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826
docs/loesungen.tex

@ -55,11 +55,7 @@
%% |
%% — body/uebung/ueb5.tex;
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%% — body/ska/ska1.tex;
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%% — body/ska/ska2.tex;
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%% — body/ska/ska4.tex;
%% |
@ -1321,6 +1317,8 @@
\def\restr#1{\vert_{#1}}
\def\ohne{\setminus}
\def\Pot{\mathop{\mathcal{P}}}
\def\einser{\mathbf{1}}
\def\supp{\mathop{\mathrm{supp}}}
\def\brkt#1{\langle{}#1{}\rangle}
\def\lsim{\mathop{\sim}}
@ -3777,22 +3775,816 @@ gilt.
\end{proof}
\end{enumerate}
\setcounternach{part}{2}
\part{Selbstkontrollenaufgaben}
\def\chaptername{SKA Blatt}
%% ********************************************************************************
%% FILE: body/ska/ska1.tex
%% FILE: body/uebung/ueb6.tex
%% ********************************************************************************
%% ********************************************************************************
%% FILE: body/ska/ska2.tex
%% ********************************************************************************
\setcounternach{chapter}{6}
\chapter[Woche 6]{Woche 6}
\label{ueb:6}
%% ********************************************************************************
%% FILE: body/ska/ska3.tex
%% ********************************************************************************
\textbf{ACHTUNG.}
Diese Lösungen dienen \emph{nicht} als Musterlösungen sondern eher als Referenz.
Hier wird eingehender gearbeitet, als generell verlangt wird.
Das Hauptziel hier ist, eine Variant anzubieten, gegen die man seine Versuche vergleichen kann.
%% AUFGABE 6-1
\let\altsectionname\sectionname
\def\sectionname{Aufgabe}
\section[Aufgabe 1]{}
\label{ueb:6:ex:1}
\let\sectionname\altsectionname
Es sei $X$ eine Menge und $R=\Pot(X)$.
Auf $R$ definiere man die folgenden Verknüpfungen:
\begin{mathe}[mc]{rcl}
A+B &= &A\cup B\ohne(A\cap B)\\
A\cdot B &= &A\cap B\\
\end{mathe}
für alle $A,B\in R$.
\begin{enumerate}{\bfseries (a)}
%% AUFGABE 6-1a
\item
Die Additions und Multiplikationstabellen für eine $3$-elementige Menge, $X=\{a,b,c\}$,
sehen wie folgt aus:
\hraum
\begin{tabular}[mc]{|C|CCCCCCCC|}
\hline
+ &\leer &\{c\} &\{b\} &\{b,c\} &\{a\} &\{a,c\} &\{a,b\} &\{a,b,c\}\\
\hline
\leer &\leer &\{c\} &\{b\} &\{b,c\} &\{a\} &\{a,c\} &\{a,b\} &\{a,b,c\}\\
\{c\} &\{c\} &\leer &\{b,c\} &\{b\} &\{a,c\} &\{a\} &\{a,b,c\} &\{a,b\}\\
\{b\} &\{b\} &\{b,c\} &\leer &\{c\} &\{a,b\} &\{a,b,c\} &\{a\} &\{a,c\}\\
\{b,c\} &\{b,c\} &\{b\} &\{c\} &\leer &\{a,b,c\} &\{a,b\} &\{a,c\} &\{a\}\\
\{a\} &\{a\} &\{a,c\} &\{a,b\} &\{a,b,c\} &\leer &\{c\} &\{b\} &\{b,c\}\\
\{a,c\} &\{a,c\} &\{a\} &\{a,b,c\} &\{a,b\} &\{c\} &\leer &\{b,c\} &\{b\}\\
\{a,b\} &\{a,b\} &\{a,b,c\} &\{a\} &\{a,c\} &\{b\} &\{b,c\} &\leer &\{c\}\\
\{a,b,c\} &\{a,b,c\} &\{a,b\} &\{a,c\} &\{a\} &\{b,c\} &\{b\} &\{c\} &\leer\\
\hline
\end{tabular}
\hraum
\hraum
\begin{tabular}[mc]{|C|CCCCCCCC|}
\hline
\cdot &\leer &\{c\} &\{b\} &\{b,c\} &\{a\} &\{a,c\} &\{a,b\} &\{a,b,c\}\\
\hline
\leer &\leer &\leer &\leer &\leer &\leer &\leer &\leer &\leer\\
\{c\} &\leer &\{c\} &\leer &\{c\} &\leer &\{c\} &\leer &\{c\}\\
\{b\} &\leer &\leer &\{b\} &\{b\} &\leer &\leer &\{b\} &\{b\}\\
\{b,c\} &\leer &\{c\} &\{b\} &\{b,c\} &\leer &\{c\} &\{b\} &\{b,c\}\\
\{a\} &\leer &\leer &\leer &\leer &\{a\} &\{a\} &\{a\} &\{a\}\\
\{a,c\} &\leer &\{c\} &\leer &\{c\} &\{a\} &\{a,c\} &\{a\} &\{a,c\}\\
\{a,b\} &\leer &\leer &\{b\} &\{b\} &\{a\} &\{a\} &\{a,b\} &\{a,b\}\\
\{a,b,c\} &\leer &\{c\} &\{b\} &\{b,c\} &\{a\} &\{a,c\} &\{a,b\} &\{a,b,c\}\\
\hline
\end{tabular}
\hraum
Der Additionstabelle ist zu entnehmen, dass \fbox{$\leer$ das Nullelement} (d.\,h. additives Neutralelement) ist.
Der Multiplikationstabelle ist zu entnehmen, dass \fbox{$\{a,b,c\}$ das Einselement} (d.\,h. multiplikatives Neutralelement) ist.\\
%% AUFGABE 6-1b
\item
Sei nun $X$ eine allgemeine Menge.
\begin{claim}
\makelabel{claim:main:ueb:6:ex:1b}
$(R,+,\cdot,\leer,X)$ bildet einen kommutativen Ring,
wobei $R=\Pot(X)$.
