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ce3776e67c
@ -1 +1,243 @@ |
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# Woche 12 # |
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A = [1, 2, -2, -1; 2, 0, -1, 1; 4, 3, 3, 1; 1, -2, 2, 3]; |
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## Quiz 11 ## |
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A eine m x m Matrix, m = 4: |
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A = 1 2 -2 -1 |
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2 0 -1 1 |
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4 3 3 1 |
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1 -2 2 3 |
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in IF₅. |
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Zur Bestimmung der Invertierbarkeit: Gaußverfahren auf (A | I): |
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1 2 -2 -1 | 1 0 0 0 |
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2 0 -1 1 | 0 1 0 0 |
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4 3 3 1 | 0 0 1 0 |
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1 -2 2 3 | 0 0 0 1 |
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Zeile 2 <- Zeile 2 - 2·Zeile 1 |
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Zeile 3 <- Zeile 3 - 4·Zeile 1 |
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Zeile 4 <- Zeile 4 - Zeile 1 |
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1 2 -2 -1 | 1 0 0 0 |
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0 -4 3 3 | -2 1 0 0 |
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0 -5 11 5 | -4 0 1 0 |
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0 -4 4 4 | -1 0 0 1 |
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—> modulo 5 |
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1 2 3 4 | 1 0 0 0 |
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0 1 3 3 | 3 1 0 0 |
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0 0 1 0 | 1 0 1 0 |
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0 1 4 4 | 4 0 0 1 |
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Zeile 4 <- Zeile 4 - Zeile 2 |
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1 2 3 4 | 1 0 0 0 |
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0 1 3 3 | 3 1 0 0 |
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0 0 1 0 | 1 0 1 0 |
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0 0 1 1 | 1 4 0 1 |
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(hier habe ich sofort mod 5 berechnet) |
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1 2 3 4 | 1 0 0 0 |
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0 1 3 3 | 3 1 0 0 |
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0 0 1 0 | 1 0 1 0 |
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0 0 0 1 | 0 4 4 1 |
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==> Rang(A) = 4 = m |
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==> A invertierbar |
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Zeile 1 <- Zeile 1 - 2·Zeile 2 |
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1 0 -3 -2 |-5 -2 0 0 |
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0 1 3 3 | 3 1 0 0 |
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0 0 1 0 | 1 0 1 0 |
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0 0 0 1 | 0 4 4 1 |
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Zeile 1 <- Zeile 1 + 3·Zeile 3 |
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Zeile 2 <- Zeile 2 - 3·Zeile 3 |
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1 0 0 -2 |-2 -2 3 0 |
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0 1 0 3 | 0 1 -3 0 |
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0 0 1 0 | 1 0 1 0 |
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0 0 0 1 | 0 4 4 1 |
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Zeile 1 <- Zeile 1 + 2·Zeile 4 |
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Zeile 2 <- Zeile 2 - 3·Zeile 4 |
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1 0 0 0 | 3 1 1 2 |
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0 1 0 0 | 0 4 0 2 |
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0 0 1 0 | 1 0 1 0 |
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0 0 0 1 | 0 4 4 1 |
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===> A^-1 steht in der rechten Hälfte |
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A^-1 = 3 1 1 2 |
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0 4 0 2 |
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1 0 1 0 |
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0 4 4 1 |
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## Lineare Ausdehnung ## |
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**Aufgabe 1.** |
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Seien |
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w1 = (1, 1, 0)ᵀ |
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w2 = (1, -1, 2)ᵀ |
||||
w3 = (0, 3, -1)ᵀ |
||||
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||||
v1 = ( 2, 1)ᵀ |
||||
v2 = (-1, 1)ᵀ |
||||
v3 = ( 1, 0)ᵀ |
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||||
Gibt es eine lineare Abbildung, φ : IR^3 —> IR^2, |
||||
so dass |
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φ(w1) = v1 |
||||
φ(w2) = v2 |
||||
φ(w3) = v3 |
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gilt? Ist dies injektiv/surjektiv/bijektiv? |
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**Antwort.** |
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{w1, w2, w3} eine Basis |
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~~~> Gaußverfahren auf (w1 w2 w3) und Rang berechnen (soll gleich 3 sein)! |
