master > master: Woche 8 + Krizelei

notes/berechnungen_wk8.md

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 # Woche 8 #
+
+## Hinweise zu ÜB 8-1 ##
+
+Als Beispiel nehme ich die linearen Unterräume:
+
+    U₁ = {x ∈ ℝ⁴ | x₁ + 3·x₂ = 4·x₃ + x₄},
+    U₂ = {x ∈ ℝ⁴ | x₁ = 5·x₂ + 2·x₃ + x₄}.
+
+Sei x ∈ ℝ⁴. Dann gelten offensichtlich
+
+- x ∈ U₁ ⟺ A₁x = 0,
+- x ∈ U₂ ⟺ A₂x = 0,
+- x ∈ U₁∩U₂ ⟺ A₃x = (0, 0)ᵀ,
+
+wobei
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+- A₁ = die 1 x 4 Matrix
+
+        (1 3 -4 -1),
+
+- A₂ = die 1 x 4 Matrix
+
+        (1 -5 -2 1),
+
+- A₃ = die 2 x 4 Matrix
+
+        (1 3 -4 -1)
+        (1 -5 -2 1).
+
+1) Für U₁ haben wir also x ∈ U₁ ⟺ A₁x = 0.
+   Nun ist A₁ bereits in Zeilenstufenform.
+   Und hier sind x₂, x₃, x₄ frei.
+   Das liefert uns erzeugende Elemente, indem wir diese jeweils auf 0 od. 1 setzen.
+
+        u₁ = (-3, 1, 0, 0)ᵀ [hier setze man x₂=1, x₃, x₄=0]
+        u₂ = ( 4, 0, 1, 0)ᵀ [hier setze man x₃=1, x₂, x₄=0]
+        u₃ = ( 1, 0, 0, 1)ᵀ [hier setze man x₄=1, x₂, x₃=0]
+
+   Diese sind offensichtlich linear unabhängig (wegen der disjunkten Ein und Ausschaltung von freien Variablen),
+   und da nur x₂, x₃, x₄ in der allgemeinen Lösung frei sind, sind diese Vektoren erzeugend für U₁.
+   Also ist {u₁, u₂, u₃} eine Basis für U₁.
+
+2) analog für eine Basisberechnung für U₂. Man bekommt als Basis
+   {v₁, v₂, v₃}, wobei
+
+        v₁ = ( 5, 1, 0, 0)ᵀ
+        v₂ = ( 2, 0, 1, 0)ᵀ
+        v₃ = (-1, 0, 0, 1)ᵀ.
+
+3) Für U₁∩U₂ gilt x ∈ U₁∩U₂ ⟺ A₃x = 0.
+   In Zeilenstufenform wird A₃ zu
+
+        A₃ ~~> (1 3 -4 -1)
+               (0 8 -2 -2)
+
+   Also sind x₃ und x₄ frei.
+   Die Auflösung des LGS liefert uns erzeugende Elemente,
+   indem wir die freien Variablen jeweils auf 0 od. 1 setzen:
+
+        w₁ = (13/4, 1/4, 1, 0)ᵀ [hier setze man x₃=1, x₄=0]
+        w₂ = ( 1/4, 1/4, 0, 1)ᵀ [hier setze man x₄=1, x₃=0]
+
+   Wir können diese Vektoren beliebig skalieren.
+   Es ist sinnvoll alles mit 4 zu multiplizieren und man erhält stattdessen:
+
+        w₁ = (13, 1, 4, 0)ᵀ
+        w₂ = ( 1, 1, 0, 4)ᵀ
+
+   Diese sind offensichtlich linear unabhängig (wegen der disjunkten Ein und Ausschaltung von freien Variablen),
+   und da nur x₃, x₄ in der allgemeinen Lösung frei sind, sind diese Vektoren erzeugend für U₁∩U₂.
+   Also ist {w₁, w₂} eine Basis für U₁∩U₂.
+
+4) Für U₁ + U₂ erhält man mithilfe der oben berechneten Basen
+
+        U₁ + U₂ = Lin{u₁, u₂, u₃} + Lin{v₁, v₂, v₃}
+                = Lin{u₁, u₂, u₃, v₁, v₂, v₃}
+
+    Darum ist {u₁, u₂, u₃, v₁, v₂, v₃} erzeugend für U₁ + U₂.
+    Diese Vektoren sind aber nicht unbedingt linear unabhängig,
+    also längst keine Basis. Wir führen das Gaußverfahren darauf,
+    um auf eine maximale linear unabhängige Teilmenge davon zu kommen:
+
+        (u₁ | u₂ | u₃ | v₁ | v₂ | v₃)
+
+           ( -3   4   1   5   2  -1 )
+        =  (  1   0   0   1   0   0 ) ·3, + Z1
+           (  0   1   0   0   1   0 )
+           (  0   0   1   0   0   1 )
+
+           ( -3   4   1   5   2  -1 )
+        ~> (  0   4   1   8   2  -1 )
+           (  0   1   0   0   1   0 ) · -4, + Z2
+           (  0   0   1   0   0   1 )
+
+           ( -3   4   1   5   2  -1 )
+        ~> (  0   4   1   8   2  -1 )
+           (  0   0   1   8  -2  -1 )
+           (  0   0   1   0   0   1 ) · -1 + Z3
+
+           ( -3   4   1   5   2  -1 )
+        ~> (  0   4   1   8   2  -1 )
+           (  0   0   1   8  -2  -1 )
+           (  0   0   0   8  -2  -2 )
+
+     Die Stellen der Stufen weisen auf die linear unabhängigen Vektoren hin:
+     {u₁, u₂, u₃, v₁} sind linear unabhängig und {v₂, v₃} hängen davon ab.
+     Darum gilt
+
+            U₁ + U₂ = Lin{u₁, u₂, u₃, v₁},
+
+    sodass wegen linearer Unabhängigkeit {u₁, u₂, u₃, v₁} eine Basis ist.
+    Da aber dim(V) = 4 = Anzahl der Basiselemente von U₁ + U₂,
+    erhalten wir
+
+            U₁ + U₂ = V.
+
+## Alternativ I für Teilaufgabe 8-1 (4) ##
+
+Man braucht nach dem Gaußverfahren keine Basiselemente aufzulisten.
+Es reicht sich den Zeilenrang anzuschauen, was gleich 4 ist,
+und da dim(V) = 4, erkennt man sofort, dass
+
+    U₁ + U₂ = V.
+
+## Alternativ II für Teilaufgabe 8-1 (4) ##
+
+Man braucht die Aufstellung der Basiselemente und das Gaußverfahren eigentlich nicht. Laut Aufgabenstellung gelten
+
+    U₁ = {x ∈ ℝ⁴ | x₁ + 3·x₂ = 4·x₃ + x₄}
+        = {a₁}^⊥, wobei a₁ = (1,3,-4,-1)ᵀ
+    U₂ = {x ∈ ℝ⁴ | x₁ = 5·x₂ + 2·x₃ + x₄}
+        = {a₂}^⊥, wobei a₂ = (1,-5,-2,-1)ᵀ
+
+und damit gilt
+
+    U₁ + U₂ = ((U₁ + U₂)^⊥)^⊥
+              [hierfür braucht man ein Lemma (1)]
+            = (U₁^⊥ ∩ U₂^⊥)^⊥
+              [hierfür braucht man ein Lemma (2)]
+            = (({a₁}^⊥)^⊥ ∩ ({a₂}^⊥)^⊥)^⊥
+            = (Lin{a₁} ∩ Lin{a₂})^⊥
+              [hier wird etwa Lemma 1 wieder verwendet]
+            = ({0})^⊥,
+              da {a₁, a₂} offensichtlich lin unabh. sind,
+              und damit gibt es kein gemeinsames Element
+              in Lin{a₁} ∩ Lin{a₂} außer den Nullvektor
+            = V, da alles in V zu 0 senkrecht steht.
+
+Dafür aber brauchen wir einiges über Skalarprodukte zu wissen.

