docs/loesungen.tex

@@ -55,8 +55,6 @@
 %%            |
 %%            — body/ska/ska4.tex;
 %%            |
-%%            — body/ska/ska5.tex;
-%%            |
 %%            — body/quizzes/quiz1.tex;
 %%            |
 %%            — body/quizzes/quiz2.tex;
@@ -4447,559 +4445,6 @@ für $a,b\in\intgr$.
     Das heißt das Induktionsargument ist faul,
     weil der Schritt $1\rightsquigarrow 2$ implizit übersprungen wird.
 
-%% ********************************************************************************
-%% FILE: body/ska/ska5.tex
-%% ********************************************************************************
-
-\setcounternach{chapter}{5}
-\chapter[Woche 5]{Woche 5}
-    \label{ska:5}
-
-%% SKA 5-2
-\let\altsectionname\sectionname
-\def\sectionname{SKA}
-\setcounternach{section}{2}
-\section[Aufgabe 2]{}
-    \label{ska:5:ex:2}
-\let\sectionname\altsectionname
-
-Betrachtet sei die Teilbarkeitsrelation $(\intgr,\divides)$.
-Wir prüfen, welche Axiome erfüllt sind und beurteilen aufgrund dessen,
-ob es sich um eine Äquivalenzrelation, partielle Ordnung, Abbildung, usw. handelt.
-
-\begin{kompaktenum}[\rtab][\rtab]
-    \item[\uwave{{\bfseries Reflexivität:}}]
-        Sei $a\in\intgr$ beliebig.
-        \textbf{Zu prüfen:} $a\divides a$?\\
-        Es gilt $a=1\cdot a$ und $1\in\intgr$.\\
-        Darum gilt $a\divides a$.\\
-        Also ist $(\intgr,\divides)$ \fbox{reflexiv}.
-    \item[\uwave{{\bfseries Symmetrie:}}]
-        Betrachte bspw. $2,10\in\intgr$.\\
-        Es gilt $2\divides 10$ aber $10\ndivides 2$.\\
-        Darum ist $(\intgr,\divides)$ \fbox{nicht symmetrisch}.
-    \item[\uwave{{\bfseries Antisymmetrie:}}]
-        Betrachte bspw. $2,-2\in\intgr$.\\
-        Es gelten $2\divides -2$ und $-2\divides 2$, aber $2\neq -2$.\\
-        Darum ist $(\intgr,\divides)$ \fbox{nicht antisymmetrisch}.
-    \item[\uwave{{\bfseries Transitivität:}}]
-        Seien, $a,b,c\in\intgr$.
-        \textbf{Zu prüfen:} ($a\divides b$ und $b\divides c$) $\Rightarrow$ $a\divides c$?\\
-        Es gilt:
-
-            \begin{mathe}[mc]{rcl}
-                a\divides b\,\text{und}\,b\divides c
-                    &\Longleftrightarrow
-                        &\exists{k,j\in\intgr:~}c=kb,\,b=ja\\
-                    &\Longrightarrow
-                        &\exists{k,j\in\intgr:~}c=(kj)a\\
-                    &\Longrightarrow
-                        &\exists{m\in\intgr:~}c=ma\\
-                    &\Longleftrightarrow
-                        &a\divides c.\\
-            \end{mathe}
-
-        Also ist $(\intgr,\divides)$ \fbox{transitiv}.
-    \item[\uwave{{\bfseries Totalität:}}]
-        Betrachte bspw. $5,7\in\intgr$.\\
-        Dann $5\ndivides 7$, $7\ndivides 5$, und $5\neq 7$.\\
-        Darum ist $(\intgr,\divides)$ \fbox{nicht total}.
-    \item[\uwave{{\bfseries Linkstotalität:}}]
-        Sei $a\in\intgr$.
-        \textbf{Zu prüfen:} $\exists{b\in\intgr:~}a\divides b$?\\
-        Wegen Reflexivität gilt nun $a\divides a$.\\
-        Also ist $(\intgr,\divides)$ \fbox{linkstotal}.