\end{claim}
Es gibt hier zwei Ansätze.
\begin{proof}[von \Cref{claim:main:ueb:6:ex:1b}, Ansatz I]
Wir gehen einfach alle Axiome durch.
Zunächst aber beobachten wir für alle $A,B\in R$
und $x\in X$, dass
\begin{mathe}[mc]{rcl}
\eqtag[eq:0:simplification:\beweislabel]
x\in A+B
&\textoverset{Defn}{\Longleftrightarrow}
&x\in (A\cup B)\ohne(A\cap B)\\
&\Longleftrightarrow
&\text{$x$ in $A$ oder $B$, aber nicht beides}\\
&\Longleftrightarrow
&\text{$x$ in exakt einem von $A$, $B$}.\\
\end{mathe}
Darauf werden wir uns in einigen Berechnungen berufen.
\begin{kompaktitem}[\rtab][\rtab]
\item[\uwave{{\bfseries Addition/Assoziativität:}}]
Seien $A,B,C\in R$ beliebig.
\textbf{Zu zeigen:} $(A+B)+C=A+(B+C)$.\\
Da es sich auf beiden Seiten der Gleichung um Mengen handelt,
reicht es aus, für alle $x\in X$ \textbf{zu zeigen},
dass $x\in (A+B)+C$ gdw. $x\in A+(B+C)$.\\
Sei also $x\in X$ beliebig. Es gilt
\begin{mathe}[mc]{rcl}
x\in A+(B+C)
&\eqcrefoverset{eq:0:simplification:\beweislabel}{\Longleftrightarrow}
&\text{exakt eines von $x\in A$ oder $x\in B+C$ gilt}\\
&\eqcrefoverset{eq:0:simplification:\beweislabel}{\Longleftrightarrow}
&\text{exakt eines von $x\in A$ oder (exakt eines von $x\in B$ oder $x\in C$) gilt}\\
&\Longleftrightarrow
&\text{exakt eines von $x\in A$ oder $x\in B$ oder $x\in C$ gilt}\\
&\Longleftrightarrow
&\text{$x$ in exakt einem von $A$, $B$, oder $C$}\\
\end{mathe}
und
\begin{mathe}[mc]{rcl}
x\in (A+B)+C
&\eqcrefoverset{eq:0:simplification:\beweislabel}{\Longleftrightarrow}
&\text{exakt eines von $x\in A+B$ oder $x\in C$ gilt}\\
&\eqcrefoverset{eq:0:simplification:\beweislabel}{\Longleftrightarrow}
&\text{exakt eines von (exakt eines von $x\in A$ oder $x\in B$) oder $x\in C$ gilt}\\
&\Longleftrightarrow
&\text{exakt eines von $x\in A$ oder $x\in B$ oder $x\in C$ gilt}\\
&\Longleftrightarrow
&\text{$x$ in exakt einem von $A$, $B$, oder $C$}\\
\end{mathe}
Darum gilt $x\in A+(B+C)\Leftrightarrow x\in (A+B)+C$ für alle $x\in X$.
Also $A+(B+C)=(A+B)+C$ für alle $A,B,C\in R$.
Also ist $(R,+)$ assoziativ.
\item[\uwave{{\bfseries Addition/Kommutativität:}}]
Seien $A,B\in R$ beliebig.
\textbf{Zu zeigen:} $A+B=B+A$.\\
Es gilt
\begin{mathe}[mc]{rcccccl}
A+B &\textoverset{Defn}{=}
&(A\cup B)\ohne(A\cap B)
&\overset{(\ast)}{=} &(B\cup A)\ohne(B\cap A)
&\textoverset{Defn}{=} &B+A,\\
\end{mathe}
wobei die Gleichung bei $(\ast)$ gilt,
weil die Mengenoperationen, $\cap$ und $\cup$, bekanntermaßen kommutativ sind.
Also ist $(R,+)$ kommutativ.
\item[\uwave{{\bfseries Addition/Nullelement:}}]
Wir behaupten, dass $0:=\leer$ das additive Neutralelement ist.
Sei also $A\in R$ beliebig.
\textbf{Zu zeigen:} $A+0=0+A=A$.\\
Wegen Kommutativität reicht es aus, $A+0=A$ zu zeigen.
Es gilt
\begin{mathe}[mc]{rcccccl}
A+0 &\textoverset{Defn}{=} &(A\cup\leer)\ohne(A\cap\leer)
&= &A\ohne\leer
&= &A\\
\end{mathe}
Also ist $\leer$ ein Neutralelement für $(R,+)$.
\item[\uwave{{\bfseries Addition/Inverses:}}]
Sei $A\in R$ beliebig.
\textbf{Zu zeigen:}
Es gibt ein Element $A'\in R$, so dass $A'+A=A+A'=0$.\\
Wir betrachten als Möglichkeit $A':=A$:
\begin{mathe}[mc]{rcccccccl}
A'+A &= &A+A
&\textoverset{Defn}{=}
&(A\cup A)\ohne(A\cap A)
&= &A\ohne A
&= &\leer.\\
\end{mathe}
Da wie bereits gezeigt, $\leer$ ein Neutralelement in $(R,+)$ ist,
haben wir somit bewiesen, dass $A$ sein eigenes additives Inverses ist.
\item[\uwave{{\bfseries Multiplikation/Assoziativität:}}]
Da die Mengenschnittoperation bekanntermaßen assoziativ ist,
ist hier eigentlich nichts zu zeigen.
\item[\uwave{{\bfseries Multiplikation/Kommutativität:}}]
Da die Mengenschnittoperation bekanntermaßen kommutativ ist,
ist hier eigentlich nichts zu zeigen.
\item[\uwave{{\bfseries Multiplikation/Einselement:}}]
Wir behaupten, dass $1:=X$ das multiplikative Neutralelement ist.
