin{r₁, r₂, r₃} = Lin{q₁, q₂, q₃, r₁, r₂, r₃}
---> wende Gaußverfahren auf (q₁ | q₂ | q₃ | r₁ | r₂ | r₃) an,
um auf eine linear unabhängig Menge zu reduzieren.
- Aufgabe 8-1. Siehe [/notes](../../notes/berechnungen_wk8.md).
- Aufgabe 8-2.
- [Skript, Bsp. 5.2.5 (7)]
- (†) Insbes. gilt dim(ℝ[x]_d) = d+1
- (††) {1, x, x^2, ..., x^d} eine Basis
- (†) Insbes. gilt dim(ℝ[x]_d) = d+1
- [Skript, Korollar 5.4.4]
- (*) Angenommen, man zeigt, dass A:={1, (x-1), (x-1)^2, ..., (x-1)^d} sei lin. unabhängig.
- Da |A|=d+1=dim(ℝ[x]_d) ist A eine Basis.

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