231 lines
5.5 KiB
Markdown
231 lines
5.5 KiB
Markdown
https://stackedit.io/editor
|
|
|
|
# SKA 7 #
|
|
|
|
## SKA 7-1 ##
|
|
|
|
Vgl. [Skript, **Bsp. 5.1.1, (1)**].
|
|
|
|
**Behauptung.** Seien $n\in\mathbb{N}$ und $K$ ein Körper.
|
|
Dann bildet $K^{n}$, versehen mit _punktweise Addition_
|
|
und vermöge $\alpha\cdot(x_{i})_{i=1}^{n}=(\alpha x_{i})_{i=1}^{n}$
|
|
definierte Skalarmultiplikation
|
|
einen Vektorraum.,
|
|
|
|
**Beweis.**
|
|
|
|
1. **Zz**: $(K^{n},+)$ mit punktweise Addition ist eine kommutative Gruppe.
|
|
|
|
**Ansatz I.** $(K^{n},+,\mathbf{0})$ ist lediglich die Produktgruppe aus $n$ Kopien von $(K,+,0_{K})$,
|
|
also sofort eine kommutative Gruppe.
|
|
|
|
**Ansatz II.** Wir gehen die Axiome durch:
|
|
|
|
- **Zz:** $(K^{n},+)$ ist assoziativ:
|
|
|
|
..
|
|
|
|
- **Zz:** $(K^{n},+)$ ist kommutativ:
|
|
|
|
Seien $\mathbf{u}=(u_{i})_{i=1}^{n},\mathbf{v}=(v_{i})_{i=1}^{n}\in K^{n}$.
|
|
Zu zeigen ist, dass
|
|
$(u_{i})_{i}+(v_{i})_{i}=(v_{i})_{i}+(u_{i})_{i}$.
|
|
|
|
$$(u_{i})_{i}+(v_{i})_{i}
|
|
=^{\text{Defn}} (u_{i}+v_{i})_{i}
|
|
=^{\ast} (v_{i}+u_{i})_{i}
|
|
=^{\text{Defn}} (v_{i})_{i}+(u_{i})_{i}
|
|
$$
|
|
|
|
Die Gleichung in ($\ast$) gilt, weil $(K,+)$ kommutativ ist.
|
|
|
|
- **Zz:** $(K^{n},+)$ hat ein Neutralelement
|
|
|
|
..
|
|
|
|
- **Zz:** $(K^{n},+)$ hat Inverse
|
|
|
|
..
|
|
2. **Zz**: Skalarmultiplikation ist assoziativ.
|
|
- ..
|
|
3. **Zz**: Skalarmultiplikation ist distributiv.
|
|
Seien $\alpha,\beta\in K$ und $\mathbf{u}=(u_{i})_{i}\in K^{n}$.
|
|
Zu zeigen:
|
|
|
|
$\begin{array}{rcl}
|
|
\alpha\cdot(\beta\cdot\mathbf{u}) &= &(\alpha\cdot\beta)\cdot\mathbf{u}\\
|
|
\end{array}$
|
|
|
|
Es gilt
|
|
|
|
$\begin{array}{rcl}
|
|
\alpha\cdot(\beta\cdot\mathbf{u})
|
|
&= &\alpha\cdot(\beta\cdot(u_{i})_{i})\\
|
|
&= &\alpha\cdot(\beta\cdot u_{i})_{i}\\
|
|
&= &(\alpha\cdot(\beta\cdot u_{i}))_{i}\\
|
|
&=^{\ast} &((\alpha\cdot\beta)\cdot u_{i}))_{i}\\
|
|
&= &(\alpha\cdot\beta)\cdot (u_{i}))_{i}\\
|
|
&= &(\alpha\cdot\beta)\cdot \mathbf{u}\\
|
|
\end{array}$
|
|
|
|
Gleichung ($\ast$) gilt weil $(K,\cdot)$ assoziativ ist.
|
|
|
|
4. **Zz**: $1\cdot\mathbf{u}=\mathbf{u}$ für alle $\mathbf{u}\in K^{n}$
|
|
- ..
|
|
|
|
Also ist $K^{n}$ ein Vektorraum.
|
|
**QED**
|
|
|
|
## SKA 7-2 ##
|
|
|
|
Einem jeden Element
|
|
|
|
$$\left(\begin{matrix}
|
|
x_{1,1} &x_{1,2} &x_{1,3}\\
|
|
x_{2,1} &x_{2,2} &x_{2,3}
|
|
\end{matrix}\right)$$
|
|
|
|
aus $M_{2\times 3}(\mathbb{R})$ können wir das Element
|
|
|
|
$$\left(\begin{matrix}
|
|
x_{1,1}\\
|
|
x_{1,2}\\
|
|
x_{1,3}\\
|
|
x_{2,1}\\
|
|
x_{2,2}\\
|
|
x_{2,3}\\
|
|
\end{matrix}\right)$$
|
|
|
|
zuordnen. Dies ist eine bijektive, lineare Abbildung
|
|
$M_{2\times 3}(\mathbb{R})\to\mathbb{R}^{6}$
|
|
und (am wichtigsten!) preserviert Addition und Skalarmultiplikation.
|
|
|
|
## SKA 7-3 ##
|
|
|
|
Vgl. [Skript, **Bsp. 5.1.1, (4)**].
|
|
|
|
**Ansatz I:** Direkt.
|
|
|
|
**Ansatz II:** Ist äquivalent (»isomorphisch«) zu $\mathbb{R}^{3}$.
|
|
Aber allgemein (für nicht endliche Mengen, $X$) muss man die Axiome durchgehen.