Sei also $A\in R$ beliebig.
\textbf{Zu zeigen:} $A\cdot 1=1\cdot A=A$.\\
Wegen Kommutativität reicht es aus, $A\cdot 1=A$ zu zeigen.
Es gilt
\begin{mathe}[mc]{rcccl}
A\cdot 1 &= &A\cap X &= A,\\
\end{mathe}
weil $A\in R=\Pot(X)$ und damit $A\subseteq X$ gilt.
Also ist $X$ ein Neutralelement für $(R,\cdot)$.
\item[\uwave{{\bfseries Linksdistributivität:}}]
Seien $A,B,C\in R$ beliebig.
\textbf{Zu zeigen:} $A\cdot(B+C)=(A\cdot B)+(A\cdot C)$.\\
Da es sich auf beiden Seiten der Gleichung um Mengen handelt,
reicht es aus, für alle $x\in X$ \textbf{zu zeigen},
dass $x\in A\cdot(B+C)$ gdw. $x\in (A\cdot B)+(A\cdot C)$.\\
Sei also $x\in X$ beliebig. Es gilt
\begin{mathe}[mc]{rcl}
x\in A\cdot(B+C)
&\textoverset{Defn}{\Longleftrightarrow}
&x\in A\cap((B\cup C)\ohne(B\cap C))\\
&\eqcrefoverset{eq:0:simplification:\beweislabel}{\Longleftrightarrow}
&\text{$x$ in $A$ und $x$ in exakt einer der Mengen $B$, $C$}\\
&\Longleftrightarrow
&\text{$x$ in exakt einer der Mengen $A\cap B$, $A\cap C$}\\
&\eqcrefoverset{eq:0:simplification:\beweislabel}{\Longleftrightarrow}
&x\in (A\cdot B)+(A\cdot C).\\
\end{mathe}
Also gilt $A\cdot(B+C)=(A\cdot B)+(A\cdot C)$.
Also weist $(R,+,\cdot)$ linksdistributivität auf.
\item[\uwave{{\bfseries Rechtsdistributivität:}}]
Da Multiplikation kommutativ ist, folgt Rechtsdistributivität
automatisch aus Linksdistributivität.
\end{kompaktitem}
Darum erfüllt $(R,+,\cdot)$ die Axiome eines Rings
und dieser Ring hat ein Einselement und ist kommutativ,
weil Multiplikation kommutativ ist.
\end{proof}
\begin{proof}[von \Cref{claim:main:ueb:6:ex:1b}, Ansatz II]
Ein scharfes Auge erkennt, dass wir Teilmengen von $X$
mit binären Tupeln identifizieren kann.
Wir wollen $R$ mit einer bekannten algebraischen Struktur in Verbindung
setzen, also betrachten wir konkret die Abbildungen
\begin{mathe}[mc]{rclcl}
\Phi &: &\prod_{x\in X}\intgr/2\intgr &\to &\Pot(X)\\
&: &\alpha &\mapsto &\supp(\alpha):=\{x\in X\mid \alpha_{x}=1\}\\
\Psi &: &\Pot(X) &\to &\prod_{x\in X}\intgr/2\intgr\\
&: &A &\mapsto &(\einser_{A}(x))_{x\in X}\\
\end{mathe}
um Elemente aus dem einen Raum auf Elemente aus dem anderen zu übertragen.\\
Nun ist $\intgr/2\intgr$ bekanntermaßen ein kommutativer Ring (eigentlich ein Körper).
Darum ist das Produkt $\prod_{x\in X}\intgr/2\intgr$,
versehen mit punktweise Addition und punktweise Multiplikation,
ebenfalls ein kommutativer Ring.
Darum reicht es aus \textbf{zu zeigen}, dass $\Phi$
eine Bijektion ist, die die Operationen erhält
(auch \emph{Isomorphismus} genannt).
\begin{kompaktitem}[\rtab][\rtab]
\item[\uwave{{\bfseries Bijektion:}}]
Wir beobachten, dass
\begin{mathe}[mc]{rclclclcl}
\Phi(\Psi(A))
&= &\{x\in X\mid \Psi(A)_{x}=1\}
&= &\{x\in X\mid \einser_{A}(x)=1\}
&= &\{x\in X\mid x\in A\}
&= &A\\
\end{mathe}
für alle $A\in\Pot(X)$ und
\begin{mathe}[mc]{rcl}
\Psi(\Phi(\alpha))
&= &(\einser_{\Phi(\alpha)}(x))_{x\in X}\\
&= &(\einser_{\{x'\in X\mid \alpha_{x'}=1\}}(x))_{x\in X}\\
&= &\left(
\begin{cases}[mc]{lcl}
1 &: &x\in\{x'\in X\mid \alpha_{x'}=1\}\\
0 &: &\text{sonst}\\
\end{cases}
\right)_{x\in X}\\
&= &\left(
\begin{cases}[mc]{lcl}
1 &: &\alpha_{x}=1\\
0 &: &\alpha_{x}=0\\
\end{cases}
\right)_{x\in X}\\
&= &(\alpha_{x})_{x\in X}\\
&= &\alpha\\
\end{mathe}
für alle $\alpha\in\prod_{x\in X}\intgr/2\intgr$.
Also $\Phi\circ\Psi=\id$ und $\Psi\circ\Phi=\id$.
Darum sind $\Phi$ und $\Psi$ Bijektion (und invertieren einander).
\item[\uwave{{\bfseries Erhaltung der Operationen:}}]
Seien $\alpha,\beta\in\prod_{x\in X}\intgr/2\intgr$.
