|
|
|
|
@ -55,11 +55,7 @@
|
|
|
|
|
%% | |
|
|
|
|
%% — body/uebung/ueb5.tex; |
|
|
|
|
%% | |
|
|
|
|
%% — body/ska/ska1.tex; |
|
|
|
|
%% | |
|
|
|
|
%% — body/ska/ska2.tex; |
|
|
|
|
%% | |
|
|
|
|
%% — body/ska/ska3.tex; |
|
|
|
|
%% — body/uebung/ueb6.tex; |
|
|
|
|
%% | |
|
|
|
|
%% — body/ska/ska4.tex; |
|
|
|
|
%% | |
|
|
|
|
@ -1321,6 +1317,8 @@
|
|
|
|
|
\def\restr#1{\vert_{#1}} |
|
|
|
|
\def\ohne{\setminus} |
|
|
|
|
\def\Pot{\mathop{\mathcal{P}}} |
|
|
|
|
\def\einser{\mathbf{1}} |
|
|
|
|
\def\supp{\mathop{\mathrm{supp}}} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\def\brkt#1{\langle{}#1{}\rangle} |
|
|
|
|
\def\lsim{\mathop{\sim}} |
|
|
|
|
@ -3777,22 +3775,816 @@ gilt.
|
|
|
|
|
\end{proof} |
|
|
|
|
\end{enumerate} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\setcounternach{part}{2} |
|
|
|
|
\part{Selbstkontrollenaufgaben} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\def\chaptername{SKA Blatt} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
%% ******************************************************************************** |
|
|
|
|
%% FILE: body/ska/ska1.tex |
|
|
|
|
%% FILE: body/uebung/ueb6.tex |
|
|
|
|
%% ******************************************************************************** |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
%% ******************************************************************************** |
|
|
|
|
%% FILE: body/ska/ska2.tex |
|
|
|
|
%% ******************************************************************************** |
|
|
|
|
\setcounternach{chapter}{6} |
|
|
|
|
\chapter[Woche 6]{Woche 6} |
|
|
|
|
\label{ueb:6} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
%% ******************************************************************************** |
|
|
|
|
%% FILE: body/ska/ska3.tex |
|
|
|
|
%% ******************************************************************************** |
|
|
|
|
\textbf{ACHTUNG.} |
|
|
|
|
Diese Lösungen dienen \emph{nicht} als Musterlösungen sondern eher als Referenz. |
|
|
|
|
Hier wird eingehender gearbeitet, als generell verlangt wird. |
|
|
|
|
Das Hauptziel hier ist, eine Variant anzubieten, gegen die man seine Versuche vergleichen kann. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
%% AUFGABE 6-1 |
|
|
|
|
\let\altsectionname\sectionname |
|
|
|
|
\def\sectionname{Aufgabe} |
|
|
|
|
\section[Aufgabe 1]{} |
|
|
|
|
\label{ueb:6:ex:1} |
|
|
|
|
\let\sectionname\altsectionname |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Es sei $X$ eine Menge und $R=\Pot(X)$. |
|
|
|
|
Auf $R$ definiere man die folgenden Verknüpfungen: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\begin{mathe}[mc]{rcl} |
|
|
|
|
A+B &= &A\cup B\ohne(A\cap B)\\ |
|
|
|
|
A\cdot B &= &A\cap B\\ |
|
|
|
|
\end{mathe} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
für alle $A,B\in R$. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\begin{enumerate}{\bfseries (a)} |
|
|
|
|
%% AUFGABE 6-1a |
|
|
|
|
\item |
|
|
|
|
Die Additions und Multiplikationstabellen für eine $3$-elementige Menge, $X=\{a,b,c\}$, |
|
|
|
|
sehen wie folgt aus: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\hraum |
|
|
|
|
\begin{tabular}[mc]{|C|CCCCCCCC|} |
|
|
|
|
\hline |
|
|
|
|
+ &\leer &\{c\} &\{b\} &\{b,c\} &\{a\} &\{a,c\} &\{a,b\} &\{a,b,c\}\\ |
|
|
|
|
\hline |
|
|
|
|
\leer &\leer &\{c\} &\{b\} &\{b,c\} &\{a\} &\{a,c\} &\{a,b\} &\{a,b,c\}\\ |
|
|
|
|
\{c\} &\{c\} &\leer &\{b,c\} &\{b\} &\{a,c\} &\{a\} &\{a,b,c\} &\{a,b\}\\ |
|
|
|
|
\{b\} &\{b\} &\{b,c\} &\leer &\{c\} &\{a,b\} &\{a,b,c\} &\{a\} &\{a,c\}\\ |
|
|
|
|
\{b,c\} &\{b,c\} &\{b\} &\{c\} &\leer &\{a,b,c\} &\{a,b\} &\{a,c\} &\{a\}\\ |
|
|
|
|
\{a\} &\{a\} &\{a,c\} &\{a,b\} &\{a,b,c\} &\leer &\{c\} &\{b\} &\{b,c\}\\ |
|
|
|
|
\{a,c\} &\{a,c\} &\{a\} &\{a,b,c\} &\{a,b\} &\{c\} &\leer &\{b,c\} &\{b\}\\ |
|
|
|
|
\{a,b\} &\{a,b\} &\{a,b,c\} &\{a\} &\{a,c\} &\{b\} &\{b,c\} &\leer &\{c\}\\ |
|
|
|
|
\{a,b,c\} &\{a,b,c\} &\{a,b\} &\{a,c\} &\{a\} &\{b,c\} &\{b\} &\{c\} &\leer\\ |
|
|
|
|
\hline |
|
|
|
|
\end{tabular} |
|
|
|
|
\hraum |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\hraum |
|
|
|
|
\begin{tabular}[mc]{|C|CCCCCCCC|} |
|
|
|
|
\hline |
|
|
|
|
\cdot &\leer &\{c\} &\{b\} &\{b,c\} &\{a\} &\{a,c\} &\{a,b\} &\{a,b,c\}\\ |
|
|
|
|
\hline |
|
|
|
|
\leer &\leer &\leer &\leer &\leer &\leer &\leer &\leer &\leer\\ |
|
|
|
|
\{c\} &\leer &\{c\} &\leer &\{c\} &\leer &\{c\} &\leer &\{c\}\\ |
|
|
|
|
\{b\} &\leer &\leer &\{b\} &\{b\} &\leer &\leer &\{b\} &\{b\}\\ |
|
|
|
|
\{b,c\} &\leer &\{c\} &\{b\} &\{b,c\} &\leer &\{c\} &\{b\} &\{b,c\}\\ |
|
|
|
|
\{a\} &\leer &\leer &\leer &\leer &\{a\} &\{a\} &\{a\} &\{a\}\\ |
|
|
|
|
\{a,c\} &\leer &\{c\} &\leer &\{c\} &\{a\} &\{a,c\} &\{a\} &\{a,c\}\\ |
|
|
|
|
\{a,b\} &\leer &\leer &\{b\} &\{b\} &\{a\} &\{a\} &\{a,b\} &\{a,b\}\\ |
|
|
|
|
\{a,b,c\} &\leer &\{c\} &\{b\} &\{b,c\} &\{a\} &\{a,c\} &\{a,b\} &\{a,b,c\}\\ |
|
|
|
|
\hline |
|
|
|
|
\end{tabular} |
|
|
|
|