|
|
|
|
$f\in\mathop{Abb}(\{a,b,c\},\mathbb{R}) \mapsto v_{f}:=\left(\begin{matrix}f(a)\\f(b)\\f(c)\end{matrix}\right)\in\mathbb{R}^{3}$
|
|
|
|
Man muss extra zeigen: $v_{f+g}=v_{f}+v_{g}$ und $v_{\alpha\cdot f}=\alpha\cdot v_{f}$ für alle $f,g\in\mathop{Abb}(\{a,b,c\},\mathbb{R})$ und $\alpha\in\mathbb{R}$.
|
|
|
|
## SKA 7-4 ##
|
|
|
|
Vgl. [Skript, **Bsp. 5.1.1, (2)+(4)**].
|
|
|
|
Hinweis: Ein Tuple, $a$, mit Werten in $K$ und Indizes über $\mathbb{N}$
|
|
ist eine Kurzhand für eine Funktion ${a:\mathbb{N}\to K}$.
|
|
Das gilt eigentlich für alle (unendlichen) Mengen.
|
|
(Im endlichen Falle hat man verschiede Alternativen, um Tupeln zu realisieren.)
|
|
|
|
## SKA 7-5 ##
|
|
|
|
Vgl. [Skript, **Bsp. 5.1.1, (5)**].
|
|
|
|
Ansatz I: direkt.
|
|
|
|
Ansatz II: arbeite mit Basen.
|
|
|
|
## SKA 7-6 ##
|
|
|
|
.
|
|
|
|
## SKA 7-7 + 12 ##
|
|
|
|
Seien $m,n\in\mathbb{N}$ und $A\in M_{m\times n}(K)$ eine Matrix und $b\in K^{m}$. Und wir betrachten das LGS $Ax = b$.
|
|
|
|
Homogener Lösungsraum: $V:=\{x\in K^{n}\mid Ax=\mathbf{0}\}$.
|
|
Zu zeigen: $V$ ist ein Untervektorraum.
|
|
|
|
- **Zz**: $V\neq\emptyset$. Das gilt weil $\mathbf{0}\in V$, weil $A\mathbf{0}=\mathbf{0}$.
|
|
- Seien $u,v\in V$ und $\alpha\in K$. **Zz:** $\alpha u+v\in V$.
|
|
Es gilt
|
|
$A(\alpha u+v)=\alpha Au+Av=\alpha\cdot\mathbf{0}+\mathbf{0}=\mathbf{0}$, weil $u,v\in V$. Also gilt $\alpha u+v\in V$ per Konstruktion.
|
|
|
|
|
|
|
|
Lösungsraum: $W:=\{x\in K^{n}\mid Ax=b\}$.
|
|
Zu zeigen: $W$ ist ein affiner Unterraum.
|
|
|
|
- Wenn $Ax=b$ keine Lösung hat, dann gilt $W=\emptyset$ und damit ist $W$ per Definition affin.
|
|
- Wenn $Ax=b$ eine Lösung hat... Fixiere eine Lösung $x_{0}\in K^{n}$. Darum gilt
|
|
|
|
$\begin{array}{rcl}
|
|
W &= &\{x\in K^{n}\mid x=u+x_{0},\, Au=\mathbf{0}\}\\
|
|
&= &\{x\in K^{n}\mid x=u+x_{0},\, u\in V\}\\
|
|
&= &x_{0}+V\\
|
|
\end{array}$
|
|
|
|
Also ist $W$ die Summe aus einem Vektor und einem linearen Unterraum (siehe A7-7). Darum ist $W$ affin.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
## SKA 7-8 ##
|
|
|
|
.
|
|
|
|
## SKA 7-9 ##
|
|
|
|
Vgl. [Skript, **Lemma 5.1.6**].
|
|
|
|
**Behauptung.** Seien $V$ ein Vektorraum über $K$
|
|
und $U_{i}\subseteq V$ Untervektorräume. Dann ist $U:=\bigcap_{i\in I}U_{i}\subseteq V$ wiederum ein Untervektorraum.
|
|
|
|
**Beweis.**
|
|
Wir gehen die Axiome durch:
|
|
|
|
(NL) Beachte, dass $0\in U_{i}$ für alle $i\in I$.
|
|
Darum $0\in\bigcap_{i\in I}U_{i}=U$.
|
|
Insbesondere ist $U$ nicht leer.
|
|
|
|
(LK) Seien $\alpha,\beta\in K$ und $u,v\in U$.
|
|
**Zz:** $\alpha u+\beta v\in U$.
|
|
|
|
Sei $i\in I$. Dann $u,v\in U_{i}$.
|
|
Da $U_{i}$ ein UVR ist, gilt $\alpha u+\beta v\in U_{i}$.
|
|
|
|
Da das für alle $i\in I$ gilt, gilt
|
|
$\alpha u+\beta v\in \bigcap_{i\in I}U_{i}=U$.
|
|
|
|
Darum ist $U$ ein UVR.
|
|
**QED**
|
|
|
|
|
|
## SKA 7-10 ##
|
|
|
|
.
|
|
## SKA 7-11 ##
|
|
|
|
.
|
|
## SKA 7-13 ##
|
|
|
|
.
|
|
## SKA 7-14 ##
|
|
|
|
.
|
|
## SKA 7-15 ##
|
|
|
|
.
|
|
## SKA 7-16 ##
|
|
|
|
|
|
```
|
|
1 5 3 0
|
|
2 4 0 0
|
|
2 4 0 0
|
|
|
|
1 # # | 0
|
|
0 0 1 | 0
|
|
0 0 0 | 0
|
|
|
|
==> alle Lösungen sind der Form (0, 0, t), wobei t frei
|
|
|
|
==> linear abhängig
|
|
``` |