\textbf{Zu zeigen:}
$\Phi(\alpha+\beta)=\Phi(\alpha)+\Phi(\beta)$
und
$\Phi(\alpha\cdot\beta)=\Phi(\alpha)\cdot\Phi(\beta)$.\\
Es gilt
\begin{mathe}[mc]{rcl}
\Phi(\alpha+\beta)
&= &\{x\in X\mid (\alpha+\beta)_{x}=1\}\\
&= &\{x\in X\mid \alpha_{x}+\beta_{x}=1\}
\quad\text{da Operationen auf $\prod_{x\in X}\intgr/2\intgr$ punktweise definiert sind}\\
&= &\{x\in X\mid \alpha_{x}=1\,\text{od.}\,\beta_{x}=1,\,\text{aber nicht beides}\}\\
&= &(\{x\in X\mid \alpha_{x}=1\}\cup\{x\in X\mid \beta_{x}=1\})
\ohne(\{x\in X\mid \alpha_{x}=1\}\cap\{x\in X\mid \beta_{x}=1\})\\
&= &(\Phi(\alpha)\cup\Phi(\beta))
\ohne(\Phi(\alpha)\cap\Phi(\beta))
\quad\text{per Konstruktion von $\Phi$}\\
&= &\Phi(\alpha)+\Phi(\beta)
\quad\text{per Definition von Addition in $R$}\\
\end{mathe}
und
\begin{mathe}[mc]{rcl}
\Phi(\alpha\cdot\beta)
&= &\{x\in X\mid (\alpha\cdot\beta)_{x}=1\}\\
&= &\{x\in X\mid \alpha_{x}\cdot\beta_{x}=1\}
\quad\text{da Operationen auf $\prod_{x\in X}\intgr/2\intgr$ punktweise definiert sind}\\
&= &\{x\in X\mid \alpha_{x}=1\,\text{und.}\,\beta_{x}=1\}\\
&= &\{x\in X\mid \alpha_{x}=1\}\cap\{x\in X\mid \beta_{x}=1\}\\
&= &\Phi(\alpha)\cap\Phi(\beta)
\quad\text{per Konstruktion von $\Phi$}\\
&= &\Phi(\alpha)\cdot\Phi(\beta)
\quad\text{per Definition von Multiplikation in $R$}.\\
\end{mathe}
Darum präserviert $\Phi$ die Operationen.
\end{kompaktitem}
Zusammegefasst haben wir gezeigt,
dass $(R,+,\cdot)$ zu dem kommutativen Ring, $(\prod_{x\in X}\intgr/2\intgr,+,\cdot)$ isomorph ist
(und zwar mittels $\Phi$),
und damit dass $(R,+,\cdot)$ selbst ein kommutativer Ring ist.
Man sieht auch, dass
das Nullelement durch $\Phi((0)_{x\in X})=\{x\in X\mid 0=1\}=\leer$
und dass
das Einselement durch $\Phi((1)_{x\in X})=\{x\in X\mid 1=1\}=X$
gegeben sind.
\end{proof}
\end{enumerate}
%% AUFGABE 6-2
\let\altsectionname\sectionname
\def\sectionname{Aufgabe}
\section[Aufgabe 2]{}
\label{ueb:6:ex:2}
\let\sectionname\altsectionname
Wir identifizieren $\kmplx$ mit $\reell^{2}$ mittel der Abbildungen
\begin{mathe}[mc]{rcl}
z\in\kmplx &\mapsto &\begin{svector}\ReTeil(z)\\\ImTeil(z)\\\end{svector}\in\reell^{2},\\
\mathbf{x}\in\reell^{2} &\mapsto &x_{1}+\imageinh x_{2}\in\kmplx.\\
\end{mathe}
\begin{enumerate}{\bfseries (a)}
%% AUFGABE 6-2a
\item
\begin{claim*}
Für alle $z\in\kmplx\ohne\{0\}$ existieren eindeutige Werte $r\in(0,\infty)$ und $\alpha\in[0,2\pi)$,
dann $z=r\cdot\begin{svector}\cos(\alpha)\\\sin(\alpha)\\\end{svector}$ (unter der o.\,s. Identifizierung).
\end{claim*}
\begin{proof}
Unter der Identifizierung können wir $z=\begin{svector}x\\y\\\end{svector}$ schreiben, wobei $x,y\in\reell$.
Da $z\neq 0=\begin{svector}0\\0\\\end{svector}$, muss entweder $x\neq 0$ oder $y\neq 0$ gelten.
Zur {\bfseries Existenz}:
Sei $r:=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$. Dann $r>0$ weil $(x,y)\neq (0,0)$.\\
Um $\alpha$ zu bestimmen, werden folgende Fälle aufgeführt:
\begin{kompaktenum}{\bfseries {Fall} 1.}[\rtab][\rtab]
\item
$y=0$. Dann $x\neq 0$ und in diesem Falle gilt $r=|x|$.
Man setze
$\alpha := \begin{cases}[mc]{lcl}
0 &: &x>0\\
\pi &: &x<0\\
\end{cases}$.
Dann $r\cos(\alpha) :=
\begin{cases}[mc]{lcl}
r &: &x>0\\
-r &: &x<0\\
\end{cases}
= x$
und $r\sin(\alpha)=0$.
\item
$y>0$.
Man setze $\alpha\in(0,\pi)$ der eindeutige Winkel
mit $\cos(\alpha)=\frac{x}{r}$.
Dann
$r\cos(\alpha)=x$
und
$r\sin(\alpha)=r\sqrt{1-\cos^{2}(\alpha)}
=\sqrt{r^{2}-(r\cos(\alpha))^{2}}
=\sqrt{(x^{2}+y^{2})-x^{2}}
=\sqrt{y^{2}}
=|y|=y$.
\item
$y<0$.
Man setze $\alpha\in(\pi,2\pi)$ der eindeutige Winkel
mit $\cos(\alpha)=\frac{x}{r}$.
Dann
$r\cos(\alpha)=x$
und
$r\sin(\alpha)=r\cdot -\sqrt{1-\cos^{2}(\alpha)}
=-\sqrt{r^{2}-(r\cos(\alpha))^{2}}
=-\sqrt{(x^{2}+y^{2})-x^{2}}
=-\sqrt{y^{2}}
=-|y|=y$.