\hraum |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Der Additionstabelle ist zu entnehmen, dass \fbox{$\leer$ das Nullelement} (d.\,h. additives Neutralelement) ist. |
|
|
|
|
Der Multiplikationstabelle ist zu entnehmen, dass \fbox{$\{a,b,c\}$ das Einselement} (d.\,h. multiplikatives Neutralelement) ist.\\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
%% AUFGABE 6-1b |
|
|
|
|
\item |
|
|
|
|
Sei nun $X$ eine allgemeine Menge. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\begin{claim} |
|
|
|
|
\makelabel{claim:main:ueb:6:ex:1b} |
|
|
|
|
$(R,+,\cdot,\leer,X)$ bildet einen kommutativen Ring, |
|
|
|
|
wobei $R=\Pot(X)$. |
|
|
|
|
\end{claim} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Es gibt hier zwei Ansätze. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\begin{proof}[von \Cref{claim:main:ueb:6:ex:1b}, Ansatz I] |
|
|
|
|
Wir gehen einfach alle Axiome durch. |
|
|
|
|
Zunächst aber beobachten wir für alle $A,B\in R$ |
|
|
|
|
und $x\in X$, dass |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\begin{mathe}[mc]{rcl} |
|
|
|
|
\eqtag[eq:0:simplification:\beweislabel] |
|
|
|
|
x\in A+B |
|
|
|
|
&\textoverset{Defn}{\Longleftrightarrow} |
|
|
|
|
&x\in (A\cup B)\ohne(A\cap B)\\ |
|
|
|
|
&\Longleftrightarrow |
|
|
|
|
&\text{$x$ in $A$ oder $B$, aber nicht beides}\\ |
|
|
|
|
&\Longleftrightarrow |
|
|
|
|
&\text{$x$ in exakt einem von $A$, $B$}.\\ |
|
|
|
|
\end{mathe} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Darauf werden wir uns in einigen Berechnungen berufen. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\begin{kompaktitem}[\rtab][\rtab] |
|
|
|
|
\item[\uwave{{\bfseries Addition/Assoziativität:}}] |
|
|
|
|
Seien $A,B,C\in R$ beliebig. |
|
|
|
|
\textbf{Zu zeigen:} $(A+B)+C=A+(B+C)$.\\ |
|
|
|
|
Da es sich auf beiden Seiten der Gleichung um Mengen handelt, |
|
|
|
|
reicht es aus, für alle $x\in X$ \textbf{zu zeigen}, |
|
|
|
|
dass $x\in (A+B)+C$ gdw. $x\in A+(B+C)$.\\ |
|
|
|
|
Sei also $x\in X$ beliebig. Es gilt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\begin{mathe}[mc]{rcl} |
|
|
|
|
x\in A+(B+C) |
|
|
|
|
&\eqcrefoverset{eq:0:simplification:\beweislabel}{\Longleftrightarrow} |
|
|
|
|
&\text{exakt eines von $x\in A$ oder $x\in B+C$ gilt}\\ |
|
|
|
|
&\eqcrefoverset{eq:0:simplification:\beweislabel}{\Longleftrightarrow} |
|
|
|
|
&\text{exakt eines von $x\in A$ oder (exakt eines von $x\in B$ oder $x\in C$) gilt}\\ |
|
|
|
|
&\Longleftrightarrow |
|
|
|
|
&\text{exakt eines von $x\in A$ oder $x\in B$ oder $x\in C$ gilt}\\ |
|
|
|
|
&\Longleftrightarrow |
|
|
|
|
&\text{$x$ in exakt einem von $A$, $B$, oder $C$}\\ |
|
|
|
|
\end{mathe} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
und |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\begin{mathe}[mc]{rcl} |
|
|
|
|
x\in (A+B)+C |
|
|
|
|
&\eqcrefoverset{eq:0:simplification:\beweislabel}{\Longleftrightarrow} |
|
|
|
|
&\text{exakt eines von $x\in A+B$ oder $x\in C$ gilt}\\ |
|
|
|
|
&\eqcrefoverset{eq:0:simplification:\beweislabel}{\Longleftrightarrow} |
|
|
|
|
&\text{exakt eines von (exakt eines von $x\in A$ oder $x\in B$) oder $x\in C$ gilt}\\ |
|
|
|
|
&\Longleftrightarrow |
|
|
|
|
&\text{exakt eines von $x\in A$ oder $x\in B$ oder $x\in C$ gilt}\\ |
|
|
|
|
&\Longleftrightarrow |
|
|
|
|
&\text{$x$ in exakt einem von $A$, $B$, oder $C$}\\ |
|
|
|
|
\end{mathe} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Darum gilt $x\in A+(B+C)\Leftrightarrow x\in (A+B)+C$ für alle $x\in X$. |
|
|
|
|
Also $A+(B+C)=(A+B)+C$ für alle $A,B,C\in R$. |
|
|
|
|
Also ist $(R,+)$ assoziativ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\item[\uwave{{\bfseries Addition/Kommutativität:}}] |
|
|
|
|
Seien $A,B\in R$ beliebig. |
|
|
|
|
\textbf{Zu zeigen:} $A+B=B+A$.\\ |
|
|
|
|
Es gilt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\begin{mathe}[mc]{rcccccl} |
|
|
|
|
A+B &\textoverset{Defn}{=} |
|
|
|
|
&(A\cup B)\ohne(A\cap B) |
|
|
|
|
&\overset{(\ast)}{=} &(B\cup A)\ohne(B\cap A) |
|
|
|
|
&\textoverset{Defn}{=} &B+A,\\ |
|
|
|
|
\end{mathe} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
wobei die Gleichung bei $(\ast)$ gilt, |
|
|
|
|
weil die Mengenoperationen, $\cap$ und $\cup$, bekanntermaßen kommutativ sind. |
|
|
|
|
Also ist $(R,+)$ kommutativ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\item[\uwave{{\bfseries Addition/Nullelement:}}] |
|
|
|
|
Wir behaupten, dass $0:=\leer$ das additive Neutralelement ist. |
|
|
|
|
Sei also $A\in R$ beliebig. |
|
|
|
|
\textbf{Zu zeigen:} $A+0=0+A=A$.\\ |
|
|
|
|
Wegen Kommutativität reicht es aus, $A+0=A$ zu zeigen. |
|
|
|
|
Es gilt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\begin{mathe}[mc]{rcccccl} |
|
|
|
|
A+0 &\textoverset{Defn}{=} &(A\cup\leer)\ohne(A\cap\leer) |
|
|
|
|
&= &A\ohne\leer |
|
|
|
|
&= &A\\ |
|
|
|
|
\end{mathe} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Also ist $\leer$ ein Neutralelement für $(R,+)$. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\item[\uwave{{\bfseries Addition/Inverses:}}] |
|
|
|
|
Sei $A\in R$ beliebig. |
|
|
|
|
\textbf{Zu zeigen:} |