-    \item[\uwave{{\bfseries Rechtseindeutigkeit:}}]
-        Betrachte bspw. $2,10,100\in\intgr$.\\
-        Es gilt $2\divides 10$ und $2\divides 100$, aber $10\neq 100$.\\
-        Darum ist $(\intgr,\divides)$ \fbox{nicht rechtseindeutig}.
-\end{kompaktenum}
-
-Daraus folgt, dass $(\intgr,\divides)$
-weder
-    eine Äquivalenzrelation
-    noch
-    eine (lineare) Ordnungsrelation
-    noch
-    eine partielle Ordnungsrelation
-ist.
-Und es gibt keine Funktion ${f:\intgr\to\intgr}$,
-so dass $\graph(f)=\divides$.
-
-\textbf{Bemerkung:} Man kann aber zeigen, das die Beschränkungen
-    $(\ntrlzero,\divides)$
-und $(\ntrlpos,\divides)$
-zusätzlich Antisymmetrie aufweisen,
-sodass diese partielle Ordnungsrelationen sind.
-
-%% SKA 5-3
-\let\altsectionname\sectionname
-\def\sectionname{SKA}
-\setcounternach{section}{3}
-\section[Aufgabe 3]{}
-    \label{ska:5:ex:3}
-\let\sectionname\altsectionname
-
-Seien $a,b\in\intgr$ mit $b>0$.
-Um $a$ durch $b$ (mit Rest) zu teilen,
-setzt man
-
-    \begin{mathe}[mc]{rcl}
-        q &:= &[a/b] \in\intgr\\
-        r &:= &a-b\cdot q\in\intgr.\\
-    \end{mathe}
-
-wobei ${[\cdot]:\reell\to\intgr}$ die Gaußklammerfunktion ist,
-die reelle Zahlen \emph{abrundet}.
-Per Definition gilt
-
-    \begin{mathe}[mc]{rcccl}
-        q &\leq &a/b &< &q+1\\
-    \end{mathe}
-
-also
-
-    \begin{mathe}[mc]{rcccl}
-        0 &\leq &a-b\cdot q &< &b\\
-    \end{mathe}
-
-Darum $r\in\{0,1,\ldots,b-1\}$.
-
-Um dies aber \emph{per Hand} bzw. im Kopf zu machen,
-verwendet man iterative Algorithmen,
-die aus Schritten besteht:
-    $a$ und $b$ durch »einfachere« Zahlen ersetzen;
-    mit einfacheren Zahlen teilen;
-    Nachjustieren.
-
-Welche Methode auch immer man anwendet hat dies mit \fbox{dem Existenz-Teil} des Beweises zu tun.
-
-%% SKA 5-4
-\let\altsectionname\sectionname
-\def\sectionname{SKA}
-\setcounternach{section}{4}
-\section[Aufgabe 4]{}
-    \label{ska:5:ex:4}
-\let\sectionname\altsectionname
-
-\begin{claim}
-    \makelabel{claim:main:ska:5:ex:4}
-    Es gilt
-
-    \begin{kompaktenum}{\bfseries (i)}[\rtab][\rtab]
-        \item\punktlabel{1}
-            $\ggT(a,b)=\ggT(b,a)$;
-        \item\punktlabel{2}
-            $\ggT(a,b)=\ggT(|a|,|b|)$;
-        \item\punktlabel{3}
-            $\ggT(a,0)=\ggT(0,a)=|a|$, solange $a\neq 0$;
-        \item\punktlabel{4}
-            $\ggT(ca,cb)=|c|\ggT(a,b)$, solange $b,c\neq 0$;
-    \end{kompaktenum}
-
-    für $a,b,c\in\intgr$.
-\end{claim}
-
-    \begin{einzug}[\rtab][\rtab]
-    \begin{proof}
-        \uline{\bfseries \punktcref{1}:}
-            Es gilt
-                $\ggT(a,b)
-                    =\max\{d\in\ntrlpos\mid d\divides a,b\}
-                    =\max\{d\in\ntrlpos\mid d\divides b,a\}
-                    =\ggT(b,a)$.
