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@@ -28,27 +28,33 @@ Es gibt ein Zwischenspiel zwischen beiden dieser Aspekte.
 
 Stichwörte: **Konzepte** (en: _notion_), **Vorstellung**, **Visualisierung**, **Intuition**, ...
 
-Mit _Anschauung_ meine ich nicht bloß _Visualisierung_, sondern vielmehr das intuitive Begreifen von Mathematik.
-Mit Intuition nun meine ich aber _nicht_ »common sense«,
-sondern eine Fähigkeit, die man antrainieren muss, um abstrakte Sachverhalte
-zu visualisieren, internalisieren, und um sich mit den mathematischen »Gegenständen« vertraut zu machen.
+Mit _Anschauung_ meinen wir nicht bloß _Visualisierung_,
+sondern vielmehr das intuitive Begreifen von mathematischen Konzepten.
+Mit Intuition nun ist _nicht_ »common sense« gemeint,
+sondern eine Fähigkeit, die man antrainieren muss,
+um abstrakte Sachverhalte zu visualisieren und internalisieren,
+und um sich mit den mathematischen »Gegenständen« vertraut zu machen.
 
 ### Formalismen ###
 
 Stichwörte: **Symbole**, **Notation**, **Axiome**, **Rahmen**, **Aussagen**, **Beweise**, **Argumentation**, ...
 
-Der Begriff _Formalismen_ geht eigentlich auf die Grundlagen der Mathematik ab der Mitte des 19. Jh zurück.
-Ab dieser Zeit fingen Mathematiker an, nicht mehr lose zu berechnen, sondern Erkenntnisse in _formalen Systemen_ aufzuschreiben.
-Im Grunde (und im Falle von Church, Turing, Kleene, usw. buchstäblich) legten sie die Bausteine für das moderne Konzept von Berechenbarkeit, Algorithmen, und Rechnern.
-Es stellt sich heraus (siehe insbesondere das Löwenheim-Skolem-Tarski Paradoxon), dass mathematische Aussagen komplett unabhängig von Anschauungen ausgelegt und bewiesen werden können.
-Mit anderen Worten, man kann einen seelenlosen Rechner mit mathematischen Aufgaben beauftragen,
-und dieser ohne jegliche Vorstellungskraft wäre in der Lage _richtige_ Berechnungen durchzuführen und Schlüsse zu ziehen.
+Kurz gesagt, die _formalen_ Aspekte bestehen aus technischen Symbolen,
+mithilfe derer wir Aussagen schreiben, und der Struktur von Argumenten.
 
-Kurz gesagt, die _formalen_ Aspekte bestehen aus technischen Symbolen, mithilfe derer wir Aussagen schreiben, und der Struktur von Argumenten.
+Der Begriff _Formalismus_ geht eigentlich auf die Grundlagen der Mathematik ab der Mitte des 19. Jh zurück.
+Ab dieser Zeit fingen Mathematiker an, nicht mehr lose zu berechnen, sondern Erkenntnisse in _formalen Systemen_ aufzuschreiben.
+Im Grunde (und im Falle von Church, Turing, Kleene, usw.) legten sie die Bausteine für das moderne Konzept von Berechenbarkeit, Algorithmen, und Rechnern.
+Es stellt sich heraus (siehe insbesondere das Löwenheim-Skolem-Tarski Paradoxon),
+dass mathematische Aussagen komplett unabhängig von Anschauungen ausgelegt und bewiesen werden können.
+Mit anderen Worten, man kann einen »seelenlosen« Rechner mit mathematischen Aufgaben beauftragen,
+und dieser wäre ohne jegliche Vorstellungskraft in der Lage,
+_richtige_ Berechnungen durchzuführen und Schlüsse zu ziehen.
 
 ### Die Rolle von beiden Aspekten ###
 
-Einerseits sind formale Mitteln notwendig, um Aussagen _klar und eindeutig_ zu formulieren,
+Einerseits sind formale Mitteln notwendig,
+um Aussagen _klar und eindeutig_ zu formulieren,
 und notwendig und hinreichend, um diese zu beweisen.
 Andererseits benötigen wir als _denkende Menschen_ aber auch Anschauungen,
 
@@ -100,6 +106,62 @@ Man kann GeoGebra [hier](https://www.geogebra.org/download?lang=de) herunterlade
 Es scheint, dass man nicht mehr Dateien lokal speichern kann (?!).
 Anscheinend wollen die „klugen“ Betreiber dieser App einen rein online Gebrauch erzwingen 🤦.
 
+### Octave / MatLab ###
+
+**MatLab** (Matrix Laboratory) ist eine in dem Ingenieurwesen bekannte Programmiersprache
+zum einfachen Umgang mit Matrizen und allgemein diskreten Methoden.
+GNU **Octave** ist lediglich die gratis Variante davon und kann [hier](https://www.gnu.org/software/octave) gefunden werden.
+Ich kann dies auf jeden Fall empfehlen, um intuitiv und schnell mit Matrixberechnungen (v. a. mit komplexen Einträgen) umzugehen.
+Hier ein paar Beispiele in der Sprache:
+
+Eingabe von Matrizen und Vektoren:
+
+```
+octave:1> A = [1 4; -7.1  3 + i; 0 8];
+octave:2> disp(A);
+   1     4
+  -7.1   3 + 1i
+   0     8
+octave:3> A = [1 4; -7.1  3 + i; 0 8].';
+octave:4> disp(A);
+   1  -7.1      0
+   4   3 + 1i   8
+octave:5> x = [1 40 3].';
+octave:6> disp(x);
+    1
+    40
+    3
+```
+
+Zeilenoperationen:
+
+```
+octave:5> disp(A(2,:));
+   4   3 + 1i   8
+octave:6> A(2,:) = A(2,:) - 4*A(1,:);
+octave:7> disp(A);
+    1   -7.1          0
+    0   31.4 +  1i    8
+```
+
+Matrixmultiplikation:
+
+```
+octave:1> A = [1 4 8; 3 6 -9]; x = [1 1 1].';
+octave:2> b = A*x;
+octave:3> disp(b);
+    13
+    0
+octave:4> x_ = A \ b; % äquivalent zu „finde (irgend)eine Lösung zu Ax=b“
+octave:5> disp(x_);
+   0.41474
+   1.22992
+   0.95820
+octave:6> disp(A*x_); % wird bis auf machine-Fehler gleich b sein
+   1.3000e+01
+   1.5543e-15
+```
+
 ### R ###
 
 Für **R** braucht man