|
|
|
|
Es gibt ein Element $A'\in R$, so dass $A'+A=A+A'=0$.\\ |
|
|
|
|
Wir betrachten als Möglichkeit $A':=A$: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\begin{mathe}[mc]{rcccccccl} |
|
|
|
|
A'+A &= &A+A |
|
|
|
|
&\textoverset{Defn}{=} |
|
|
|
|
&(A\cup A)\ohne(A\cap A) |
|
|
|
|
&= &A\ohne A |
|
|
|
|
&= &\leer.\\ |
|
|
|
|
\end{mathe} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Da wie bereits gezeigt, $\leer$ ein Neutralelement in $(R,+)$ ist, |
|
|
|
|
haben wir somit bewiesen, dass $A$ sein eigenes additives Inverses ist. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\item[\uwave{{\bfseries Multiplikation/Assoziativität:}}] |
|
|
|
|
Da die Mengenschnittoperation bekanntermaßen assoziativ ist, |
|
|
|
|
ist hier eigentlich nichts zu zeigen. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\item[\uwave{{\bfseries Multiplikation/Kommutativität:}}] |
|
|
|
|
Da die Mengenschnittoperation bekanntermaßen kommutativ ist, |
|
|
|
|
ist hier eigentlich nichts zu zeigen. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\item[\uwave{{\bfseries Multiplikation/Einselement:}}] |
|
|
|
|
Wir behaupten, dass $1:=X$ das multiplikative Neutralelement ist. |
|
|
|
|
Sei also $A\in R$ beliebig. |
|
|
|
|
\textbf{Zu zeigen:} $A\cdot 1=1\cdot A=A$.\\ |
|
|
|
|
Wegen Kommutativität reicht es aus, $A\cdot 1=A$ zu zeigen. |
|
|
|
|
Es gilt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\begin{mathe}[mc]{rcccl} |
|
|
|
|
A\cdot 1 &= &A\cap X &= A,\\ |
|
|
|
|
\end{mathe} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
weil $A\in R=\Pot(X)$ und damit $A\subseteq X$ gilt. |
|
|
|
|
Also ist $X$ ein Neutralelement für $(R,\cdot)$. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\item[\uwave{{\bfseries Linksdistributivität:}}] |
|
|
|
|
Seien $A,B,C\in R$ beliebig. |
|
|
|
|
\textbf{Zu zeigen:} $A\cdot(B+C)=(A\cdot B)+(A\cdot C)$.\\ |
|
|
|
|
Da es sich auf beiden Seiten der Gleichung um Mengen handelt, |
|
|
|
|
reicht es aus, für alle $x\in X$ \textbf{zu zeigen}, |
|
|
|
|
dass $x\in A\cdot(B+C)$ gdw. $x\in (A\cdot B)+(A\cdot C)$.\\ |
|
|
|
|
Sei also $x\in X$ beliebig. Es gilt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\begin{mathe}[mc]{rcl} |
|
|
|
|
x\in A\cdot(B+C) |
|
|
|
|
&\textoverset{Defn}{\Longleftrightarrow} |
|
|
|
|
&x\in A\cap((B\cup C)\ohne(B\cap C))\\ |
|
|
|
|
&\eqcrefoverset{eq:0:simplification:\beweislabel}{\Longleftrightarrow} |
|
|
|
|
&\text{$x$ in $A$ und $x$ in exakt einer der Mengen $B$, $C$}\\ |
|
|
|
|
&\Longleftrightarrow |
|
|
|
|
&\text{$x$ in exakt einer der Mengen $A\cap B$, $A\cap C$}\\ |
|
|
|
|
&\eqcrefoverset{eq:0:simplification:\beweislabel}{\Longleftrightarrow} |
|
|
|
|
&x\in (A\cdot B)+(A\cdot C).\\ |
|
|
|
|
\end{mathe} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Also gilt $A\cdot(B+C)=(A\cdot B)+(A\cdot C)$. |
|
|
|
|
Also weist $(R,+,\cdot)$ linksdistributivität auf. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\item[\uwave{{\bfseries Rechtsdistributivität:}}] |
|
|
|
|
Da Multiplikation kommutativ ist, folgt Rechtsdistributivität |
|
|
|
|
automatisch aus Linksdistributivität. |
|
|
|
|
\end{kompaktitem} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Darum erfüllt $(R,+,\cdot)$ die Axiome eines Rings |
|
|
|
|
und dieser Ring hat ein Einselement und ist kommutativ, |
|
|
|
|
weil Multiplikation kommutativ ist. |
|
|
|
|
\end{proof} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\begin{proof}[von \Cref{claim:main:ueb:6:ex:1b}, Ansatz II] |
|
|
|
|
Ein scharfes Auge erkennt, dass wir Teilmengen von $X$ |
|
|
|
|
mit binären Tupeln identifizieren kann. |
|
|
|
|
Wir wollen $R$ mit einer bekannten algebraischen Struktur in Verbindung |
|
|
|
|
setzen, also betrachten wir konkret die Abbildungen |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\begin{mathe}[mc]{rclcl} |
|
|
|
|
\Phi &: &\prod_{x\in X}\intgr/2\intgr &\to &\Pot(X)\\ |
|
|
|
|
&: &\alpha &\mapsto &\supp(\alpha):=\{x\in X\mid \alpha_{x}=1\}\\ |
|
|
|
|
\Psi &: &\Pot(X) &\to &\prod_{x\in X}\intgr/2\intgr\\ |
|
|
|
|
&: &A &\mapsto &(\einser_{A}(x))_{x\in X}\\ |
|
|
|
|
\end{mathe} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
um Elemente aus dem einen Raum auf Elemente aus dem anderen zu übertragen.\\ |
|
|
|
|
Nun ist $\intgr/2\intgr$ bekanntermaßen ein kommutativer Ring (eigentlich ein Körper). |
|
|
|
|
Darum ist das Produkt $\prod_{x\in X}\intgr/2\intgr$, |
|
|
|
|
versehen mit punktweise Addition und punktweise Multiplikation, |
|
|
|
|
ebenfalls ein kommutativer Ring. |
|
|
|
|
Darum reicht es aus \textbf{zu zeigen}, dass $\Phi$ |
|
|
|
|
eine Bijektion ist, die die Operationen erhält |
|
|
|
|
(auch \emph{Isomorphismus} genannt). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\begin{kompaktitem}[\rtab][\rtab] |
|
|
|
|
\item[\uwave{{\bfseries Bijektion:}}] |
|
|
|
|
Wir beobachten, dass |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\begin{mathe}[mc]{rclclclcl} |
|
|
|
|
\Phi(\Psi(A)) |
|
|
|
|
&= &\{x\in X\mid \Psi(A)_{x}=1\} |
|
|
|
|
