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notes/vorbereitungKL2_2.md

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         ---> ex. lin Abb φ : R^3 ---> R^3 (siehe Satz 6.1.13)
 
 5b)
-ii) wir wissen, dass {w1, w2} lin unabh.
-        ---> also ex. w3 ∈ R^3 s. d. {w1, w2, w3} eine Basis von R^3 ist.
-        ---> lin Abb φ wie vorher erzeugen.
-        Zz: φ ist injektiv. (Dann folgt: φ bijektiv (weil VR beide 3-dimensional sind), also φ ein Isomorphismus)
-        Sei x ∈ Kern(φ).
-            Dann x = c1·v1 + c2·v2 + c3·v3
-            Also 0 = φ(x) = c1·w1 + c2·w2 + c3·w3
-            Also c1, c2, c3 = 0, weil {w1, w2, w3} eine Basis
-            Also x = c1·v1 + c2·v2 + c3·v3 = 0.
-        ===> Damit haben wir gezeigt, dass Kern(φ) = {0}
-            (beachte, dass 0 immer im Kern ist)
-        ===> φ injektiv.
+    ii) wir wissen, dass {w1, w2} lin unabh.
+            ---> also ex. w3 ∈ R^3 s. d. {w1, w2, w3} eine Basis von R^3 ist.
+            ---> lin Abb φ wie vorher erzeugen.
+            Zz: φ ist injektiv. (Dann folgt: φ bijektiv (weil VR beide 3-dimensional sind), also φ ein Isomorphismus)
+            Sei x ∈ Kern(φ).
+                Dann x = c1·v1 + c2·v2 + c3·v3
+                Also 0 = φ(x) = c1·w1 + c2·w2 + c3·w3
+                Also c1, c2, c3 = 0, weil {w1, w2, w3} eine Basis
+                Also x = c1·v1 + c2·v2 + c3·v3 = 0.
+            ===> Damit haben wir gezeigt, dass Kern(φ) = {0}
+                (beachte, dass 0 immer im Kern ist)
+            ===> φ injektiv.
 
-        ODER
+            ODER
 
-        Aus Korollar 6.1.15 folgt φ ein Iso, weil {w1, w2, w3} eine Basis ist.
+            Aus Korollar 6.1.15 folgt φ ein Iso, weil {w1, w2, w3} eine Basis ist.
 
-iii) setze w3 = 0. Konstruiere φ wie oben.
-Dann erfüllt φ die 3 erwünschten Eigenschaften.
-Und φ(v3) = w3 = 0, sodass Kern(φ) ≠ {0}, weil v3 ≠ 0.
-Darum ist φ nicht injektiv und damit kein Isomorphismus.
+    iii) setze w3 = 0. Konstruiere φ wie oben.
+    Dann erfüllt φ die 3 erwünschten Eigenschaften.
+    Und φ(v3) = w3 = 0, sodass Kern(φ) ≠ {0}, weil v3 ≠ 0.
+    Darum ist φ nicht injektiv und damit kein Isomorphismus.
 
-Wenn dim(W) = m, m eine endliche Zahl:
+    Wenn dim(W) = m, m eine endliche Zahl:
 
-(1) φ injektiv  <==> Kern(φ) = {0}
-                <==> dim(Kern(φ)) = 0
-                <==> dim(Bild(φ)) = dim(V)
-                <==> Rang(φ) = dim(V)
-                <==> Rang(φ) ≥ dim(V)
+    (1) φ injektiv  <==> Kern(φ) = {0}
+                    <==> dim(Kern(φ)) = 0
+                    <==> dim(Bild(φ)) = dim(V)
+                    <==> Rang(φ) = dim(V)
+                    <==> Rang(φ) ≥ dim(V)
 
-(2) φ surjektiv <==> Bild(φ) = W
-                <==> dim(Bild(φ)) = dim(W) (=m)
-                <==> Rang(φ) = dim(W)
-                <==> Rang(φ) ≥ dim(W)
+    (2) φ surjektiv <==> Bild(φ) = W
+                    <==> dim(Bild(φ)) = dim(W) (=m)
+                    <==> Rang(φ) = dim(W)
+                    <==> Rang(φ) ≥ dim(W)
 
-    z. B. wenn Bild(φ) = lin{w1, w2, ..., w_r} und {w1, w2, ..., w_r} lin unabh.
-    dann dim(Bild(φ)) = r
+        z. B. wenn Bild(φ) = lin{w1, w2, ..., w_r} und {w1, w2, ..., w_r} lin unabh.
+        dann dim(Bild(φ)) = r
 
 
-A = ( a_ij ) eine m x n Matrix
-B = ( b_ij ) eine m x n Matrix
+## MATRIZEN ##
 
-A + 5B = ( a_ij + 5b_ij )
+Matrizen werden mal so in Bezug auf ihre Einträge folgendermaßen formal dargestellt:
 
-A = ( a_ij ) eine m x n Matrix
-                      ¯
-B = ( b_ij ) eine n x l Matrix
+    A = ( a_ij ) eine m x n Matrix
+    B = ( b_ij ) eine m x n Matrix
+
+Mit dieser Darstellung kann man dann Ergebnisse von algebraischen Operationen analog darstellen,
+wie z. B.
+
+    A + 5B = ( a_ij + 5b_ij ).
+
+Seien
+
+    A = ( a_ij ) eine m x n Matrix
+                        ¯
+    B = ( b_ij ) eine n x l Matrix
                   ¯
-(„innere Dimensionen“ müssen übereinstimmen, um Matrixmult. durchzuführen)
+Zur Matrixmultiplikation müssen die „innere Dimensionen“ übereinstimmen,
+um die Operation auszuführen (wenn die quadratisch sind, dann gilt das ohnehin).
+Es gilt
+
                              n
-A·B = ( c_ij ), wobei c_ij = ∑ a_ik b_kj
+    A·B = ( c_ij ), wobei c_ij = ∑ a_ik b_kj
                             k=1
 
-                             l
-B·A = ( d_ij ), wobei d_ij = ∑ b_ik a_kj
-                            k=1
+Hingegen (solange m=l) gilt
+
+                                 l
+    B·A = ( d_ij ), wobei d_ij = ∑ b_ik a_kj
+                                k=1