\end{kompaktenum}
Darum gilt in allen Fällen
$r\cdot\begin{svector}\cos(\alpha)\\\sin(\alpha)\\\end{svector}
=\begin{svector}r\cos(\alpha)\\r\sin(\alpha)\\\end{svector}
=\begin{svector}x\\y\\\end{svector}
=z$.
Zur {\bfseries Eindeutigkeit}:
Seien $r_{i}\in(0,\infty)$, $\alpha_{i}\in[0,2\pi)$
mit
$r_{i}\cdot\begin{svector}\cos(\alpha_{i})\\\sin(\alpha_{i})\\\end{svector}=z$
für $i\in\{1,2\}$.
\textbf{Zu zeigen:} $r_{1}=r_{2}$ und $\alpha_{1}=\alpha_{2}$.
Es gilt
\begin{mathe}[mc]{rclcl}
r_{1}^{2} &= &r_{1}^{2}(\cos^{2}(\alpha_{1}) + \sin^{2}(\alpha_{1}))\\
&= &(r_{1}\cos(\alpha_{1}))^{2} + (r_{1}\sin(\alpha_{1}))^{2}\\
&= &x^{2}+y^{2}\\
&= &(r_{2}\cos(\alpha_{2}))^{2} + (r_{2}\sin(\alpha))^{2}\\
&= &r_{2}^{2}(\cos^{2}(\alpha_{2}) + \sin^{2}(\alpha_{2}))
&= &r_{2}^{2},\\
\end{mathe}
woraus sich ergibt, dass $r_{1}=r_{2}$, weil $r_{1},r_{2}\geq 0$.
Da $r_{1},r_{2}>0$, folgt
\begin{mathe}[mc]{ccccccccccl}
\cos(\alpha_{1})
&= &\frac{r_{1}\cos(\alpha_{1})}{r_{1}}
&= &\frac{x}{r_{1}}
&= &\frac{x}{r_{2}}
&= &\frac{r_{2}\cos(\alpha_{2})}{r_{2}}
&= &\cos(\alpha_{2})\\
\sin(\alpha_{1})
&= &\frac{r_{1}\sin(\alpha_{1})}{r_{1}}
&= &\frac{y}{r_{1}}
&= &\frac{y}{r_{2}}
&= &\frac{r_{2}\sin(\alpha_{2})}{r_{2}}
&= &\sin(\alpha_{2})\\
\end{mathe}
Da $\alpha_{1},\alpha_{2}\in[0,2\pi)$ und wegen Injektivität von $\cos$
auf $[0,\pi)$ und $[\pi,2\pi)$ und der Symmetrie um $\pi$,
erhalten wir aus
$\cos(\alpha_{1})=\cos(\alpha_{2})$,
dass (i)~$\alpha_{1}=\alpha_{2}$ oder (ii)~$\alpha_{1}=2\pi-\alpha_{2}$
gelten muss.\\
Falls (ii) gilt,
so gilt $\sin(\alpha_{1})=\sin(2\pi-\alpha_{2})=-\sin(\alpha_{2})$.
Da aber $\sin(\alpha_{1})=\sin(\alpha_{2})$,
folgt daraus $\sin(\alpha_{2})=0$,
und damit (iii)~$\alpha_{2}=0$ oder (iv)~$\pi$.
Falls (iii) gilt, so gilt wegen (ii) $\alpha_{1}=2\pi-0=2\pi$,
was ein Widerspruch ist, weil $\alpha_{1}\in[0,2\pi)$.
Darum muss (iv) gelten.
Wegen (ii) gilt also $\alpha_{1}=2\pi-\pi=\pi=\alpha_{2}$.\\
Zusammegefasst gilt entweder (i) $\alpha_{1}=\alpha_{2}$
oder (ii), aus dem sich (iv) ergibt, was wiederum $\alpha_{1}=\alpha_{2}$ zur Folge hat.
D.\,h., in allen Fällen gilt $\alpha_{1}=\alpha_{2}$.
Darum gelten $r_{1}=r_{2}$ und $\alpha_{1}=\alpha_{2}$.
Also ist die Darstellung eindeutig.
\end{proof}
%% AUFGABE 6-2b
\item
\begin{claim*}
Seien $z_{1},z_{2}\in\kmplx\ohne\{0\}$ mit Darstellungen
$z_{i}=r_{i}\cdot\begin{svector}\cos(\alpha_{i})\\\sin(\alpha_{i})\\\end{svector}$
für $i\in\{1,2\}$.
Dann gilt die Rechenregel
$z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}\cdot\begin{svector}\cos(\alpha_{1}+\alpha_{2})\\\sin(\alpha_{1}+\alpha_{2})\\\end{svector}$.
\end{claim*}
\begin{proof}
Multiplikation in $\kmplx$ liefert
\begin{mathe}[mc]{rcl}
z_{1}z_{2}
&= &\begin{svector}\ReTeil(z_{1})\ReTeil(z_{2})-\ImTeil(z_{1})\ImTeil(z_{2})\\\ReTeil(z_{1})\ImTeil(z_{2})+\ReTeil(z_{1})\ImTeil(z_{2})\\\end{svector}\\
&= &\begin{svector}r_{1}\cos(\alpha_{1})\cdot r_{2}\cos(\alpha_{2})-r_{1}\sin(\alpha_{1})\cdot r_{2}\sin(\alpha_{2})\\r_{1}\cos(\alpha_{1})\cdot r_{2}\sin(\alpha_{2})+r_{1}\cos(\alpha_{1})\cdot r_{2}\sin(\alpha_{2})\\\end{svector}\\
&= &r_{1}r_{2}\begin{svector}\cos(\alpha_{1})\cos(\alpha_{2})-\sin(\alpha_{1})\sin(\alpha_{2})\\\cos(\alpha_{1})\sin(\alpha_{2})+\cos(\alpha_{1})\sin(\alpha_{2})\\\end{svector}\\
&= &r_{1}r_{2}\begin{svector}\cos(\alpha_{1}+\alpha_{2})\\\sin(\alpha_{1}+\alpha_{2})\\\end{svector}.\\
\end{mathe}
Die letzte Vereinfachung folgt aus der trigonometrischen Additionsregel.