-
-        \uline{\bfseries \punktcref{2}:}
-            Sei $d,x\in\intgr$. Dann ist es einfach zu sehen,
-                dass $d\divides x\Leftrightarrow d\divides|x|$.\\
-            Darum gilt
-                $\ggT(a,b)
-                    =\max\{d\in\ntrlpos\mid d\divides a,b\}
-                    =\max\{d\in\ntrlpos\mid d\divides |a|,|b|\}
-                    =\ggT(|a|,|b|)$.
-
-        \uline{\bfseries \punktcref{3}:}
-            Laut \punktcref{1} reicht es aus \textbf{zu zeigen} $\ggT(a,0)=|a|$.\\
-            Es gilt $\ggT(a,0)=\max D$, wobei $D:=\{d\in\ntrl\mid d\divides a,0\}$.\\
-            (I) Setze $d_{0}:=|a|$. Offensichtlich gilt $d_{0}\divides a,0$.\\
-            (II) Für alle $d\in\ntrlpos$ gilt
-                $d\divides a$
-                $\Rightarrow$ $|\frac{a}{d}|\geq 1$
-                $\Rightarrow$ $d\leq|a|=d_{0}$.\\
-            (III) Für alle $d\in\ntrlpos$ gilt $d\divides 0$.\\
-            Zusammengefasst,
-
-                \begin{mathe}[mc]{rcccccl}
-                    d_{0}
-                        &\textoverset{(I)}{\in}
-                            &D
-                        &\textoverset{(III)}{=}
-                            &\{d\in\ntrlpos\mid d\divides a\}
-                        &\textoverset{(II)}{\subseteq}
-                            &\{d\in\ntrlpos\mid d\leq d_{0}
-                \end{mathe}
-
-            woraus sich ergibt, dass $d_{0}\leq\max D\leq d_{0}$.
-            Also $\ggT(a,0)=\max D=d_{0}=|a|$.
-
-        \uline{\bfseries \punktcref{4}:}
-            Setze $d_{1}:=\ggT(a,b)$ und $d_{2}:=\ggT(ca,cb)$.
-            \textbf{Zu zeigen:} $d_{2}=|c|d_{1}$.\\
-            Wir zeigen dies durch zwei Ungleichungen.\\
-            Es gilt
-
-                \begin{mathe}[mc]{rcl}
-                    d_{1}\divides a,b
-                        &\Longleftrightarrow
-                            &\exists{k,j\in\intgr}a=kd_{1}\,\text{und}\,b=jd_{1}\\
-                        &\Longleftrightarrow
-                            &\exists{k,j\in\intgr}ca=kcd_{1}\,\text{und}\,cb=jcd_{1}\\
-                        &\Longleftrightarrow
-                            &\exists{k,j\in\intgr}ca=k|c|d_{1}\,\text{und}\,cb=j|c|d_{1}\\
-                            &&\text{da manz.\,B. $k$ durch $-k$ ersetzen kann}\\
-                        &\Longleftrightarrow
-                            &|c|d_{1}\divides ca,cb\\
-                \end{mathe}
-
-            Per Maximalität von $d_{2}$ unter den positiven Teilern,
-            folgt \fbox{$|c|d_{1}\leq d_{2}$}.\\
-            Andererseits existieren nach dem \emph{Lemma von B\'ezout}
-            $u,v\in\intgr$, so dass
-
-                \begin{mathe}[mc]{rcl}
-                    d_{1}=\ggT(a,b) &= &ua+vb\\
-                \end{mathe}
-
-            woraus sich ergibt, dass
-
-                \begin{mathe}[mc]{rcl}
-                    \eqtag[eq:1:\beweislabel]
-                    \frac{|c|d_{1}}{d_{2}} &= &\underbrace{%
-                        \textstyle\pm u\frac{ca}{d_{2}}+\pm v\frac{cb}{d_{2}}
-                    }_{=:w}\\
-                \end{mathe}
-
-            Da $d_{2}\divides ca,cb$ ist die rechte Seite von \eqcref{eq:1:\beweislabel} in $\intgr$.
