master > master: Protokoll Woche 12

notes/berechnungen_wk12.md

@@ -1 +1,243 @@
 # Woche 12 #
+
+A = [1, 2, -2, -1; 2, 0, -1, 1; 4, 3, 3, 1; 1, -2, 2, 3];
+
+## Quiz 11  ##
+
+A eine m x m Matrix, m = 4:
+
+    A = 1   2  -2  -1
+        2   0  -1   1
+        4   3   3   1
+        1  -2   2   3
+
+in IF₅.
+
+Zur Bestimmung der Invertierbarkeit: Gaußverfahren auf (A | I):
+
+    1   2  -2  -1 | 1   0   0   0
+    2   0  -1   1 | 0   1   0   0
+    4   3   3   1 | 0   0   1   0
+    1  -2   2   3 | 0   0   0   1
+
+Zeile 2 <- Zeile 2 - 2·Zeile 1
+Zeile 3 <- Zeile 3 - 4·Zeile 1
+Zeile 4 <- Zeile 4 - Zeile 1
+
+
+    1    2   -2   -1 |  1    0    0    0
+    0   -4    3    3 | -2    1    0    0
+    0   -5   11    5 | -4    0    1    0
+    0   -4    4    4 | -1    0    0    1
+
+—> modulo 5
+
+   1   2   3   4 | 1   0   0   0
+   0   1   3   3 | 3   1   0   0
+   0   0   1   0 | 1   0   1   0
+   0   1   4   4 | 4   0   0   1
+
+Zeile 4 <- Zeile 4 - Zeile 2
+
+   1   2   3   4 | 1   0   0   0
+   0   1   3   3 | 3   1   0   0
+   0   0   1   0 | 1   0   1   0
+   0   0   1   1 | 1   4   0   1
+
+(hier habe ich sofort mod 5 berechnet)
+
+Zeile 4 <- Zeile 4 - Zeile 3
+
+   1   2   3   4 | 1   0   0   0
+   0   1   3   3 | 3   1   0   0
+   0   0   1   0 | 1   0   1   0
+   0   0   0   1 | 0   4   4   1
+
+==> Rang(A) = 4 = m
+==> A invertierbar
+
+Zeile 1 <- Zeile 1 - 2·Zeile 2
+
+   1   0  -3  -2 |-5  -2   0   0
+   0   1   3   3 | 3   1   0   0
+   0   0   1   0 | 1   0   1   0
+   0   0   0   1 | 0   4   4   1
+
+Zeile 1 <- Zeile 1 + 3·Zeile 3
+Zeile 2 <- Zeile 2 - 3·Zeile 3
+
+   1   0   0  -2 |-2  -2   3   0
+   0   1   0   3 | 0   1  -3   0
+   0   0   1   0 | 1   0   1   0
+   0   0   0   1 | 0   4   4   1
+
+Zeile 1 <- Zeile 1 + 2·Zeile 4
+Zeile 2 <- Zeile 2 - 3·Zeile 4
+
+   1   0   0   0 | 3   1   1   2
+   0   1   0   0 | 0   4   0   2
+   0   0   1   0 | 1   0   1   0
+   0   0   0   1 | 0   4   4   1
+
+===> A^-1 steht in der rechten Hälfte
+
+    A^-1 =  3   1   1   2
+            0   4   0   2
+            1   0   1   0
+            0   4   4   1
+
+## Lineare Ausdehnung  ##
+
+**Aufgabe 1.**
+
+Seien
+
+    w1 = (1,  1, 0)ᵀ
+    w2 = (1, -1, 2)ᵀ
+    w3 = (0, 3, -1)ᵀ
+
+    v1 = ( 2, 1)ᵀ
+    v2 = (-1, 1)ᵀ
+    v3 = ( 1, 0)ᵀ
+
+Gibt es eine lineare Abbildung, φ : IR^3 —> IR^2,
+so dass
+
+    φ(w1) = v1
+    φ(w2) = v2
+    φ(w3) = v3
+
+gilt? Ist dies injektiv/surjektiv/bijektiv?
+
+**Antwort.**
+{w1, w2, w3} eine Basis
+    ~~~> Gaußverfahren auf (w1 w2 w3) und Rang berechnen (soll gleich 3 sein)!
+==> ja! (Satz 6.1.13 aus VL)
+
+- Nicht injektiv, weil Rang(φ) <= 2, aber 2 ≥ 3 gilt nicht.
+- Surjektiv:
+    Zz: Rang(φ) ≥ 2.
+    φ = φ_A
+    A = Darstellungsmatrix
+        ....
+- Bijektiv: nein, weil nicht injektiv.
+
+**Aufgabe 2.**
+
+Seien
+
+    w1 = (1,  1, 0)ᵀ
+    w2 = (1, -1, 2)ᵀ
+
+    v1 = ( 2, 1)ᵀ
+    v2 = (-1, 1)ᵀ
+
+Gibt es eine lineare Abbildung, φ : IR^3 —> IR^2,
+so dass
+
+    φ(w1) = v1
+    φ(w2) = v2
+
+gilt, und so dass φ injektiv ist? surjektiv? bijektiv?
+
+**Antwort.**
+
+- {w1, w2} sind linear unabhängig (wiederum mit Gaußverfahren und Rang zeigen).