\end{proof}
%% AUFGABE 6-2c
\item
\begin{claim*}[de Moivre]
Sei $z\in\kmplx\ohne\{0\}$ mit Darstellungen
$z=r\cdot\begin{svector}\cos(\alpha)\\\sin(\alpha)\\\end{svector}$.
Dann gilt die Potenzregel
$z^{n}=r^{n}\cdot\begin{svector}\cos(n\alpha)\\\sin(n\alpha)\\\end{svector}$
für alle $n\in\ntrlpos$.
\end{claim*}
\begin{proof}
Wir beweisen dies per Induktion über $n$.
\begin{kompaktenum}[\rtab][\rtab]
\item[\uwave{{\bfseries Induktionsanfang:}}]
Die Gleichung gilt offensichtlich für $n=1$.
\item[\uwave{{\bfseries Induktionsvoraussetzung:}}]
Sei $n>1$. Angenommen, $z^{n-1}=r^{n-1}\cdot\begin{svector}\cos((n-1)\alpha)\\\sin((n-1)\alpha)\\\end{svector}$.
\item[\uwave{{\bfseries Induktionsschritt:}}]
\textbf{Zu zeigen:} $z^{n}=r^{n}\cdot\begin{svector}\cos(n\alpha)\\\sin(n\alpha)\\\end{svector}$.\\
Per rekursive Definition vom Potenzieren
gilt zunächst $z^{n}=z^{n-1}\cdot z$ (Multiplikation innerhalb der Algebra $\kmplx$).
Aufgabe 6-2(b) zur Folge gilt somit
\begin{mathe}[mc]{rcl}
z^{n}=z^{n-1}\cdot z
&\textoverset{IV}{=}
&r^{n-1}\cdot\begin{svector}\cos((n-1)\alpha)\\\sin((n-1)\alpha)\\\end{svector}
\cdot r\cdot\begin{svector}\cos(\alpha)\\\sin(\alpha)\\\end{svector}\\
&\textoverset{2b}{=}
&r^{n-1}r\cdot\begin{svector}\cos((n-1)\alpha+\alpha)\\\sin((n-1)\alpha+\alpha)\\\end{svector}\\
&= &r^{n}\cdot\begin{svector}\cos(n\alpha)\\\sin(n\alpha)\\\end{svector}.\\
\end{mathe}
Darum gilt die Gleichung für $n$.
\end{kompaktenum}
Also gilt die Gleichung für alle $n\in\ntrlzero$.
\end{proof}
\textbf{Bemerkung.} Wir können eigentlich zeigen, dass dies für all $n\in\intgr$ gilt.
Für $n=0$, beachte, dass $z^{0}=1=1+\imageinh 0$, $r^{0}=1$, $\cos(0)=1$ und $\sin(0)=0$.
Für negative Zahlen reicht es aus, $z^{-1}=r^{-1}\cdot\begin{svector}\cos(-\alpha)\\\sin(-\alpha)\\\end{svector}$ zu zeigen,
und dann $z^{n}=(z^{-1})^{|n|}$ für $n<0$ zu verwenden.
\end{enumerate}
%% AUFGABE 6-3
\clearpage
\let\altsectionname\sectionname
\def\sectionname{Aufgabe}
\section[Aufgabe 3]{}
\label{ueb:6:ex:3}
\let\sectionname\altsectionname
Es sei $K$ ein Körper und $F:=K\times K$ versehen mit den Operationen ${+,\cdot:F\times F\to F}$,
definiert vermöge
\begin{mathe}[mc]{rcl}
(a,b)+(a',b') &= &(a+a',b+b')\\
(a,b)\cdot (a',b') &= &(aa'-bb',ab'+a'b)\\
\end{mathe}
für alle $a,b,a',b'\in K$.
Wir beobachten zuerst folgendes Ergebnis.
\begin{claim}
\makelabel{claim:1:ueb:6:ex:3}
$(F,+,\cdot)$ ist genau dann ein Körper,
wenn in der Teilstruktur $(F,\cdot)$ multiplikative Inverse existieren für jedes Element.
\end{claim}
\begin{einzug}[\rtab][\rtab]
\begin{proof}
Da die Teilstruktur, $(F,+)$, durch die Produktstruktur $(K,+)\times (K,+)$ gegeben ist,
dessen Faktoren all kommutative Gruppen sind, ist $(F,+)$ eine kommutative Gruppe.
Das heißt, die {\bfseries Additionsaxiome} unter den Körperaxiomen sind allesamt erfüllt.
(Insbesondere ist das Nullelement durch $0_{F}=(0,0)$ gegeben.)
Bei den {\bfseries Multiplikationsaxiomen} sehen wir dass Kommutativität offensichtlich gilt,
weil die o.\,s. Definitions von Multiplikation in den Argumenten offensichtlich symmetrisch ist,
und weil die Operationen in $K$ kommutativ sind.
Es gilt auch $(a,b)\cdot(1,0)=(a\cdot 1-b\cdot 0,a\cdot 0+1\cdot b)=(a,b)$,
sodass $1_{F}:=(1,0)$ das Einselement von $F$ ist.
