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@@ -1,63 +1,80 @@
 ## §1. Linear oder nicht? ##
 
-Betrachte φ : ℝ^3 ⟶ ℝ^2 definiert wie folgt
+In folgenden Aufgaben wird eine Funktion φ : ℝ³ ⟶ ℝ² definiert.
-und bestimme, in jedem Falle, ob φ linear ist.
+Bestimme in jedem Falle, ob φ linear ist.
 
 a)
-    φ(x1, x2, x3) = (  4·x1·x3  )
-                (  10·x2    )
 
-nicht linear
+    φ(x1, x2, x3) = ( 4·x1·x3 )
+                    ( 10·x2   )
+
+Wenn φ linear wäre, dann müsste φ(2, 0, 2) = 2·φ(1, 0, 1) gelten.
+Aber:
+
+    φ(2, 0, 2)   = (16, 0)ᵀ
+    2·φ(1, 0, 1) = 2·(4, 0)ᵀ = (8, 0)ᵀ ≠  φ(2, 0, 2)
+
+Also ist φ nicht linear, weil Homogenität verletzt wird.
 
 b)
-    φ(x1, x2, x3) = (  x3^2  )
+
-                    (   0    )
+    φ(x1, x2, x3) = ( x3² )
+                    (  0   )
 
 Wenn φ linear wäre, dann müsste φ(0, 0, 8) = 8·φ(0, 0, 1) gelten.
 Aber:
 
-    φ(0, 0, 8)   = (64, 0)^T
+    φ(0, 0, 8)   = (64, 0)ᵀ
-    8·φ(0, 0, 1) = 8·(1, 0)^T = (8, 0)^T
+    8·φ(0, 0, 1) = 8·(1, 0)ᵀ = (8, 0)ᵀ ≠ φ(0, 0, 8)
 
 Also ist φ nicht linear, weil Homogenität verletzt wird.
 
 c)
+
     φ(x1, x2, x3) = ( x3 )
                     (  0 )
-linear
 
-d) φ(x1, x2, x3) = (  0  )
+--> linear
-                (  0  )
+
-linear
+d)
+
+    φ(x1, x2, x3) = ( 0 )
+                    ( 0 )
+
+--> linear
 
 e)
-    φ(x1, x2, x3) = (  4  )
+
-                    (  0  )
+    φ(x1, x2, x3) = ( 4  )
+                    ( 0  )
 
 Wenn φ linear wäre, dann müsste φ(0) = 0 gelten. [Siehe Lemma 6.1.2]
 Aber φ ist hier niemals der Nullvektor!
 Also ist φ nicht linear.
 
 f)
-    φ(x1, x2, x3) = (  10·x3     )
+
-                    (   -x2 + x1 )
+    φ(x1, x2, x3) = ( 10·x3     )
+                    (  -x2 + x1 )
 
 linear!
 
-f')
+g)
-    φ(x1, x2, x3) = (  1 - 10·x3     )
+
-                    (   -x2 + x1     )
+    φ(x1, x2, x3) = ( 1 - 10·x3 )
+                    (  -x2 + x1 )
 
 Wenn φ linear wäre, dann müsste φ(0) = 0 gelten. [Siehe Lemma 6.1.2]
-Aber φ(0) = (1, 0)^T.
+Aber φ(0) = (1, 0)ᵀ.
 Also ist φ nicht linear.
 
-g)
+h)
-    φ(x1, x2, x3) = (  exp(-(7·x2 + 8·x1))  )
+
-                    (  0                    )
+    φ(x1, x2, x3) = ( exp(-(7·x2 + 8·x1)) )
+                    ( 0                   )
 
 Wenn φ linear wäre, dann müsste φ(0) = 0 gelten. [Siehe Lemma 6.1.2]
-Aber φ(0) = (exp(0), 0)^T = (1, 0)^T.
+Aber φ(0) = (exp(0), 0)ᵀ = (1, 0)ᵀ.
 Also ist φ nicht linear.
 
 ## §2. Aufgaben ähnlich zu ÜB 10-2 ##
@@ -65,25 +82,27 @@ Also ist φ nicht linear.
 Seien A = (u1, u2, u3) und B = (v1, v2),
 wobei
 
-    u1 = (3,  0, 1)^T
+    u1 = (3,  0, 1)ᵀ
-    u2 = (0, -1, 0)^T
+    u2 = (0, -1, 0)ᵀ
-    u3 = (4,  0, 0)^T
+    u3 = (4,  0, 0)ᵀ
 
-    v1 = (4, 5)^T
+    v1 = (4, 5)ᵀ
-    v2 = (0, 1)^T
+    v2 = (0, 1)ᵀ
 
-[√] A bildet eine Basis für ℝ^3
+Beachte:
-[√] B bildet eine Basis für ℝ^2
 
-Sei nun φ : ℝ^3 ⟶ ℝ^2 definiert durch
+- A bildet eine Basis für ℝ³
+- B bildet eine Basis für ℝ²
 