-            Und da $|c|,d_{1},d_{2}>0$, ist die linke Seite von \eqcref{eq:1:\beweislabel} strikt positiv,
-            sodass $w\geq 1$ gilt.
-            Darum \fbox{$|c|d_{1}=w\cdot d_{2}\geq 1\cdot d_{2}$}.
-    \end{proof}
-    \end{einzug}
-
-\textbf{Bemerkung.}
-Ohne das \emph{Lemma von B\'ezout} ist ein Beweis vom Letzten Punkt praktisch unmachbar.
-
-%% SKA 5-5
-\let\altsectionname\sectionname
-\def\sectionname{SKA}
-\setcounternach{section}{5}
-\section[Aufgabe 5]{}
-    \label{ska:5:ex:5}
-\let\sectionname\altsectionname
-
-Seien $a=57$ und $b=21$.
-Dann gilt $a=qb+r$, wobei $q=2$ und \fbox{$r=15$}.
-Es gilt
-    $\ggT(a,b)=3$\footnote{%
-        weil $r=3\cdot 5$ und $3,5\in\mathbb{P}$ und nur $3\divides 57$ gilt.
-    }
-und
-    $\ggT(b,r)=3$\footnote{%
-        weil $r=3\cdot 5$ und $3,5\in\mathbb{P}$ und nur $3\divides 21$ gilt.
-    }
-Also gilt $\ggT(a,b)=\ggT(b,\modfn(a,b))$,
-genau wie \cite[Lemma 3.4.5]{sinn2020} allgemein besagt.
-
-%% SKA 5-6
-\let\altsectionname\sectionname
-\def\sectionname{SKA}
-\setcounternach{section}{6}
-\section[Aufgabe 6]{}
-    \label{ska:5:ex:6}
-\let\sectionname\altsectionname
-
-Für jeden Fall berechnen wir $\ggT(a,b)$ mittels des Euklidischen Algorithmus
-(siehe \cite[Satz 3.4.7]{sinn2020}).
-
-    \begin{longtable}[mc]{|cc|c|c|}
-        \hline
-        \hline
-            $a$ &$b$ &Restberechnung (symbolisch) &Restberechnung (Werte)\\
-        \hline
-        \endhead
-$1529$ &$170$ &$a = b\cdot q_{1} + r_{1}$ &$1529 = 170\cdot 8 + 169$\\
-&&$b = r_{1}\cdot q_{2} + r_{2}$ &$170 = 169\cdot 1 + \boxed{1}$\\
-&&$r_{1} = r_{2}\cdot q_{3} + r_{3}$ &$169 = 1\cdot 169 + 0$\\
-\hline
-$13758$ &$21$ &$a = b\cdot q_{1} + r_{1}$ &$13758 = 21\cdot 655 + \boxed{3}$\\
-&&$b = r_{1}\cdot q_{2} + r_{2}$ &$21 = 3\cdot 7 + 0$\\
-\hline
-$210$ &$45$ &$a = b\cdot q_{1} + r_{1}$ &$210 = 45\cdot 4 + 30$\\
-&&$b = r_{1}\cdot q_{2} + r_{2}$ &$45 = 30\cdot 1 + \boxed{15}$\\
-&&$r_{1} = r_{2}\cdot q_{3} + r_{3}$ &$30 = 15\cdot 2 + 0$\\
-\hline
-$1209$ &$102$ &$a = b\cdot q_{1} + r_{1}$ &$1209 = 102\cdot 11 + 87$\\
-&&$b = r_{1}\cdot q_{2} + r_{2}$ &$102 = 87\cdot 1 + 15$\\
-&&$r_{1} = r_{2}\cdot q_{3} + r_{3}$ &$87 = 15\cdot 5 + 12$\\
-&&$r_{2} = r_{3}\cdot q_{4} + r_{4}$ &$15 = 12\cdot 1 + \boxed{3}$\\
-&&$r_{3} = r_{4}\cdot q_{5} + r_{5}$ &$12 = 3\cdot 4 + 0$\\
-        \hline
-        \hline
-    \end{longtable}
-
-%% SKA 5-7
-\let\altsectionname\sectionname
-\def\sectionname{SKA}
-\setcounternach{section}{7}
-\section[Aufgabe 7]{}
-    \label{ska:5:ex:7}
-\let\sectionname\altsectionname
-
-%% SKA 5-8
