master > master: A6 ähnliche Aufgabe

notes/vorbereitungKL2_2.md

@@ -1,16 +1,16 @@
 
 
-v1=... w1=...
-v2=... w2=... wie in Aufgabe
-v3 = (1 0 0)
-    [oder sagen: „es gibt“ ein v3, so dass {v1,v2,v3} eine Basis von R^3 ist]
-wähle w3 in R^3 beliebig
-    ---> ex. lin Abb φ : R^3 ---> R^3 (siehe Satz 6.1.13)
+    v1=... w1=...
+    v2=... w2=... wie in Aufgabe
+    v3 = (1 0 0)
+        [oder sagen: „es gibt“ ein v3, so dass {v1,v2,v3} eine Basis von R^3 ist]
+    wähle w3 in R^3 beliebig
+        ---> ex. lin Abb φ : R^3 ---> R^3 (siehe Satz 6.1.13)
 
 5b)
 ii) wir wissen, dass {w1, w2} lin unabh.
-    ---> also ex. w3 ∈ R^3 s. d. {w1, w2, w3} eine Basis von R^3 ist.
-    ---> lin Abb φ wie vorher erzeugen.
+        ---> also ex. w3 ∈ R^3 s. d. {w1, w2, w3} eine Basis von R^3 ist.
+        ---> lin Abb φ wie vorher erzeugen.
         Zz: φ ist injektiv. (Dann folgt: φ bijektiv (weil VR beide 3-dimensional sind), also φ ein Isomorphismus)
         Sei x ∈ Kern(φ).
             Dann x = c1·v1 + c2·v2 + c3·v3
@@ -103,3 +103,47 @@ d)
         Darum gilt x ∈ l. S.
 
     QED.
+
+
+Es seien U, V und W Vektorräume über einem Körper K. Seien φ: U → V und ψ : V → W lineare Abbildungen.
+
+    Beh. ψ ◦ φ injektiv <==> (φ injektiv ist + Kern(ψ) ∩ Bild(φ) = {0}).
+
+    Beweis.
+        (⟹) Angenommen, ψ ◦ φ injektiv.
+            Zu zeigen:
+            i)  φ injektiv
+            ii) Kern(ψ) ∩ Bild(φ) = {0}.
+
+            Zu i): Zu zeigen: Kern(φ) = {0}.
+            Sei also x ∈ U mit φ(x) = 0.
+            Dann (ψ ◦ φ)(x) = ψ(φ(x)) = ψ(0) = 0.
+            Also x ∈ Kern(ψ ◦ φ) und per ANNAHME Kern(ψ ◦ φ) = {0} (weil injektiv).
+            Also x = 0.
+            Darum haben wir gezeigt, dass Kern(φ) ⊆ {0}.
+            Also Kern(φ) = {0} (weil 0 immer im Kern ist).
+
+            Zu ii): Zu zeigen Kern(ψ) ∩ Bild(φ) ⊆ {0} ( ⊇  gilt immer, weil 0 immer im Kern und Bild ).
+            Sei also x ∈ Kern(ψ) ∩ Bild(φ).
+            Zu zeigen: x = 0.
+            Also x ∈ Kern(ψ) und x ∈ Bild(φ).
+            Also ψ(x) = 0 und x = φ(y) für ein y ∈ U.
+            Also ψ(φ(y)) = 0.
+            Also y ∈ Kern(ψ ◦ φ) und per ANNAHME Kern(ψ ◦ φ) = {0} (weil injektiv).
+            Also y = 0.
+            Also x = φ(y) = φ(0) = 0.
+
+        (⟸) Angenommen,
+            i)  φ injektiv
+            ii) Kern(ψ) ∩ Bild(φ) = {0}
+            Zu zeigen: ψ ◦ φ injektiv.
+
+            Es reicht also aus zu zeigen, dass
+                Kern(ψ ◦ φ) = {0}.
+            Sei also x ∈ U mit (ψ ◦ φ)(x) = 0.
+            Zu zeigen: x = 0.
+                ...
+                ... [Annahme i + ii iwo gebrauchen]
+                ...
+            Also x = 0.
+    QED