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@ -7382,42 +7382,14 @@ Das Hauptziel hier ist, eine Variant anzubieten, gegen die man seine Versuche ve
\begin{obs}
\makelabel{obs:1:ueb:11:ex:2}
Per Definition und laut \cite[Lemma~5.4.7]{sinn2020}
gilt $\rank(A):=\text{Zeilenrang}\textoverset{Lemm}{=}\text{Spaltenrang}$.
Somit automatisch $\rank(A)\leq m$ und $\rank(A)\leq n$.
Darum gilt stets $\rank(A)\leq\min\{m,n\}$.
gilt $\rank(A)\textoverset{Defn}{=}\text{Zeilenrang}(A)=\text{Spaltenrang}(A)$.
Folglich gelten stets $\rank(A)\leq m$ und $\rank(A)\leq n$.
\end{obs}
\begin{obs}
\makelabel{obs:2:ueb:11:ex:2}
Seien $w_{1},w_{2},\ldots,w_{n}\in K^{m}$ die Spalten von $A$.
Dann gilt
\begin{mathe}[mc]{rcl}
\eqtag[eq:1:beob:ueb:11:ex:2]
\range(\phi_{A})
&\textoverset{Defn}{=}
&\{\phi_{A}(x)\mid x\in K^{n}\}\\
&= &\{Ax\mid x\in K^{n}\}\\
&= &\{\sum_{i=1}^{n}x_{i}w_{1}\mid x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}\in K\}\\
&= &\underbrace{
\vectorspacespan\{w_{1},w_{2},\ldots,w_{n}\}
}_{\text{Spaltenraum von $A$}}.\\
\end{mathe}
Insbesondere gilt per des Definition des Rangs,
und da laut \cite[Lemma 5.4.7]{sinn2020} Rang = Spaltenrang,
\begin{mathe}[mc]{rcccl}
\eqtag[eq:2:beob:ueb:11:ex:2]
\rank(A)
&\textoverset{Defn}{=}
&\dim(\vectorspacespan\{w_{1},w_{2},\ldots,w_{n}\})
&\eqcrefoverset{eq:1:beob:ueb:11:ex:2}{=}
&\dim(\range(\phi_{A})).\\
\end{mathe}
\nvraum{1}
Laut \cite[Korollar~6.3.13]{sinn2020}
gilt $\rank(\phi_{A})\textoverset{Defn}{=}\dim(\range(\phi_{A}))=\rank(A)$.
\end{obs}
\begin{enumerate}{\bfseries (a)}
@ -7446,8 +7418,8 @@ Das Hauptziel hier ist, eine Variant anzubieten, gegen die man seine Versuche ve
&\dim(K^{n})-\dim(\rank(\phi_{A}))=0\\
&\Longleftrightarrow
&\dim(\rank(\phi_{A}))=n\\
&\eqcrefoverset{eq:2:beob:ueb:11:ex:2}{\Longleftrightarrow}
&\rank(A)=n\\
&\Longleftrightarrow
&\rank(A)=n\quad\text{(siehe \Cref{obs:2:ueb:11:ex:2})}\\
&\Longleftrightarrow
&\rank(A)\geq n.\\
\end{longmathe}
@ -7486,8 +7458,8 @@ Das Hauptziel hier ist, eine Variant anzubieten, gegen die man seine Versuche ve
&\dim(U)=m\\
&\Longleftrightarrow
&\dim(\range(\phi_{A}))=m\\
&\eqcrefoverset{eq:2:beob:ueb:11:ex:2}{\Longleftrightarrow}
&\rank(A)=m.\\
&\Longleftrightarrow
&\rank(A)=m\quad\text{(siehe \Cref{obs:2:ueb:11:ex:2})}.\\
\end{mathe}
Da laut \Cref{obs:1:ueb:11:ex:2} $\rank(A)\leq m$ stets gilt,