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==> ja! (Satz 6.1.13 aus VL) |
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- Nicht injektiv, weil Rang(φ) <= 2, aber 2 ≥ 3 gilt nicht. |
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- Surjektiv: |
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Zz: Rang(φ) ≥ 2. |
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φ = φ_A |
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A = Darstellungsmatrix |
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.... |
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- Bijektiv: nein, weil nicht injektiv. |
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**Aufgabe 2.** |
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Seien |
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w1 = (1, 1, 0)ᵀ |
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w2 = (1, -1, 2)ᵀ |
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v1 = ( 2, 1)ᵀ |
||||
v2 = (-1, 1)ᵀ |
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||||
Gibt es eine lineare Abbildung, φ : IR^3 —> IR^2, |
||||
so dass |
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||||
φ(w1) = v1 |
||||
φ(w2) = v2 |
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||||
gilt, und so dass φ injektiv ist? surjektiv? bijektiv? |
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||||
**Antwort.** |
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||||
- {w1, w2} sind linear unabhängig (wiederum mit Gaußverfahren und Rang zeigen). |
||||
- {w1, w2} können zu einer Basis von IR^3 ergänzt werden: {w1, w2, w3} |
||||
- Setze v3 ∈ IR^2 beliebig |
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- Satz der linearen Ausdehnung (6.1.13) wieder anwenden: |
||||
- _es gibt eine_ lineare Abb, φ, die |
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||||
φ(w1) = v1 |
||||
φ(w2) = v2 |
||||
φ(w3) = v3 |
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erfüllt. |
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- Bild(φ) = lin{v1,v2,v3} ⊇ lin{v1, v2} = IR^2, |
||||
weil {v1, v2} eine Basis von IR^2. |
||||
Also Bild(φ) = IR^2. |
||||
- Darum ist φ surjektiv. |
||||
- Es gibt keine injektive (und damit keine bijektive) lin. Abb. φ von IR^3 nach IR^2, |
||||
weil Rang(φ) <= 2, und 2 ≥ 3 gilt nicht. |
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**Aufgabe 3a.** |
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Seien |
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w1 = (1, 1, 0)ᵀ |
||||
w2 = (1, -1, 1)ᵀ |
||||
w3 = (2, 0, 1)ᵀ |
||||
|
||||
v1 = ( 2, 1, 0)ᵀ |
||||
v2 = (-2, 1, 0)ᵀ |
||||
v3 = (1, 2, 0)ᵀ |
||||
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||||
Gibt es eine lineare Abbildung, φ : IR^3 —> IR^3, |
||||
so dass |
||||
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||||
φ(w1) = v1 |
||||
φ(w2) = v2 |
||||
φ(w3) = v3 |
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||||
gilt, und so dass φ injektiv ist? surjektiv? bijektiv? nicht injektiv? |
||||
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||||
**Antwort.** |
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||||
Beachte, {w1, w2, w3} ist nicht linear unabh. |
||||
Es gilt |
||||
- {w1, w2} linear unabh |
||||
- w3 ∈ lin{w1, w2}, und zwar w3 = w1 + w2 |
||||
- Aber v3 = v1 + v2. |
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||||
Darum ist die Frage äquivalent zu derselben Frage, nur |
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mit nur den ersten 2 Bedingungen, weil die 3. immer mit erfüllt sein wird, |
||||
weil falls φ : IR^3 —> IR^3 linear und Bed. 1+2 erfüllt, |
||||
so gilt Bedingung 3, weil |
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||||
φ(w3) = φ(w1 + w2) = φ(w1) + φ(w2) = v1 + v2 = v3. |
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Ansatz: |
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- füge w3' hinzu, damit {w1,w2,w3'} eine Basis von IR^3 ist. |
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- v3' jetzt so wählen, dass φ surjektiv/injektiv ist. |
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**Aufgabe 3b.** |
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Seien |
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w1 = (1, 1, 0)ᵀ |
||||
w2 = (1, -1, 1)ᵀ |
||||
w3 = (2, 0, 1)ᵀ |
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||||
v1 = ( 2, 1, 0)ᵀ |
||||
v2 = (-1, 1, 0)ᵀ |
||||
v3 = (1, 4, 0)ᵀ |
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||||
Gibt es eine lineare Abbildung, φ : IR^3 —> IR^3, |
||||
so dass |
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||||
φ(w1) = v1 |
||||
φ(w2) = v2 |
||||
φ(w3) = v3 |
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gilt, und so dass φ injektiv ist? surjektiv? bijektiv? |
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**Antwort.** |
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||||
Beachte, {w1, w2, w3} ist nicht linear unabh. |
||||
Es gilt |
||||
- {w1, w2} linear unabh |
||||
- w3 ∈ lin{w1, w2}, und zwar w3 = w1 + w2 |
||||
- Aber v3 ≠ v1 + v2. |
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Darum kann es niemals eine lineare Abb geben, die alle 3 Bedingungen erfüllt, |
||||
weil falls φ : IR^3 —> IR^3 linear ist und Bed. 1+2+3 erfüllt, |
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so gilt |
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||||
φ(w3) = φ(w1 + w2) = φ(w1) + φ(w2) = v1 + v2 ≠ v3. |
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D. h. Bedingung 3 wäre verletzt. |
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**TODO** Die o. s. Varianten (die letzteren) ausrechnen und hochladen. |
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