&= &\{x\in X\mid \einser_{A}(x)=1\} |
|
|
|
|
&= &\{x\in X\mid x\in A\} |
|
|
|
|
&= &A\\ |
|
|
|
|
\end{mathe} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
für alle $A\in\Pot(X)$ und |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\begin{mathe}[mc]{rcl} |
|
|
|
|
\Psi(\Phi(\alpha)) |
|
|
|
|
&= &(\einser_{\Phi(\alpha)}(x))_{x\in X}\\ |
|
|
|
|
&= &(\einser_{\{x'\in X\mid \alpha_{x'}=1\}}(x))_{x\in X}\\ |
|
|
|
|
&= &\left( |
|
|
|
|
\begin{cases}[mc]{lcl} |
|
|
|
|
1 &: &x\in\{x'\in X\mid \alpha_{x'}=1\}\\ |
|
|
|
|
0 &: &\text{sonst}\\ |
|
|
|
|
\end{cases} |
|
|
|
|
\right)_{x\in X}\\ |
|
|
|
|
&= &\left( |
|
|
|
|
\begin{cases}[mc]{lcl} |
|
|
|
|
1 &: &\alpha_{x}=1\\ |
|
|
|
|
0 &: &\alpha_{x}=0\\ |
|
|
|
|
\end{cases} |
|
|
|
|
\right)_{x\in X}\\ |
|
|
|
|
&= &(\alpha_{x})_{x\in X}\\ |
|
|
|
|
&= &\alpha\\ |
|
|
|
|
\end{mathe} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
für alle $\alpha\in\prod_{x\in X}\intgr/2\intgr$. |
|
|
|
|
Also $\Phi\circ\Psi=\id$ und $\Psi\circ\Phi=\id$. |
|
|
|
|
Darum sind $\Phi$ und $\Psi$ Bijektion (und invertieren einander). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\item[\uwave{{\bfseries Erhaltung der Operationen:}}] |
|
|
|
|
Seien $\alpha,\beta\in\prod_{x\in X}\intgr/2\intgr$. |
|
|
|
|
\textbf{Zu zeigen:} |
|
|
|
|
$\Phi(\alpha+\beta)=\Phi(\alpha)+\Phi(\beta)$ |
|
|
|
|
und |
|
|
|
|
$\Phi(\alpha\cdot\beta)=\Phi(\alpha)\cdot\Phi(\beta)$.\\ |
|
|
|
|
Es gilt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\begin{mathe}[mc]{rcl} |
|
|
|
|
\Phi(\alpha+\beta) |
|
|
|
|
&= &\{x\in X\mid (\alpha+\beta)_{x}=1\}\\ |
|
|
|
|
&= &\{x\in X\mid \alpha_{x}+\beta_{x}=1\} |
|
|
|
|
\quad\text{da Operationen auf $\prod_{x\in X}\intgr/2\intgr$ punktweise definiert sind}\\ |
|
|
|
|
&= &\{x\in X\mid \alpha_{x}=1\,\text{od.}\,\beta_{x}=1,\,\text{aber nicht beides}\}\\ |
|
|
|
|
&= &(\{x\in X\mid \alpha_{x}=1\}\cup\{x\in X\mid \beta_{x}=1\}) |
|
|
|
|
\ohne(\{x\in X\mid \alpha_{x}=1\}\cap\{x\in X\mid \beta_{x}=1\})\\ |
|
|
|
|
&= &(\Phi(\alpha)\cup\Phi(\beta)) |
|
|
|
|
\ohne(\Phi(\alpha)\cap\Phi(\beta)) |
|
|
|
|
\quad\text{per Konstruktion von $\Phi$}\\ |
|
|
|
|
&= &\Phi(\alpha)+\Phi(\beta) |
|
|
|
|
\quad\text{per Definition von Addition in $R$}\\ |
|
|
|
|
\end{mathe} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
und |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\begin{mathe}[mc]{rcl} |
|
|
|
|
\Phi(\alpha\cdot\beta) |
|
|
|
|
&= &\{x\in X\mid (\alpha\cdot\beta)_{x}=1\}\\ |
|
|
|
|
&= &\{x\in X\mid \alpha_{x}\cdot\beta_{x}=1\} |
|
|
|
|
\quad\text{da Operationen auf $\prod_{x\in X}\intgr/2\intgr$ punktweise definiert sind}\\ |
|
|
|
|
&= &\{x\in X\mid \alpha_{x}=1\,\text{und.}\,\beta_{x}=1\}\\ |
|
|
|
|
&= &\{x\in X\mid \alpha_{x}=1\}\cap\{x\in X\mid \beta_{x}=1\}\\ |
|
|
|
|
&= &\Phi(\alpha)\cap\Phi(\beta) |
|
|
|
|
\quad\text{per Konstruktion von $\Phi$}\\ |
|
|
|
|
&= &\Phi(\alpha)\cdot\Phi(\beta) |
|
|
|
|
\quad\text{per Definition von Multiplikation in $R$}.\\ |
|
|
|
|
\end{mathe} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Darum präserviert $\Phi$ die Operationen. |
|
|
|
|
\end{kompaktitem} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Zusammegefasst haben wir gezeigt, |
|
|
|
|
dass $(R,+,\cdot)$ zu dem kommutativen Ring, $(\prod_{x\in X}\intgr/2\intgr,+,\cdot)$ isomorph ist |
|
|
|
|
(und zwar mittels $\Phi$), |
|
|
|
|
und damit dass $(R,+,\cdot)$ selbst ein kommutativer Ring ist. |
|
|
|
|
Man sieht auch, dass |
|
|
|
|
das Nullelement durch $\Phi((0)_{x\in X})=\{x\in X\mid 0=1\}=\leer$ |
|
|
|
|
und dass |
|
|
|
|
das Einselement durch $\Phi((1)_{x\in X})=\{x\in X\mid 1=1\}=X$ |
|
|
|
|
gegeben sind. |
|
|
|
|
\end{proof} |
|
|
|
|
\end{enumerate} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
%% AUFGABE 6-2 |
|
|
|
|
\let\altsectionname\sectionname |
|
|
|
|
\def\sectionname{Aufgabe} |
|
|
|
|
\section[Aufgabe 2]{} |
|
|
|
|
\label{ueb:6:ex:2} |
|
|
|
|
\let\sectionname\altsectionname |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Wir identifizieren $\kmplx$ mit $\reell^{2}$ mittel der Abbildungen |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\begin{mathe}[mc]{rcl} |
|
|
|
|
z\in\kmplx &\mapsto &\begin{svector}\ReTeil(z)\\\ImTeil(z)\\\end{svector}\in\reell^{2},\\ |
|
|
|
|
\mathbf{x}\in\reell^{2} &\mapsto &x_{1}+\imageinh x_{2}\in\kmplx.\\ |
|
|
|
|
\end{mathe} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\begin{enumerate}{\bfseries (a)} |
|
|
|
|
%% AUFGABE 6-2a |
|
|
|
|
\item |
|
|
|
|
\begin{claim*} |
|
|
|
|
Für alle $z\in\kmplx\ohne\{0\}$ existieren eindeutige Werte $r\in(0,\infty)$ und $\alpha\in[0,2\pi)$, |
|
|
|
|
dann $z=r\cdot\begin{svector}\cos(\alpha)\\\sin(\alpha)\\\end{svector}$ (unter der o.\,s. Identifizierung). |
|
|
|
|
\end{claim*} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\begin{proof} |
|
|
|
|
Unter der Identifizierung können wir $z=\begin{svector}x\\y\\\end{svector}$ schreiben, wobei $x,y\in\reell$. |
|
|
|
|
