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commit ddadc9bcc3
  1. 98
      notes/berechnungen_wk12.md
  2. 6
      protocol/woche12/README.md

@ -11,7 +11,7 @@ A eine m x m Matrix, m = 4:
4 3 3 1
1 -2 2 3
in IF₅.
in 𝔽₅.
Zur Bestimmung der Invertierbarkeit: Gaußverfahren auf (A | I):
@ -32,59 +32,60 @@ Zeile 4 <- Zeile 4 - Zeile 1
—> modulo 5
1 2 3 4 | 1 0 0 0
0 1 3 3 | 3 1 0 0
0 0 1 0 | 1 0 1 0
0 1 4 4 | 4 0 0 1
1 2 3 4 | 1 0 0 0
0 1 3 3 | 3 1 0 0
0 0 1 0 | 1 0 1 0
0 1 4 4 | 4 0 0 1
Zeile 4 <- Zeile 4 - Zeile 2
1 2 3 4 | 1 0 0 0
0 1 3 3 | 3 1 0 0
0 0 1 0 | 1 0 1 0
0 0 1 1 | 1 4 0 1
1 2 3 4 | 1 0 0 0
0 1 3 3 | 3 1 0 0
0 0 1 0 | 1 0 1 0
0 0 1 1 | 1 4 0 1
(hier habe ich sofort mod 5 berechnet)
Zeile 4 <- Zeile 4 - Zeile 3
1 2 3 4 | 1 0 0 0
0 1 3 3 | 3 1 0 0
0 0 1 0 | 1 0 1 0
0 0 0 1 | 0 4 4 1
1 2 3 4 | 1 0 0 0
0 1 3 3 | 3 1 0 0
0 0 1 0 | 1 0 1 0
0 0 0 1 | 0 4 4 1
==> Rang(A) = 4 = m
==> A invertierbar
⟹ Rang(A) = 4 = m
⟹ A invertierbar
Zeile 1 <- Zeile 1 - 2·Zeile 2
1 0 -3 -2 |-5 -2 0 0
0 1 3 3 | 3 1 0 0
0 0 1 0 | 1 0 1 0
0 0 0 1 | 0 4 4 1
1 0 2 3 | 0 3 0 0
0 1 3 3 | 3 1 0 0
0 0 1 0 | 1 0 1 0
0 0 0 1 | 0 4 4 1
Zeile 1 <- Zeile 1 + 3·Zeile 3
Zeile 1 <- Zeile 1 - 2·Zeile 3
Zeile 2 <- Zeile 2 - 3·Zeile 3
1 0 0 -2 |-2 -2 3 0
0 1 0 3 | 0 1 -3 0
0 0 1 0 | 1 0 1 0
0 0 0 1 | 0 4 4 1
1 0 0 3 | 3 3 3 0
0 1 0 3 | 0 1 2 0
0 0 1 0 | 1 0 1 0
0 0 0 1 | 0 4 4 1
Zeile 1 <- Zeile 1 + 2·Zeile 4
Zeile 1 <- Zeile 1 - 3·Zeile 4
Zeile 2 <- Zeile 2 - 3·Zeile 4
1 0 0 0 | 3 1 1 2
0 1 0 0 | 0 4 0 2
0 0 1 0 | 1 0 1 0
0 0 0 1 | 0 4 4 1
1 0 0 0 | 3 1 1 2
0 1 0 0 | 0 4 0 2
0 0 1 0 | 1 0 1 0
0 0 0 1 | 0 4 4 1
===> A^-1 steht in der rechten Hälfte
⟹ A¯¹ steht in der rechten Hälfte
A^-1 = 3 1 1 2
0 4 0 2
1 0 1 0
0 4 4 1
A¯¹ = 3 1 1 2
0 4 0 2
1 0 1 0
0 4 4 1
## Lineare Ausdehnung ##
@ -100,7 +101,7 @@ Seien
v2 = (-1, 1)ᵀ
v3 = ( 1, 0)ᵀ
Gibt es eine lineare Abbildung, φ : IR^3 —> IR^2,
Gibt es eine lineare Abbildung, φ : ℝ³ —> ℝ²,
so dass
φ(w1) = v1
@ -132,7 +133,7 @@ Seien
v1 = ( 2, 1)ᵀ
v2 = (-1, 1)ᵀ
Gibt es eine lineare Abbildung, φ : IR^3 —> IR^2,
Gibt es eine lineare Abbildung, φ : ℝ³ —> ℝ²,
so dass
φ(w1) = v1
@ -143,8 +144,8 @@ gilt, und so dass φ injektiv ist? surjektiv? bijektiv?
**Antwort.**
- {w1, w2} sind linear unabhängig (wiederum mit Gaußverfahren und Rang zeigen).
- {w1, w2} können zu einer Basis von IR^3 ergänzt werden: {w1, w2, w3}
- Setze v3 ∈ IR^2 beliebig
- {w1, w2} können zu einer Basis von ℝ³ ergänzt werden: {w1, w2, w3}
- Setze v3 ∈ ℝ² beliebig
- Satz der linearen Ausdehnung (6.1.13) wieder anwenden:
- _es gibt eine_ lineare Abb, φ, die