Assoziativität von Multiplikation ist auch erfüllt, weil
\begin{mathe}[mc]{rcl}
(a,b)\cdot((a',b')\cdot(a'',b''))
&= &(a,b)\cdot(a'a''-b'b'', a'b''+a''b')\\
&= &(a(a'a''-b'b'')-b(a'b''+a''b'), a(a'b''+a''b')+(a'a''-b'b'')b)\\
&= &(aa'a'' - ab'b'' - ba'b'' - ba''b', aa'b'' + aa''b' + a'a''b - b'b''b)\\
&= &\boxed{(aa'a'' - ab'b'' - a'bb'' - a''bb', aa'b'' + aa''b' + a'a''b - bb'b'')}\\
\end{mathe}
und
\begin{mathe}[mc]{rcl}
((a,b)\cdot(a',b'))\cdot(a'',b'')
&= &(aa'-bb',ab'+a'b)\cdot(a'',b'')\\
&= &((aa'-bb')a'' - (ab'+a'b)b'', (aa'-bb')b'' + a''(ab'+a'b))\\
&= &(aa'a'' - bb'a'' - ab'b'' - a'bb'', aa'b'' - bb'b'' + a''ab' + a''a'b)\\
&= &\boxed{(aa'a'' - ab'b'' - a'bb'' - a''bb', aa'b'' + aa''b' + a'a''b - bb'b'')}\\
&= &(a,b)\cdot((a',b')\cdot(a'',b''))
\end{mathe}
für alle $(a,b),(a',b'),(a'',b'')\in F$.
Darum ist $(F,\cdot)$ assoziativ, kommutativ, und hat ein Neutralelement.
Wegen Kommutativität von Multiplikation in $F$, ist {\bfseries Distributitivität}
zu Linksdistributivität äquivalent, und da
\begin{mathe}[mc]{rcl}
(a,b)\cdot((a',b')+(a'',b''))
&= &(a,b)\cdot(a'+a'',b'+b'')\\
&= &(a(a'+a'')-b(b'+b''), a(b'+b'')+(a'+a'')b)\\
&= &((aa'-bb')+(aa''-bb''), (ab'+a'b)+(ab''+a''b))\\
&= &(aa'-bb',ab'+a'b)+(aa''-bb'', ab''+a''b)\\
&= &(a,b)\cdot(a',b')+(a,b)/cdot (a'',b'')\\
\end{mathe}
für alle $(a,b),(a',b'),(a'',b'')\in F$, ist dies erfüllt.
Anhand der o.\,s. Erkenntnisse darüber, welchen Axiomen $(F,+,\cdot)$ bereits genügt,
erhalten wir, dass $(F,+,\cdot)$ genau dann ein Körper, wenn in $(F,\cdot)$ jedes Element ein Inverses hat.
\end{proof}
\end{einzug}
Aus diesem Ergebnis geht hervor, dass wir uns der Existenz multiplikativer Inverser widmen müssen.
Sei also $(a,b)\in F\ohne\{0_{F}\}$ beliebig und sei $(a',b')\in F$.
Dann
\begin{mathe}[mc]{rcl}
\eqtag[eq:0:ueb:6:ex3]
(a,b)\cdot(a',b') = 1_{F}
&\Longleftrightarrow
&(a,b)\cdot(a',b') = (1,0)\\
&\Longleftrightarrow
&(aa'-bb',ab'+a'b) = (1,0)\\
&\Longleftrightarrow
&aa'-bb'=1\,\text{und}\,ab'+a'b=0\\
&\Longleftrightarrow
&aa'-bb'=1\,\text{und}\,ab'=-a'b.\\
\end{mathe}
Da $(a,b)\neq 0_{F}=(0,0)$ gibt es folgende Fälle
\begin{kompaktenum}{\bfseries {Fall} 1.}[\rtab][\rtab]
%% FALL 1
\item
$a=0$, $b\in K\ohne\{0\}$.
Dann ist $b$ invertierbar (innerhalb $K$) und
\begin{mathe}[mc]{rcl}
(a,b)\cdot(a',b') = 1_{F}
&\eqcrefoverset{eq:0:ueb:6:ex3}{\Longleftrightarrow}
&0a'-bb'=1\,\text{und}\,0b'=-a'b\\
&\Longleftrightarrow
&b'=-b^{-1}\,\text{und}\,a'=-b^{-1}0=0\\
&\Longleftrightarrow
&(a',b')=(0,-b^{-1}).\\
\end{mathe}
Also existiert in diesem Falle ein multiplikatives Inverses für $(a,b)$.
%% FALL 2
\item
$b=0$, $a\in K\ohne\{0\}$.
Dann ist $a$ invertierbar (innerhalb $K$) und
\begin{mathe}[mc]{rcl}
(a,b)\cdot(a',b') = 1_{F}
&\eqcrefoverset{eq:0:ueb:6:ex3}{\Longleftrightarrow}
&aa'-0b'=1\,\text{und}\,ab'=-a'0\\
&\Longleftrightarrow
&a'=a^{-1}\,\text{und}\,b'=a^{-1}0=0\\
&\Longleftrightarrow
&(a',b')=(a^{-1},0).\\
\end{mathe}
Also existiert in diesem Falle ein multiplikatives Inverses für $(a,b)$.
%% FALL 2
\item
$a,b\in K\ohne\{0\}$.
Dann sind $a,b$ invertierbar (innerhalb $K$) und
\begin{mathe}[mc]{rcl}
(a,b)\cdot(a',b') = 1_{F}
&\eqcrefoverset{eq:0:ueb:6:ex3}{\Longleftrightarrow}
&aa'-bb'=1\,\text{und}\,ab'=-a'b\\
&\Longleftrightarrow
&aa'-bb'=1\,\text{und}\,b'b^{-1}=-a^{-1}a'\\
&\Longleftrightarrow
&\exists{t\in K:~}
b'b^{-1}=-t
\,\text{und}\,
a^{-1}a'=t
\,\text{und}\,
aa'-bb'=1\\
&\Longleftrightarrow
&\exists{t\in K\ohne\{0\}:~}
b'=-tb
\,\text{und}\,
a'=at
\,\text{und}\,
a(at)-b(-tb)=1\\
&\Longleftrightarrow
&\exists{t\in K\ohne\{0\}:~}
(a',b')=(ta,-tb)
\,\text{und}\,
t(a^{2}+b^{2})=1\\
&\Longleftrightarrow
&a^{2}+b^{2}\,\text{invertierbar}
\,\text{und}\,
(a',b')=((a^{2}+b^{2})^{-1}a,-(a^{2}+b^{2})^{-1}b)\\
&\Longleftrightarrow
&a^{2}+b^{2}\neq 0\,\text{und}\,(a',b')=((a^{2}+b^{2})^{-1}a,-(a^{2}+b^{2})^{-1}b).\\
\end{mathe}
Folglich existiert dann ein Inverses, wenn $a^{2}+b^{2}\neq 0$.