Da $z\neq 0=\begin{svector}0\\0\\\end{svector}$, muss entweder $x\neq 0$ oder $y\neq 0$ gelten. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Zur {\bfseries Existenz}: |
|
|
|
|
Sei $r:=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$. Dann $r>0$ weil $(x,y)\neq (0,0)$.\\ |
|
|
|
|
Um $\alpha$ zu bestimmen, werden folgende Fälle aufgeführt: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\begin{kompaktenum}{\bfseries {Fall} 1.}[\rtab][\rtab] |
|
|
|
|
\item |
|
|
|
|
$y=0$. Dann $x\neq 0$ und in diesem Falle gilt $r=|x|$. |
|
|
|
|
Man setze |
|
|
|
|
$\alpha := \begin{cases}[mc]{lcl} |
|
|
|
|
0 &: &x>0\\ |
|
|
|
|
\pi &: &x<0\\ |
|
|
|
|
\end{cases}$. |
|
|
|
|
Dann $r\cos(\alpha) := |
|
|
|
|
\begin{cases}[mc]{lcl} |
|
|
|
|
r &: &x>0\\ |
|
|
|
|
-r &: &x<0\\ |
|
|
|
|
\end{cases} |
|
|
|
|
= x$ |
|
|
|
|
und $r\sin(\alpha)=0$. |
|
|
|
|
\item |
|
|
|
|
$y>0$. |
|
|
|
|
Man setze $\alpha\in(0,\pi)$ der eindeutige Winkel |
|
|
|
|
mit $\cos(\alpha)=\frac{x}{r}$. |
|
|
|
|
Dann |
|
|
|
|
$r\cos(\alpha)=x$ |
|
|
|
|
und |
|
|
|
|
$r\sin(\alpha)=r\sqrt{1-\cos^{2}(\alpha)} |
|
|
|
|
=\sqrt{r^{2}-(r\cos(\alpha))^{2}} |
|
|
|
|
=\sqrt{(x^{2}+y^{2})-x^{2}} |
|
|
|
|
=\sqrt{y^{2}} |
|
|
|
|
=|y|=y$. |
|
|
|
|
\item |
|
|
|
|
$y<0$. |
|
|
|
|
Man setze $\alpha\in(\pi,2\pi)$ der eindeutige Winkel |
|
|
|
|
mit $\cos(\alpha)=\frac{x}{r}$. |
|
|
|
|
Dann |
|
|
|
|
$r\cos(\alpha)=x$ |
|
|
|
|
und |
|
|
|
|
$r\sin(\alpha)=r\cdot -\sqrt{1-\cos^{2}(\alpha)} |
|
|
|
|
=-\sqrt{r^{2}-(r\cos(\alpha))^{2}} |
|
|
|
|
=-\sqrt{(x^{2}+y^{2})-x^{2}} |
|
|
|
|
=-\sqrt{y^{2}} |
|
|
|
|
=-|y|=y$. |
|
|
|
|
\end{kompaktenum} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Darum gilt in allen Fällen |
|
|
|
|
$r\cdot\begin{svector}\cos(\alpha)\\\sin(\alpha)\\\end{svector} |
|
|
|
|
=\begin{svector}r\cos(\alpha)\\r\sin(\alpha)\\\end{svector} |
|
|
|
|
=\begin{svector}x\\y\\\end{svector} |
|
|
|
|
=z$. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Zur {\bfseries Eindeutigkeit}: |
|
|
|
|
Seien $r_{i}\in(0,\infty)$, $\alpha_{i}\in[0,2\pi)$ |
|
|
|
|
mit |
|
|
|
|
$r_{i}\cdot\begin{svector}\cos(\alpha_{i})\\\sin(\alpha_{i})\\\end{svector}=z$ |
|
|
|
|
für $i\in\{1,2\}$. |
|
|
|
|
\textbf{Zu zeigen:} $r_{1}=r_{2}$ und $\alpha_{1}=\alpha_{2}$. |
|
|
|
|
Es gilt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\begin{mathe}[mc]{rclcl} |
|
|
|
|
r_{1}^{2} &= &r_{1}^{2}(\cos^{2}(\alpha_{1}) + \sin^{2}(\alpha_{1}))\\ |
|
|
|
|
&= &(r_{1}\cos(\alpha_{1}))^{2} + (r_{1}\sin(\alpha_{1}))^{2}\\ |
|
|
|
|
&= &x^{2}+y^{2}\\ |
|
|
|
|
&= &(r_{2}\cos(\alpha_{2}))^{2} + (r_{2}\sin(\alpha))^{2}\\ |
|
|
|
|
&= &r_{2}^{2}(\cos^{2}(\alpha_{2}) + \sin^{2}(\alpha_{2})) |
|
|
|
|
&= &r_{2}^{2},\\ |
|
|
|
|
\end{mathe} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
woraus sich ergibt, dass $r_{1}=r_{2}$, weil $r_{1},r_{2}\geq 0$. |
|
|
|
|
Da $r_{1},r_{2}>0$, folgt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\begin{mathe}[mc]{ccccccccccl} |
|
|
|
|
\cos(\alpha_{1}) |
|
|
|
|
&= &\frac{r_{1}\cos(\alpha_{1})}{r_{1}} |
|
|
|
|
&= &\frac{x}{r_{1}} |
|
|
|
|
&= &\frac{x}{r_{2}} |
|
|
|
|
&= &\frac{r_{2}\cos(\alpha_{2})}{r_{2}} |
|
|
|
|
&= &\cos(\alpha_{2})\\ |
|
|
|
|
\sin(\alpha_{1}) |
|
|
|
|
&= &\frac{r_{1}\sin(\alpha_{1})}{r_{1}} |
|
|
|
|
&= &\frac{y}{r_{1}} |
|
|
|
|
&= &\frac{y}{r_{2}} |
|
|
|
|
&= &\frac{r_{2}\sin(\alpha_{2})}{r_{2}} |
|
|
|
|
&= &\sin(\alpha_{2})\\ |
|
|
|
|
\end{mathe} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Da $\alpha_{1},\alpha_{2}\in[0,2\pi)$ und wegen Injektivität von $\cos$ |
|
|
|
|
auf $[0,\pi)$ und $[\pi,2\pi)$ und der Symmetrie um $\pi$, |
|
|
|
|
erhalten wir aus |
|
|
|
|
$\cos(\alpha_{1})=\cos(\alpha_{2})$, |
|
|
|
|
dass (i)~$\alpha_{1}=\alpha_{2}$ oder (ii)~$\alpha_{1}=2\pi-\alpha_{2}$ |
|
|
|
|
gelten muss.\\ |
|
|
|
|
Falls (ii) gilt, |
|
|
|
|
so gilt $\sin(\alpha_{1})=\sin(2\pi-\alpha_{2})=-\sin(\alpha_{2})$. |
|
|
|
|
Da aber $\sin(\alpha_{1})=\sin(\alpha_{2})$, |
|
|
|
|
folgt daraus $\sin(\alpha_{2})=0$, |
|
|
|
|
und damit (iii)~$\alpha_{2}=0$ oder (iv)~$\pi$. |
|
|
|
|
Falls (iii) gilt, so gilt wegen (ii) $\alpha_{1}=2\pi-0=2\pi$, |
|
|
|
|
was ein Widerspruch ist, weil $\alpha_{1}\in[0,2\pi)$. |
|
|
|
|
Darum muss (iv) gelten. |
|
|
|
|
Wegen (ii) gilt also $\alpha_{1}=2\pi-\pi=\pi=\alpha_{2}$.\\ |
|
|
|
|
Zusammegefasst gilt entweder (i) $\alpha_{1}=\alpha_{2}$ |
|
|
|
|
oder (ii), aus dem sich (iv) ergibt, was wiederum $\alpha_{1}=\alpha_{2}$ zur Folge hat. |
|
|
|
|
D.\,h., in allen Fällen gilt $\alpha_{1}=\alpha_{2}$. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Darum gelten $r_{1}=r_{2}$ und $\alpha_{1}=\alpha_{2}$. |
|
|
|
|
Also ist die Darstellung eindeutig. |
|
|
|
|
\end{proof} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
%% AUFGABE 6-2b |
|
|
|
|
\item |
|
|
|
|
\begin{claim*} |
|
|
|
|
Seien $z_{1},z_{2}\in\kmplx\ohne\{0\}$ mit Darstellungen |
|
|
|
|
$z_{i}=r_{i}\cdot\begin{svector}\cos(\alpha_{i})\\\sin(\alpha_{i})\\\end{svector}$ |
|
|
|
|
für $i\in\{1,2\}$. |
|
|
|
|
Dann gilt die Rechenregel |
|
|
|
|
