raj_mathe/linalg2020
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master > master: SKA4-11 leichte Änderung zum ungültigen Arg

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@ -3781,7 +3781,7 @@ Seien $X$, $Y$ nicht leere Mengen und ${f:X\to Y}$ eine Funktion.
sind $X\times Y'$ und $X\times\{y_{0}\}$ ebenfalls disjunkt.
Es folgt
\begin{mathe}[mc]{rcl}
\begin{longmathe}[mc]{RCL}
|X\times Y|
&= &|X\times (Y'\cup\{y_{0}\}|\\
&= &|(X\times Y')\cup (X\times\{y_{0}\})|\\
@ -3792,7 +3792,7 @@ Seien $X$, $Y$ nicht leere Mengen und ${f:X\to Y}$ eine Funktion.
&= &|X|\cdot n\\
&&\text{wegen der rekursiven Definition von Multiplikation}\\
&= &|X|\cdot |Y|,\\
\end{mathe}
\end{longmathe}
\end{kompaktenum}
Darum gilt $|X\times Y|=|X|\cdot|Y|$ für alle Mengen $X,Y$.
@ -3862,7 +3862,7 @@ Seien $X$, $Y$ nicht leere Mengen und ${f:X\to Y}$ eine Funktion.
\node (X1mid) at (+0.25*\habst,1*\vabst) {};
\node[label=above:{$x_{0}$}] (x0) at (-1*\habst,1*\vabst) {$\bullet$};
\node[label=above:{$x_{1}$}] (x1) at (+1*\habst,1*\vabst) {$\bullet$};
\node[above right = 0.4*\rad and 0.4*\rad of X0mid,label=below:{$\tilde{x}$}] {$\bullet$};
\node[above right = 0.3*\rad and 0.3*\rad of X0mid,label=below:{$\tilde{x}$}] {$\bullet$};
\node[above left = 0.7*\rad and 0.7*\rad of X0mid] {$X_{0}$};
\node[above right = 0.7*\rad and 0.7*\rad of X1mid] {$X_{1}$};
@ -3876,13 +3876,16 @@ Seien $X$, $Y$ nicht leere Mengen und ${f:X\to Y}$ eine Funktion.
Da $X_{0}$ $n-1$-elementig ist und $x_{0}\in X_{0}$ und $G(x_{0})$,
gilt per IV (\textdagger)~$\forall{x\in X_{0}:~}G(x)$.
Jetzt betrachten wir die rechte Teilmenge, $X_{1}$.\\
\fbox{Wähle nun einen Fisch, $\tilde{x}\in X_{0}$ mit $\tilde{x}\neq x_{0}$.}\\
Wegen (\textdagger) gilt $G(\tilde{x})$.\\
Da $\tilde{x}\neq x_{0}$, liegt dieser Fisch nun in der Auswahlmenge $X_{1}$.\\
Also ist $X_{1}$ eine $n-1$-elementige Menge und $x_{1}\in X_{1}$ und $G(x_{1})$.\\
Per IV gilt also $\forall{x\in X_{1}:~}G(x)$.\\
Daraus folgt $\forall{x\in X:~}G(x)$, da $X=X_{1}\cup\{x_{0}\}$.
\fbox{Wähle nun einen Fisch, $\tilde{x}\in X_{0}$, mit $\tilde{x}\neq x_{0}$}
und setze $X':=X\ohne\{\tilde{x}\}$ .\\
Dann ist $X'$ eine $n-1$-elementige Menge und $x_{0}\in X_{1}$ und $G(x_{0})$.\\
Per IV gilt also $\forall{x\in X':~}G(x)$.\\
Daraus und aus (\textdagger) folgt $\forall{x\in X:~}G(x)$, da ja $X=X_{0}\cup X'$.\footnote{
Per Wahl gilt $\tilde{x}\in X_{0}=X\ohne x_{1}$.
Also, $\tilde{x}\neq x_{1}$.
Also, $x_{1}\in X'$.
Also, $X=X_{0}\cup\{x_{1}\}\subseteq X_{0}\cup X'\subseteq X$.
}
Darum gilt $\Phi(n)$.
\end{kompaktenum}
@ -3893,12 +3896,14 @@ Seien $X$, $Y$ nicht leere Mengen und ${f:X\to Y}$ eine Funktion.
Das Problem mit diesem Argument steckt im Induktionsschritt an genau dieser Stelle:
\begin{quote}
Wähle nun einen Fisch, $\tilde{x}\in X_{0}$ mit $\tilde{x}\neq x_{0}$.
\itshape
Wähle nun einen Fisch, $\tilde{x}\in X_{0}$, mit $\tilde{x}\neq x_{0}$ \ldots
\end{quote}
Im ursprünglichen Text ist dies die problematische Stelle:
\begin{quote}
\itshape
Jetzt können wir aber \uline{auch einen der Goldfische rausnehmen} und haben wieder \ldots
\end{quote}