-\let\altsectionname\sectionname
-\def\sectionname{SKA}
-\setcounternach{section}{8}
-\section[Aufgabe 8]{}
-    \label{ska:5:ex:8}
-\let\sectionname\altsectionname
-
-Das Lemma von B\'ezout wird mittels des \fbox{Euklidischen Algorithmus} bewiesen.\\
-Korollar 3.4.10 baut darauf und charakterisiert, wann zwei Zahlen teilerfremd sind.\\
-Lemma 3.4.12 baut darauf und zeigt $\forall{i:~}b,a_{i}\,\text{teilerfremd}\Rightarrow b,\prod_{i=1}^{n}a\,\text{teilerfremd}$.\\
-Satz 3.4.14 baut darauf und zeigt $p\divides\prod_{i=1}^{n}a_{i}\Rightarrow \exists{i:~}p\divides a_{i}$ für $p$ prim.
-
-Dieses letzte Ergebnis wird im Induktionsargument instrumentalisiert,
-um Primzerlegungen der Länge $k,l$ auf Primfaktorzerlegungen der Länge $k-1,l-1$ zu reduzieren,
-um das Induktionsargument voranzubringen.
-
-\begin{rem}
-    In der Algebra gibt es zwei Begriffe, die bei gewöhnlichen Primzahlen, sich anwenden lassen:
-    \emph{Irriduzibilität} und \emph{prim}.
-    Die Definition in abstrakten Kontexten von \emph{prim} entspricht der Eigenschaft in \cite[Satz 3.4.14]{sinn2020},
-    während \emph{Irriduzibilität} eher sich auf die Teilbarkeit bezieht.
-    Etwas »Zufälligerweise« handelt es sich bei $\intgr$ um eine Art von Struktur,
-    in der diese zwei Konzepte zusammenfallen.
-    Wie in fast allen technischen Bereichen sollte man auf solche »Zufälligkeiten« achten:
-    Irgendwann befindet man sich in einer Situation,
-    wo man feiner unterscheiden muss und es nicht mehr selbstverständlich ist,
-    zwei Konzepte als identisch zu behandeln.
-\end{rem}
-
-%% SKA 5-10
-\let\altsectionname\sectionname
-\def\sectionname{SKA}
-\setcounternach{section}{10}
-\section[Aufgabe 10]{}
-    \label{ska:5:ex:10}
-\let\sectionname\altsectionname
-
-Siehe \cite[Satz 3.5.1]{sinn2020}.
-Hier eine Alternative:\\
-Für $r=0$ setze man $q_{r}:=1$ und $p_{r}:=0$.
-Und für alle anderen rationalen Zahlen, $r\in\rtnl\ohne\{0\}$, wähle
-
-    \begin{mathe}[mc]{rcl}
-        q_{r} &:= &\min\overbrace{%
-            \{n\in\ntrlpos\mid q_{r}\cdot r\in\intgr\}
-        }^{D(r)}\in\ntrlpos\\
-        p_{r} &:= &q_{r}\cdot r\in\intgr.\\
-    \end{mathe}
-
-Da $r$ ration ist, ist $D(r)$ per Definition nicht leer.
-Darum ist die Wahl von $q_{r}$ und $p_{r}$ wohldefiniert
-und per Konstruktion gilt $p_{r}/q_{r}=r$.
-(Für $r=0$ gilt ebenfalls offensichtlich $p_{r}/q_{r}=r$.)
-Damit haben wir die Existenz einer kanonischen Darstellung begründet.
-
-Stimmt dies mit der Konstruktion im \cite[Satz 3.5.1]{sinn2020} überein?
-
-Für $r=0$ gilt offensichtlich $\ggT(p_{r},q_{r})=1$.