@ -153,11 +154,11 @@ gilt, und so dass φ injektiv ist? surjektiv? bijektiv?
φ(w3) = v3
erfüllt.
- Bild(φ) = lin{v1,v2,v3} ⊇ lin{v1, v2} = IR^2,
weil {v1, v2} eine Basis von IR^2.
Also Bild(φ) = IR^2.
- Bild(φ) = lin{v1,v2,v3} ⊇ lin{v1, v2} = ℝ²,
weil {v1, v2} eine Basis von ℝ².
Also Bild(φ) = ℝ².
- Darum ist φ surjektiv.
- Es gibt keine injektive (und damit keine bijektive) lin. Abb. φ von IR^3 nach IR^2,
- Es gibt keine injektive (und damit keine bijektive) lin. Abb. φ von ℝ³ nach ℝ²,
weil Rang(φ) <= 2, und 2 ≥ 3 gilt nicht.
**Aufgabe 3a.**
@ -172,7 +173,7 @@ Seien
v2 = (-2, 1, 0)ᵀ
v3 = (1, 2, 0)ᵀ
Gibt es eine lineare Abbildung, φ : IR^3 —> IR^3,
Gibt es eine lineare Abbildung, φ : ℝ³ —> ℝ³,
so dass
φ(w1) = v1
@ -191,15 +192,16 @@ Es gilt
Darum ist die Frage äquivalent zu derselben Frage, nur
mit nur den ersten 2 Bedingungen, weil die 3. immer mit erfüllt sein wird,
weil falls φ : IR^3 —> IR^3 linear und Bed. 1+2 erfüllt,
weil falls φ : ℝ³ —> ℝ³ linear und Bed. 1+2 erfüllt,
so gilt Bedingung 3, weil
φ(w3) = φ(w1 + w2) = φ(w1) + φ(w2) = v1 + v2 = v3.
Ansatz:
- füge w3' hinzu, damit {w1,w2,w3'} eine Basis von IR^3 ist.
- v3' jetzt so wählen, dass φ surjektiv/injektiv ist.
- füge w3' hinzu, damit {w1,w2,w3'} eine Basis von ℝ³ ist.
- v3' jetzt so wählen, dass φ injektiv/nicht injektiv ist.
- Beachte Korollar 6.1.11 im besonderen Falle dass φ : ℝⁿ —> ℝⁿ mit gleicher Dim für Inputraum und Outputraum!! Lin Abb. injektiv ⟺ surjektiv ⟺ bijektiv (≡ „Isomorphismus“).
**Aufgabe 3b.**
@ -214,7 +216,7 @@ Seien
v2 = (-1, 1, 0)ᵀ
v3 = (1, 4, 0)ᵀ
Gibt es eine lineare Abbildung, φ : IR^3 —> IR^3,
Gibt es eine lineare Abbildung, φ : ℝ³ —> ℝ³,
so dass
φ(w1) = v1
@ -232,7 +234,7 @@ Es gilt
- Aber v3 ≠ v1 + v2.
Darum kann es niemals eine lineare Abb geben, die alle 3 Bedingungen erfüllt,
weil falls φ : IR^3 —> IR^3 linear ist und Bed. 1+2+3 erfüllt,
weil falls φ : ℝ³ —> ℝ³ linear ist und Bed. 1+2+3 erfüllt,
so gilt
φ(w3) = φ(w1 + w2) = φ(w1) + φ(w2) = v1 + v2 ≠ v3.

@ -18,5 +18,9 @@
- warum Rang(A)=m ⟺ Rang(A) ≥ m in Aufgabe 11·2(b):
- weil Rang(A) = Zeilenrang ≤ m stets gilt!
- (√) Fragen zum Stoff oder Aufgaben
- Berechnung von Inversen / Gaußalgorithmus im Falle von endlichen Körpern (z. B. modulo 5)
- Berechnung von Inversen / Gaußalgorithmus im Falle von endlichen Körpern
(z. B. 𝔽₅, modulo _p_ für eine Primzahl)
- lineare Ausdehnung
Berechnungen ---> siehe [/notes/berechnungen_wk12.md](../../notes/berechnungen_wk12.md).
(Siehe auch Berechnungen in [Woche 10](../../notes/berechnungen_wk10.md).)

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