+- {w1, w2} können zu einer Basis von IR^3 ergänzt werden: {w1, w2, w3}
+- Setze v3 ∈ IR^2 beliebig
+    - Satz der linearen Ausdehnung (6.1.13) wieder anwenden:
+    - _es gibt eine_ lineare Abb, φ, die
+
+            φ(w1) = v1
+            φ(w2) = v2
+            φ(w3) = v3
+
+    erfüllt.
+    - Bild(φ) = lin{v1,v2,v3} ⊇ lin{v1, v2} = IR^2,
+        weil {v1, v2} eine Basis von IR^2.
+        Also Bild(φ) = IR^2.
+    - Darum ist φ surjektiv.
+- Es gibt keine injektive (und damit keine bijektive) lin. Abb. φ von IR^3 nach IR^2,
+weil Rang(φ) <= 2, und 2 ≥ 3 gilt nicht.
+
+**Aufgabe 3a.**
+
+Seien
+
+    w1 = (1,  1, 0)ᵀ
+    w2 = (1, -1, 1)ᵀ
+    w3 = (2, 0, 1)ᵀ
+
+    v1 = ( 2, 1, 0)ᵀ
+    v2 = (-2, 1, 0)ᵀ
+    v3 = (1, 2, 0)ᵀ
+
+Gibt es eine lineare Abbildung, φ : IR^3 —> IR^3,
+so dass
+
+    φ(w1) = v1
+    φ(w2) = v2
+    φ(w3) = v3
+
+gilt, und so dass φ injektiv ist? surjektiv? bijektiv? nicht injektiv?
+
+**Antwort.**
+
+Beachte, {w1, w2, w3} ist nicht linear unabh.
+Es gilt
+- {w1, w2} linear unabh
+- w3 ∈ lin{w1, w2}, und zwar w3 = w1 + w2
+- Aber v3 = v1 + v2.
+
+Darum ist die Frage äquivalent zu derselben Frage, nur
+mit nur den ersten 2 Bedingungen, weil die 3. immer mit erfüllt sein wird,
+weil falls φ : IR^3 —> IR^3 linear und Bed. 1+2 erfüllt,
+so gilt Bedingung 3, weil
+
+    φ(w3) = φ(w1 + w2) = φ(w1) + φ(w2) = v1 + v2 = v3.
+
+Ansatz:
+
+- füge w3' hinzu, damit {w1,w2,w3'} eine Basis von IR^3 ist.
+- v3' jetzt so wählen, dass φ surjektiv/injektiv ist.
+
+
+**Aufgabe 3b.**
+
+Seien
+
+    w1 = (1,  1, 0)ᵀ
+    w2 = (1, -1, 1)ᵀ
+    w3 = (2, 0, 1)ᵀ
+
+    v1 = ( 2, 1, 0)ᵀ
+    v2 = (-1, 1, 0)ᵀ
+    v3 = (1, 4, 0)ᵀ
+
+Gibt es eine lineare Abbildung, φ : IR^3 —> IR^3,
+so dass
+
+    φ(w1) = v1
+    φ(w2) = v2
+    φ(w3) = v3
+
+gilt, und so dass φ injektiv ist? surjektiv? bijektiv?
+
+**Antwort.**
+
+Beachte, {w1, w2, w3} ist nicht linear unabh.
+Es gilt
+- {w1, w2} linear unabh
+- w3 ∈ lin{w1, w2}, und zwar w3 = w1 + w2
+- Aber v3 ≠ v1 + v2.
+
+Darum kann es niemals eine lineare Abb geben, die alle 3 Bedingungen erfüllt,
+weil falls φ : IR^3 —> IR^3 linear ist und Bed. 1+2+3 erfüllt,
+so gilt
+
+    φ(w3) = φ(w1 + w2) = φ(w1) + φ(w2) = v1 + v2 ≠ v3.
+
+D. h. Bedingung 3 wäre verletzt.
+
+
+**TODO** Die o. s. Varianten (die letzteren) ausrechnen und hochladen.

protocol/woche12/README.md

@@ -2,11 +2,21 @@
 
 ## Ablauf ##
 
-- ( ) Organisatorische Fragen
-    - Übungsblätter / Punkte / Zulassungsbeschränkungen
+- (√) Organisatorische Fragen
+    - (√) Übungsblätter / Punkte / Zulassungsbeschränkungen
         - 50% von 11 Blättern (= 82,5)
         - Warten noch Leute auf deren Noten?
-    - Klausurvorbereitung
+    - (√) Klausurvorbereitung
         - Moodle
-- ( ) Fragen/Feedback zu ÜB11
-- ( ) Fragen zum Stoff oder Aufgaben
+- (√) Fragen/Feedback zu ÜB11
+    - Allgemein: Argumentiere immer mit klaren logischen Zusammenhängen
+    „zwischen den Zeilen“ in einem Argument. D. h. ⟹, ⟺, usw. anwenden
+    (und immer begründen, wenn nicht trivial).
+    - 11·1(b) Beachte die Änderung in der Reihenfolge!
+    - warum Rang(A)=n ⟺ Rang(A) ≥ n in Aufgabe 11·2(a):
+        - weil Rang(A) = Spaltenrang ≤ n stets gilt!
+    - warum Rang(A)=m ⟺ Rang(A) ≥ m in Aufgabe 11·2(b):
+        - weil Rang(A) = Zeilenrang ≤ m stets gilt!
+- (√) Fragen zum Stoff oder Aufgaben
+    - Berechnung von Inversen / Gaußalgorithmus im Falle von endlichen Körpern (z. B. modulo 5)
+    - lineare Ausdehnung