-Für $r\in\rtnl\ohne\{0\}$ gilt $d:=\ggT(p_{r},q_{r})=1$,
-denn sonst wäre $\frac{q_{r}}{d}$ eine positive natürliche Zahl in $D(r)$,
-da $\frac{q_{r}}{d}\cdot r=\frac{q_{r}\cdot r}{d}=\frac{p_{r}}{d}\in\intgr$,
-während $\frac{q_{r}}{d}<q_{r}$ (strikt),
-was ein Widerspruch zur Minimalität ist.
-Darum entspricht unserer Darstellung der im \cite[Satz 3.5.1]{sinn2020}.
-
-%% SKA 5-12
-\let\altsectionname\sectionname
-\def\sectionname{SKA}
-\setcounternach{section}{12}
-\section[Aufgabe 12]{}
-    \label{ska:5:ex:12}
-\let\sectionname\altsectionname
-
-\begin{claim*}[vgl. {\cite[Satz 3.5.3]{sinn2020}}]
-    Sei $p\in\mathbb{P}$ eine Primzahl.
-    Dann $\nexists{x\in\rtnl:~}x^{2}=p$.
-\end{claim*}
-
-    \begin{einzug}[\rtab][\rtab]
-    \begin{proof}
-        Angenommen, dies sei nicht der Fall.
-        Dann existieren $a\in\intgr$ und $b\in\ntrlpos$ mit $(\frac{a}{b})^{2}=p$.
-        Wir konstruieren nun per Rekursion eine Folge
-            $((a_{n},b_{n}))_{n\in\ntrlpos}\subseteq\intgr\times\ntrlpos$
-        mit der Eigenschaft,
-        dass
-            $(\frac{a_{n}}{b_{n}})^{2}=p$
-        und $(b_{n})_{n\in\ntrlpos}$ strikt monoton absteigend ist:
-
-            \begin{kompaktitem}
-                \item
-                    Setze $a_{0}:=a$ und $b_{0}=b$.
-                    Offensichtlich gilt per Wahl $(\frac{a_{n}}{b_{n}})^{2}=p$.
-                \item
-                    Sei $n>0$.
-                    Angenommen, wir haben bereits
-                        $((a_{k},b_{k}))_{k=0}^{n-1}$
-                    konstruiert.
-                    Aus $(\frac{a_{n}}{b_{n}})^{2}=p$
-                    folgt nun $a_{n}^{2}=pb_{n}^{2}$.
-                    Daraus folgt
-                        ${p\divides a_{n}\cdot a_{n}}$
-                    und damit gilt (vgl. \cite[Satz 3.4.14]{sinn2020})
-                        ${p\divides a_{n}}$,
-                    weil $p$ prim ist.
-                    Da $b_{n}^{2}=p\cdot(\frac{a_{n}}{p})^{2}$
-                    und da $\frac{a_{n}}{p}\in\intgr$,
-                    erhalten wir ebenfalls
-                        ${p\divides b_{n}\cdot b_{n}}$
-                    und wiederum ${p\divides b_{n}}$.
-
-                    Setze also $a_{n+1}:=\frac{a_{n}}{p}$ und $b_{n+1}:=\frac{b_{n}}{p}$.
-                    Dann wie oben gezeigt wurde, gilt $a_{n+1}\in\intgr$
-                    und $b_{n+1}\in\ntrlpos$.
-                    Offensichtlich gilt $(\frac{a_{n+1}}{b_{n+1}})^{2}=(\frac{a_{n}}{b_{n}})^{2}=p$.
-                    Und, da $p>1$, gilt $b_{n+1}<b_{n}$.
-            \end{kompaktitem}
-
-        Darum funktioniert die rekursive Konstruktion.
-        Da nun $(b_{n})_{n\in\ntrlpos}\subseteq\ntrlpos$
-        eine strikt monoton absteigende Folge ist,
-        haben wir einen Widerspruch erreicht,
-        weil $(\ntrlpos,\leq)$ eine Wohlordnungsrelation ist.