protocol/woche8/README.md

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 - ( ) ÜB7
     - evtl. A7-2 kurz zeigen (Gaußverfahren --> wie man Rang und lin. unabh. Vektoren aus Resultat abliest).
 - ( ) ÜB8 / Hinweise
-    - Aufgabe 8-1.
+    - Aufgabe 8-1. Siehe [/notes](../../notes/berechnungen_wk8.md).
-        - Beachte: U₁ = {u₁}^⊥ für eine passende Wahl von u₁ ∈ ℝ⁴.
-        - Berechne Basisergänzungen {u₁}
-            ---> reicht aus, auf (u₁ | e₁ | e₂ | e₃ | e₄) das Gaußverfahren anzuwenden,
-            um die linear unabhängigen Vektoren zu bestimmen.
-        - Wende Gram-Schmidt an, um jeweils eine ONB (Orthonomalbasis), {u₁, q₁, q₂, q₃} daraus zu bestimmen.
-        - Dann ist {q₁, q₂, q₃} eine Basis für U₁
-        - Gleicher Vorgang für U₂ --> führt zu einer Basis {r₁, r₂, r₃}.
-        - U₁∩U₂ = {u₁}^⊥∩{u₂}^⊥ = {u₁,u₂}^⊥ ---> wiederhole das o. s. aber mit (u₁ | u₂ | e₁ | e₂ | e₃ | e₄).
-        - U₁+U₂ = Lin{q₁, q₂, q₃} + Lin{r₁, r₂, r₃} = Lin{q₁, q₂, q₃, r₁, r₂, r₃}
-            ---> wende Gaußverfahren auf (q₁ | q₂ | q₃ | r₁ | r₂ | r₃) an,
-            um auf eine linear unabhängig Menge zu reduzieren.
     - Aufgabe 8-2.
         - [Skript, Bsp. 5.2.5 (7)]
-            - (†) Insbes. gilt dim(ℝ[x]_d) = d+1
             - (††) {1, x, x^2, ..., x^d} eine Basis
+            - (†) Insbes. gilt dim(ℝ[x]_d) = d+1
         - [Skript, Korollar 5.4.4]
             - (*) Angenommen, man zeigt, dass A:={1, (x-1), (x-1)^2, ..., (x-1)^d} sei lin. unabhängig.
             - Da |A|=d+1=dim(ℝ[x]_d) ist A eine Basis.