$z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}\cdot\begin{svector}\cos(\alpha_{1}+\alpha_{2})\\\sin(\alpha_{1}+\alpha_{2})\\\end{svector}$. |
|
|
|
|
\end{claim*} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\begin{proof} |
|
|
|
|
Multiplikation in $\kmplx$ liefert |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\begin{mathe}[mc]{rcl} |
|
|
|
|
z_{1}z_{2} |
|
|
|
|
&= &\begin{svector}\ReTeil(z_{1})\ReTeil(z_{2})-\ImTeil(z_{1})\ImTeil(z_{2})\\\ReTeil(z_{1})\ImTeil(z_{2})+\ReTeil(z_{1})\ImTeil(z_{2})\\\end{svector}\\ |
|
|
|
|
&= &\begin{svector}r_{1}\cos(\alpha_{1})\cdot r_{2}\cos(\alpha_{2})-r_{1}\sin(\alpha_{1})\cdot r_{2}\sin(\alpha_{2})\\r_{1}\cos(\alpha_{1})\cdot r_{2}\sin(\alpha_{2})+r_{1}\cos(\alpha_{1})\cdot r_{2}\sin(\alpha_{2})\\\end{svector}\\ |
|
|
|
|
&= &r_{1}r_{2}\begin{svector}\cos(\alpha_{1})\cos(\alpha_{2})-\sin(\alpha_{1})\sin(\alpha_{2})\\\cos(\alpha_{1})\sin(\alpha_{2})+\cos(\alpha_{1})\sin(\alpha_{2})\\\end{svector}\\ |
|
|
|
|
&= &r_{1}r_{2}\begin{svector}\cos(\alpha_{1}+\alpha_{2})\\\sin(\alpha_{1}+\alpha_{2})\\\end{svector}.\\ |
|
|
|
|
\end{mathe} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Die letzte Vereinfachung folgt aus der trigonometrischen Additionsregel. |
|
|
|
|
\end{proof} |
|
|
|
|
%% AUFGABE 6-2c |
|
|
|
|
\item |
|
|
|
|
\begin{claim*}[de Moivre] |
|
|
|
|
Sei $z\in\kmplx\ohne\{0\}$ mit Darstellungen |
|
|
|
|
$z=r\cdot\begin{svector}\cos(\alpha)\\\sin(\alpha)\\\end{svector}$. |
|
|
|
|
Dann gilt die Potenzregel |
|
|
|
|
$z^{n}=r^{n}\cdot\begin{svector}\cos(n\alpha)\\\sin(n\alpha)\\\end{svector}$ |
|
|
|
|
für alle $n\in\ntrlpos$. |
|
|
|
|
\end{claim*} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\begin{proof} |
|
|
|
|
Wir beweisen dies per Induktion über $n$. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\begin{kompaktenum}[\rtab][\rtab] |
|
|
|
|
\item[\uwave{{\bfseries Induktionsanfang:}}] |
|
|
|
|
Die Gleichung gilt offensichtlich für $n=1$. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\item[\uwave{{\bfseries Induktionsvoraussetzung:}}] |
|
|
|
|
Sei $n>1$. Angenommen, $z^{n-1}=r^{n-1}\cdot\begin{svector}\cos((n-1)\alpha)\\\sin((n-1)\alpha)\\\end{svector}$. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\item[\uwave{{\bfseries Induktionsschritt:}}] |
|
|
|
|
\textbf{Zu zeigen:} $z^{n}=r^{n}\cdot\begin{svector}\cos(n\alpha)\\\sin(n\alpha)\\\end{svector}$.\\ |
|
|
|
|
Per rekursive Definition vom Potenzieren |
|
|
|
|
gilt zunächst $z^{n}=z^{n-1}\cdot z$ (Multiplikation innerhalb der Algebra $\kmplx$). |
|
|
|
|
Aufgabe 6-2(b) zur Folge gilt somit |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\begin{mathe}[mc]{rcl} |
|
|
|
|
z^{n}=z^{n-1}\cdot z |
|
|
|
|
&\textoverset{IV}{=} |
|
|
|
|
&r^{n-1}\cdot\begin{svector}\cos((n-1)\alpha)\\\sin((n-1)\alpha)\\\end{svector} |
|
|
|
|
\cdot r\cdot\begin{svector}\cos(\alpha)\\\sin(\alpha)\\\end{svector}\\ |
|
|
|
|
&\textoverset{2b}{=} |
|
|
|
|
&r^{n-1}r\cdot\begin{svector}\cos((n-1)\alpha+\alpha)\\\sin((n-1)\alpha+\alpha)\\\end{svector}\\ |
|
|
|
|
&= &r^{n}\cdot\begin{svector}\cos(n\alpha)\\\sin(n\alpha)\\\end{svector}.\\ |
|
|
|
|
\end{mathe} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Darum gilt die Gleichung für $n$. |
|
|
|
|
\end{kompaktenum} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Also gilt die Gleichung für alle $n\in\ntrlzero$. |
|
|
|
|
\end{proof} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\textbf{Bemerkung.} Wir können eigentlich zeigen, dass dies für all $n\in\intgr$ gilt. |
|
|
|
|
Für $n=0$, beachte, dass $z^{0}=1=1+\imageinh 0$, $r^{0}=1$, $\cos(0)=1$ und $\sin(0)=0$. |
|
|
|
|
Für negative Zahlen reicht es aus, $z^{-1}=r^{-1}\cdot\begin{svector}\cos(-\alpha)\\\sin(-\alpha)\\\end{svector}$ zu zeigen, |
|
|
|
|
und dann $z^{n}=(z^{-1})^{|n|}$ für $n<0$ zu verwenden. |
|
|
|
|
\end{enumerate} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
%% AUFGABE 6-3 |
|
|
|
|
\clearpage |
|
|
|
|
\let\altsectionname\sectionname |
|
|
|
|
\def\sectionname{Aufgabe} |
|
|
|
|
\section[Aufgabe 3]{} |
|
|
|
|
\label{ueb:6:ex:3} |
|
|
|
|
\let\sectionname\altsectionname |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Es sei $K$ ein Körper und $F:=K\times K$ versehen mit den Operationen ${+,\cdot:F\times F\to F}$, |
|
|
|
|
definiert vermöge |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\begin{mathe}[mc]{rcl} |
|
|
|
|
(a,b)+(a',b') &= &(a+a',b+b')\\ |
|
|
|
|
(a,b)\cdot (a',b') &= &(aa'-bb',ab'+a'b)\\ |
|
|
|
|
\end{mathe} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
für alle $a,b,a',b'\in K$. |
|
|
|
|
Wir beobachten zuerst folgendes Ergebnis. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\begin{claim} |
|
|
|
|
\makelabel{claim:1:ueb:6:ex:3} |
|
|
|
|
$(F,+,\cdot)$ ist genau dann ein Körper, |
|
|
|
|
wenn in der Teilstruktur $(F,\cdot)$ multiplikative Inverse existieren für jedes Element. |
|
|
|
|
\end{claim} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\begin{einzug}[\rtab][\rtab] |
|
|
|
|
\begin{proof} |
|
|
|
|