-    \end{proof}
-    \end{einzug}
-
-%% SKA 5-13
-\let\altsectionname\sectionname
-\def\sectionname{SKA}
-\setcounternach{section}{13}
-\section[Aufgabe 13]{}
-    \label{ska:5:ex:13}
-\let\sectionname\altsectionname
-
-\begin{claim*}[vgl. {\cite[Satz 3.5.5]{sinn2020}}]
-    Seien $a,b,c\in\reell$ mit $a\neq 0$.
-    Dann existiert eine Nullstelle von $ax^{2}+bx+c$
-    gdw. $\Delta\geq 0$,
-    wobei $\Delta:=b^{2}-4ac$.
-\end{claim*}
-
-    \begin{einzug}[\rtab][\rtab]
-    \begin{proof}
-        Zunächst berechnen wir eine Umformung: Sei $x\in\reell$.
-        Dann
-
-            \begin{mathe}[mc]{rcl}
-                \eqtag[eq:1:ska:5:ex:13]
-                ax^{2}+bx+c=0
-                    &\Longleftrightarrow
-                        &4a(ax^{2}+bx+c)=0
-                        \quad\text{da $a\neq 0$}\\
-                    &\Longleftrightarrow
-                        &(2ax)^{2}+2b(2ax)+b^{2}=b^{2}-4ac\\
-                    &\Longleftrightarrow
-                        &(2ax+b)^{2}=\Delta.\\
-            \end{mathe}
-
-        Falls $\Delta\geq 0$,
-        so existiert ein $\sqrt{\Delta}\geq 0$ mit $\sqrt{\Delta}^{2}=\Delta$.
-        Darum gilt
-
-            \begin{mathe}[mc]{rcccccl}
-                ax^{2}+bx+c=0
-                    &\eqcrefoverset{eq:1:ska:5:ex:13}{\Longleftrightarrow}
-                        &(2ax+b)^{2}=\Delta
-                    &\Longleftrightarrow
-                        &2ax+b=\pm\sqrt{\Delta}
-                    &\Longleftrightarrow
-                        &x=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\\
-            \end{mathe}
-
-        für alle $x\in\reell$.
-        Das heißt, falls $\Delta\geq 0$, hat das Polynom reellwertige Nullstellen,
-        und zwar sind die Nullstellen durch $\{\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\}$ gegeben.
-
-        Falls $\Delta<0$, so existieren keine Nullstellen.
-        Angenommen, dies sei nicht der Fall.
-        Fixiere eine Lösung $x\in\reell$ und setze $\alpha:=2ax+b\in\reell$.
-        Aus \eqcref{eq:1:ska:5:ex:13} folgt nun $\Delta=\alpha^{2}$.
-        Aber $\alpha^{2}\geq 0$ für alle $\alpha\in\reell$.
-        Dies ist ein Widerspruch.
-    \end{proof}
-    \end{einzug}
-
-%% SKA 5-14
-\let\altsectionname\sectionname
-\def\sectionname{SKA}
-\setcounternach{section}{14}
-\section[Aufgabe 14]{}
-    \label{ska:5:ex:14}
-\let\sectionname\altsectionname
-
-Die Gruppe von Bijektionen von $\{1,2\}$ auf $\{1,2\}$ entspricht der Permutationsgruppe $S_{2}$.
-Dies hat $2!=2$ Elemente:
-
-    \begin{mathe}[mc]{rcl}
-        e &:= &\text{Funktion, die alles fixiert}\\
-        (1\,2) &:= &\text{Funktion, die $1$ und $2$ tauscht}\\
-    \end{mathe}
-
-Die Gruppentafel sieht folgendermaßen aus:
-
-    \begin{longtable}{|CC|CC|}
-        \hline
-        \hline
-        &&\multicolumn{2}{C|}{h}\\
-            &gh &e &(1\,2)\\
-        \hline
-        \multirow{2}{*}{g}
-            &e       &e &(1\,2)\\
-            &(1\,2) &(1\,2) &e\\
-        \hline
-        \hline
-    \end{longtable}
-
-Die Gruppe von Bijektionen von $\{1,2,3\}$ auf $\{1,2,3\}$ entspricht der Permutationsgruppe $S_{3}$.