-    φ(x1, x2, x3) = (  4·x1 - x3  )
+Sei nun φ : ℝ³ ⟶ ℝ² definiert durch
-                    (  10·x2 + x1 )
+
+    φ(x1, x2, x3) = ( 4·x1 - x3  )
+                    ( 10·x2 + x1 )
 
 ### Zur Linearität ###
 Seien
 
-    (x1,x2,x3), (x1',x2',x3') ∈ ℝ^3
+    (x1,x2,x3), (x1',x2',x3') ∈ ℝ³
     c, c' ∈ ℝ
 
 **Zu zeigen:**
@@ -92,30 +111,29 @@ Seien
 Es gilt
 
     l. S. = φ(c(x1, x2, x3) +c'(x1',x2',x3'))
-    = φ(c(x1·e1 + x2·e2 + x3·e3) +c'(x1'·e1 + x2'·e2 + x3'·e3))
+          = φ(c(x1·e1 + x2·e2 + x3·e3) +c'(x1'·e1 + x2'·e2 + x3'·e3))
-    = φ((c·x1 + c'·x1)·e1 + (c·x2 + c'·x2)·e2 + (c·x3 + c'·x3)·e3)
+          = φ((c·x1 + c'·x1)·e1 + (c·x2 + c'·x2)·e2 + (c·x3 + c'·x3)·e3)
-    = φ(c·x1 + c'·x1', c·x2 + c'·x2', c·x3 + c'·x3')
+          = φ(c·x1 + c'·x1', c·x2 + c'·x2', c·x3 + c'·x3')
 
-    = (  4·(c·x1 + c'·x1') - (c·x3 + c'·x3')    )
+          = ( 4·(c·x1 + c'·x1') - (c·x3 + c'·x3')  )
-    (  10·(c·x2 + c'·x2') + (c·x1 + c'·x1')   )
+            ( 10·(c·x2 + c'·x2') + (c·x1 + c'·x1') )
 
-    = (  c·(4·x1 - x3)  + c'·(4·x1' - x3') )
+          = ( c·(4·x1 - x3)  + c'·(4·x1' - x3')  )
-    (  c·(10·x2 + x1) + c'·(10·x2' + x1'))
+            ( c·(10·x2 + x1) + c'·(10·x2' + x1') )
 
-    = c·(  4·x1 - x3    )
+          = c·( 4·x1 - x3  ) + c'·( 4·x1' - x3' )
-        (  10·x2 + x1   )
+              ( 10·x2 + x1 )      ( 10·x2' + x1' )
-    + c'·(  4·x1' - x3' )
+
-        (  10·x2' + x1' )
+          = r. S.
-    = r. S.
 
 Darum ist φ linear.
 
 ### Darstellung ###
 Zunächst beobachten wir:
 
-    φ(x1, x2, x3) = ( 4   0   -1  ) ( x1 )
+    φ(x1, x2, x3) = ( 4   0   -1 ) ( x1 )
-                    ( 1   10   0  ) ( x2 )
+                    ( 1   10   0 ) ( x2 )
-                                    ( x3 )
+                                   ( x3 )
                   = C·x
                   = φ_C(x)   siehe [Skript, Bsp 6.2.2],
 
@@ -134,14 +152,14 @@ _Zurück zur Berechnung der Darstellung..._
 Die zu berechnende Matrix M := M_A^B(φ), ist diejenige, die erfüllt:
 
 - ist x der Form x = ∑ α_j·u_j = (α_j) <--- als Vektor über Basis A
-- und ist M·(α_j) = (β_i) für einen Vektor (β_i) ∈ ℝ^2
+- und ist M·(α_j) = (β_i) für einen Vektor (β_i) ∈ ℝ²
 - dann gilt φ(x) = y, wobei y = ∑ β_i·v_i
 
 Zusammengefasst ist M genau die Matrix, für die gilt:
 
     B·M·α = φ(A·α)
 
-für alle α ∈ ℝ^3. Da φ = φ_C, ist die äquivalent zu
+für alle α ∈ ℝ³. Da φ = φ_C, ist die äquivalent zu
 
     B·M·α = C·A·α
 
@@ -165,9 +183,9 @@ Also ist das augmentiere System
 
     ( B | C·A )
 
-    = ( 4    0  |  11    0   16 )
+     = ( 4    0  |  11    0   16 )
-      ( 5    1  |   3  -10    4 )
+       ( 5    1  |   3  -10    4 )
-      Zeile2 <- 4*Zeile2 - 5*Zeile1
+       Zeile2 <- 4*Zeile2 - 5*Zeile1
 
     ~> ( 4    0  |   11    0   16 )
        ( 0    4  |  -43  -40  -64 )
@@ -186,7 +204,7 @@ Darum gilt
 
 ## §3. Lineare Fortsetzung von partiell definierten Funktionen ##
 
-Sei φ : ℝ^5 ⟶ ℝ^3
+Sei φ : ℝ^5 ⟶ ℝ³
 
 
 Seien u1, u2, u3, u4, u5 eine Basis für ℝ^5.