\end{kompaktenum}
Beachte, dass im Fall 1, $a^{2}+b^{2}=b^{2}\neq 0$ und im Fall 2 $a^{2}+b^{2}=a^{2}\neq 0$.
Darum können wir diese Fälle zusammenfassen als
$(a,b)\in F\ohne\{0_{F}\}$ hat genau dann ein multiplikatives Inverse,
wenn $a^{2}+b^{2}\neq 0$.
Angesichts \Cref{claim:1:ueb:6:ex:3} haben wir darum bewiesen:
\begin{satz}
\makelabel{satz:1:ueb:6:ex:3}
$(F,+,\cdot)$ ist genau dann ein Körper,
wenn $a^{2}+b^{2}\neq 0$ innerhalb $K$
für alle $(a,b)\in F\ohne\{(0,0)\}$.
\end{satz}
Wir können dieses allgemeine klassifizierende Resultat verwenden,
um die Aufgaben zu behandeln.
\begin{enumerate}{\bfseries (a)}
%% AUFGABE 6-3a
\item
\begin{schattierteboxdunn}
\begin{claim*}
Sei $K=\mathbf{F}_{2}=\intgr/2\intgr$.
Dann ist $(F,+,\cdot)$ kein Körper.
\end{claim*}
\end{schattierteboxdunn}
\begin{proof}
Da $(a,b):=(1,1)\in F\ohne\{(0,0)\}$
und
$a^{2}+b^{2}=1+1=0$
innerhalb $K=\intgr/2\intgr$,
ist \Cref{satz:1:ueb:6:ex:3} zufolge $F$ kein Körper.
Es scheitert genau das Axiom der Existenz multiplikativer Inverser.
(Nichtsdestotrotz bildet $F$ einen kommutativen Ring mit Einselement.)
\end{proof}
%% AUFGABE 6-3b
\item
\begin{schattierteboxdunn}
\begin{claim*}
Sei $K=\mathbf{F}_{3}=\intgr/3\intgr$.
Dann ist $(F,+,\cdot)$ ein Körper.
\end{claim*}
\end{schattierteboxdunn}
\begin{proof}
Laut \Cref{satz:1:ueb:6:ex:3} reicht es aus
für alle $(a,b)\in F\ohne\{(0,0)\}$
\textbf{zu zeigen}, dass $a^{2}+b^{2}\neq 0$ innerhalb $K=\intgr/3\intgr$.
Sei also $(a,b)\in F\ohne\{(0,0)\}$ beliebig.
Da $a\neq 0$ oder $b\neq 0$ gibt es folgende Fälle:
\begin{kompaktenum}{\bfseries {Fall} 1.}[\rtab][\rtab]
%% FALL 1
\item $a=0$, $b\neq 0$. Dann $b=\pm 1\mod 3$.
Also $a^{2}+b^{2}=0+1=1\nequiv 0\mod 3$.
%% FALL 2
\item $a\neq 0$, $b=0$. Dann $a=\pm 1\mod 3$.
Also $a^{2}+b^{2}=1+0=1\nequiv 0\mod 3$.
%% FALL 3
\item $a\neq 0$, $b\neq 0$. Dann $a,b=\pm 1\mod 3$.
Also $a^{2}+b^{2}=1+1=2\nequiv 0\mod 3$.
\end{kompaktenum}
Also gilt in jedem Falle $a^{2}+b^{2}\neq 0$.
Darum bildet $F$ einen Körper.
\end{proof}
\end{enumerate}
\setcounternach{part}{2}
\part{Selbstkontrollenaufgaben}
\def\chaptername{SKA Blatt}
%% ********************************************************************************
%% FILE: body/ska/ska4.tex

0
notes/berechnungen_wk7.md

1
protocol/README.md

@ -12,6 +12,7 @@ Jede Woche werden Anmerkungen in Markdown-Dateien hier festgehalten:
- Woche 4: [/protocol/woche4/README.md](./woche4).
- Woche 5: [/protocol/woche5/README.md](./woche5).
- Woche 6: [/protocol/woche6/README.md](./woche6).
- Woche 7: [/protocol/woche7/README.md](./woche7).
## Übungsgruppen ###

6
protocol/woche6/README.md

@ -2,12 +2,12 @@
## Ablauf ##
- ( ) allgemeine Ankündigungen
- () allgemeine Ankündigungen
- Fortschritt mit dem VL-Stoff?
- Bewältigung von Aufgaben?
- TeX / Markdown
- Collaborationstool: <https://stackedit.io/app>
- ( ) SKA 6
- () SKA 6
- Breakout-Rooms (10min)
- Gruppe 1: 1
- Gruppe 2: 2 + *3
@ -16,4 +16,4 @@
- Gruppe 5: 7[a, b, *c, *d]
- Präsentationen (5 x 2–3 ≈ 15min)
- Gruppendiskussion (~ 15min)
- ( ) VL-Stoff + allg. Fragen (Rest)
- () VL-Stoff + allg. Fragen (Rest)

9
protocol/woche7/README.md

@ -0,0 +1,9 @@
## Woche 7 (KW 50, 7.–13.12.) ##
## Ablauf ##
- ( ) allgemeine Ankündigungen
- Berechnungen —> Beweise?
- ( ) ÜB5 ?
- ( ) SKA 7
- ( ) VL-Stoff + allg. Fragen (Rest)

0
protocol/woche8/README.md

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