-Dies hat $3!=6$ Elemente:
-
-    \begin{mathe}[mc]{rcl}
-        e &:= &\text{Funktion, die alles fixiert}\\
-        (1\,2) &:= &\text{Funktion, die $1$ und $2$ tauscht}\\
-        (1\,3) &:= &\text{Funktion, die $1$ und $3$ tauscht}\\
-        (2\,3) &:= &\text{Funktion, die $2$ und $3$ tauscht}\\
-        (1\,2\,3) &:= &\text{Funktion, die $1\mapsto 2\mapsto 3\mapsto 1$ abbildet}\\
-        (1\,3\,2) &:= &\text{Funktion, die $1\mapsto 3\mapsto 2\mapsto 1$ abbildet}\\
-    \end{mathe}
-
-Die Gruppentafel sieht folgendermaßen aus:
-
-({\itshape Unter Arbeit})
-
-%% SKA 5-15
-\let\altsectionname\sectionname
-\def\sectionname{SKA}
-\setcounternach{section}{15}
-\section[Aufgabe 15]{}
-    \label{ska:5:ex:15}
-\let\sectionname\altsectionname
-
-Die erste Gruppe, $S_{2}$, ist kommutativ (»abelsch«). Das lässt sich daran erkennen, dass die Tafel symmetrisch ist.
-
-Die zweite Gruppe, $S_{3}$, ist kommutativ (»abelsch«). Das lässt sich daran erkennen, dass die Tafel nicht symmetrisch ist.
-
 \setcounternach{part}{3}
 \part{Quizzes}
 

protocol/woche5/README.md

@@ -4,29 +4,7 @@
 
 - ( ) allgemeine Ankündigungen
     - Erinnerung an Beschlüsse aus der letzten Woche
-    - Kommentare in ÜB werden wegen Zeitaufwand ggf. kürzer
+- ( ) Präsentation von **SKA 4 / SKA 5 / ÜB 3** von den Gruppen:
-- ( ) ggf. Präsentation von **SKA 4 / SKA 5 / ÜB 3** von den Gruppen?
 - ( ) SKA 5: / Zusammenarbeit / Breakout-Rooms (---> Umfrage!)
 - ( ) ÜB 3
-    - A1: Lösung als Menge angeben, nicht einfach einen (parameterisierten) Lösungvektor schreiben.
+- ( ) VL-Stoff
-        - falsche Schreibweise von Lösung:
-            - Lin{v1, v2} ∩ Lin{w1, w2} = t·(1 1 1)ᵀ
-            - Lin{v1, v2} ∩ Lin{w1, w2} = t·(1 1 1)ᵀ, t ∈ ℝ
-        - schwacher Ansatz, der nur zufälligerweise in 3d, nicht benutzen, sondern Matrix/Linalg Methoden.
-    - A2:
-        - Schreibweise von Mengen, Elementen aus Mengen
-        - ⋀, und, ∩
-        - ⋁, oder, ∪
-        - nur ⟹ (also, somit, usw.), aber ⟺ benötigt (bzw. beide Richtungen).
-        - in Gegenbsp. Werte den genannten Unbekannten auch zuordnen!
-        - „Sei x ...“ bevor Verwendung
-    - A3:
-        - falsche isolierte Sicht: surj, inj, bij schließen sich nicht gegenseitig aus.
-        - „ist bij., weil jedem y exakt ein x zugeordnet werden kann“ ... ist nur die Definition, aber keine Rechtfertigung davon!
-          Man muss zeigen, _dass_ dies gilt.
-        - (a) lineare/affine Fkt sind nicht automatisch injektiv/surjektiv
-        - (b) war sehr gut
-        - (c) P(Y), nicht Y, sonst sehr gut gemacht
-        - (d) war sehr gut.
-- ( ) VL-Stoff?
-    - Funktionen, Äquivalenzrelationen, p. Ordnungen, Ordnungsrelationen, Euklid/ggT/Bézout/Prim/...