Da die Teilstruktur, $(F,+)$, durch die Produktstruktur $(K,+)\times (K,+)$ gegeben ist, |
|
|
|
|
dessen Faktoren all kommutative Gruppen sind, ist $(F,+)$ eine kommutative Gruppe. |
|
|
|
|
Das heißt, die {\bfseries Additionsaxiome} unter den Körperaxiomen sind allesamt erfüllt. |
|
|
|
|
(Insbesondere ist das Nullelement durch $0_{F}=(0,0)$ gegeben.) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Bei den {\bfseries Multiplikationsaxiomen} sehen wir dass Kommutativität offensichtlich gilt, |
|
|
|
|
weil die o.\,s. Definitions von Multiplikation in den Argumenten offensichtlich symmetrisch ist, |
|
|
|
|
und weil die Operationen in $K$ kommutativ sind. |
|
|
|
|
Es gilt auch $(a,b)\cdot(1,0)=(a\cdot 1-b\cdot 0,a\cdot 0+1\cdot b)=(a,b)$, |
|
|
|
|
sodass $1_{F}:=(1,0)$ das Einselement von $F$ ist. |
|
|
|
|
Assoziativität von Multiplikation ist auch erfüllt, weil |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\begin{mathe}[mc]{rcl} |
|
|
|
|
(a,b)\cdot((a',b')\cdot(a'',b'')) |
|
|
|
|
&= &(a,b)\cdot(a'a''-b'b'', a'b''+a''b')\\ |
|
|
|
|
&= &(a(a'a''-b'b'')-b(a'b''+a''b'), a(a'b''+a''b')+(a'a''-b'b'')b)\\ |
|
|
|
|
&= &(aa'a'' - ab'b'' - ba'b'' - ba''b', aa'b'' + aa''b' + a'a''b - b'b''b)\\ |
|
|
|
|
&= &\boxed{(aa'a'' - ab'b'' - a'bb'' - a''bb', aa'b'' + aa''b' + a'a''b - bb'b'')}\\ |
|
|
|
|
\end{mathe} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
und |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\begin{mathe}[mc]{rcl} |
|
|
|
|
((a,b)\cdot(a',b'))\cdot(a'',b'') |
|
|
|
|
&= &(aa'-bb',ab'+a'b)\cdot(a'',b'')\\ |
|
|
|
|
&= &((aa'-bb')a'' - (ab'+a'b)b'', (aa'-bb')b'' + a''(ab'+a'b))\\ |
|
|
|
|
&= &(aa'a'' - bb'a'' - ab'b'' - a'bb'', aa'b'' - bb'b'' + a''ab' + a''a'b)\\ |
|
|
|
|
&= &\boxed{(aa'a'' - ab'b'' - a'bb'' - a''bb', aa'b'' + aa''b' + a'a''b - bb'b'')}\\ |
|
|
|
|
&= &(a,b)\cdot((a',b')\cdot(a'',b'')) |
|
|
|
|
\end{mathe} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
für alle $(a,b),(a',b'),(a'',b'')\in F$. |
|
|
|
|
Darum ist $(F,\cdot)$ assoziativ, kommutativ, und hat ein Neutralelement. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Wegen Kommutativität von Multiplikation in $F$, ist {\bfseries Distributitivität} |
|
|
|
|
zu Linksdistributivität äquivalent, und da |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\begin{mathe}[mc]{rcl} |
|
|
|
|
(a,b)\cdot((a',b')+(a'',b'')) |
|
|
|
|
&= &(a,b)\cdot(a'+a'',b'+b'')\\ |
|
|
|
|
&= &(a(a'+a'')-b(b'+b''), a(b'+b'')+(a'+a'')b)\\ |
|
|
|
|
&= &((aa'-bb')+(aa''-bb''), (ab'+a'b)+(ab''+a''b))\\ |
|
|
|
|
&= &(aa'-bb',ab'+a'b)+(aa''-bb'', ab''+a''b)\\ |
|
|
|
|
&= &(a,b)\cdot(a',b')+(a,b)/cdot (a'',b'')\\ |
|
|
|
|
\end{mathe} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
für alle $(a,b),(a',b'),(a'',b'')\in F$, ist dies erfüllt. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Anhand der o.\,s. Erkenntnisse darüber, welchen Axiomen $(F,+,\cdot)$ bereits genügt, |
|
|
|
|
erhalten wir, dass $(F,+,\cdot)$ genau dann ein Körper, wenn in $(F,\cdot)$ jedes Element ein Inverses hat. |
|
|
|
|
\end{proof} |
|
|
|
|
\end{einzug} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Aus diesem Ergebnis geht hervor, dass wir uns der Existenz multiplikativer Inverser widmen müssen. |
|
|
|
|
Sei also $(a,b)\in F\ohne\{0_{F}\}$ beliebig und sei $(a',b')\in F$. |
|
|
|
|
Dann |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\begin{mathe}[mc]{rcl} |
|
|
|
|
\eqtag[eq:0:ueb:6:ex3] |
|
|
|
|
(a,b)\cdot(a',b') = 1_{F} |
|
|
|
|
&\Longleftrightarrow |
|
|
|
|
&(a,b)\cdot(a',b') = (1,0)\\ |
|
|
|
|
&\Longleftrightarrow |
|
|
|
|
&(aa'-bb',ab'+a'b) = (1,0)\\ |
|
|
|
|
&\Longleftrightarrow |
|
|
|
|
&aa'-bb'=1\,\text{und}\,ab'+a'b=0\\ |
|
|
|
|
&\Longleftrightarrow |
|
|
|
|
&aa'-bb'=1\,\text{und}\,ab'=-a'b.\\ |
|
|
|
|
\end{mathe} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Da $(a,b)\neq 0_{F}=(0,0)$ gibt es folgende Fälle |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\begin{kompaktenum}{\bfseries {Fall} 1.}[\rtab][\rtab] |
|
|
|
|
%% FALL 1 |
|
|
|
|
\item |
|
|
|
|
$a=0$, $b\in K\ohne\{0\}$. |
|
|
|
|
Dann ist $b$ invertierbar (innerhalb $K$) und |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\begin{mathe}[mc]{rcl} |
|
|
|
|
(a,b)\cdot(a',b') = 1_{F} |
|
|
|
|
&\eqcrefoverset{eq:0:ueb:6:ex3}{\Longleftrightarrow} |
|
|
|
|
&0a'-bb'=1\,\text{und}\,0b'=-a'b\\ |
|
|
|
|
&\Longleftrightarrow |
|
|
|
|
&b'=-b^{-1}\,\text{und}\,a'=-b^{-1}0=0\\ |
|
|
|
|
&\Longleftrightarrow |
|
|
|
|
&(a',b')=(0,-b^{-1}).\\ |
|
|
|
|
\end{mathe} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Also existiert in diesem Falle ein multiplikatives Inverses für $(a,b)$. |
|
|
|
|
%% FALL 2 |
|
|
|
|
\item |
|
|
|
|
$b=0$, $a\in K\ohne\{0\}$. |
|
|
|
|
Dann ist $a$ invertierbar (innerhalb $K$) und |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\begin{mathe}[mc]{rcl} |
|
|
|
|
(a,b)\cdot(a',b') = 1_{F} |
|
|
|
|
&\eqcrefoverset{eq:0:ueb:6:ex3}{\Longleftrightarrow} |
|
|
|
|
&aa'-0b'=1\,\text{und}\,ab'=-a'0\\ |
|
|
|
|
&\Longleftrightarrow |
|
|
|
|
&a'=a^{-1}\,\text{und}\,b'=a^{-1}0=0\\ |
|
|
|
|
&\Longleftrightarrow |
|
|
|
|
&(a',b')=(a^{-1},0).\\ |
|
|
|
|
\end{mathe} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Also existiert in diesem Falle ein multiplikatives Inverses für $(a,b)$. |
|
|
|
|
%% FALL 2 |
|
|
|
|
\item |
|
|
|
|
$a,b\in K\ohne\{0\}$. |
|
|
|
|
Dann sind $a,b$ invertierbar (innerhalb $K$) und |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\begin{mathe}[mc]{rcl} |
|
|
|
|
(a,b)\cdot(a',b') = 1_{F} |
|
|
|
|
&\eqcrefoverset{eq:0:ueb:6:ex3}{\Longleftrightarrow} |
|
|
|
|
&aa'-bb'=1\,\text{und}\,ab'=-a'b\\ |
|
|
|
|
&\Longleftrightarrow |
|
|
|
|
&aa'-bb'=1\,\text{und}\,b'b^{-1}=-a^{-1}a'\\ |
|
|
|
|
&\Longleftrightarrow |
|
|
|
|
&\exists{t\in K:~} |
|
|
|
|
b'b^{-1}=-t |
|
|
|
|
\,\text{und}\, |
|
|
|
|
a^{-1}a'=t |
|
|
|
|
\,\text{und}\, |
|
|
|
|
aa'-bb'=1\\ |
|
|
|
|
&\Longleftrightarrow |
|
|
|
|
&\exists{t\in K\ohne\{0\}:~} |
|
|
|
|
b'=-tb |
|
|
|
|
\,\text{und}\, |
|
|
|
|
a'=at |
|
|
|
|
\,\text{und}\, |
|
|
|
|
a(at)-b(-tb)=1\\ |
|
|
|
|
&\Longleftrightarrow |
|
|
|
|
&\exists{t\in K\ohne\{0\}:~} |
|
|
|
|
(a',b')=(ta,-tb) |
|
|
|
|
\,\text{und}\, |
|
|
|
|
t(a^{2}+b^{2})=1\\ |
|
|
|
|
&\Longleftrightarrow |
|
|
|
|
&a^{2}+b^{2}\,\text{invertierbar} |
|
|
|
|
\,\text{und}\, |
|
|
|
|
(a',b')=((a^{2}+b^{2})^{-1}a,-(a^{2}+b^{2})^{-1}b)\\ |
|
|
|
|
&\Longleftrightarrow |
|
|
|
|
&a^{2}+b^{2}\neq 0\,\text{und}\,(a',b')=((a^{2}+b^{2})^{-1}a,-(a^{2}+b^{2})^{-1}b).\\ |
|
|
|
|
\end{mathe} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Folglich existiert dann ein Inverses, wenn $a^{2}+b^{2}\neq 0$. |
|
|
|
|
\end{kompaktenum} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Beachte, dass im Fall 1, $a^{2}+b^{2}=b^{2}\neq 0$ und im Fall 2 $a^{2}+b^{2}=a^{2}\neq 0$. |
|
|
|
|
Darum können wir diese Fälle zusammenfassen als |
|
|
|
|
$(a,b)\in F\ohne\{0_{F}\}$ hat genau dann ein multiplikatives Inverse, |
|
|
|
|
wenn $a^{2}+b^{2}\neq 0$. |
|
|
|
|
Angesichts \Cref{claim:1:ueb:6:ex:3} haben wir darum bewiesen: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\begin{satz} |
|
|
|
|
\makelabel{satz:1:ueb:6:ex:3} |
|
|
|
|
$(F,+,\cdot)$ ist genau dann ein Körper, |
|
|
|
|
wenn $a^{2}+b^{2}\neq 0$ innerhalb $K$ |
|
|
|
|
für alle $(a,b)\in F\ohne\{(0,0)\}$. |
|
|
|
|
\end{satz} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Wir können dieses allgemeine klassifizierende Resultat verwenden, |
|
|
|
|
um die Aufgaben zu behandeln. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\begin{enumerate}{\bfseries (a)} |
|
|
|
|
%% AUFGABE 6-3a |
|
|
|
|
\item |
|
|
|
|
\begin{schattierteboxdunn} |
|
|
|
|
\begin{claim*} |
|
|
|
|
Sei $K=\mathbf{F}_{2}=\intgr/2\intgr$. |
|
|
|
|
Dann ist $(F,+,\cdot)$ kein Körper. |
|
|
|
|
\end{claim*} |
|
|
|
|
\end{schattierteboxdunn} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\begin{proof} |
|
|
|
|
Da $(a,b):=(1,1)\in F\ohne\{(0,0)\}$ |
|
|
|
|
und |
|
|
|
|
$a^{2}+b^{2}=1+1=0$ |
|
|
|
|
innerhalb $K=\intgr/2\intgr$, |
|
|
|
|
ist \Cref{satz:1:ueb:6:ex:3} zufolge $F$ kein Körper. |
|
|
|
|
Es scheitert genau das Axiom der Existenz multiplikativer Inverser. |
|
|
|
|
(Nichtsdestotrotz bildet $F$ einen kommutativen Ring mit Einselement.) |
|
|
|
|
\end{proof} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
%% AUFGABE 6-3b |
|
|
|
|
\item |
|
|
|
|
\begin{schattierteboxdunn} |
|
|
|
|
\begin{claim*} |
|
|
|
|
Sei $K=\mathbf{F}_{3}=\intgr/3\intgr$. |
|
|
|
|
Dann ist $(F,+,\cdot)$ ein Körper. |
|
|
|
|
\end{claim*} |
|
|
|
|
\end{schattierteboxdunn} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\begin{proof} |
|
|
|
|
Laut \Cref{satz:1:ueb:6:ex:3} reicht es aus |
|
|
|
|
für alle $(a,b)\in F\ohne\{(0,0)\}$ |
|
|
|
|
\textbf{zu zeigen}, dass $a^{2}+b^{2}\neq 0$ innerhalb $K=\intgr/3\intgr$. |
|
|
|
|
Sei also $(a,b)\in F\ohne\{(0,0)\}$ beliebig. |
|
|
|
|
Da $a\neq 0$ oder $b\neq 0$ gibt es folgende Fälle: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\begin{kompaktenum}{\bfseries {Fall} 1.}[\rtab][\rtab] |
|
|
|
|
%% FALL 1 |
|
|
|
|
\item $a=0$, $b\neq 0$. Dann $b=\pm 1\mod 3$. |
|
|
|
|
Also $a^{2}+b^{2}=0+1=1\nequiv 0\mod 3$. |
|
|
|
|
%% FALL 2 |
|
|
|
|
\item $a\neq 0$, $b=0$. Dann $a=\pm 1\mod 3$. |
|
|
|
|
Also $a^{2}+b^{2}=1+0=1\nequiv 0\mod 3$. |
|
|
|
|
%% FALL 3 |
|
|
|
|
\item $a\neq 0$, $b\neq 0$. Dann $a,b=\pm 1\mod 3$. |
|
|
|
|
Also $a^{2}+b^{2}=1+1=2\nequiv 0\mod 3$. |
|
|
|
|
\end{kompaktenum} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Also gilt in jedem Falle $a^{2}+b^{2}\neq 0$. |
|
|
|
|
Darum bildet $F$ einen Körper. |
|
|
|
|
\end{proof} |
|
|
|
|
\end{enumerate} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\setcounternach{part}{2} |
|
|
|
|
\part{Selbstkontrollenaufgaben} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\def\chaptername{SKA Blatt} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
%% ******************************************************************************** |
|
|
|
|
%% FILE: body/ska/ska4.tex |
|
|
|
|
|
